Corrigendum to "On subgroup perfect codes in Cayley graphs" [European J. Combin. 91 (2021) 103228]
本文对文[On subgroup perfect codes in Cayley graphs，European J. Combin. 91（2021）103228]。给出了这些定理的证明和另外三个结果。
2022-01-20 math.CO
(Total) Perfect codes in (extended) subgroup sum graphs
本文研究了(扩展)子群和图中(全)完美码的存在性问题，给出了正规子群满足该性质的充要条件，分类了 code-perfect Dedekind 群，并确定了循环群、二面体群、双循环群及交换群的相关子群。
2024-12-23 math.CO
Subgroup Perfect Codes of $\mathcal{A}_t$-Groups and Their Applications
本文完整分类了 $t\in\{0,1\}$ 时 $\mathcal{A}_t$-群的子群完美码，并刻画了具有阿贝尔 Sylow $2$-子群的有限群的子群完美码，推进了有限群子群完美码的分类研究。
2025-07-21 math.CO
Subgroup Perfect Codes in Bi-Cayley Graphs
Alzahra University（阿尔扎哈拉大学）；Urmia University（乌尔米耶大学）
本文研究双Cayley图中的完备码，探讨群的子群形成特定形式完备码的条件，得到正规子群、阿贝尔群及二面体群相关的完备码结果。
2026-10-14 math.CO
Perfect codes in vertex-transitive graphs
给定图$Γ$，$Γ$中的完美码是$Γ$的顶点的独立集$C$，使得$C$之外的每个顶点都与$C$中的唯一顶点相邻，并且$Γ$中的完全完美码是$Γ$的顶点的集合$C$，使得$Γ$的每个顶点都与$C$中的唯一顶点相邻。为了研究点传递图中的（全）完美码，我们将\cite{HXZ18}中引入的有限群的子群（全）完美码的概念推广如下：给定有限群$G$和$G$的子群$H$，含有$H$的$G$的亚组$A$称为亚组（总）如果存在陪集图$Cos(G,H,U)$，使得由$A$中的$H$的左陪集组成的集合是$Cos(G,H,U)$中的（全）完美码，则为$(G,H)$对的完美码。给出了$G$的包含$H$的子群$A$是群对$(G,H)$的（全）完美码的一个充要条件，推广了群的子群（全）完美码的一些已知结果.我们还构造了$(G,H)$的子群完美码的一些例子，并提出了一些有待进一步研究的问题。
2021-12-12 math.CO
On non-normal subgroup perfect codes
设$X = (V,E)$是一个图。一个子集$C \subseteq V(X)$是$X$的一个\emph{perfect code}，如果$C$是$X$的一个斜团，并且具有$V(X)\setminus C$中的任何顶点都恰好与$C$中的一个顶点相邻的性质。给定一个有限群$G$，其单位元为$e$和$H\leq G$，若存在一个逆闭子集$S \subseteq G\setminus \{e\}$，使得$H$是$G$的Cayley图$\operatorname{Cay}(G,S)$的一个完美码，则$H$是$G$的一个\emph{subgroup perfect code}，其连通集为$S$ .本文给出了一个有限群$G$的无限族，它允许一个非正规子群完美码$H$，使得对于所有的$h \in H$，存在$ g\in G$，它具有$g^2\in H$但不具有$(gh)^2 \neq e$，从而回答了Wang，Xia，and Zhou在[Perfect sets in Cayley graphs. { \it arXiv预印本} arXiv：2006.05100，2020]。
2021-09-14 math.CO
Some results on perfect codes in Cayley sum graphs
本文研究凯莱和图中的完美码问题，给出了有限群正规子群成为子群完美码的充要条件。
2025-05-06 math.CO
Perfect codes in Cayley sum graphs
图$Γ$的顶点集的一个子集$C$称为$Γ$的完美码，如果$Γ$的每个顶点到$C$中恰好一个顶点的距离不超过1.设$A$是有限阿贝尔群，$T$是$A$的无平方子集. $A$关于连通集$T$的Cayley和图是以$A$为顶点集的单图，且只要$x+y\in T$，两个顶点$x$和$y$相邻. $A$的一个子群称为$A$的子群完美码，如果该子群是$A$的某个Cayley和图的完美码.本文给出了$A$的子集是$A$的Cayley和图的完美码的充要条件.我们还刻画了$A$的所有子群完美码.
