Vertex partition of hypergraphs and maximum degenerate subhypergraphs
Matamala在2007年证明了如果$G$是一个简单图，其最大度$Δ\geq 3$不包含$K_{Δ+1}$作为子图，并且$s, t$是正整数使得$s+t \geq Δ$，然后$G$的顶点集允许一个划分$(S,T)$使得$G[S]$是最大阶$(s-1)$-$G$和$G[T]$的退化子图是$G$的$(t-1)$ -退化子图。这个结果推广了Borodin，Bollobás和Manvel，Catlin，Gerencsér和Catlin和Lai的早期结果。在本文中，我们证明了一个超图版本的结果，并将其扩展到变量退化和分区成两个以上的部分，从而扩展了结果Borodin，Kostochka和托夫特。
2018-07-06 math.CO
Asymptotically Almost Every $2r$-regular Graph has an Internal Partition
图的内部划分是将顶点集划分为两部分，使得对于每个顶点，至少有一半的邻居在其一侧。证明了对每一个正整数$r$，几乎每一个$2r$ -正则图都渐近地有一个内部划分.
2017-08-16 math.CO
Characterizing partition functions of the vertex model
我们刻画了在特征为0的代数闭域上顶点模型的分拆函数（在de la Harpe和Jones的意义上）。此外，我们还刻画了当顶点模型可以采取，使其矩矩阵有有限秩。
2011-02-24 math.CO math.RA
On the partition dimension of unicyclic graphs
给定连通图$G=(V,E)$的顶点集$V$的有序划分$Π=\{P_1,P_2, ...,P_t\}$，顶点$v\in V$相对于划分$Π$的\emph{partition representation}是向量$r(v|Π)=(d(v,P_1),d(v,P_2),...,d(v,P_t))$，其中$d(v,P_i)$表示顶点$v$和集合$P_i$之间的距离。如果$V$的不同顶点具有不同的分区表示，则$V$的分区$Π$是\emph{resolving partition}，即，对于每对顶点$u,v\in V$，$r(u|Π)\ne r(v|Π)$。$G$的\emph{partition dimension}是$G$的任何解析分区中的最小集合数。本文得到了单圈图的划分维数的几个紧界。
2013-05-02 math.CO
Monochromatic cycle partitions in local edge colourings
一个图的边着色称为$r$ -局部着色，如果与任意顶点关联的边至多被$r$着色.推广了Bessy和Pastassé的一个结果，证明了任何$2$ -局部着色完全图的顶点集都可以划分为两个不相交的不同颜色的单色圈.此外，对任意自然数$r$，我们证明了任意$r$ -局部着色完全图的顶点集都可以划分为$O(r^2 \log r)$不相交的单色圈.这推广了Erdás，Gyárfás和Pyber的一个结果。
2015-05-10 math.CO
Vertex-partitioning into fixed additive induced-hereditary properties is NP-hard
图$G$的顶点能被划分成$A \cup B$，使得$G[A]$是线图，$G[B]$是森林吗？$G$能被划分为平面图和完美图吗？这些问题的NP-完全性只是我们结果的特殊情况：如果${\cal P}$和${\cal Q}$是加性诱导遗传图性质，则$({\cal P}, {\cal Q})$ -着色是NP-难的，唯一的例外是图2-着色（$\cal P$和$\cal Q$都是有限无边图的集合${\cal O}$的情况）。此外，$({\cal P}, {\cal Q})$ -着色是NP完全的当且仅当${\cal P}$ -和${\cal Q}$ -识别都是NP.这证明了Kratochv 'ıl和Schiermeyer的一个猜想。
2003-06-10 math.CO
On the partition dimension of trees
给定连通图$G=(V,E)$的顶点集$V$的有序划分$Π=\{P_1,P_2, ...,P_t\}$，顶点$v\in V$相对于划分$Π$的\emph{partition representation}是向量$r(v|Π)=(d(v,P_1),d(v,P_2),...,d(v,P_t))$，其中$d(v,P_i)$表示顶点$v$和集合$P_i$之间的距离。如果$G$的不同顶点具有不同的分区表示，则$V$的分区$Π$是$G$的\emph{resolving partition}，即，对于每对顶点$u,v\in V$，$r(u|Π)\ne r(v|Π)$。$G$的\emph{partition dimension}是$G$的任何分解分区中的最小集合数。本文给出了树的划分维数的几个紧界。
2011-10-24 math.CO
A Polynomial Time Algorithm for Vertex Enumeration and Optimization over Shaped Partition Polytopes
