From Schanuel's Conjecture to Shapiro's Conjecture
本文在假设Schanuel猜想的前提下，证明了Shapiro关于指数多项式的1958猜想.
2012-06-28 math.LO math.NT
The Ax-Schanuel conjecture for variations of mixed Hodge structures
本文证明了混合Hodge结构的所有容许变分的Ax-Schanuel猜想。
2023-03-08 math.AG math.NT
Schanuel's Conjecture and Algebraic Roots of Exponential Polynomials
本文证明了在Schanuel猜想假设下，代数数上的一元指数一元多项式只有1/2个代数解.这意味着一个肯定的答案Shapiro猜想的指数多项式的代数数的伪指数领域以及任何代数封闭的指数领域满足Schanuel的猜想。
2009-10-15 math.LO math.NT math.RA
Schanuel's conjecture and algebraic powers z^w and w^z with z and w transcendental
我们简要介绍了超越数理论的发展历史，包括Schanuel猜想（S）。假设（S），我们证明如果z和w是复数，不是0或1，且z^w和w^z是代数的，则z和w要么都是有理数，要么都是超越数。一个推论是，如果（S）为真，那么我们可以找到四个不同的超越正实数x，y，s，t，使得三个数x^y=/=y^x和s^t=t^s都是整数。另一个应用（可能是已知的）是（S）意味着数sqrt（2）^sqrt（2）^sqrt（2），i^i^i和i^e^pi的超越。我们还证明了如果（S）成立且a^a^z=z，其中a=/=0是代数的且z是无理数，则z是超越的.
2011-03-30 math.NT
Some consequences of Schanuel's Conjecture
在亚利桑那冬季学校2008年（在图森，亚利桑那州举行），我们对以下问题的工作：a）（扩大由S。Lang）。定义$E_0 = \overline{\mathbb{Q}}$归纳地，对于$n \geq 1$，将$E_n$定义为通过数字$\exp(x)=e^x$在$E_{n-1}$上生成的字段的代数闭包，其中$x$的范围在$E_{n-1}$上。令$E$是$E_n$，$n \geq 0$的并集。证明了Schanuel猜想意味着数$π, \log π, \log \log π, \log \log \log π, \ldots $在$E$上代数独立。b）尝试得到涉及如下定义的字段$L$的（结构上的）概括。定义$L_0 = \overline{\mathbb{Q}}$。归纳地，对于$n \geq 1$，将$L_n$定义为由数$y$在$L_{n-1}$上生成的域的代数闭包，其中$y$在复数集合上的范围使得$e^y\in L_{n-1}$。令$L$为$L_n$的并集，即$n \geq 0$。我们能够证明Schanuel猜想意味着$E$和$L$在$\overline{\mathbb{Q}}$上线性不相交。
2008-05-08 math.NT
Joint distribution of leftmost digits in positional notation and Schanuels's conjecture
Department of the Theory of Functions, Institute of Mathematics and Computer Science, Siberian Federal University（西伯利亚联邦大学数学与计算机科学研究所函数理论系）
本文研究了位置记数法中最左边数字的联合分布，并证明了在特定条件下，不同基数的对数是无理无关的，与Schanuel猜想相关。
2026-03-10 math.NT
The Ax-Schanuel conjecture for variations of Hodge structures
我们扩展的Ax-Schanuel定理最近证明的志村品种的莫克-皮拉-Tsimerman的所有品种支持一个纯粹的极化积分变化的霍奇结构。基本的新成分是一个卷约束格里菲斯横向子品种的时期域。
2017-12-14 math.AG math.LO math.NT
Variants of Schanuel's conjecture
这是Schanuel猜想的变体和它们之间已知的依赖关系的集合。它最初写于2007年，并在我的网页上提供了一段时间。一些人要求我再次提供它，并借此机会在2018年1月进行了一些小的修改。这种处理远不是详尽的文献，大部分是由2002年到2007年之间在牛津逻辑组讨论的陈述组成的。
2018-01-26 math.LO math.NT
Applications of the hyperbolic Ax-Schanuel conjecture
