Graphs which satisfy a Vizing-like bound for power domination of Cartesian products
权力支配是一个两步的观察过程，用于监测电力网络，可以被视为支配和零强迫的组合。给定一个图$G$，一个子集$S\subseteq V(G)$，它可以观察到$G$的所有顶点使用这个过程被称为$G$的一个功率控制集，和$G$的功率控制数，$γ_P(G)$，是在一个功率控制集中的顶点的最小数目。我们在图的顶点上引入一种新的划分，从而给出了幂控制数的一个下界。我们还考虑了两个图的笛卡儿积$G \Box H$的幂控制数，并证明了某些图满足关于幂控制数的类Vizing界。特别地，我们证明了对于任意两棵树$T_1$和$T_2$，$γ_P(T_1)γ_P(T_2) \leq γ_P(T_1 \Box T_2)$ .
2022-09-08 math.CO
On total domination in the Cartesian product of graphs
Ho在[A note on the total dominance number，Util.Math. 77（2008）97- 100]中证明了任意两个没有孤立点的图的笛卡儿积的总控制数至少是它们的总控制数之积的一半。本文推广了Lu和Hou在[图与$K_2$或$C_n$的笛卡儿积的全控制，Util. Math.83（2010）313- 322]，通过表征图对$G$和$H$，其中$γ_t(G\Box H)=\frac{1}{2}γ_t(G) γ_t(H)\,$，无论何时$γ_t(H)=2$。此外，我们还得到了一类具有$γ_t(G_n)=2n$的图$G_n$，它们渐近地逼近$γ_t(G_n\Box G_n)\ge \frac{1}{2}γ_t(G_n)^2$中的等式.
2016-12-28 math.CO
Cartesian product graphs and $k$-tuple total domination
图$G$的$k$ -元组全控制集（$k$ TDS）是顶点的集合$S$，其中$G$中的每个顶点至少与$S$中的$k$顶点相邻; $k$ TDS的最小大小记为$γ_{\times k,t}(G)$ .本文给出了笛卡儿积图的一个类Vizing不等式，即当填充数为$γ_{\times k,t}(G) \leq 2kρ(G)$时，图的填充数为$γ_{\times k,t}(G) γ_{\times k,t}(H) \leq 2k γ_{\times k,t}(G \Box H)$.我们还给出了$γ_{\times k,t}(G \Box H)$的（开）包装数的界，并考虑了$γ_{\times k,t}(K_n \Box K_m)$的极值情况，即，Rook图，给出了$γ_{\times 2, t}(K_n \Box K_m)$的一个通式的构造性证明.
2016-10-04 math.CO
Outer Independent Roman Domination Number of Cartesian Product of Paths and Cycles
本文研究路径与圈的笛卡尔积的外独立罗马控制数，确定了部分参数下的精确值，并给出了n≥4、m≥4时的上界，丰富了图的罗马控制理论相关结果。
2024-10-09 math.CO
Bounding the k-rainbow total domination number
最近，$k$ -彩虹全控制的概念被引入到图$G$中，其动机是希望将计算广义棱柱$G \Box K_k$的全控制数的问题简化为$G$上的整数标号问题。在本文中，我们进一步证明了标记方法的有用性，根据全控制数，彩虹控制数和彩虹全控制数以及通常的控制数给出了彩虹全控制数的界限，其中后者给出了Goddard和Henning（2018）结果的推广。我们建立了彩虹支配和彩虹全支配的Vizing样结果。通过对彩虹全控制的一个Vizing猜想的陈述，对Vizing猜想在二部图的情形下提出了一个不同的观点.
2020-03-20 math.CO
On $k$-rainbow independent domination in graphs
本文在图$G$上定义了一个新的控制不变量，它与广义棱柱$G \Box K_k$的普通独立控制数一致，称为$k$ -彩虹独立控制数，记为$γ_{{\rm ri}k}(G)$ .确定了关于这个控制概念的一些界和精确值。作为主要结果，我们证明了关于$2$ -彩虹独立控制数和的Nordhaus-Gaddum型定理，并证明了如果G是$n \geq 3$阶图，则$5\leq γ_{{\rm ri}2}(G)+γ_{{\rm ri}2}(\overline{G})\leq n+3$，且两个界都是尖锐的.
