A note on vertex partitions
Landon Rabern
证明了一个关于图的顶点集划分为有界度子图的一般引理。这个引理推广了Lovász，Catlin，Kostochka和Rabern的一系列结果。
We prove a general lemma about partitioning the vertex set of a graph into subgraphs of bounded degree. This lemma extends a sequence of results of Lovász, Catlin, Kostochka and Rabern.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Vertex Partitions of Chordal Graphs
\emph{$k$-tree}是一个没有$(k+2)$团的弦图。图$G$的一个\emph{$\ell$-tree-partition}是$G$的一个顶点划分成“袋”，这样每个袋收缩到一个单一的顶点给出了一个$\ell$ -树（在删除循环和用一个单一的边替换平行的边之后）。我们证明了对所有的$k\geq\ell\geq0$，每个$k$树都有一个$\ell$树划分，其中每个包都诱导出一个连通的$\floor{k/(\ell+1)}$树.对于有向$k$ -树也证明了类似的结果。
The Existence of Graph whose Vertex Set Can be Partitioned into a Fixed Number of Domination Strong Critical Vertex-sets
设$γ(G)$表示图$G$的控制数。如果$γ(G-v)=γ(G)-1$，则顶点$v\in V(G)$称为$G$的\emph{critical vertex}。一个图称为\emph{vertex-critical}，如果它的每个顶点是临界的。本文相应地引入了两个这样的定义：（i）一个集合$S\subseteq V(G)$称为$G$的一个\emph{strong critical vertex-set}，如果$γ(G-S)=γ(G)-|S|$ ;（ii）一个图$G$称为\emph{strong $l$-vertex-sets-critical}，如果$V(G)$可划分为$G$的$l$强临界点集.在此基础上，我们推广了点临界图的已有结果，给出了强$l$ -点集临界图的一些性质。作为核心工作，我们研究了这类图的存在性，得到了存在强$l$ -顶点集临界连通图当且仅当$l\notin\{2,3,5\}$。
A note on enumerating colored integer partitions
在这篇短文中，我们给出了着色整数分拆的基本计数结果。
On the Activities and Partitions of the Vertex Subsets of Graphs
Crapo提出了一种构造具有拟阵结构的集合的布尔格的区间划分的方法。这种建设，在图形拟阵的背景下，是有关的概念，介绍了Tutte的边活动。这意味着连通图的每个生成子图可以通过删除内部活动边的唯一子集并添加外部活动边的唯一子集来从恰好一个生成树的边构造。由于顶点独立集族不产生拟阵结构，所以当使用独立集族作为生成集时，我们不能在顶点集上应用Crapo构造。本文引入顶点活动的概念来解决顶点集的布尔格的区间划分问题。我们展示了如何生成一个覆盖，提出了一些特殊的极大独立集的顶点活动相关的性质，并考虑了一些特殊的图。最后，我们将证明在修剪图的水平标号总是产生一个分区。
Nullspace Vertex Partition in Graphs
图的核点集是图的不变量。它由与$\{0,1\}$ -邻接矩阵的零空间向量的非零项相关联的那些顶点组成。图的其余顶点形成核心-禁止顶点集。对于具有独立核顶点的图，如二部极小构型和树，零空间诱导出一个定义良好的三部顶点划分。这个划分的部分是核心顶点集，它们的邻居和远程核心-禁止顶点。远核禁止顶点的集合是那些不与任何核顶点相邻的顶点。我们表明，这一套可以删除，保持零不变。我们证明了对于具有独立核点的图，定义与核点关联的边的邻接矩阵的子矩阵决定了邻接矩阵的零性。为了最大化具有指定零度的最优网络图的边数，我们确定哪些扰动构成图的邻接矩阵的核心顶点集在添加边时保持不变的充分条件。