我们考虑{ \em Shaped Partition Problem}，将实$k$ -空间中给定的$n$划分为$p$部分，以最大化一个任意目标函数，该目标函数对每个部分中的向量之和是凸的，且每个部分中的元素个数受到任意约束.为了解决这个问题，我们研究了{ \em Shaped Partition Polytope}作为解的凸包。成形分割问题捕获了${\cal N}{\cal P}$ -困难问题，例如最大割问题和旅行商问题，并且成形分割多面体可以具有指数级多个顶点和面，即使当$k$或$p$是固定的。与此相反，我们表明，当$k$和$p$是固定的，在$n$的顶点数是多项式，所有的顶点可以枚举和优化问题解决的强多项式时间。解释，我们表明，任何形状的分区多面体有$O(n^{k{p\choose 2}})$顶点，可以列举在$O(n^{k^2p^3})$算术运算，任何形状的分区问题是可解的$O(n^{kp^2})$算术运算。
1997-04-29 math.CO
Component order edge connectivity, vertex degrees, and integer partitions
针对NP难的图的k-分量阶边连通度求解问题，研究推导了顶点度条件以给出该连通度的下界，分析了不同下界值的条件生成复杂度，并证明了相关整数分拆结果。
2023-10-07 math.CO
On Hamiltonians for six-vertex models
在本文中，我们解释了一个家庭的自由费米六顶点模型和一个离散时间演化算子的一维费米Fock空间之间的联系。冰模型的家庭推广与畴壁边界，我们专注于两套玻尔兹曼权重的分拆函数以前被证明是广义的生成函数的身份德山。我们产生相关的哈密顿恢复这些玻尔兹曼权重，并进一步计算的分拆函数使用交换关系和初等组合学。我们给出了这些分拆函数作为行列式的表达式，类似于舒尔多项式的雅可比-特鲁迪恒等式。
2016-05-31 math.CO
Partitioning planar graphs without 4-cycles and 6-cycles into a forest and a disjoint union of paths
本文证明了不含$4$ -圈和$6$ -圈的可平面图的顶点集可划分为两个集合，其中一个集合导出森林，另一个集合导出最大度至多为$2$的森林（等价于路的不交并）.注意，我们可以将森林的顶点集划分为两个独立的集合。然而，一对独立的集合组合可能不会导致森林。因此，我们的结果推广了Wang和Xu（2013）的结果，即不含$4$ -圈和$6$ -圈的可平面图的顶点集可以划分为三个集合，其中一个集合导出最大度为2的图，其余两个是独立的集合.
2022-03-12 math.CO
Switch Operators for the Six-Vertex Model
在本文中，我们介绍和分析了一个新的开关算子的六顶点模型。这个算子，来自杨-巴克斯特方程，使我们能够表示的分拆函数与任意边界的基本情况下，与畴壁边界条件。作为应用，我们得到了阶乘Schur函数及其推广的显式公式。我们的结果提供了新的见解之间的关系边界条件和分拆函数的六顶点模型。
2023-03-02 math.CO
On Tutte polynomial expansion formulas in perspectives of matroids and oriented matroids
我们引入了线性序基集上的定向拟阵透视（或商，或强映射）的基集的活动划分。通过任意重定向活动分区的部分而获得的重定向共享相同的活动分区。这产生了一个等价关系的一组重定向的定向拟阵的角度，其类列举的系数的Tutte多项式，和一个显着的分区的一组重定向到布尔格，从中我们得到一个简短的直接证明的4-变量的Tutte多项式的扩展公式的方向活动。这个公式是在Michel Las Vergnas最后一个未发表的预印本中给出的;上面的等价关系和活动划分的概念推广了Michel Las Vergnas和作者在定向拟阵中的一个先前的构造;并且在前面的预印本中宣布了这样一个证明技术的可能性。我们还简要地强调了如何5变量的Tutte多项式的扩展在拟阵的角度来看，在一个类似的方式从已知的分区的权力集的地面集到布尔格相关的子集活动（我们完成了证明与一个属性，这是在文献中丢失）。特别是，本文适用于拟阵和定向拟阵的线性序基集。
2018-07-18 math.CO
Clique-partitioned graphs
$nv$阶的图$G$，其中$n\geq 2$和$v\geq 2$被称为弱$(n,v)$ -团划分的，如果其顶点集可以以唯一的方式分解为$n$顶点不相交的$v$ -团。它是强$(n,v)$ -团划分的，如果另外，$G$的唯一$v$ -团是分解中的$n$团。我们确定这样的图的结构，具有最大可能的边数。
2022-04-01 math.CO
Vertex partitions of $(C_3,C_4,C_6)$-free planar graphs
一个图是$(k_1,k_2)$ -可着色的，如果它的顶点集可以划分为一个最大度至多为$k_1$的图和一个最大度至多为$k_2$的图.证明了每个无$(C_3,C_4,C_6)$的平面图都是$(0,6)$ -可着色的.我们还证明了判定一个无$(C_3,C_4,C_6)$的平面图是否是$(0,3)$ -可着色的是NP-完全的。