2020-08-13 math.CO
On subgroup perfect codes in vertex-transitive graphs
本文在顶点传递图框架下研究子群完全码，给出配对子群完全码的刻画、群完全码的新充要条件，构造反例回应已有问题，并开启对称群极大子群完全码的研究。
2025-01-14 math.CO
Subgroup perfect codes of $ S_n $ in Cayley graphs
National Institute of Technology Durgapur（印度技术理工学院杜尔加布尔分校）
本文研究了对称群$S_n$中循环2-子群完美码的分类，并探讨了其结构和性质，涵盖交换与非交换情况。
2026-01-31 cs.DM math.CO
q-ary Propelinear Perfect Codes from the Regular Subgroups of the GA(r,q) and Their Ranks
提出了一种构造q元推进线性完美码的新方法。该方法利用固定长度的q元向量的置换，所述q元向量产生于仿射群的正则子群的自同构。对于任何素数q，它表明，新的类包含一个无穷级数的q元propelinear完美码的增长长度的不同的行列。
2021-12-16 cs.IT math.CO math.IT
A concatenation construction for propelinear perfect codes from regular subgroups of GA(r,2)
如果存在阶为$|C|$的$Aut(C)$的子群传递地作用于$C$的码字，则码$C$被称为propelinear。本文利用Solov'eva级联构造的一种特殊情况--1981和$GF(2)$上向量空间的一般仿射群的正则子群，得到了新的长度大于$7$的准线性完全二元码.
2019-12-16 cs.IT math.CO math.IT
On subgroup perfect codes in Cayley sum graphs
图$Γ$中的完美码$C$是$Γ$的独立顶点集，使得$C$之外的每个顶点都与$C$中的唯一顶点相邻，并且$Γ$中的完全完美码$C$是$Γ$的顶点集，使得$Γ$的每个顶点都与$C$中的唯一顶点相邻。设$G$是有限群，$X$是$G$的正规子集. $G$与连接集$X$的Cayley和图$\mathrm{CS}(G,X)$是顶点集$G$且两个顶点$g$和$h$相邻的图当且仅当$gh\in X$和$g\neq h$ .本文给出了群的子群在Cayley和图中是（全）完美码的若干必要条件。作为应用，对某些子群为（全）完美码的群族的Cayley和图进行了分类。
2022-10-07 math.CO math.GR
Perfect codes and regular sets in vertex-transitive graphs
University of Isfahan（伊斯法罕大学）；Amirkabir University of Technology (Tehran Polytechnic)（阿米尔卡比尔理工大学（德黑兰理工学院））；Institute for Research in Fundamental Science (IPM)（基础科学研究所）；Shahid Rajaee Teacher Training University（沙希德·拉贾伊教师培训大学）
本文研究了顶点传递图中的(r,s)-正则集，特别是完美码的条件及其与商群的关系。
2025-12-24 math.CO
Subgroup perfect codes of $S_n$ in Cayley sum graphs
该研究证明对称群$S_n$不存在真子群完美码，并以此为基础给出了交错群$A_n$子群完美码的完整刻画，推进了Cayley和图中群论与编码理论交叉领域的研究。
2025-09-05 cs.DM cs.IT math.CO
Characterizing Finite Groups via Subgroup Perfect Codes
School of Mathematics & Guangxi University（广西大学数学学院）；Guangxi University（广西大学）；School of Mathematics and Computing Science, Guilin University of Electronic Technology（桂林电子科技大学数学与计算科学学院）；Guilin University of Electronic Technology（桂林电子科技大学）
研究有限群的非平凡子群完美码的共轭类集合Δ(G)与群阶的素因子个数|π(G)|的关系，分类了满足|Δ(G)|=|π(G)|和|Δ(G)|=|π(G)|+1的有限群，并刻画了所有|Δ(G)|≤6的不可解群。
2026-05-31 math.CO math.GR