Cores of Vertex Transitive Graphs
图X的一个核是一个顶点极小子图，X允许一个同态到它。Hahn和Tardif证明了对于顶点传递图，核心的大小必须除以图的大小。这激发了下面的问题：什么时候可以顶点传递图的顶点集被划分成集，每一个诱导其核心的副本？我们表明，正常的凯莱图和顶点传递图的核心一半的大小总是承认这样的分区。我们还表明，顶点传递图的顶点集的核心小于一半的大小不，在一般情况下，有这样的分区。
A note on "Extremal graphs with bounded vertex bipartiteness number"
本文给出了\cite{MK} Maria R.定理的两个反例，凯瑟琳·T M.，贝尔纳多·S M.，有界顶点二分数的极值图，线性代数应用493（2016）28-36。并给出了修正定理和证明。
Vertex-partitions of 2-edge-colored graphs
针对2边着色图的顶点划分问题，受有向图多数着色启发，提出$k$-多数划分概念，证明其存在4-多数划分、判定3-多数划分是NP完全问题，并给出存在平衡3-多数划分的图的度条件。
Vertex partition of hypergraphs and maximum degenerate subhypergraphs
Matamala在2007年证明了如果$G$是一个简单图，其最大度$Δ\geq 3$不包含$K_{Δ+1}$作为子图，并且$s, t$是正整数使得$s+t \geq Δ$，然后$G$的顶点集允许一个划分$(S,T)$使得$G[S]$是最大阶$(s-1)$-$G$和$G[T]$的退化子图是$G$的$(t-1)$ -退化子图。这个结果推广了Borodin，Bollobás和Manvel，Catlin，Gerencsér和Catlin和Lai的早期结果。在本文中，我们证明了一个超图版本的结果，并将其扩展到变量退化和分区成两个以上的部分，从而扩展了结果Borodin，Kostochka和托夫特。
A note on the minimum reduced reciprocal Randić index of n-vertex unicyclic graphs
在所有顶点数固定的单圈图类中，刻画了具有最小既约反Randić指数的图.
Asymptotically Almost Every $2r$-regular Graph has an Internal Partition
图的内部划分是将顶点集划分为两部分，使得对于每个顶点，至少有一半的邻居在其一侧。证明了对每一个正整数$r$，几乎每一个$2r$ -正则图都渐近地有一个内部划分.
A note on coloring vertex-transitive graphs
利用图的团数$ω$和最大度$Δ$证明了点传递图的色数$χ$的界.我们猜想每个点传递图都满足$χ\le \max \left\{ω, \left\lceil\frac{5Δ+ 3}{6}\right\rceil\right\}$，并证明了支持这个猜想的结果。最后，对于具有$Δ\ge 13$的点传递图，我们证明了Borodin-Kostochka猜想，即，$χ\le\max\{ω,Δ-1\}$。
A note on plane partition diamonds
本文证明了平面分拆钻石计数函数及其多项式部分的新公式，该函数表示长度为k的n的平面分拆钻石数量。
Notes for Neighborly Partitions
本文借助带模 3 条件的容许邻接分拆证明首个 Rogers-Ramanujan 恒等式，完成 Mohsen 与 Mourtada 提出的计划。
A note on acyclic vertex-colorings
