SIN, COS, EXP and LOG of Liouville numbers
对于任何刘维尔数$α$，以下所有数都是超越数：$\textrm{e}^α$、$\log_\textrm{e}α$、$\sin α$、$\cosα$、$\tanα$、$\sinhα$、$\coshα$、$\tanhα$、$\arcsinα$和在$α$上计算的三角函数和双曲函数的反函数，注意，只要涉及多个值，每个这样的值都是超越数。这仍然是正确的，如果“刘维数”是取代“$U$ -数”，其中$U$是马勒的一类超越数。
2022-02-23 math.NT
On transcendental analytic functions mapping an uncountable class of $U$-numbers into Liouville numbers
在本文中，我们将证明，对于任何$m\geq 1$，存在一个不可数子集的$U$ -数的类型$\leq m$（我们称之为集合{ \it $m$ -ultra号码}），对于它存在不可数许多超越解析函数映射到刘维尔数。
2014-08-28 math.NT
Liouville Numbers and Schanuel's Conjecture
本文利用P. Erdos，K. Alniacik和E. Saias，推广了P. Erdos，G. J. Rieger，W. Schwarz，K. Alniacik，E. Saias，E.B.汉堡在G δ-子集的框架下，我们还得到了与Liouville数和Schanuel猜想有关的代数独立性的新结果。
2013-12-26 math.NT
On the Transcendence of Power Towers of Liouville Numbers
本文构造了一个$G_δ$-稠密的刘维尔数集合，证明其中任意元素的三重幂塔都是超越数。
2023-10-10 math.NT
An irrationality measure for Liouville numbers and conditional measures for Euler's constant
无理数t的无理数指数$μ(t)$，使用无理数测度$1/q^μ$定义，区别于非刘维尔数，并且对于刘维尔数是无限的。利用无理性测度$1/β^q$，定义了区分Liouville数的“无理性基”$β(t)$，它对非Liouville数为1.我们给出了一些性质和例子。假设条件的某些线性型的曲线，我们目前提供的数值证据P.Sebah，我们证明了一个上界的欧拉常数，$γ$的无理性基础。如果$γ$是无理数，且条件在某种强意义下为假，我们证明了$μ(γ)$的一个上界.
2003-07-23 math.NT
On partial sums of the Möbius and Liouville functions for number fields
朗道研究了部分和默比乌斯函数和刘维函数的一些领域$K$。首先，我们将再次尝试同样的问题，通过使用一个新的Perron的公式，由于刘和叶。接下来我们考虑$K$的戴德金ζ函数的大黎曼假设的等价定理和素理想定理的等价定理。
2012-12-18 math.NT
Transcendence of the Gaussian Liouville number and relatives
{ \em刘维尔数}，表示为$l$，由$$l:=0.100101011101101111100...,$$定义，其中$n$第位由${1/2}(1+\gl(n))$给出;这里$\gl$是$n$的素因子奇偶性的刘维尔函数。据推测，刘维尔数是超越的，虽然目前还无法证明。类似地，通过$$γ:=0.110110011100100111011...$$定义{ \em高斯刘维尔数}，其中第$n$位反映了除以$n$的有理数高斯素数的奇偶性，1表示偶数，0表示奇数。本文证明了Gaussian Liouville数及其相关数是超越数。一个这样的相对数是数$$\sum_{k=0}^\infty\frac{2^{3^k}}{2^{3^k2}+2^{3^k}+1}=0.101100101101100100101...,$$，其中第$n$位由等于2模3的素因子数的奇偶性确定。我们使用类似的方法，Dekking的证明超越的Thue-莫尔斯数\cite{Dek1}以及马勒的\cite{Mahl1}定理。(For完整性我们提供所有需要的结果的证明。该方法涉及到证明形式幂级数作为完全乘法函数的生成函数的超越性。
2008-06-10 math.NT
Transcendence Measures for some $U_m$-numbers related to Liouville's constant
本文证明了一个代数数$α$与\textit{Liouville constant} $L=\sum_{j=1}^{\infty}10^{-j!}$的和与积是一个类型等于$α$（关于$\mathbb{Q}$）的次数的$U$ -数.此外，我们还将拥有那个$\max\{w^{\ast}_n(αL),w^{\ast}_n(α+ L)\}\leq 2m^2n+m-1$，用于$n=1,...,m-1$。
2009-10-19 math.NT
Values of algebraic functions at Liouville numbers
本文研究了在何种条件下，代数函数在刘维尔数上的值为U_m数，并引入了更精细的L数概念，证明在一般假设下，代数函数在所有L数上取U_m值。
2026-05-19 math.NT
On Mobius and Liouville functions of order $k$
设$F$为数域，$k$为正整数。本文在$F$中定义了$k$阶的Mobius函数和Liouville函数.利用初等数论和复分析给出了它们的部分和的一个公式。此外，我们还考虑了$F$的整数环的$k$ -free理想的个数.