On Box-Perfect Graphs
设$G=(V,E)$是一个图，$A_G$是$G$的顶点关联矩阵.众所周知，$G$是完全的当且仅当系统$A_{_G}\mathbf x\le \mathbf 1$，$\mathbf x\ge\mathbf0$是完全对偶积分（TDI）. 1982年，Cameron和Edmonds提出如果系统$A_{_G}\mathbf x\le \mathbf 1$，$\mathbf x\ge\mathbf0$是盒-完全对偶积分（box-TDI），则称$G$为盒-完美图，并提出了刻画这类图的问题.本文证明了关于奇偶图的盒完全性的Cameron-Edmonds猜想，并给出了其它几类盒完全图。我们还开发了一个通用的和强大的方法来建立盒完美。
2016-08-17 math.CO
Perfect models for finite Coxeter groups
有限群的模型是子群的线性特征标的集合，这些特征标可以被导出以使每个不可约特征标恰好一次获得。有限Coxeter群的完美模型是一个模型，其中相关的子群是完美对合的拟抛物中心化子。在以前的工作中，我们表明，完美的模型产生有趣的例子$W$ -图。在这里，我们分类有限Coxeter群有完美的模型。具体地说，我们证明了具有完美模型的不可约有限Coxeter群是$\mathsf{A}_{n}$，$\mathsf{B}_n$，$\mathsf{D}_{2n+1}$，$\mathsf{H}_3$或$\mathsf{I}_2(n)$型的有限Coxeter群。我们还表明，到一个自然形式的等价，外类型$\mathsf{A}_3$，$\mathsf{B}_n$，和$\mathsf{H}_3$，每个不可约有限Coxeter群有最多一个完美的模型。同时，我们还证明了有限Coxeter群的表示的一个技术性结果，即，从corank至少为2的标准抛物子群的归纳从来不是多重性自由的。
2022-01-03 math.CO math.GR math.RT
Perfect state transfer on semi-Cayley graphs over abelian groups
本文研究了阿贝尔群（不一定是正则的）上的半Cayley图，即具有半正则和阿贝尔子群的图的完全状态转移（PST）的存在性问题.建立了具有PST的阿贝尔群上的半Cayley图的一个刻画.从而给出了指数为2的交换子群具有PST的群上的Cayley图的一个刻划，改进了关于阿贝尔群、二面体群和双圈群上的Cayley图的一些结果，并确定了具有PST的广义二面体群和广义双圈群上的Cayley图.
2022-02-16 math.CO math.GR
Permutability graphs of subgroups of some finite non-abelian groups
本文研究二面体群、广义四元数群、拟二面体群和模群的子群可置换图结构，并系统考察其边数、度数、独立数、支配数、团数、色数、弱完美性、欧拉性和哈密顿性等图论参数。
2015-04-02 math.CO
Subgroup regular sets in Cayley graphs
设$Γ$是一个顶点集为$V$的图，$a$和$b$是非负整数. $V$的子集$C$称为$Γ$中的$(a,b)$ -正则集，如果$C$中的每个顶点在$C$中恰好有$a$邻居，并且$V\setminus C$中的每个顶点在$C$中恰好有$b$邻居。特别地，$\Ga$中的$(0, 1)$ -正则集和$(1, 1)$ -正则集在$\Ga$中分别被称为完美码和完全完美码。若存在$G$的Cayley图，且该图允许$C$为$(a,b)$ -正则集，则称群$G$的子集$C$为$G$的$(a,b)$ -正则集.本文证明了：对于任意广义二面体群$G$或任意阶为$4p$或$pq$的群$G$，对于某些素数$p$和$q$，如果$G$的一个非平凡子群$H$是$G$的一个$(0, 1)$ -正则集，则对于任意$0\leqslant a\leqslant|H|-1$和$0\leqslant b\leqslant |H|$，它也必是$G$的一个$(a,b)$ -正则集，使得当$|H|$是奇数时，$a$是偶数.本文还得到了涉及这类群的$(1, 1)$ -正则集的一个类似结果。
2022-11-03 math.CO
Transitive nonpropelinear perfect codes
如果一个码的自同构群（等距群）作用于它的码字上是传递的，则称该码是传递的。如果有一个子群的自同构群定期作用在代码，代码被称为propelinear。利用Magma软件包证明了在\cite{ost}的长度为15的传递完美码的201个等价类中存在唯一的非线性码.我们解决了任意容许长度$n$，$n\geq 15$的传递非线性完美码的存在性问题.证明了对于任意容许长度的$n$，$n\geq 255$，至少存在5个两两不等价的这类码.