证明了具有最大度$Δ$的图的无圈色数小于$2.835Δ^{4/3}+Δ$ .这改进了以前的上界，即$50Δ^{4/3}$。为此，我们从Alon，McDiarmid和Reed以及Esperet和Parreau的作品中汲取灵感。
Characterizing partition functions of the vertex model
我们刻画了在特征为0的代数闭域上顶点模型的分拆函数（在de la Harpe和Jones的意义上）。此外，我们还刻画了当顶点模型可以采取，使其矩矩阵有有限秩。
On the partition dimension of unicyclic graphs
给定连通图$G=(V,E)$的顶点集$V$的有序划分$Π=\{P_1,P_2, ...,P_t\}$，顶点$v\in V$相对于划分$Π$的\emph{partition representation}是向量$r(v|Π)=(d(v,P_1),d(v,P_2),...,d(v,P_t))$，其中$d(v,P_i)$表示顶点$v$和集合$P_i$之间的距离。如果$V$的不同顶点具有不同的分区表示，则$V$的分区$Π$是\emph{resolving partition}，即，对于每对顶点$u,v\in V$，$r(u|Π)\ne r(v|Π)$。$G$的\emph{partition dimension}是$G$的任何解析分区中的最小集合数。本文得到了单圈图的划分维数的几个紧界。
Monochromatic cycle partitions in local edge colourings
一个图的边着色称为$r$ -局部着色，如果与任意顶点关联的边至多被$r$着色.推广了Bessy和Pastassé的一个结果，证明了任何$2$ -局部着色完全图的顶点集都可以划分为两个不相交的不同颜色的单色圈.此外，对任意自然数$r$，我们证明了任意$r$ -局部着色完全图的顶点集都可以划分为$O(r^2 \log r)$不相交的单色圈.这推广了Erdás，Gyárfás和Pyber的一个结果。
A note on internal partitions: the $5$-regular case and beyond
图的内部划分或友好划分是将顶点集划分为两个非空集合，使得每个顶点在自己的类中的邻居至少与另一个类中的邻居一样多。本文证明了除有许多反例外，每一个3、4或6-正则图都有一个内部划分。本文主要讨论了$5$ -正则的情形，证明了在最小度至少为$3$的子图中，存在一些交小的图.我们还讨论了某些Cayley图族的内部划分的存在性，特别是我们确定了所有不具有内部划分的$5$ -正则Abel Cayley图.
Vertex-partitioning into fixed additive induced-hereditary properties is NP-hard
图$G$的顶点能被划分成$A \cup B$，使得$G[A]$是线图，$G[B]$是森林吗？$G$能被划分为平面图和完美图吗？这些问题的NP-完全性只是我们结果的特殊情况：如果${\cal P}$和${\cal Q}$是加性诱导遗传图性质，则$({\cal P}, {\cal Q})$ -着色是NP-难的，唯一的例外是图2-着色（$\cal P$和$\cal Q$都是有限无边图的集合${\cal O}$的情况）。此外，$({\cal P}, {\cal Q})$ -着色是NP完全的当且仅当${\cal P}$ -和${\cal Q}$ -识别都是NP.这证明了Kratochv 'ıl和Schiermeyer的一个猜想。
A note-question on partitions of semigroups
给定半群$S$和$S$的$n$ -划分$\mathcal{P}$，$n\in \mathbb{N}$，是否存在$A\in \mathcal{P}$和$S$的子集$F$使得$S=F ^{-1} \{x \in S: x A \bigcap A\neq\emptyset\}$和$|F |\leq n$？只要$S$是有限的或$n=2$是有限的，我们就给出肯定的回答.