2014-02-21 math.NT
A Liouville-Type Inequality for Values of Mahler M-Functions
Univ Lyon, Université Claude Bernard Lyon 1 CNRS UMR 5208, Institut Camille Jordan（里昂大学，克洛德·贝尔纳里昂第一大学，法国国家科学研究中心联合研究单位5208，卡米耶·若尔当研究所）；Centre International de Rencontres Mathématiques (CIRM)（国际数学相遇中心）
本文基于马赫尔Mq函数在公共非零代数点处的值，建立利维勒型不等式，并证明此类值既不是利维勒数也不是U数，解决了该领域长期存在的问题。
2026-04-09 math.NT
New dimension bounds for $αβ$ sets
本文给出了$αβ$集的上盒维数的新下界.作为我们主要结果的推论，我们证明了如果$α$不是Liouville数，而$β$是Liouville数，则任何$αβ$集合的上盒维数是$1$ .我们还使用我们的维数界获得新的结果仿射嵌入的自相似集。
2021-02-11 math.DS math.MG math.NT
Diophantine approximation and special Liouville numbers
介绍了确定一类良好逼近数$ζ_{1},ζ_{2},...,ζ_{k}$的同时逼近常数的方法。该方法依赖于所有$s$ -进展开（$s\geq 2$）的$ζ_{1},ζ_{2},...,ζ_{k}$和它们相关的近似常数之间的连接的集合上的结果。作为应用，给出了实数$ζ_{1},ζ_{2},...,ζ_{k}$的显式构造方法，并给出了Matlab图形.
2013-01-10 math.NT
Smooth Diffeomorphisms and Mahler's Problem on Liouville Numbers
Universidade de Brasília（巴西利亚大学）
该研究针对马勒1984年提出的超越整函数是否能将刘维尔数映射为刘维尔数的问题，构造了逼近恒等映射的$C^\boldsymbol{\text{∞}}$微分同胚，证明了其对应的光滑版本结论。
2026-09-09 math.NT
On $C^k$-functions mapping $\mathbb{Q}$ into itself and Mahler's problem on Liouville numbers
Universidade de Brasília（巴西利亚大学）；Instituto de Matemática Pura e Aplicada IMPA（纯数学与应用数学研究所）；Universidade Federal de Alagoas（阿拉戈阿斯联邦大学）
研究关于将有理数集映射到自身的\(C^k\)函数及马勒关于刘维尔数的问题。通过构造特定\(C^k\)函数集证明其保持刘维尔数，又证明了满足一定条件的\(C^{2k + 1}\)函数的刚性结果。
2026-07-28 math.NT
Values of generalized Liouville power series at algebraic numbers
本文引入广义 Liouville 级数概念，给出了其取值为 $U_m$-数的充要条件，并证明了其在 $m$ 次简单代数整数处取 $U_m$-值。
2025-07-17 math.NT
Mahler's Problem on Liouville Numbers I. Analytic Rigidity
Universidade de Brasília（巴西利亚大学）
该研究否定解决了 Mahler 关于存在将 Liouville 数映射到 Liouville 数的超越整函数的问题，证明实解析函数若具此性质必为有理函数，并通过双高度计数估计给出定量局部结果。
2026-11-03 math.NT
On a problem posed by Mahler
E. Maillet证明了Liouville数的集合在具有有理系数的有理函数下保持不变。基于这个结果，KurtMahler提出了一个问题，即是否存在具有这个性质的整超越函数。对于大型参数化类的刘维尔数，我们构造这样的功能，而且我们表明，它可以构造，使其所有的衍生物共享这一属性。我们使用了一个完全不同的方法比在最近的论文中，其中函数与不同的不变子类的刘维尔数被构造（虽然没有信息的衍生物）。更一般地说，我们研究的形象刘维数解析函数，特别注意$f(z)=z^{q}$，其中$q$是一个有理数。
2016-05-10 math.NT
Dynamical models for Liouville and obstructions to further progress on sign patterns
我们定义了一类动力系统通过修改由于陶，其中包括一定的Furstenburg限制所产生的刘维函数的建设。最近关于莫比乌斯函数和刘维函数的乔拉结构和符号模式的研究进展，使用的方法适用于这一类中的任何动力系统。因此，这类具有异常局部行为的动力系统阻碍了用同样的技术进一步研究这些问题。我们构造简单的例子，动力系统在这一类的基础上多项式阶段和计算所产生的障碍。这需要明确的界限，以某种方式从多项式，这是基本的，但不是完全平凡的符号模式的数量。
