arXiv 2109.069932021-09-14math.CO

关于非正规子群完美码

On non-normal subgroup perfect codes

Angelot Behajaina, Roghayeh Maleki, Andriaherimanana Sarobidy Razafimahatratra

备注：: 6 pages

摘要：

设$X = (V,E)$是一个图。一个子集$C \subseteq V(X)$是$X$的一个\emph{perfect code}，如果$C$是$X$的一个斜团，并且具有$V(X)\setminus C$中的任何顶点都恰好与$C$中的一个顶点相邻的性质。给定一个有限群$G$，其单位元为$e$和$H\leq G$，若存在一个逆闭子集$S \subseteq G\setminus \{e\}$，使得$H$是$G$的Cayley图$\operatorname{Cay}(G,S)$的一个完美码，则$H$是$G$的一个\emph{subgroup perfect code}，其连通集为$S$ .本文给出了一个有限群$G$的无限族，它允许一个非正规子群完美码$H$，使得对于所有的$h \in H$，存在$ g\in G$，它具有$g^2\in H$但不具有$(gh)^2 \neq e$，从而回答了Wang，Xia，and Zhou在[Perfect sets in Cayley graphs. { \it arXiv预印本} arXiv：2006.05100，2020]。

英文摘要：

Let $X = (V,E)$ be a graph. A subset $C \subseteq V(X)$ is a \emph{perfect code} of $X$ if $C$ is a coclique of $X$ with the property that any vertex in $V(X)\setminus C$ is adjacent to exactly one vertex in $C$. Given a finite group $G$ with identity element $e$ and $H\leq G$, $H$ is a \emph{subgroup perfect code} of $G$ if there exists an inverse-closed subset $S \subseteq G\setminus \{e\}$ such that $H$ is a perfect code of the Cayley graph $\operatorname{Cay}(G,S)$ of $G$ with connection set $S$. In this short note, we give an infinite family of finite groups $G$ admitting a non-normal subgroup perfect code $H$ such that there exists $ g\in G$ with $g^2\in H$ but $(gh)^2 \neq e$, for all $h \in H$; thus, answering a question raised by Wang, Xia, and Zhou in [Perfect sets in Cayley graphs. {\it arXiv preprint} arXiv:2006.05100, 2020].

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摘要：

英文摘要：

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