2017-09-26 math.CO
A Note on Integer Domination of Cartesian Product Graphs
给定一个图$G$，支配集$D$是一组顶点，使得$G$中的任何顶点在$D$中至少有一个邻居（或可能是它自己）。一个${k}$ -支配多重集$D_k$是一个顶点的多重集，使得$G$中的任何顶点在重数下都至少有来自$D_k$中闭邻域的$k$顶点。本文利用Clark和Suen（2000）提出的方法和二元矩阵的性质，证明了图$G,H$和笛卡儿积图$G \Box H$的最小${k}$ -支配多集的一个“Vizing式”不等式。具体地说，我们用$γ_{k}(G)$表示最小${k}$支配集的大小，证明了$γ_{k}(G) γ_{k}(H) \leq 2k γ_{k}(G \Box H)$ .
2012-09-09 math.CO
Domination in digraphs and their products
一个有向图$D$的控制（或全控制）集$S$是$D$中的一个顶点集，使得$S$中的顶点的闭（或开）外邻域的并集等于$D$的顶点集。$D$的控制（或全控制）集的最小尺寸是$D$的控制（或全控制）数，记为$γ(D)$（或$γ_t(D)$）。$D$的成对不相交闭（相应地，开）内邻域的最大数目由$ρ(D)$（相应地，$ρ^{\rm o}(D)$）表示。我们证明了在有向图的基础图的围长至少为$7$时，闭（分别为开）的内邻域具有Helly性质，并利用这两个结果证明了在任何有向树$T$（即基础图为树的有向图）中，$γ_t(T)=ρ^{\rm o}(T)$和$γ(T)=ρ(T)$ .利用前一个等式，我们证明了$γ_t(G\times T)=γ_t(G)γ_t(T)$，其中$G$是任意有向图，$T$是任意双树，都没有源顶点，$G\times T$是它们的直积.从等式$γ(T)=ρ(T)$出发，我们导出了有界$γ(G\mathbin{\Box} T)\geγ(G)γ(T)$，其中$G$是任意有向图，$T$是任意有向树，$G\mathbin{\Box} T$是它们的笛卡尔积.在一般的有向图这种Vizing型界失败，但我们证明，对于任何有向图$G$和$H$，其中$γ(G)\geγ(H)$，我们有$γ(G \mathbin{\Box} H) \ge \frac{1}{2}γ(G)(γ(H) + 1)$。这个不…
2020-07-30 math.CO
Total $k$-domination in Cartesian product of complete graphs
设$G=(V,E)$是一个有限无向图. $V$中的顶点的集合$S$被称为全$k$ -支配的，如果$V$中的每个顶点至少与$S$中的$k$顶点相邻。全$k$ -控制数，$γ_{kt}(G)$，是$G$中全$k$ -控制集的最小基数.本文研究了两个完全图的笛卡儿积的$k$ -控制数，它是两个图的笛卡儿积的$k$ -控制数的一个下界.得到了两个完全图的笛卡儿积的$k$ -控制数的新的上下界.特别地，我们得到了阶至少为$n$的图$G,H$的$\displaystyle\liminf_{n\to\infty}\frac{γ_{kt}(G\Box H)}{n}\leq 2\,\left(\left\lceil\frac{k}{2}\right\rceil^{-1}+\left\lfloor\frac{k+4}{2}\right\rfloor^{-1}\right)^{-1}$.我们还证明了当且仅当$k$是偶数时，等式才成立。当$G,H$都同构于具有$n$顶点的完全图$K_n$时，等式成立。进一步，我们得到了两个任意阶的完全图的笛卡儿积的全$2$ -控制数的封闭公式.此外，我们还证明了对于$k=3$，上述不等式可改进为$\displaystyle\liminf_{n\to\infty} γ_{3t}(K_n\Box K_n)/n \leq 11/5$ .