2017-11-23 cs.DM math.CO
Chordal bipartite graphs, biclique vertex partitions and Castelnuovo-Mumford regularity of $1$-subdivision graphs
本文研究1-细分图的正则性与双团顶点划分数之间的关系，证明了一般图的下界不等式，并针对弦二部图建立了等式，同时刻画了其独立复形的同伦类型。
2024-10-19 math.CO
Monochromatic cycle partitions of $2$-coloured graphs with minimum degree $3n/4$
Balogh、Barát、Gerbner、Gyárfás和Sárközy提出了以下猜想。设$G$是$n$顶点上的图，其最小度至少为$3n/4$ .然后，对于$G$的每个$2$ -边着色，顶点集$V(G)$可以被划分成两个顶点不相交的循环，每个颜色一个。我们证明，这个猜想持有$n$足够大，改善上述作者和DeBiasio和Nelsen的近似结果。
2015-02-26 math.CO
Internal Partitions of Regular Graphs
$n$ -顶点图$G=(V,E)$的内部划分是$V$的一个划分，使得每个顶点在其自己的部分中具有至少与在其他部分中一样多的邻居。证明了每一个顶点为$n>N(d)$的$d$ -正则图都有一个内部划分.在这里，我们证明了$d=6$。$d=n-4$的情况下是特别感兴趣的，并导致有趣的新的三次图上的开放问题。我们还提供了新的下界$N(d)$，并找到新的家庭的图没有内部分区。这些问题的加权版本被认为是以及。
2013-07-19 math.CO
Characterizing Block Graphs in Terms of their Vertex-Induced Partitions
给定一个具有点集$V$和边集$E\subseteq \binom{V}{2}$的有限连通简单图$G=(V,E)$，我们将证明$1.$具有顶点集$V$（其边集包含$E$）的（必然唯一的）最小块图由集合$V$的各个分区$π_0(G^{(v)})$到图$G^{(v)}:=(V,\{e\in E: v\notin e\})$的连通分量的集合中的$V$索引族${\bf P}_G:=\big(π_0(G^{(v)})\big)_{v \in V}$唯一地确定，- $2.$，该框图的边集与$V$的所有$2$子集$\{u,v\}$的集合一致，对于所有$w\in V-\{u,v\}$，$u$和$v$包含在$G^{(w)}$的相同连通分量中，$3.$和任意的$V$ -集合$V$的分区$π_v$的索引族${\bf P}p=({\bf p}_v)_{v \in V}$对于具有如上顶点集合$V$的某个连通简单图$G=(V,E)$具有${\bf P}p={\bf P}p_G$的形式当且仅当，对于任何两个不同的元素$u,v\in V$，${\bf p}_v$中包含$u$的集合和${\bf p}_u$中包含$v$的集合的并集与集合$V$一致，并且$\{v\}\in {\bf p}_v$对所有$v \in V$成立。除了对块图理论有内在的兴趣之外，这些事实在分析有限度量空间的相容分解和块实现中也是有用的。
2014-02-28 math.CO
Colored Vertex Models and Interacting Reverse Plane Partitions
该研究通过引入局域相互作用分析同形状反向平面分拆对的耦合，证明其与Yang-Baxter可积有色顶点模型的双射关系，借助Yang-Baxter方程算出对应生成函数，并给出零相互作用强度下耦合分拆对与单个同形状分拆的双射。
2025-05-20 math-ph math.CO math.MP
Partitioning the vertex set of $G$ to make $G\,\Box\, H$ an efficient open domination graph
本文刻画了当 $H$ 为完全图（阶数≥3）或完全二部图时，笛卡尔积 $G\Box H$ 为高效开支配图的图 $G$，基于弱划分给出构造性刻画，并推广至 $H$ 为 4-圈或 5-圈的情形。
2016-06-01 math.CO
$λ$-Core Distance Partitions
图的$λ$ -核顶点对应于图的泛邻接矩阵$\mathbf{U}$的$λ$的某个特征向量的非零项。我们定义了一个分区的顶点集$V$的基础上的$λ$ -核心顶点集和它的邻居在一个距离$r$，并给出了一些结果有关的图的结构，这个分区。对于这样的划分，我们还定义了一个熵测度的信息内容的图，相关的每一个不同的特征值$λ$的$\mathbf{U}$，并讨论其性质和潜在的应用。
2020-12-22 math.CO
The Six-Vertex Model with a Non-Standard Boundary Condition
针对边界条件由整数分拆确定的Brubaker-Bump-Friedberg六顶点模型，研究发现态数是分拆最大部分的多项式，并借此完整计数了钩形与阶梯形的态。