On the partition dimension of trees
给定连通图$G=(V,E)$的顶点集$V$的有序划分$Π=\{P_1,P_2, ...,P_t\}$，顶点$v\in V$相对于划分$Π$的\emph{partition representation}是向量$r(v|Π)=(d(v,P_1),d(v,P_2),...,d(v,P_t))$，其中$d(v,P_i)$表示顶点$v$和集合$P_i$之间的距离。如果$G$的不同顶点具有不同的分区表示，则$V$的分区$Π$是$G$的\emph{resolving partition}，即，对于每对顶点$u,v\in V$，$r(u|Π)\ne r(v|Π)$。$G$的\emph{partition dimension}是$G$的任何分解分区中的最小集合数。本文给出了树的划分维数的几个紧界。
A Polynomial Time Algorithm for Vertex Enumeration and Optimization over Shaped Partition Polytopes
我们考虑{ \em Shaped Partition Problem}，将实$k$ -空间中给定的$n$划分为$p$部分，以最大化一个任意目标函数，该目标函数对每个部分中的向量之和是凸的，且每个部分中的元素个数受到任意约束.为了解决这个问题，我们研究了{ \em Shaped Partition Polytope}作为解的凸包。成形分割问题捕获了${\cal N}{\cal P}$ -困难问题，例如最大割问题和旅行商问题，并且成形分割多面体可以具有指数级多个顶点和面，即使当$k$或$p$是固定的。与此相反，我们表明，当$k$和$p$是固定的，在$n$的顶点数是多项式，所有的顶点可以枚举和优化问题解决的强多项式时间。解释，我们表明，任何形状的分区多面体有$O(n^{k{p\choose 2}})$顶点，可以列举在$O(n^{k^2p^3})$算术运算，任何形状的分区问题是可解的$O(n^{kp^2})$算术运算。
Component order edge connectivity, vertex degrees, and integer partitions
针对NP难的图的k-分量阶边连通度求解问题，研究推导了顶点度条件以给出该连通度的下界，分析了不同下界值的条件生成复杂度，并证明了相关整数分拆结果。
On Hamiltonians for six-vertex models
在本文中，我们解释了一个家庭的自由费米六顶点模型和一个离散时间演化算子的一维费米Fock空间之间的联系。冰模型的家庭推广与畴壁边界，我们专注于两套玻尔兹曼权重的分拆函数以前被证明是广义的生成函数的身份德山。我们产生相关的哈密顿恢复这些玻尔兹曼权重，并进一步计算的分拆函数使用交换关系和初等组合学。我们给出了这些分拆函数作为行列式的表达式，类似于舒尔多项式的雅可比-特鲁迪恒等式。
Partitioning planar graphs without 4-cycles and 6-cycles into a forest and a disjoint union of paths
本文证明了不含$4$ -圈和$6$ -圈的可平面图的顶点集可划分为两个集合，其中一个集合导出森林，另一个集合导出最大度至多为$2$的森林（等价于路的不交并）.注意，我们可以将森林的顶点集划分为两个独立的集合。然而，一对独立的集合组合可能不会导致森林。因此，我们的结果推广了Wang和Xu（2013）的结果，即不含$4$ -圈和$6$ -圈的可平面图的顶点集可以划分为三个集合，其中一个集合导出最大度为2的图，其余两个是独立的集合.
A note on 2-distant noncrossing partitions and weighted Motzkin paths
我们证明了Drake和Kim的一个猜想：$\{1,2,...,n\}$的$2$ -远距离非交叉划分的个数等于长度为$n$的Motzkin路的权之和，其中Motzkin路的权是包含斐波那契数的某些分数的乘积.我们给出了猜想的两种证明：一种是利用连分数，另一种是组合证明。
A Note on the Inducibility of 4-vertex Graphs
最近有很多兴趣在了解密度在恒定大小的图可以出现在一个非常大的图。具体地说，图H的诱导密度是它的极值密度，作为G的诱导子图，其中|G| ->无穷大。对于4顶点图，许多问题仍然是开放的。因此，在Exoo（1986）的一个结构中解决了4-路径的诱导，但仍然未知。在反驳Erdos的一个猜想后，Kesarason（1997）构造了一个4-团和4-反团密度都很小的图。在本说明中，我们合并这两种方法，并为这两个问题构建更好的图。
Switch Operators for the Six-Vertex Model