2022-05-10 math.CO
$3$-tuple total domination number of rook's graphs
图$G$的$k$ -元组全控制集（$k$ TDS）是顶点集$S$，其中$G$中的每个顶点至少与$S$中的$k$顶点相邻. $k$ TDS的最小尺寸被称为$k$元组全控制数，并且它被表示为$γ_{\times k,t}(G)$。给出了$γ_{\times 3, t}(K_n \Box K_m)$的一个一般公式的构造性证明.
2018-07-21 math.CO
A Note on Total and Paired Domination of Cartesian Product Graphs
图$G$的控制集$D$是$V(G)$的子集，使得不在$D$中的任何顶点在$D$中至少有一个邻居。控制数$γ(G)$是$G$中最小控制集的大小。Vizing的猜想从1968年指出，对于图$G$和$H$的笛卡儿积，$γ(G) γ(H) \leq γ(G \Box H)$，以及Clark和Suen（2000）证明了$γ(G) γ(H) \leq 2γ(G \Box H)$。本文改进了Clark和Suen的方法，证明了与全控制和成对控制有关的一系列相似的上界，并将这些上界推广到图$A^1$到图$A^n$的$n$ -笛卡儿积.
2011-09-09 cs.DM math.CO
Quasi-efficient domination in grids
网格的控制已经被证明是一项艰巨的任务，随着独立性的增加，它变得更具挑战性。已知具有$m,n \geq 5$的网格不具有有效支配集，也称为完美码，即独立顶点集，使得不在其中的每个顶点在该集中恰好有一个邻居。因此研究最多允许两个邻域的格网的独立控制集的存在性是一个有趣的问题，这样的控制集称为独立$[1,2]$ -集。在本文中，我们证明了每一个网格有一个独立的$[1,2]$ -集，我们开发了一个动态规划算法，使用最小加代数计算$i_{[1,2]}(P_m\Box P_n)$，一个独立的$[1,2]$ -集的最小基数的网格图$P_m\square P_n$。利用该算法计算了$2\leq m\leq 13, n\geq m$的$i_{[1,2]}(P_m\Box P_n)$，同时通过一个拟正则模式得到了具有$14\leq m\leq n$的网格的参数，并提供了一个独立的最小尺寸的$[1,2]$ -集.
2016-05-02 math.CO
Eternal domination on prisms of graphs
图$G$的永恒支配集是支配$G$的顶点（或“守卫”）的集合，并且可以防御任何无穷系列的顶点攻击，其中通过将一个守卫沿着边从其当前位置移动到被攻击的顶点来防御攻击。最小永恒支配集的大小记为$γ^\infty(G)$，称为$G$的永恒控制数。本文回答了Klostermeyer和Mynhardt的一个猜想[Discussiones Mathematicae Graph Theory，vol. 35，pp. 283-300]，证明了存在无穷多个图$G$使得$γ^\infty(G)=θ(G)$和$γ^\infty(G \Box K_2)<θ(G \Box K_2)$，其中$θ(G)$表示$G$的团覆盖数.
2019-02-02 cs.DM math.CO
On $d$-distance $p$-packing domination number in strong products
本文研究强乘积图的$d$-距离$p$-填充控制数，证明了其上界公式，通过路径、环的强乘积实例验证上界紧性，构造出严格小于上界的无穷族强环面图，并提出相关猜想且给出部分证明结果。
2025-10-03 math.CO
Efficient Domination in Lattice graphs
给定一个图$G$，如果对所有$v\in V(G)$都有$|N[v] \cap S|=1,$，则$G$的顶点子集$S$是有效控制集（$EDS$）.一个图$G$是有效支配的，如果它有一个$EDS$ . G的有效控制数记为F（G），定义为$\max \left\{\sum_{v \in S}(1 + \operatorname{deg} v):\right.$ $\left.S \subseteq V(G)\right.$和$\left.|N[x] \cap S| \leq 1, \forall~ x \in V(G)\right\}$ .一般来说，不是每个图都是有效支配的。此外，有效支配图的类还没有被完全刻画，并且确定图是否有效支配的问题是NP-完全的。因此，研究图在约束条件下的有效控制性或特殊类图的有效控制性是很有意义的。本文研究了几类格图，即矩形格图（$P_m \Box P_n$）、三角格图和六角格图的有效控制的概念。
2023-03-06 math.CO