2023-10-08 math.CO
Limited packings: related vertex partitions and duality issues
本文研究了图的最小 $k$-有限包装划分问题，给出了树中该参数的精确值与一般图的界限，解决了1998年提出的相关对偶开放问题，并证明计算总有限包装数是 NP-hard 的。
2023-08-31 math.CO
The Active Bijection 2.a - Decomposition of activities for matroid bases, and Tutte polynomial of a matroid in terms of beta invariants of minors
本文引入并研究了线性序基集上拟阵的滤子，它是一种特殊的集合套序列。一个给定的基可以被分解成一个唯一定义的子式基序列，使得这些基具有等于1/0或0/1的内部/外部活动（在Tutte多项式活动的意义上）。这种分解，我们称之为主动过滤/分区的基础上，细化到内部和外部元素相对于一个给定的基础的地面集的已知分区。它可以由一个特定的闭包操作符构建，我们称之为主动闭包。它只依赖于基的基本二部图，也可以表示为一般二部图在一个线性序顶点集上的分解。由此，首先，在结构上，我们得到的所有基的集合可以是典型的划分和分解，在这样的基础上的未成年人所诱导的过滤。其次，枚举，我们推导出的Tutte多项式的拟阵的β不变量的未成年人方面的表达。该表达式同时细化了基础活动和方向活动（如果拟阵是定向的）方面的经典表达式，以及Tutte多项式的众所周知的卷积公式。第三，在同一系列的配套文件中，（No.2.b），我们使用拟阵基的这种分解，以及类似的定向拟阵的分解，以及以前论文中1/0活动情况下的双射（第一名），定义图的方向/签名/重定向和生成树/单形/基/实超平面排列/定向拟阵，以及各种相关的双射。
2018-07-18 math.CO
A note on internal partitions: the $5$-regular case and beyond
图的内部划分或友好划分是将顶点集划分为两个非空集合，使得每个顶点在自己的类中的邻居至少与另一个类中的邻居一样多。本文证明了除有许多反例外，每一个3、4或6-正则图都有一个内部划分。本文主要讨论了$5$ -正则的情形，证明了在最小度至少为$3$的子图中，存在一些交小的图.我们还讨论了某些Cayley图族的内部划分的存在性，特别是我们确定了所有不具有内部划分的$5$ -正则Abel Cayley图.
2021-09-29 math.CO
Factorization of rational six vertex model partition functions
本文证明了一类有理六顶点模型配分函数的因子化公式，结合广义域壁边界配分函数导出了梯形边界下的因子化公式，并讨论了其在真空形成概率中的应用。
2024-11-21 math-ph math.CO math.MP
Partitioning 2-edge-colored graphs by monochromatic paths and cycles
给出了$2$ -边-有色图的顶点划分为单色路和圈的结果.我们渐近地证明了Sárközy猜想的双色情形：每个$2$ -边着色图的顶点集最多可划分为$2α(G)$单色圈，其中$α(G)$表示$G$的独立数.另一个方向，最近出现的一个猜想Schelp，是考虑着色的图与给定的最低程度。证明了除$o(|V(G)|)$顶点外，任何最小度至少为$(1+\eps){3|V(G)|\over 4}$的$2$ -边着色图$G$的顶点集都能被两个顶点不相交的不同颜色单色圈的顶点所覆盖.最后，在假设$\overline{G}$不包含固定二部图$H$的条件下，证明了在$G$的每一个$2$ -边染色中，$|V(G)|-c(H)$顶点可以被两条不同颜色的顶点不相交路覆盖，其中$c(H)$是一个只依赖于$H$的常数.特别是，我们证明了$c(C_4)=1$，这是最好的可能。
2015-09-18 math.CO
Partition of graphs with maximum degree ratio
给定一个图$G$及其顶点集的一个非平凡划分$(V_1,V_2)$，一个顶点$v\in V_i$的满意度是它在$V_i$中的闭邻域的大小与它在$G$中的闭邻域的大小之比.所有顶点上的最差比率定义了分区的质量。我们定义$q(G)$为一个图的度比，它是所有非平凡划分上的最差度比的最大值。给出了某些图类的$q(G)$的界和精确值。我们还展示了一些相关的优化或判定问题的复杂性结果。
2021-12-13 math.CO
Regularity inheritance in hypergraphs
给出了一种处理超图正则性的新方法。这种方法允许顶点的顶点嵌入到超图的常规分区，并推广到稀疏超图的常规分区。我们还证明了一个相应的稀疏超图正则性引理。
2019-01-17 math.CO
A note on graph compositions and their connection to minimax of set partitions