2014-11-11 math.CO
Perfect codes in Cayley graphs
给定一个图$Γ$，如果$V(Γ)$的每个顶点到$C$中的恰好一个顶点的距离不超过1，则称$Γ$的子集$C$为$Γ$中的完美码;如果$Γ$的每个顶点与$C$中的恰好一个顶点相邻，则称$Γ$的子集$C$为$Γ$中的完全码。本文主要研究Cayley图中的完全码和全完全码，重点讨论了以下问题：给定群的子群在Cayley图中何时是（全）完全码;以及如何利用基群的自同构从已知的Cayley图构造新的（全）完全码.我们证明了围绕这些问题的几个结果。
2017-10-30 math.CO
On the subgroup regular set in Cayley graphs
本文研究 Cayley 图中子群的正则集与完美码，证明任意子群 H 是 G 的完美码当且仅当在指定整除条件下它是相应的 (a,b)-正则集，从而推广了正规子群情形。
2024-01-27 math.CO
Characterizing the fullerene graphs with the minimum forcing number 3
图$G$的最小强迫数是指图$G$的唯一完美匹配中同时包含的最小边数。Zhang，Ye和Shiu \cite{HDW}证明了任何富勒烯图的最小强迫数都是由$3$下有界的.然而，我们发现，存在一个具有最小强迫数$2$的例外富勒烯$F_{24}$。本文用构造的方法刻画了所有具有最小强迫数$3$的富勒烯。这也解决了Zhang等人提出的一个公开问题。我们还发现，除了$F_{24}$之外，所有具有反强迫数$4$的富勒烯都具有最小强迫数$3$。特别地，$(4, 2)$型纳米管富勒烯是这样的富勒烯。
2018-12-10 math.CO
Expansion in perfect groups
设Ga是GL_d（Q）的由有限对称集S生成的子群.对于整数q，用Ga_q表示Ga的子群，该子群由投影到单位元素mod q的元素组成。本文证明了当q在具有大素除子的无平方整数上时，Ga/Ga_q关于生成集S的Cayley图构成扩张子族当且仅当Ga的Zerkiki-闭包的连通分支是完全的.