在2014年，皮拉和齐默曼证明了$j$ -函数的Ax-Schanuel猜想，最近与莫克一起宣布了它推广到任何（纯）志村簇的证明。我们把这种推广称为双曲Ax-Schanuel猜想。在这篇文章中，我们表明，双曲Ax-Schanuel猜想可以用来减少Zilber-Pink猜想志村品种的点计数的问题。我们进一步表明，这个点计数问题可以解决在一些情况下，使用皮拉-威尔基计数定理和几个算术代数。我们的方法的灵感来自以前的应用程序的皮拉-赞尼尔方法，特别是最近的证明Habegger和皮拉的Zilber-Pink猜想曲线的阿贝尔簇。
2018-10-11 math.AG math.LO math.NT
On Elliptic Curves in SL_2(C)/Γ, Schanuel's conjecture and geodesic lengths
设H是SL_2（C）的离散余紧子群.我们猜想商流形X=SL_2（C）/H包含无穷多条非齐次的椭圆曲线，并证明了如果Schanuel猜想成立，情况确实如此.在H与SL_2（R）的交在SL_2（R）中是余紧的特殊情况下，我们也证明了这一点。此外，我们推导出实双曲2-和3-折叠的测地长度谱的一些结果。
2003-04-08 math.AG math.DG math.NT
A conjecture in Schanuel style for 1-motives
Università di Padova（帕多瓦大学）
本文提出一个Schanuel式猜想，用于半椭圆指数函数，涵盖Weierstrass函数和Serre函数的值，证明了该猜想与Grothendieck-André周期猜想的关系。
2026-06-29 math.AG math.NT
Variations on Schanuel's Conjecture for elliptic and quasi-elliptic functions I: the split case
针对椭圆曲线通过乘法群的分裂扩张$G={\mathbb G}_m\times {\mathcal E}$的指数映射，提出分裂半椭圆猜想，其等价于格罗滕迪克-安德烈广义周期猜想的1-motive应用，且蕴含施耐德的三个椭圆类比定理及魏尔斯特拉斯$\zeta$函数猜想。
2025-04-18 math.NT
Schanuel Property for Elliptic and Quasi--Elliptic Functions
研究沙努尔猜想的强版本，证明对几乎所有复数元组成立，将指数函数替换为代数独立函数时类似结论成立，并给出椭圆和拟椭圆函数等代数独立的例子。
2025-04-18 math.NT
A Schanuel property for exponentially transcendental powers
我们证明了类似的Schanuel猜想提高到幂指数超越实数。除了可数多个实数之外，所有的数都是指数超越的。我们还给出了一个更一般的结果，几个权力的背景下，其中包括复杂的情况下。
2008-10-24 math.LO math.NT
Polynomial exponential equations and Zilber's conjecture
假设Schanuel猜想，我们证明了任何多项式指数方程的一个变量必须有一个解决方案，是超越一个给定的生成域。利用丢番图几何中的一些新结果，我们（无条件）证明了某些多项式指数方程只有1/2个有理解。这肯定地回答了一个问题的大卫标记，谁问，并证明在案件的代数系数，是否至少一个变量的情况下齐伯的强指数代数封闭性猜想可以减少到Schanuel的猜想。
2015-11-24 math.LO math.NT
Generic points on exponential curves
我们证明，假设Schanuel猜想，每一个不可约的复多项式在两个变量，其中两个变量都出现有无穷多个代数独立的解决方案的形式（z，e^z）。
2011-01-06 math.NT
A pseudoexponentiation-like structure on the algebraic numbers
伪指数域是类似于复指数的指数域，满足Schanuel性质，这是Schanuel猜想的抽象陈述，也是存在闭包的一种适应形式。在这里，我们表明，如果我们删除Schanuel性质，只关心存在闭包，有可能创建几个存在封闭的指数函数的代数数，仍然有相似之处，复指数。主要的困难是有关的算术的代数数，他们可以克服与已知的结果专业化的乘法独立功能的代数簇。
2014-02-07 math.LO math.NT
The Distribution of Weighted Sums of the Liouville Function and Pólya's Conjecture
在黎曼假设、线性独立假设和黎曼ζ函数负离散矩的界的假设下，证明了Liouville函数加权和的正规化的极限对数分布，即$L_α(x) = \sum_{n \leq x}{λ(n) / n^α}$，对于$0 \leq α< 1/2$ .利用这一点，我们有条件地表明，这些加权和有一个负的偏见，但对于每个$0 \leq α< 1/2$，所有$x \geq 1$的集合，其中$L_α(x)$是积极的具有正的对数密度。对于$α= 0$，这给出了一个条件证明，证明了波利亚猜想的反例集具有正对数密度。最后，当$α= 1/2$，我们有条件地证明，$L_α(x)$是负的对数密度为零的一组之外，从而贷款支持Mossinghoff和Trudgian的猜想，这个加权和是非正的所有$x \geq 17$。