图的合成是顶点集的一个划分，使得该划分的每个成员导出一个连通子图，图的合成数是可能的图合成的个数。一个连续标号顶点集S的一个划分被称为在S中有一个极小极大顶点v，如果v的标号是划分的所有成员上的所有最大标号的集合中的最小标号。本文给出了一类图的合成数的递推公式，并建立了这类图的合成数与标号集（划分的每个成员上的所有最大标号的集合的最小标号）的划分的极大极小的合成数之间的联系。
2017-09-01 math.CO
Cycle partitions of regular graphs
Magnant和Martin证明了$d$ -正则图$G$在$n$顶点上的顶点集可以被划分为$n / (d+1)$路（存在一个简单的构造表明这个界是最好的）.我们证明了这个猜想时$d = Ω(n)$，改进了韩，谁表明，在这个范围内几乎所有的$G$顶点可以覆盖的$n / (d+1) + 1$顶点不相交的道路。事实上，我们的证明给出了一个分区的$V(G)$到循环。我们还证明了，如果$d = Ω(n)$和$G$是二部图，那么$V(G)$可以划分成$n / (2d)$路（这个界是紧的二部图）。
2020-09-11 math.CO
Vertex Partitions into an Independent Set and a Forest with Each Component Small
对于任意整数k >= 2，我们确定mad（G）的一个精确界，使得V（G）可划分为集合I和F_k，其中I是一个独立集，G[F_k]是一个森林，其中每个分支至多有k个顶点.对于每个k，我们构造一个无限族的例子，表明我们的结果是最好的可能。我们的结果意味着每个围长至少为9的可平面图G（分别为1和2）都是可平面图. 8，7）有一个划分V（G）成一个独立集I和一个集F，使得G[F]是一个森林，其中每个分量的阶数至多为3（分别为）。4、6）。Henrik，Norin和Wood要求最大函数g（a，b）使得如果mad（G）< g（a，b）则V（G）有一个划分成集合A和B使得mad（G[A]）< a和mad（G[B]）< b。他们特别要求g（1，b）的值，即，当A是一个独立集时。以前，已知的唯一值是g（1，4/3）和g（1，2）。当4/3 < b < 2时，我们得到g（1，b）。
2021-05-27 math.CO
Internal partitions of $5$-regular and $8$-regular graphs
Center for Discrete Mathematics, Fuzhou University（福州大学离散数学中心）
本文证实了DeVos提出的关于r-正则图内部划分的问题，证明顶点数≥10^7的5-正则图和8-正则图均存在内部划分，补充了此前仅r∈{3,4,6}成立的结论。
2026-10-15 math.CO
Partitions of hypergraphs under variable degeneracy constraints
本文研究了超图划分为满足退化约束的导出子超图的问题。我们的超图可能有多条边，但没有循环。给定一个超图$H$和一个由$p\geq 1$顶点函数$f_i:V(H) \to \mathbb{N}_0$组成的序列$f=(f_1,f_2, \ldots, f_p)$，使得对所有的$v\in V(H)$都有$f_1(v)+f_2(v)+ \cdots + f_p(v)\geq d_H(v)$，我们想找到一个包含$H$的所有顶点的顶点不交诱导子超图序列$(H_1,H_2, \ldots, H_p)$，使得每个超图$H_i$都是严格$f_i$ -退化的，即对每个非空子超图$H'\subseteq H_i$都有一个顶点$v\in V(H')$，使得$d_{H'}(v)<f_i(v)$ .本文的主要结果是这样的超图序列存在当且仅当$(H,f)$不是所谓的硬对。硬对形成了一个递归定义的组态族，通过合并顶点的操作从三种基本类型的组态中获得。我们的主要结果有几个有趣的应用有关的广义超图着色问题。
2018-04-18 math.CO
Proof of a tournament partition conjecture and an application to 1-factors with prescribed cycle lengths
在1982年，Schlassen提出了一个问题：是否存在一个整数f（k，t）使得每个强f（k，t）-连通竞赛图T允许它的顶点集被划分为t个顶点类V_1，...，V_t使得对所有i，V_i在T上诱导的子竞赛图T[V_i]是强k-连通的。我们的主要结果意味着对这个问题的肯定回答。特别地，我们证明了f（k，t）= O（k^7t^4）就足够了。作为我们的主要结果的另一个应用，我们给一个肯定的回答宋的一个问题，是否，对于任何整数t，存在一个整数h（t），使每个强h（t）-连通竞赛有一个1-因子组成的t顶点不相交的周期的规定长度。我们证明了h（t）= O（t^5）就足够了。
2015-11-05 math.CO
Vertex Partitions and Maximum $\G$-free Subgraphs