2012-08-20 math.CO math.GR math.NT
On Hamiltonicity and Perfect Codes in Non-Cyclic Graphs of Finite Groups
本文研究有限非循环群的非循环图，证明其哈密顿性，并刻画具有完美码的群，同时证明非循环幂零群的非循环图无全完美码。
2025-04-21 math.CO
Major Indices and Perfect Bases for Complex Reflection Groups
证明了在较弱的条件下，复反射群$G(r,p,n)$可分解为循环子群的集式直积。这个属性，然后用于扩展的主要指标和相应的希尔伯特级数身份的概念，这些和其他密切相关的群体。
2007-08-13 math.CO math.GR
Subgroup sum graphs of finite abelian groups
设$G$是有限阿贝尔群，可加地写，$H$是~ $G$的子群。\emph{subgroup sum graph} $Γ_{G,H}$是具有顶点集$G$的图，其中如果$x+y\in H\setminus\{0\}$，则两个不同的顶点$x$和$y$连接。这些图形成了相当大的一类凯莱和图。其中的情况下，已被认为是以前的\emph{prime sum graphs}，在这种情况下，$H=pG$为一些素数$p$。本文介绍了它们的结构并对其性能进行了详细的分析。我们还考虑了更简单的图$Γ^+_{G,H}$，我们称之为\emph{extended subgroup sum graph}，其中$x$和$y$连接，如果$x+y\in H$：子群和是通过从这个图中删除具有$\{x,-x\}$形式的边的部分匹配时，$2x\ne0$。我们研究了这些图及其补图的完全性、团数、独立数、连通性、直径、谱和控制数。我们详细解释我们的一般结果在素数和图。
2021-11-10 math.CO
Regular sets in Cayley graphs
在一个顶点集为$V$的图$Γ$中，如果$V$的子集$C$中的每个顶点在$C$中恰好有$a$邻居，并且$V\setminus C$中的每个顶点在$C$中恰好有$b$邻居，则称$V$的子集$C$为$(a,b)$ -完美集，其中$a$和$b$均为非负整数.在文献中，$(0,1)$ -完美集被称为完美码，而$(1,1)$ -完美集被称为完全完美码。本文证明了：对于任意有限群$G$，若$G$的非平凡正规子群$H$是$G$的某Cayley图中的完美码，则对于任意一对整数$a$和$b$，若$0\leqslant a\leqslant|H|-1$和$0\leqslant b\leqslant |H|$使得$\gcd(2,|H|-1)$整除$a$，则它也是$G$的某Cayley图中的$(a,b)$ -完美集.本文还证明了一个涉及全完美码的类似结果。
2022-11-04 math.CO
Complementation in t-perfect graphs
受完美图在组合优化中应用的启发，Chvátal在20世纪70年代定义了t-完美图。刻画t-完美图的长期努力立即开始，但令人遗憾的是，即使是一个工作猜想，它仍然失踪了近50年。与完美图不同，t-完美图在替换或补下不是封闭的。Benchetrit在他的博士论文中得到了关于替换的t-完全性的充分刻画。论文通过目前的工作，我们试图了解t-完善方面的补充。特别是，我们证明了只有五对图，使图和他们的补充是最小的t-不完美。
2021-04-30 cs.DM math.CO
Preprocessing Vertex-Deletion Problems: Characterizing Graph Properties by Low-Rank Adjacencies
我们考虑$Π$ -自由删除问题的顶点覆盖的大小参数化，为一系列的图形属性$Π$。给定一个输入图$G$，这个问题问是否有一个至多$k$顶点的子集，其删除确保所得图不包含来自$Π$的图作为导出子图。许多顶点删除问题，如完美删除，无轮删除，区间删除适合这个框架。我们引入的概念，表征图形属性$Π$的低秩邻接，并使用它作为一个通用的核化定理的基石$Π$ -自由删除参数化的顶点覆盖的大小。由此产生的框架捕获的问题，如AT-自由删除，无轮删除，和间隔删除。此外，我们的新框架表明，当通过顶点覆盖进行参数化时，完美图的顶点删除问题具有多项式核，从而解决了Fomin等人的公开问题。[JCSS 2014]。我们的主要技术贡献表明如何线性代数依赖适当定义的向量$\mathbb{F}_2$意味着图论的陈述禁止诱导子图的存在。
2020-04-19 cs.DS math.CO
Intersection subgroup graph with forbidden subgraphs