2018-09-10 math.NT
Values of E-functions are not Liouville numbers
本文通过改进 $E$-operators 理论，获得了任意 $E$-函数在代数点取值的线性无关性度量，从而证明了 $E$-函数在代数点处的值绝不是 Liouville number，并给出了有理系数 $E$-函数在有理点取值的等价线性无关性条件。
2023-12-07 math.NT
On a Bohr set analogue of Chowla's conjecture
令$λ$表示Liouville函数。证明了当$α_1,α_2$为正实数且$α_1/α_2$为无理数时，$λ(\lfloor α_1n\rfloor)λ(\lfloor α_2n\rfloor)$的对数均值为$0$.我们还表明，对于$k\geq 3$的对数平均值的$λ(\lfloor α_1n\rfloor)\cdots λ(\lfloor α_kn\rfloor)$有一些非平凡的取消量，在一定的合理的独立性假设的实数$α_i$。我们的结果为刘维函数的推广，以产生独立的声明一般有界实值乘性函数评价在贝蒂序列。这些结果回答了Frantzikinakis猜想的两点情形（并在高阶情形上提供了一些进展），推广了Crnčević-Hernández-Rizk-Sereesuchart-Tao最近的一个结果。作为我们的证明的一个组成部分，我们建立了沿玻尔集的刘维尔函数的对数相关性的界限。
2023-03-22 math.NT
Transcendental Liouville inequalities on projective varieties
设$p$是数域上射影簇$X$的代数点. Liouville不等式告诉我们，$X$上厄米线丛的非零整整体瓣在$p$上的范数要么为零，要么相对于截面本身的$\sup$范数不能太小.我们研究的不平等类似刘维的子变量和超越点的射影簇定义在数域。我们证明了几乎所有的超越点都证明了一个好的Liouville型不等式。我们还涉及到我们的方法（前）猜想Chudnowsky，并给出两个应用程序的增长数量的有理点的有界高度的图像上的解析映射从一个磁盘的投影品种。
2018-08-28 math.AG math.NT
Lower bounds for the Hausdorff dimension of expressible sets
Aarhus University（奥胡斯大学）；University of Ostrava（俄斯特拉发大学）
本文通过分析形如∑_{n=1}^∞ 1/(a_n b_n)的实数集合，在b_n满足增长条件且a_n属于某集合时，证明了该集合豪斯多夫维数的正下界，并由此得出Erdős 1976年构造中的某些无理数不是刘维尔数。
2026-05-26 math.NT
Maillet's property and Mahler's Conjecture on Liouville numbers fail for matrices
本文证明 Maillet 的不变性性质在高维解析矩阵函数中仅对特殊系数的 Möbius 变换成立，从而否定了 Mahler 开放问题的高维类似，并推广了 Erdős 的拓扑论证证明连续自映射下许多 Liouville 矩阵保持不变。
2024-03-21 math.GN math.NT
A devil's staircase from rotations and irrationality measures for Liouville numbers
从Sturmian和Christoffel词出发，我们导出了一个严格递增函数$Δ:[0,\infty)\to\mathbb{R}$ .该函数在任意无理点处连续，在有理点处左连续但右不连续。此外，它假定有理数为代数整数，无理数为超越数。我们还看到，$Δ$的微分区分了实数的一些无理测度。
2007-09-11 math.CO math.DS math.NT
Product set phenomena for measured groups
继Furstenberg和Reynner关于平稳平均的工作之后，本文将Di Nasso，Goldbring，Jin，Leth，Lupini和Mahlburg关于可数\textsc{amenable}群中乘积集的分段并合性的一些结果加强和推广到一般可数测度群.我们指出的产品之间的行为的“大”集刘维尔和非刘维尔测量组的几个根本区别。作为我们主要结果的一个（非常）特殊的情况，我们证明了如果$G$是一个有限秩的自由群，$A$和$B$是$G$的“球面大”子集，则存在一个有限集$F \subset G$，使得$AFB$是厚的。集合$F$的位置很奇怪，但似乎是必要的;事实上，我们可以产生\emph{left thick}集合$A, B \subset G$，使得$B$是“球形大”的，但$AB$是\emph{not}分段联会的。另一方面，如果$A$是球面大的，则$AA^{-1}$总是分段联会的\emph{and}左分段联会的。然而，与顺从性组发生的情况相反，$AA^{-1}$可能不能联合。同样的现象也发生在许多其他（甚至是顺从的，但非刘维尔）被测量的群体中。我们的证明是基于一些遍历理论的结果，关于固定的行动，应该是独立的利益。
2016-06-02 math.DS math.GR math.NT