我们定义了一个$(V_1, V_2, \ldots, V_k)$ -划分为一个给定的图$H$和图形属性$P_1, P_2, \ldots, P_k$作为一个分区，其中每个$V_i$诱导一个子图的$H$与属性$P_i$。Matamala（2007）扩展了这个结果，证明了对于任何具有$Δ(H)=p+q$的图$H$，存在$V(H)$的$(V_1, V_2)$ -划分，其中$H[V_1]$是最大阶$(p-1)$ -退化诱导子图，$H[V_2]$是$(q-1)$ -退化。另外，Catlin和Lai证明了如果$Δ(H)\geq 5$，$H$有$(V_1, V_2)$ -划分使得$H[V_1]$是最大阶无圈导出子图，$ω(H[V_2])\leq Δ(H)-2$，和$Δ(H[V_2])\leq Δ(H)-2$ . Rowshan和Taherkhani证明了给定一个图$G$，其最小度为$δ(G)$，并且对于$k=\lceil \frac{Δ(H)}{δ(G)}\rceil$，存在$H$的顶点集的$(V_1, V_2, \ldots, V_k)$ -划分，使得每个$H[V_i]$是$G$ -free的，这意味着它不包含与$G$同构的子图，并且$H[V_1]$是最大阶$G$ -free的导出子图.在本文中，我们提出了一个新的结果，连接图$H$与$Δ(H)\geq 5$和没有$K_{Δ(H)+1}\set…
2023-09-03 math.CO
Monochromatic cycle partitions of $r$-edge-coloured graphs with high minimum degree
London School of Economics and Political Science（伦敦政治经济学院）；Queen Mary University of London（伦敦玛丽女王大学）
该研究解决了高最小度数r边着色图的单色环覆盖问题，证明了所需单色环数量的上界，并推翻了关于单色树覆盖的猜想。
2026-01-29 math.CO
Edge Partitions of Optimal $2$-plane and $3$-plane Graphs
拓扑图是在平面上画出的图。一个拓扑图是$k$平面，$k>0$，如果每个边最多交叉$k$次.研究了对$k$ -平面图的边进行划分，使得每个分集构成一个结构更简单的图的问题。虽然这个问题已经研究了$k=1$，我们专注于最佳的$2$ -平面和$3$ -平面图，这是$2$ -平面和$3$ -平面图的最大密度。我们证明了以下结果。(i)这是不可能的分区的边缘的一个简单的最佳$2$ -平面图成一个$1$ -平面图和森林，而（ii）的边缘分区形成的$1$ -平面图和两个平面森林总是存在的，可以在线性时间计算。(iii)我们描述了有效的算法划分成一个简单的最佳$2$ -平面图的$1$ -平面图和平面图的最大顶点度$12$，或与最大顶点度$8$，如果最佳的$2$ -平面图是这样的，它的交叉自由的边缘形成一个图没有分离的三角形。(iv)我们给出了一个简单的最优$2$ -平面图的无限族，使得在由一个$1$ -平面图和一个平面图组成的任意边划分中，平面图的最大顶点度至少为$6$，$1$ -平面图的最大顶点度至少为$12$ . (v)我们证明了每一个最优的$3$ -平面图的交叉自由的边缘形成一个双连通图可以分解，在线性时间，到一个$2$ -平面图和两个平面森林。
2018-06-21 math.CO
Equitable partitions of regular graphs, and perfect sets in normal Cayley graphs
School of Mathematics and Statistics, University of St Andrews（圣安德鲁斯大学数学与统计学院）；School of Mathematics and Statistics, The University of Melbourne（墨尔本大学数学与统计学院）
本文研究了正则图的公平划分条件，并基于此推导了正常赛尔图中存在(a,b)-完美集的必要条件，涉及图的不可约特征标。
2026-05-17 math.CO
On restrained coalitions in graphs: bounds and exact values
本文研究了图中的受限联盟问题，证明了受限联盟数RC(G)不大于联盟数C(G)，并确定了环和树的受限联盟数。
2025-12-12 math.CO
On the $k$-partition dimension of graphs
作为图的划分维数概念的推广，本文引入了图的$k$ -划分维数的概念。给定一个非平凡连通图$G=(V,E)$，如果任何一对不同的顶点$u,v\in V$至少由$Π$的$k$顶点集区分，则称$V$的一个划分$Π$是$G$的$k$-划分生成器，\emph{i.e}，存在至少$k$顶点集$S_1,\ldots,S_k\inΠ$，使得对于每个$i\in\{1,\ldots,k\}$，都有$d(u,S_i)\ne d(v,S_i)$。在所有$k$ -分区生成器中具有最小基数的$G$的$k$ -分区生成器称为$G$的$k$ -分区基，其基数称为$G$的$k$ -分区维数。一个非平凡连通图$G$是$k$ -划分维的，如果$k$是使得$G$具有$k$ -划分基的最大整数.给出了图是$r$ -划分维数的一个充分必要条件，并得到了关于$k\in\{1,\ldots,r\}$的$k$ -划分维数的几个结果.