On Grundy total domination number in product graphs
图$G$的顶点的最长序列$(v_1,\ldots,v_k)$是$G$的Grundy全控制序列，如果对所有$i$，有$N(v_i) \setminus \bigcup_{j=1}^{i-1}N(v_j)\not=\emptyset$ .序列的长度$k$称为$G$的Grundy全控制数，记为$γ_{gr}^{t}(G)$。本文研究了四种标准积图的Grundy全控制数。对于直积，我们证明了$γ_{gr}^t(G\times H) \geq γ_{gr}^t(G)γ_{gr}^t(H)$，猜想等式总是成立，并在几种特殊情况下证明了猜想。对于字典序积，我们用因子的相关不变量来表示$γ_{gr}^t(G\circ H)$，并给出了它的一些显式公式，对于强积，我们证明了$γ_{gr}^t(G \boxtimes H)$的下界以及路和圈的积的上界.对于笛卡儿积，我们证明了当因子是路或圈时，Grundy全控制数的上下界。
2017-12-23 math.CO
On the total Italian domination number in digraphs
本文研究有向图的全意大利支配数，给出其上下界，并确定笛卡尔积 $P_2\Box P_n$ 和 $P_3\Box P_n$ 的精确全意大利支配数。
2025-08-18 math.CO
Notes on k-rainbow independent domination in graphs
$k$ -图$G$的彩虹独立控制数，记作$γ_{\rm rik}(G)$，是由两个顶点不相交的独立集$V_1$和$V_2$组成的最小集的基数，其中$V(G)\setminus (V_1\cup V_2)$中的每个顶点在$V_1$和$V_2$中都有邻居。这种支配不变量是由umenjak、Rall和Tepeh在（Applied Mathematics and Computation 333（15），2018：353-361）中提出的，它允许将计算广义棱镜$G {\Box} K_k$的独立支配数的问题减少到$G$上的整数标记问题。他们证明了一个Nordhaus-Gaddum型定理：对于每一个$n\geq 3$阶的图$G$，有$5\leq γ_{\rm rik}(G)+γ_{\rm rik}(\overline{G})\leq n+3$，其中$\overline{G}$是$G$的补图。在本文中，我们改进了这一结果表明，如果$G$不是同构的5-圈，那么$5\leq γ_{\rm rik}(G)+γ_{\rm rik}(\overline{G})\leq n+2$。此外，我们证明了判定一个图是否具有给定权的$k$ -彩虹独立控制函数的问题是$\mathcal{NP}$ -完全的。我们的研究结果回答了Šumenjak等人提出的一些开放性问题。
2019-08-05 math.CO
Characterizing all nonbipartite well-edge-dominated graphs
University of St. Thomas（圣托马斯大学）；Trinity College（三一学院）
本文完整刻画了所有非二部良边支配图，并构造了一类满足Vizing猜想的无限图类。
2026-05-30 math.CO
Super Coalition Number in Graphs
Yazd University（亚兹德大学）
研究图中超级联盟划分的超级联盟数$C_s(G)$，利用底层阶数和超级支配数建立界限，分析其与超级支配度关系及计算复杂性，为多种标准图架构提供精确确定，证明其可任意大。
2026-07-28 math.CO
On the $2$-domination number of cylinders with small cycles
本文研究小圈柱面图（圈与路的笛卡尔积）的 $2$-控制数，提出基于 $(\nmin,+)$ 矩阵乘积的两种算法计算 $\gamma_2(C_n\Box P_m)$（$3\leq n\leq 15$），并给出一般公式猜想。
2022-04-14 cs.DM math.CO
A note on Vizing's conjecture
设$γ(G)$表示图$G$的控制数.设$G$和$H$是图，$G\Box H$是它们的笛卡尔积。对于$h\in V(H)$，定义$G_h=\{(g,h)\,|\,g\in V(G)\}$，并将此集合称为$G\Box H$的$G$层。我们证明了以下Vizing猜想的特殊情况。设$D$是$G\Box H$的控制集.若存在$G$的最小控制集$D_1$和$D_2$，使得对于每个$h\in V(H)$，$D\cap G_h$到$G$的投影包含在$D_1$或$D_2$中，则有$|D|\geq γ(G)γ(H)$ .