在本文中，我们介绍和分析了一个新的开关算子的六顶点模型。这个算子，来自杨-巴克斯特方程，使我们能够表示的分拆函数与任意边界的基本情况下，与畴壁边界条件。作为应用，我们得到了阶乘Schur函数及其推广的显式公式。我们的结果提供了新的见解之间的关系边界条件和分拆函数的六顶点模型。
A note on graph compositions and their connection to minimax of set partitions
图的合成是顶点集的一个划分，使得该划分的每个成员导出一个连通子图，图的合成数是可能的图合成的个数。一个连续标号顶点集S的一个划分被称为在S中有一个极小极大顶点v，如果v的标号是划分的所有成员上的所有最大标号的集合中的最小标号。本文给出了一类图的合成数的递推公式，并建立了这类图的合成数与标号集（划分的每个成员上的所有最大标号的集合的最小标号）的划分的极大极小的合成数之间的联系。
A note on the number of plane partitions and $r$-component multipartitions of $n$
该研究采用初等方法，推导得出n的各类平面分拆（普通、至多r行、严格、对称）及r分量多分拆的计数新公式。
A note on vertex-critical induced subgraphs of shift graphs
本文研究了移位图中顶点临界诱导子图的性质，发现每个k色移位图包含唯一的k-顶点临界子图，并给出了其显式描述。
Clique-partitioned graphs
$nv$阶的图$G$，其中$n\geq 2$和$v\geq 2$被称为弱$(n,v)$ -团划分的，如果其顶点集可以以唯一的方式分解为$n$顶点不相交的$v$ -团。它是强$(n,v)$ -团划分的，如果另外，$G$的唯一$v$ -团是分解中的$n$团。我们确定这样的图的结构，具有最大可能的边数。
Vertex partitions of $(C_3,C_4,C_6)$-free planar graphs
一个图是$(k_1,k_2)$ -可着色的，如果它的顶点集可以划分为一个最大度至多为$k_1$的图和一个最大度至多为$k_2$的图.证明了每个无$(C_3,C_4,C_6)$的平面图都是$(0,6)$ -可着色的.我们还证明了判定一个无$(C_3,C_4,C_6)$的平面图是否是$(0,3)$ -可着色的是NP-完全的。
Chordal bipartite graphs, biclique vertex partitions and Castelnuovo-Mumford regularity of $1$-subdivision graphs
本文研究1-细分图的正则性与双团顶点划分数之间的关系，证明了一般图的下界不等式，并针对弦二部图建立了等式，同时刻画了其独立复形的同伦类型。
Monochromatic cycle partitions of $2$-coloured graphs with minimum degree $3n/4$
Balogh、Barát、Gerbner、Gyárfás和Sárközy提出了以下猜想。设$G$是$n$顶点上的图，其最小度至少为$3n/4$ .然后，对于$G$的每个$2$ -边着色，顶点集$V(G)$可以被划分成两个顶点不相交的循环，每个颜色一个。我们证明，这个猜想持有$n$足够大，改善上述作者和DeBiasio和Nelsen的近似结果。
Internal Partitions of Regular Graphs
$n$ -顶点图$G=(V,E)$的内部划分是$V$的一个划分，使得每个顶点在其自己的部分中具有至少与在其他部分中一样多的邻居。证明了每一个顶点为$n>N(d)$的$d$ -正则图都有一个内部划分.在这里，我们证明了$d=6$。$d=n-4$的情况下是特别感兴趣的，并导致有趣的新的三次图上的开放问题。我们还提供了新的下界$N(d)$，并找到新的家庭的图没有内部分区。这些问题的加权版本被认为是以及。
Colored Vertex Models and Interacting Reverse Plane Partitions
该研究通过引入局域相互作用分析同形状反向平面分拆对的耦合，证明其与Yang-Baxter可积有色顶点模型的双射关系，借助Yang-Baxter方程算出对应生成函数，并给出零相互作用强度下耦合分拆对与单个同形状分拆的双射。
Characterizing Block Graphs in Terms of their Vertex-Induced Partitions