2018-09-16 math.CO
Crumby colorings -- red-blue vertex partition of subcubic graphs regarding a conjecture of Thomassen
Eschlassen提出了以下猜想：每个$3$ -连通三次图都有一个红-蓝顶点着色使得蓝色子图的最大度至多为$1$（即由一个匹配顶点和一些孤立顶点组成）且红色子图的最小度至少为$1$且不含$3$ -边路.由于这种着色中所有单色分量都很小且存在一定的不规则性，我们称这种着色为\emph{crumby}。最近，Bellitto，Klimošová，Merker，Witkowski和Yuditsky \cite{counter}构造了一个无穷族，反驳了上述猜想.它们的原型反例是$2$ -连通的平面的，但包含一个$K_4$ -子环和一个$5$ -环。这使得上述猜想对于一些重要的图类是开放的：外平面图，$K_4$ -minor-free图，二部图。在这方面，我们证明了$2$ -连通的外平面图，$K_4$的细分和$1$ -细分的三次图允许crumby染色。如果每条边至少被细分一次，则$G$的细分是{ \it真正的}。我们证明了任何亚三次图的每个真正的细分都允许crumby染色。我们稍微概括了其中的一些结果，并制定了一些approaches。
2022-12-08 math.CO
Monochromatic cycle partitions in 3-mean edge-colourings
Universitat Politècnica de Catalunya（加泰罗尼亚理工大学）；Centre de Recerca Matemàtica（数学研究中心）；Universidade de São Paulo（圣保罗大学）
针对Conlon与Stein提出的边着色完全图划分为有限个单色圈的问题，证明顶点关联颜色平均数至多为3时该命题成立，解决了r=3的首个公开情况。
2026-10-14 math.CO
Obstructions for partitioning into forests and outerplanar graphs
对于一类图$\mathcal C$，我们定义图$G$的$\mathcal C$ -边脆度为最小$\ell$，使得$G$的顶点集可以被划分为若干个集合，从而在$\mathcal C$中产生一个子图，并且有$\ell$边在不同的部分具有端点.我们刻画类图有界$\mathcal C$ -边脆性一类$\mathcal C$的森林或一类$\mathcal C$的图没有$K_4\setminus e$拓扑未成年人的禁止障碍。我们还定义了图$G$的$\mathcal C$ -顶点脆性为最小$\ell$，使得$G$的边集可以被划分成若干个集合，从而在$\mathcal C$中产生一个子图，并且在不同的部分中有$\ell$顶点与边关联。我们刻画了一类图具有有界的$\mathcal C$ -点脆性的一类$\mathcal C$森林或一类$\mathcal C$的外平面图的禁止障碍。我们还研究了新的参数和编辑距离之间的关系。
2020-11-04 math.CO
Almost all friendly matrices have many obstructions
从$\{0,1,\ast\}$中提取元素的对称$m\times m$矩阵$M$引起图划分问题，询问图是否可以被划分为与行匹配的$m$顶点集（和对应的列），使得如果$M$，则对应顶点集之间的任何两个顶点通过边连接，如果是$M_{ij}=0$，则对应顶点集之间的任何两个顶点都没有边连接。条目$\ast$对相应集合之间的边没有限制。这个问题推广了图的着色和图的同态问题。没有$M$ -划分但每个真子图都有$M$ -划分的图称为最小障碍图。Feder、Hell和Xie定义了友好矩阵，并证明了非友好矩阵有无穷多个极小障碍。他们通过例子证明了友好矩阵可以有无穷多个或无穷多个最小障碍，并给出了一个友好矩阵的NP-难划分问题的例子。在这里，我们表明，几乎所有的友好矩阵有无穷多个最小障碍和NP-难划分问题。
2014-12-15 math.CO
Partitions of graphs into small and large sets
设$G$是$n$顶点上的图。我们称顶点集$V(G)$的子集$A$为\emph{$k$-small}，如果对于每个顶点$v \in A$，$°(v) \le n - |A| + k$。子集$B \subseteq V(G)$称为\emph{$k$-large}，如果对于每个顶点$u \in B$，$°(u) \ge |B| - k - 1$。此外，我们用$φ_k(G)$表示最小整数$t$，使得存在$V(G)$到$t$ $k$ -小集合的划分，并且用$Ω_k(G)$表示最小整数$t$，使得存在$V(G)$到$t$ $k$ -大集合的划分。本文证明了图的$k$ -小集、$k$ -大集与图的$k$ -独立数、团数和色数之间的紧密联系。我们将开发贪婪算法在线性时间内计算$φ_k(G)$和$Ω_k(G)$，并证明关于这些参数的各种尖锐的不等式，我们将使用这些不等式来获得Caro-Wei定理，Turán定理和Hansen-Zheng定理等的改进。