2022-12-19 math.CO
Revisiting path-type covering and partitioning problems
覆盖问题是图论的基础。在图论中有几种类型的覆盖问题，如用星覆盖顶点集（控制问题），用团覆盖顶点集（团覆盖问题），用独立集覆盖顶点集（着色问题），用路或圈覆盖顶点集。一个类似的概念，即划分问题也同样重要。近年来，由于图论在工程和科学中的广泛应用，使得图论的研究得到了空前的发展。路的覆盖与划分问题本身已经产生了相当数量的文献。对这些问题的研究正在向多个方向扩展，研究论文的数量正在爆炸式增长。现在是时候简化和统一不同类型的覆盖和划分问题的文献。本文考虑的问题有路径覆盖问题、诱导路径覆盖问题、等距路径覆盖问题、路径划分问题、诱导路径划分问题和等距路径划分问题。本文对这些问题的研究进展进行了综述，对相关文献进行了分类，并对相关概念之间的相互关系进行了关联。
2018-07-25 math.CO math.HO
A note on partitioning the vertex set of a graph into a dominating set and a locating dominating set
Université Clermont Auvergne, CNRS, Clermont Auvergne INP, Mines Saint-Étienne, LIMOS（克莱蒙奥弗涅大学）；University of Johannesburg（约翰内斯堡大学）；Lebanese American University（黎巴嫩美国大学）；Centrale Méditerranée, Laboratoire d’Informatique et Systèmes UMR 7020（地中海中央理工学院）；University of Turku（图尔库大学）
本文证明无孤立点图的顶点集可划分为一个支配集和一个定位支配集，由此推出支配数与定位支配数之和不超过顶点数且界紧，并给出多项式时间构造算法。
2026-10-05 math.CO
Grundy domination of forests and the strong product conjecture
图$G$中顶点的最大序列$S$，使得$S$中的每个顶点都有一个独立于或自身独立于$S$中所有先前顶点的邻居，称为Grundy控制序列。Grundy控制数$γ_{gr}(G)$是$S$的长度。我们表明，对于任何森林$F$，$γ_{gr}(F)=|V(T)|-|\mathcal{P}|$，其中$\mathcal{P}$是一个最小的分区的非孤立顶点的$F$到毛虫，如果两个毛虫的$\mathcal{P}$有一个边缘之间的$F$，那么这样的边缘必须入射到一个非叶顶点的毛虫中的至少一个。我们利用这个结果证明了B的强乘积猜想。布雷沙角Bujtás，T. Gologranc，S.克拉瓦扎尔湾科什姆尔利湾帕科斯僵尸Tuza和M.张文，张文，等。23（4）：P4.34（2016），所有森林。也就是说，我们表明，对于任何森林$G$和图$H$，$γ_{gr}(G \boxtimes H) = γ_{gr}(G) γ_{gr}(H)$。我们还证明了每个连通图$G$都有一个生成树$T$，使得$γ_{gr}(G)\le γ_{gr}(T)$和每个非完全连通图都包含一个Grundy控制集$S$，使得$S$的导出子图不包含孤立点.