给定一个具有点集$V$和边集$E\subseteq \binom{V}{2}$的有限连通简单图$G=(V,E)$，我们将证明$1.$具有顶点集$V$（其边集包含$E$）的（必然唯一的）最小块图由集合$V$的各个分区$π_0(G^{(v)})$到图$G^{(v)}:=(V,\{e\in E: v\notin e\})$的连通分量的集合中的$V$索引族${\bf P}_G:=\big(π_0(G^{(v)})\big)_{v \in V}$唯一地确定，- $2.$，该框图的边集与$V$的所有$2$子集$\{u,v\}$的集合一致，对于所有$w\in V-\{u,v\}$，$u$和$v$包含在$G^{(w)}$的相同连通分量中，$3.$和任意的$V$ -集合$V$的分区$π_v$的索引族${\bf P}p=({\bf p}_v)_{v \in V}$对于具有如上顶点集合$V$的某个连通简单图$G=(V,E)$具有${\bf P}p={\bf P}p_G$的形式当且仅当，对于任何两个不同的元素$u,v\in V$，${\bf p}_v$中包含$u$的集合和${\bf p}_u$中包含$v$的集合的并集与集合$V$一致，并且$\{v\}\in {\bf p}_v$对所有$v \in V$成立。除了对块图理论有内在的兴趣之外，这些事实在分析有限度量空间的相容分解和块实现中也是有用的。
Partitioning the vertex set of $G$ to make $G\,\Box\, H$ an efficient open domination graph
本文刻画了当 $H$ 为完全图（阶数≥3）或完全二部图时，笛卡尔积 $G\Box H$ 为高效开支配图的图 $G$，基于弱划分给出构造性刻画，并推广至 $H$ 为 4-圈或 5-圈的情形。
$λ$-Core Distance Partitions
图的$λ$ -核顶点对应于图的泛邻接矩阵$\mathbf{U}$的$λ$的某个特征向量的非零项。我们定义了一个分区的顶点集$V$的基础上的$λ$ -核心顶点集和它的邻居在一个距离$r$，并给出了一些结果有关的图的结构，这个分区。对于这样的划分，我们还定义了一个熵测度的信息内容的图，相关的每一个不同的特征值$λ$的$\mathbf{U}$，并讨论其性质和潜在的应用。
A note on concurrent graph sharing games
在并发图共享游戏中，两个参与者，称为第一和第二，共享具有正顶点权重的连通图的顶点，其总和为$1$，如下所示。游戏开始时，首先取任意顶点。在每一个进行的回合中，迄今为止具有较小的所收集的权重和的玩家选择与已经被占用的顶点相邻的未被占用的顶点，即，所有被取顶点的集合保持连接，并且在每一轮中取一个新顶点。(It假设没有两个顶点子集具有相同的权重和。）我们可以想象玩家在选择下一个顶点之前，在与其权重成比例的时间内消耗其占用的顶点。在本说明中，我们表明，第一有一个策略，以保证顶点的重量至少$1/3$，无论图和它是如何加权。当图是一个循环时，这已经是最好的可能了。此外，如果图是一棵树，首先可以保证顶点的重量至少$1/2$，这显然是最好的可能。
The Six-Vertex Model with a Non-Standard Boundary Condition
针对边界条件由整数分拆确定的Brubaker-Bump-Friedberg六顶点模型，研究发现态数是分拆最大部分的多项式，并借此完整计数了钩形与阶梯形的态。
Notes on the connectivity of Cayley coset digraphs
将Hamidoune关于分层Cayley有向图的连通性结果推广到Cayley陪集有向图，从而推广到任意点传递有向图。证明了如果Cayley陪集有向图可以按某种方式分层分解，则它是最优点连通的。结果是通过扩展Hamidoune使用的方法得到的。它们用来证明圈前缀图是最优点连通的。这意味着圈前缀图具有良好的容错特性。
Limited packings: related vertex partitions and duality issues
本文研究了图的最小 $k$-有限包装划分问题，给出了树中该参数的精确值与一般图的界限，解决了1998年提出的相关对偶开放问题，并证明计算总有限包装数是 NP-hard 的。
Factorization of rational six vertex model partition functions
本文证明了一类有理六顶点模型配分函数的因子化公式，结合广义域壁边界配分函数导出了梯形边界下的因子化公式，并讨论了其在真空形成概率中的应用。
Decomposing the vertex set of a hypercube into isomorphic subgraphs
设$G$是超立方体$Q_k$的导出子图，其中有$k$ .证明了如果$|G|$是$2$的幂，那么对于足够大的$n$，$Q_n$的顶点集可以被划分为$G$的诱导拷贝.这回答了Offner的一个问题。事实上，我们证明了一个更强的声明：如果$X$是一个子集的$\{0,1\}^k$的一些$k$，如果$|X|$是一个权力的$2$，然后，足够大的$n$，$\{0,1\}^n$可以被分割成等距副本的$X$。