2012-05-08 math.CO
The higher spin generalization of the 6-vertex model with domain wall boundary conditions and Macdonald polynomials
Izergin给出了具有畴壁边界条件的六顶点模型的分拆函数的行列式形式。已知对于交叉参数的特定值，分拆函数简化为Schur多项式。Caradoc、Foda和Kitanine计算了6顶点模型的更高自旋推广的分拆函数。在目前的工作中，它示出，对于一个特殊的值的交叉参数，被称为组合点，分拆函数减少到麦克唐纳多项式。
2014-02-18 math-ph math.CO math.MP
Coalition graphs of connected domination partitions in subcubic graphs
该研究针对次立方图的连通联盟划分问题，定义了连通联盟及联盟图的概念，完整刻画了所有次立方图对应的联盟图结构，为图论中连通支配与联盟结构研究提供了新的分类结果。
2025-09-04 math.CO
Counting Connected Set Partitions of Graphs
设$G=(V,E)$是一个顶点数为$n$的简单无向图，如果$G=(V,E)$的块$V_j$诱导的每个子图$G[V_j]$对于$1\le j\le k$是连通的，则$G$的顶点集的集划分$π=\{V_1, ..., V_k\}$是连通集划分.将$q_{i}(G)$定义为具有$i$块的$G$中的连通集分区的数量。则划分多项式是$Q(G, x)=\sum_{i=0}^n q_{i}(G)x^i$。本文给出了$G$中分离顶点集$X$上的分划多项式的分裂方法，并总结了键格的一些性质。此外，简要讨论了二元分割多项式$Q(G,x,y)=\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^m q_{ij}(G)x^iy^j$，其中$q_{ij}(G)$计算具有$i$块和$j$块内边缘的连通集分割的数量。最后证明了二元划分多项式的复杂性是$\sharp P$ -困难的。
2010-05-17 math.CO
Monochromatic cycle partitions in random graphs
Erds，Gyárfás和Pyber证明了每个$r$ -边着色完全图$K_n$都能被$25 r^2 \log r$顶点不相交的单色圈覆盖（独立于$n$）.在这里，我们将他们的结果推广到二项随机图的设置。也就是说，我们表明，如果$p = p(n) = Ω(n^{-1/(2r)})$，那么具有高概率的任何$r$ -边缘着色的$G(n,p)$可以覆盖最多$1000 r^4 \log r $顶点不相交的单色循环。这回答了Korandi、Mousset、Nenadov、Škorić和Sudakov的一个问题。
2020-08-05 math.CO
Partitioning the projective plane to two incidence-rich parts
受高围长图内部划分存在性证明启发，本文为射影平面关联图的内部划分提供了构造性证明，探讨了其几何性质，并精确计算了平方阶Desarguesian平面关联图中各类邻居集大小的最大差异。
2024-04-24 math.CO
Algorithmic study on $2$-transitivity of graphs
本研究聚焦图的$2$-传递性问题，定义$2$-传递划分概念，证明该问题的判定版本在弦图与二部图上是NP完全的，并针对树、分裂图和二部链图设计了三种线性时间求解算法。
2023-10-06 math.CO
Refined Cauchy/Littlewood identities and six-vertex model partition functions: II. Proofs and new conjectures
我们证明了Hall-Littlewood多项式的两个身份，最近出现在一份文件中的两个作者。我们还猜想，并在某些情况下证明，新的身份，涉及无限的对称多项式和分拆函数与对称类交替符号矩阵。这些恒等式通过引入额外的参数推广了我们在先前的论文中已经发现的恒等式。我们每个恒等式的左边是一个相关柯西或利特尔伍德恒等式的简单精化。每个单位元的右手边是相关域上六顶点模型的分拆函数（存在的两个因素之一）。
2014-05-27 math-ph math.CO math.MP