2012-10-04 math.NT
Liouville function, von Mangoldt function and norm forms at random binary forms
ISTA（奥地利科学技术研究所）
该研究分析高度排序的d次二元型取值处算术函数的平均行为，得到Chowla与Bateman-Horn猜想的平均版本，还证明当e整除d时几乎所有Châtelet簇满足有理哈塞原理，证实Colliot-Thélène猜想的平均版本。
2026-08-12 math.NT
Sign Changes of the Liouville function on quadratics
令$λ(n)$表示Liouville函数。作为素数定理的补充，Chowla证明了\vspace{1mm} \noindent { \bf猜想（Chowla）。} { \em \begin{equation} \label{a.1} \sum_{n\le x} λ(f(n)) =o(x) \end{equation}，适用于任何不具有$bg(x)^2$形式的整数系数多项式$f(x)$。} \vspace{1mm} \noindent素数定理等价于当$f(x)=x$时的\eqref{a.1}。Chowla猜想是针对线性函数证明的，但对于次数大于1的函数，该猜想似乎非常困难，仍然是开放的。人们可以考虑乔拉猜想的一种较弱形式，即\vspace{1mm} \noindent { \bf猜想1（Cassaigne等人）}。{ \em如果$f(x) \in \Z [x]$且对于某些$g(x)\in \Z[x]$不以$bg^2(x)$的形式存在，则$λ(f(n))$无限频繁地改变符号。}显然，乔拉的猜想隐含着猜想1。虽然它是较弱的，猜想1仍然是开放的次数$>1$多项式。本文研究二次多项式的猜想1。我们的一个主要定理是{ \bf定理1}。令$f(x) = ax^2+bx +c $，其中$a>0$和$l$是正整数，使得$al$不是完全正方形。则如果方程$f(n)=lm^2 $有一个解$(n_0,m_0…
2011-09-14 math.NT
Biases in prime factorizations and Liouville functions for arithmetic progressions
我们介绍了一个改进的经典刘维函数的素数在等差数列。利用这一点，我们发现了新的偏见，在一个给定的等差数列的素数因子分解的素数的外观。例如，我们观察到$4k+1$形式的素数倾向于在给定整数的素数分解中出现偶数次，比$4k+3$形式的素数出现的次数更多。我们被引导到考虑波利亚猜想的变种，支持广泛的数值证据，以及它与其他的猜想。
2019-08-13 math.NT
Ergodicity of the Liouville system implies the Chowla conjecture
Chowla猜想断言，刘维尔函数的值形成一个正和负的正常序列。重新解释语言的遍历论它断言，刘维函数是通用的伯努利措施的空间序列的价值加或减一。我们表明，这些声明所隐含的弱得多的假设，刘维尔函数是通用的遍历措施。我们也给这个结果的变种有关的猜想艾略特的相关性的乘性函数的值在单位圆。我们的论点有一个遍历的味道，并结合了最近的结果在解析数论，有限和无穷分解的结果，涉及均匀性的equidistribution结果和定性的nilmanifold。
2017-12-12 math.DS math.NT
On a Bohr set analogue of Chowla's conjecture
令$λ$表示Liouville函数。证明了当$α_1,α_2$为正实数且$α_1/α_2$为无理数时，$λ(\lfloor α_1n\rfloor)λ(\lfloor α_2n\rfloor)$的对数均值为$0$.我们还表明，对于$k\geq 3$的对数平均值的$λ(\lfloor α_1n\rfloor)\cdots λ(\lfloor α_kn\rfloor)$有一些非平凡的取消量，在一定的合理的独立性假设的实数$α_i$。我们的结果为刘维函数的推广，以产生独立的声明一般有界实值乘性函数评价在贝蒂序列。这些结果回答了Frantzikinakis猜想的两点情形（并在高阶情形上提供了一些进展），推广了Crnčević-Hernández-Rizk-Sereesuchart-Tao最近的一个结果。作为我们的证明的一个组成部分，我们建立了沿玻尔集的刘维尔函数的对数相关性的界限。
2023-03-22 math.NT
Counting rational points over number fields on a singular cubic surface
Manin的一个猜想预言了定义在数域K上的某些代数簇上的K-有理点的分布。近年来，一种利用万有扭矢的方法已成功地应用于有理数域Q上Manin猜想的几个困难特例。结合这种方法和Schanuel的技巧，我们给出了关于奇异三次曲面S的任意数域上Manin猜想的一个证明.