Partitioning 2-edge-colored graphs by monochromatic paths and cycles
给出了$2$ -边-有色图的顶点划分为单色路和圈的结果.我们渐近地证明了Sárközy猜想的双色情形：每个$2$ -边着色图的顶点集最多可划分为$2α(G)$单色圈，其中$α(G)$表示$G$的独立数.另一个方向，最近出现的一个猜想Schelp，是考虑着色的图与给定的最低程度。证明了除$o(|V(G)|)$顶点外，任何最小度至少为$(1+\eps){3|V(G)|\over 4}$的$2$ -边着色图$G$的顶点集都能被两个顶点不相交的不同颜色单色圈的顶点所覆盖.最后，在假设$\overline{G}$不包含固定二部图$H$的条件下，证明了在$G$的每一个$2$ -边染色中，$|V(G)|-c(H)$顶点可以被两条不同颜色的顶点不相交路覆盖，其中$c(H)$是一个只依赖于$H$的常数.特别是，我们证明了$c(C_4)=1$，这是最好的可能。
Partition of graphs with maximum degree ratio
给定一个图$G$及其顶点集的一个非平凡划分$(V_1,V_2)$，一个顶点$v\in V_i$的满意度是它在$V_i$中的闭邻域的大小与它在$G$中的闭邻域的大小之比.所有顶点上的最差比率定义了分区的质量。我们定义$q(G)$为一个图的度比，它是所有非平凡划分上的最差度比的最大值。给出了某些图类的$q(G)$的界和精确值。我们还展示了一些相关的优化或判定问题的复杂性结果。
Partitioning the hypercube into smaller hypercubes
本文研究了如何将超立方体划分为更小的超立方体，并证明了相关方式数的渐进行为与完美匹配数的关系。
Partitioning orthogonal polygons into at most 8-vertex pieces, with application to an art gallery theorem
证明了$n$顶点的单连通正交多边形都可以划分为至多8个顶点的$\left\lfloor\frac{3 n +4}{16}\right\rfloor$（单连通）正交多边形.给出了A. Aggarwal的$\left\lfloor\frac{3 n +4}{16}\right\rfloor$移动警卫足以控制内部的$n$顶点正交多边形。此外，我们加强了这一结果，要求组合警卫（能见度只需要在巡逻的端点），并禁止交叉巡逻。这对O'Rourke的两个问题给出了肯定的答案。我们的结果也是“元定理”的一个进一步的例子，（正交）画廊定理是基于分割定理。
The higher spin generalization of the 6-vertex model with domain wall boundary conditions and Macdonald polynomials
Izergin给出了具有畴壁边界条件的六顶点模型的分拆函数的行列式形式。已知对于交叉参数的特定值，分拆函数简化为Schur多项式。Caradoc、Foda和Kitanine计算了6顶点模型的更高自旋推广的分拆函数。在目前的工作中，它示出，对于一个特殊的值的交叉参数，被称为组合点，分拆函数减少到麦克唐纳多项式。
Refined Cauchy/Littlewood identities and six-vertex model partition functions: II. Proofs and new conjectures
我们证明了Hall-Littlewood多项式的两个身份，最近出现在一份文件中的两个作者。我们还猜想，并在某些情况下证明，新的身份，涉及无限的对称多项式和分拆函数与对称类交替符号矩阵。这些恒等式通过引入额外的参数推广了我们在先前的论文中已经发现的恒等式。我们每个恒等式的左边是一个相关柯西或利特尔伍德恒等式的简单精化。每个单位元的右手边是相关域上六顶点模型的分拆函数（存在的两个因素之一）。
The $n$-Point Function of $t$-Core Partitions and Topological Vertex
本文研究$t$-核心分区的$n$-点函数，利用拓扑顶点工具，引入$q$-变形的$n$-点函数，推导出$t$-核心分区的闭式公式，并证明相关关联函数为拟模形式。
A note on 2-vertex-connected orientations
我们考虑两个可能的扩展的一个定理的特征图承认一个2-顶点连通的方向。首先，我们证明了判定一个混合图是否具有2-点连通方向的问题是NP-困难的。这回答了Bang-Jensen、Huang和Zhu的一个问题。对于第二部分，我们称有向图$D=(V,A)$为$T \subseteq V$-连通的，如果$D$是2-弧连通的，并且$v \in T$是强连通的。本文从图的基本定理出发，给出了允许$2T$ -连通定向的图的一个刻划.