本文研究交子群图属于簇图、完美图等多种重要图类的群，完成了对应图类下幂零群的分类、交子群图为cograph的李型单群分类，并证明无挠幂零群的交子群图既非cograph也非弦图。
2023-08-22 math.CO
On characterizing proper-max-point tolerance graphs
最大点容差图（Max-point-tolerance graphs，MPTG）是由Catanzaro等人在2017年引入的，作为区间图的推广。这类图在人类基因组研究以及网络信号处理中有许多实际应用。Soto和Caro在2015年也以p-BOX（1）图的名义研究了同一类图。在我们的文章中，我们考虑一个自然子类的最大点容差图，即适当的最大点容差图（适当的MPTG），其中与顶点相关联的区间不包含在对方适当。通过定义顶点集上的线性序，给出了这类图的第一特征定理。在研究过程中，我们证明了适当的最大点容差图是星状三重自由的和完美的。我们还发现适当的最大点容差图等价于单位最大点容差图。此外，我们注意到，MPTG（适当的MPTG）和最大容差图（适当的最大容差图）是不可比的。最后，我们证明了适当的MPTG与其他变种的MPTG和最大公差图之间的关系。
2020-05-05 math.CO
Perfect state transfer and Cayley presentations
University of Iceland（冰岛大学）；Korteweg–de Vries Institute for Mathematics, University of Amsterdam（阿姆斯特丹大学科特韦格-德弗里斯数学研究所）；QuSoft
本文研究Cayley图的完美状态转移，搭建经典群同构问题与量子游走的桥梁，证明多类群的Cayley图性质，构造首个无阿贝尔表示的无限族完美状态转移Cayley图及峰值转移图族。
2026-08-24 math.CO quant-ph
Hyperbolic surface subgroups of one-ended doubles of free groups
格罗莫夫问是否每个单端字双曲组包含一个双曲曲面组。我们证明了：如果（1）自由群的秩为2，或（2）每个生成元在合并字中的使用次数相同，则自由群的每个单端double都有一个双曲曲面子群。为了证明这一点，我们制定了一个更强的陈述Whitehead图和证明其特殊化的组合归纳法（1）和完美匹配多面体的特征埃德蒙兹（2）。
2013-11-14 math.CO math.GR
Strongly perfect lattices sandwiched between Barnes-Wall lattices
用$$2BW_{2m} ^{\#} \subseteq Γ_J \subseteq BW_{2m} \subseteq Λ_I \subseteq BW _{2m}^{\#} .$$构造了一系列新的$2^{2m}$维普遍强完备格$Λ_I $和$Γ_J $.这些格是通过将Barnes-Wall格的自同构群的自旋表示限制到它的子群${\mathcal U}_m:={\mathcal C}_m (4^H_{\bf 1}) $而得到的.群${\mathcal U}_m$是与包含${\bf 1}$的${\bf F} _4$上的Hermitian自对偶码相关联的Clifford-Weil群，因此${\mathcal U}_m$的多项式不变量的环被此类码的亏格- $m$完全重量计数器所张成。这使我们能够证明所有的${\mathcal U}_m$不变格是普遍强完美的。我们引入了一个新的构造，$D^{(cyc)}$的（扩展）循环码链，以获得（界）的新格的最小值。
2018-05-03 math.CO math.NT math.RT
Unique Perfect Phylogeny Characterizations via Uniquely Representable Chordal Graphs
完美遗传问题是计算生物学中的一个经典问题，在这个问题中，我们寻求一个无根的遗传，它与一组定性特征相容。当与字符集相关的交集图（称为分区交集图）可以使用有限的填充边集进行三角剖分时，这样的树就存在了。Semple和Steel使用划分交图来刻画何时一个字符集具有唯一的完美生成。Bordewich、Huber和Semple展示了如何使用分区交集图来找到最大兼容字符集。在本文中，我们建立在这些结果，特征时，一个独特的完美的遗传存在的部分字符的子集。我们的特征是在最小的划分相交图，是唯一可表示的三角形，也被称为乌尔弦图。我们的表征是出于乌尔弦图的结构，和事实上，块结构的最小三角化是反映在图中，已被三角化。
2013-05-08 cs.CE cs.DM math.CO