2021-04-12 math.CO
A proof of the $\frac{3}{8}$-conjecture for independent domination in cubic graphs
本文证明了连通三次图（除$K_{3,3}$和$5$-棱柱外）的独立支配数至多为$\frac{3}{8}n$，解决了已知猜想，且界紧。
2025-10-16 math.CO
Independent Domination in Subcubic Graphs
一个图$G$中的顶点集$S$是一个控制集，如果每个不在$S$中的顶点都与$S$中的一个顶点相邻。此外，如果$S$是独立集，则$S$是独立支配集。$G$的独立控制数$i(G)$是$G$中独立控制集的最小基数。在2013年Goddard和Henning [Discrete Math 313（2013），839- 854]中，如果$G$是阶为$n$的连通三次图，则$i(G) \le \frac{3}{8}n$，除非$G$是完全二部图$K_{3,3}$或$5$ -棱镜$C_5 \, \Box \, K_2$。进一步，他们构造了两个无限族的连通三次图，其独立控制的阶数是它们的八分之三。他们评论说，也许对$n > 10$来说，这两个家庭只是平等的家庭。本文给出了一类新的$n$阶连通三次图$G$，使得$i(G) = \frac{3}{8}n$ .我们还证明了如果$G$是一个次立方图的顺序$n$没有孤立的顶点，那么$i(G) \le \frac{1}{2}n$，我们的特点，实现平等的图在这个界限。
2020-01-09 cs.DM math.CO
Faster Algorithms For Vertex Partitioning Problems Parameterized by Clique-width
许多NP难问题，如支配集问题，都是以宽度为参数的FPT问题。对于给定了$k$ -表达式的图，其控制集可以在$4^k n^{O(1)}$时间内求出.然而，没有已知的FPT算法用于计算最优的$k$表达式。对于秩宽$k$的图，如果我们依靠已知的算法通过秩宽计算$(2^{3k}-1)$ -表达式，然后使用$(2^{3k}-1)$ -表达式求解支配集，则上述算法只会给出$4^{2^{3k}} n^{O(1)}$的运行时间。已经有克服这种指数跳跃的结果;最著名的算法可以通过避免构建$k$表达式来及时求解支配集$2^{O(k^2)} n^{O(1)}$ [Bui-Xuan，Telle和Vatshelle.快速动态规划求解局部可检查顶点子集和顶点划分问题。理论计算。科学，2013. doi：10.1016/j.tcs.2013.01.009]。我们将其改进为$2^{O(k\log k)}n^{O(1)}$。事实上，我们表明，对于一个图的candle-width $k$，一大类的支配和分区问题（LC-VSP），包括支配集，可以解决$2^{O(k\log{k})} n^{O(1)}$。我们的主要工具是一个变体的秩宽度使用的秩的$0$ - $1$矩阵的有理域，而不是二进制字段。
2014-03-12 cs.DM cs.DS math.CO
On the isolation numbers in graph products
Faculty of Natural Sciences and Mathematics, University of Maribor（马里博尔大学自然科学与数学学院）；Institute of Mathematics, Physics and Mechanics（数学、物理与力学研究所）；Furman University（弗曼大学）
本文在前期笛卡尔积、字典积隔离数研究基础上，研究四类图乘积的隔离数与$\boldsymbol{\textit{F}}$-隔离数，推导相关上下界并确定多族图乘积的精确值，扩展了笛卡尔积的对应研究结果。
2026-08-27 math.CO
Powers of large matrices on GPU platforms to compute the Roman domination number of cylindrical graphs
本文提出利用GPU加速大型矩阵的$(\min,+)$幂运算来高效计算柱面图$P_m\Box C_n$的罗马支配数，并给出了特定参数下的精确解及剩余情况的下界。
2024-09-26 cs.DM math.CO
Injective coloring of product graphs
本文利用两步图染色、开 packing 划分及支配理论三种等价视角，研究直积、字典序乘积和冠积的单射染色，给出直积与字典序乘积的上下界，并完全确定两个圈的直积的单射色数及冠积的闭公式。
2023-06-02 math.CO
Isolation number: Cartesian and lexicographic products and generalized Sierpiński graphs
本文研究隔离数在笛卡尔积、字典序积和广义谢尔宾斯基图等图运算下的行为，证明多个上下界，并得到超立方体棱柱及经典谢尔宾斯基图的精确隔离数值。
2025-08-22 math.CO
The Bondage Number of the Strong Product of a Complete Graph and a Path
图$G$的束缚数$b(G)$是最小边集的基数，该最小边集从$G$中移除会导致图的控制数大于$G$的控制数。它是衡量通信网络在链路故障下脆弱性的一个参数。本文给出了完全图与路的强积的束缚数的精确值，即对任意两个整数$m\geq1$和$n\geq2$，若$n\equiv 0$（mod 3）为$b(K_{m}\boxtimes P_{n})=\lceil\frac{m}{2}\rceil$，若$n\equiv 2$（mod 3）为$m$，若$n\equiv 1$（mod 3）为$\lceil\frac{3m}{2}\rceil$.此外，我们还确定了完全图与特殊星形树的强积的束缚数的精确值。
2013-12-28 math.CO