A Note on a Nearly Uniform Partition into Common Independent Sets of Two Matroids
本说明是对K. Takazawa和Y. Yokoi（A generalized-polymatoid approach to disjoint common independent sets in two matroids，Discrete Mathematics（2019））.对于给定的$E$上的两个拟阵，在与他们论文中相同的假设下，保证存在$E$到两个拟阵的$k$公共独立集的划分，我们证明了存在$E$到$k$公共独立集的几乎一致的划分$\mathcal{P}$，其中$\mathcal{P}$中任何两个集合的基数之差最多为1。
Note on partitions into polynomials with number of parts in an arithmetic progression
设$f: \mathbb{Z}_+\rightarrow \mathbb{Z}_+$是一个多项式，其性质是对应于每个素数$p$，存在一个整数$\ell$使得$p\nmid f(\ell)$。本文建立了整数$n$的部分取自序列$\{f(\ell)\}_{\ell=1}^{\infty}$的分拆数与这些分拆在某个等差数列中的部分数之间的等分布结果。
On the path partition number of 6-regular graphs
图$G$的路径划分（也称为线性森林）是一组顶点不相交的路径，它们一起包含$G$的所有顶点。在这种情况下，孤立顶点被视为路径。路划分猜想指出，每个$n$ -顶点$d$ -正则图都有一个至多包含$\frac{n}{d+1}$路的路划分.对所有的$d<6$都证明了该猜想。证明了对$d=6$的猜想.
Note on a partition limit theorem for rank and crank
如果L是n的一个划分，则L的秩是最大部分的大小减去部分的数量。Bringmann，Mahlburg和Rhoades证明了在均匀分布下，秩统计量具有极限分布。我们将极限定义为两个独立的极值分布之差和B（T）的分布，其中B（t）是标准布朗运动，T是独立的三维布朗运动第一次撞击单位球.同样的限制也适用于曲柄。
Vertex arboricity of cographs
荫度是一个类似于色数的图参数，它试图将顶点划分为最小数量的稀疏子图。其中对于色数，我们将顶点划分为独立的集合，对于荫度，我们希望将顶点划分为无环子集（即，森林）。荫度一般是NP-难的，我们的重点是上图的荫度。对于荫度2，我们得到了最小余图障碍的完整列表。这些最小障碍确实推广到更高的荫度;然而，我们不再有一个完整的列表，事实上，最小余图障碍的数量随着荫度呈指数增长。我们得到了他们的大小和他们的cotrees的高度的界限。更一般地，我们考虑以下常见的着色和划分到森林中的一般化：给定非负整数$p$和$q$，我们询问给定的上图$G$是否允许顶点划分到$p$森林和$q$独立集。本文给出了求解该问题的多项式时间动态规划算法。实际上，该算法解决了一个更一般的问题，该问题还包括寻找最大$q$ -列子图、荫度最大子图- $p$、最小顶点反馈集和$q$ -列顶点反馈集的最小$q$等问题。
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