2013-11-04 math.AG math.NT
On a conjecture of Corradi and Katai
National Institute of Technology Tiruchirappalli（国立特鲁奇拉帕利理工学院）
该研究针对Corradi和Katai的猜想，围绕刘维尔函数的哥德巴赫型和展开，证明其存在足够抵消项并探讨符号模式应用。
2026-08-14 math.CO math.NT
Generic Solutions of Equations Involving the Modular $j$-function
本文在假设 Schanuel 猜想模版本与模 Zilber-Pink 猜想下，将涉及模 $j$-函数的方程族通解存在性归结为寻找 Zariski 稠密解集，并对簇定义域施加条件获得了无条件结果。
2025-01-06 math.AG math.LO math.NT
Counterexamples to the inhomogeneous Duffin-Schaeffer Conjecture
本文构造逼近函数，证明非齐次Duffin-Schaeffer猜想对所有非零有理数和某些Liouville数不成立，给出反例。
2026-09-28 math.NT
The logarithmically averaged Chowla and Elliott conjectures for two-point correlations
令$λ$表示Liouville函数。Chowla猜想，在两点相关的情况下，断言$$ \sum_{n \leq x} λ(a_1 n + b_1) λ(a_2 n+b_2) = o(x) $$作为$x \to \infty$，对于任何固定的自然数$a_1,a_2,b_1,b_2$与$a_1b_2-a_2b_1 \neq 0$。本文建立了Chowla猜想的数学平均形式$$ \sum_{x/ω(x) < n \leq x} \frac{λ(a_1 n + b_1) λ(a_2 n+b_2)}{n} = o(\log ω(x)) $$为$x \to \infty$，其中$1 \leq ω(x) \leq x$是$x$的任意函数，它以$x \to \infty$的形式无穷大，从而打破了这个问题的“奇偶性障碍”.我们的主要工具是乘法的刘维函数在小素数，最近的结果Matomäki，Radziwiwienkirk，和作者的平均调制乘性函数在短时间内，浓度的措施不平等，哈迪-Littlewood循环方法结合限制定理的素数，和一个新的“熵递减的论点”。这些成分中的大多数也可用于（至少在原则上）高阶相关，主要缺失的成分是需要控制由局部零序列调制的乘性函数的短和。我们的论点也扩展到更一般的有界乘性函数比刘维函数$λ$，导致在两点的情况下的艾略特猜想的数学平均版本。在随后的论文中，我们将使用这个版本的艾略特…
2016-07-29 math.NT
Maillet's property and Mahler's Conjecture on Liouville numbers fail for matrices
本文证明 Maillet 的不变性性质在高维解析矩阵函数中仅对特殊系数的 Möbius 变换成立，从而否定了 Mahler 开放问题的高维类似，并推广了 Erdős 的拓扑论证证明连续自映射下许多 Liouville 矩阵保持不变。
2024-03-21 math.GN math.NT
Ranks of matrices of logarithms of algebraic numbers I: the theorems of Baker and Waldschmidt-Masser
本文综述了代数数对数矩阵的秩，证明了Baker定理弱形式与Waldschmidt-Masser定理，并提出了关于方阵奇异性的矩阵系数新猜想。
2023-03-03 math.NT
Harper's beyond square-root conjecture
本文说明$L(s,χ)$的（移位）比率猜想可将Harper的随机化论证扩展至Liouville函数特征扭曲的无界“超越平方根抵消”范围，并推得其在超过平方根障碍的等差数列中具有非平凡抵消。
2025-08-26 math.NT math.PR
Transcendental Liouville inequalities on projective varieties
设$p$是数域上射影簇$X$的代数点. Liouville不等式告诉我们，$X$上厄米线丛的非零整整体瓣在$p$上的范数要么为零，要么相对于截面本身的$\sup$范数不能太小.我们研究的不平等类似刘维的子变量和超越点的射影簇定义在数域。我们证明了几乎所有的超越点都证明了一个好的Liouville型不等式。我们还涉及到我们的方法（前）猜想Chudnowsky，并给出两个应用程序的增长数量的有理点的有界高度的图像上的解析映射从一个磁盘的投影品种。
2018-08-28 math.AG math.NT
On the Erdös flat polynomials problem, Chowla conjecture and Riemann Hypothesis
不存在$$\frac{1}{\sqrt q}( ε_0 + ε_1z + ε_2z^2 + \cdots + ε_{q-2}z^{q-2} +ε_q z^{q-1}),$$类型的多项式的平方$L^2$平坦序列，其中对于每个$j,~~ 0 \leq j\leq q-1,~ε_j = \pm 1$。由此可见，埃尔德什关于利特尔伍德多项式的理论成立。因此，Turyn-Golay的猜想是正确的，也就是说，只有1000个巴克序列。进一步得到了由连续Morse序列产生的动力系统的谱是奇异的。这解决了M.基恩将我们的推论应用于Liouville函数，得到了关于Liouville函数的%Bernouillicity正态性的Chowla猜想蕴含着黎曼假设.
2017-01-11 math.CO math.CV math.NT
