发表机构
Universidade de Brasília（巴西利亚大学）
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该研究针对马勒1984年提出的超越整函数是否能将刘维尔数映射为刘维尔数的问题，构造了逼近恒等映射的$C^\boldsymbol{\text{∞}}$微分同胚，证明了其对应的光滑版本结论。
AI 中文摘要
迈莱（Maillet）的经典定理断言，每个定义在有理数域$\boldsymbol{\text{Q}}$上的非常数有理函数都会将刘维尔数映射为刘维尔数。1984年，马勒（Mahler）提出问题：超越整函数是否也具有相同的性质？我们证明了一个强的光滑对应结果：记$\boldsymbol{\text{L}}$为刘维尔数集合，存在保定向的$C^\boldsymbol{\text{∞}}$微分同胚$f:\boldsymbol{\text{R}}\to\boldsymbol{\text{R}}$，其可任意逼近恒等映射，且在$\boldsymbol{\text{R}}(x)$上是超越的，使得对每个实子域$K\boldsymbol{\text{R}}$、每个$n\boldsymbol{\text{1}}$和每个$m\boldsymbol{\text{0}}$，有$D^m(f^{\boldsymbol{\text{∘}}n})(K)\boldsymbol{\text{K}}$且$D^m(f^{\boldsymbol{\text{∘}}n})(\boldsymbol{\text{L}})\boldsymbol{\text{L}}$。事实上，非解析轨迹可被指定为任意与实代数数和刘维尔数不相交的非空紧致完备无处稠密集。该证明结合了迈莱定理、克尔纳（Körner）光滑多项式拼接方法的算术改进以及有理芽构造。
英文摘要
A classical theorem of Maillet asserts that every nonconstant rational function over $\mathbb{Q}$ maps Liouville numbers to Liouville numbers. In 1984, Mahler asked whether a transcendental entire function can have the same property. We prove a strong smooth counterpart: writing $\mathscr{L}$ for the set of Liouville numbers, there exist orientation-preserving $C^\infty$ diffeomorphisms $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, arbitrarily close to the identity and transcendental over $\mathbb{R}(x)$, such that for every real number field $K\subset\mathbb{R}$, every $n\geq 1$, and every $m\geq 0$, \[ D^m(f^{\circ n})(K)\subseteq K, \qquad D^m(f^{\circ n})(\mathscr{L})\subseteq\mathscr{L}. \] In fact, the non-analyticity locus may be prescribed as any nonempty compact perfect nowhere-dense set disjoint from the real algebraic and Liouville numbers. The proof combines Maillet's theorem with an arithmetic refinement of Körner's smooth polynomial sewing method and a rational-germ construction.
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