From Schanuel's Conjecture to Shapiro's Conjecture
P. D'Aquino, A. Macintyre, G. Terzo
本文在假设Schanuel猜想的前提下，证明了Shapiro关于指数多项式的1958猜想.
In this paper we prove Shapiro's 1958 Conjecture on exponential polynomials, assuming Schanuel's Conjecture.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Schanuel's Conjecture and Algebraic Roots of Exponential Polynomials
本文证明了在Schanuel猜想假设下，代数数上的一元指数一元多项式只有1/2个代数解.这意味着一个肯定的答案Shapiro猜想的指数多项式的代数数的伪指数领域以及任何代数封闭的指数领域满足Schanuel的猜想。
Variants of Schanuel's conjecture
这是Schanuel猜想的变体和它们之间已知的依赖关系的集合。它最初写于2007年，并在我的网页上提供了一段时间。一些人要求我再次提供它，并借此机会在2018年1月进行了一些小的修改。这种处理远不是详尽的文献，大部分是由2002年到2007年之间在牛津逻辑组讨论的陈述组成的。
The Ax-Schanuel conjecture for variations of Hodge structures
我们扩展的Ax-Schanuel定理最近证明的志村品种的莫克-皮拉-Tsimerman的所有品种支持一个纯粹的极化积分变化的霍奇结构。基本的新成分是一个卷约束格里菲斯横向子品种的时期域。
Applications of the hyperbolic Ax-Schanuel conjecture
在2014年，皮拉和齐默曼证明了$j$ -函数的Ax-Schanuel猜想，最近与莫克一起宣布了它推广到任何（纯）志村簇的证明。我们把这种推广称为双曲Ax-Schanuel猜想。在这篇文章中，我们表明，双曲Ax-Schanuel猜想可以用来减少Zilber-Pink猜想志村品种的点计数的问题。我们进一步表明，这个点计数问题可以解决在一些情况下，使用皮拉-威尔基计数定理和几个算术代数。我们的方法的灵感来自以前的应用程序的皮拉-赞尼尔方法，特别是最近的证明Habegger和皮拉的Zilber-Pink猜想曲线的阿贝尔簇。
An abelian analogue of Schanuel's conjecture and applications
在这篇文章中，我们研究了一个交换模拟Schanuel猜想。这个猜想属于Y.安德烈。如C. Bertolin，广义周期猜想包括Schanuel猜想作为一种特殊情况。扩展方法的Bertolin，它可以表明，交换模拟Schanuel的猜想，我们认为，也遵循Andr{é}的猜想。C. Cheng等人证明了经典的Schanuel猜想蕴涵了迭代指数函数的值与迭代对数函数的值的代数无关性，回答了M.瓦尔兹彻然后，我们调查一个类似的问题，在设置的阿贝尔簇。
Schanuel's conjecture and the exceptional set of $γ$-th arithmetic zeta functions
在这项工作中，我们研究的算术性质的数字的形式$n^{\g}$，$n \in \N$和$\g\in \C$。我们还考虑一个相关的猜想，我们表明，这是一个后果的unipresent Schanuel的猜想。
On a variant of Schanuel conjecture for the Carlitz exponential
在Tate代数及其相关函数上的Carlitz指数函数的框架下，引入并讨论了Schanuel猜想的一个变形.本文的另一个目的是拓宽研究超越性和代数独立性的可能性。
Semi-abelian analogues of Schanuel Conjecture and applications
本文研究Schanuel猜想的半交换类似物。如第一作者所指出的，Schanuel猜想等价于应用于无交换部分的1-模的广义周期猜想。扩展她的方法，第二，第三和第四作者介绍了阿贝尔类似的Schanuel猜想作为广义周期猜想适用于1-动机无复曲面部分。作为本文的第一个结果，我们定义Schanuel猜想的半阿贝尔类似物作为应用于1-动机的广义周期猜想。C. Cheng等人证明了Schanuel猜想蕴涵重指数值和重对数值的代数无关性，回答了M.瓦尔兹彻第二、第三和第四作者在阿贝尔簇的建立中研究了一个类似的问题：弱阿贝尔Schanuel猜想暗示了迭代阿贝尔指数和迭代广义阿贝尔对数的值的代数无关性。本文的主要结果是：一个相对半阿贝尔猜想蕴涵了迭代半阿贝尔指数值与迭代广义半阿贝尔对数值的代数无关性。
A Schanuel property for exponentially transcendental powers
我们证明了类似的Schanuel猜想提高到幂指数超越实数。除了可数多个实数之外，所有的数都是指数超越的。我们还给出了一个更一般的结果，几个权力的背景下，其中包括复杂的情况下。
Schanuel Type Conjectures and Disjointness
给定$\mathbb{C}$的一个子域$F$，在Schanuel猜想存在的情况下，研究了由$\overline{F}$的元素的指数迭代生成的域$E$与由指数迭代生成的域$L$的线性不相交性.我们也得到了类似的结果，取代$\exp$的模块$j$ -功能，根据适当的版本Schanuel的猜想，其中线性不相交取代的概念来自行动的$\mathrm{GL}_2$上$\mathbb{C}$。我们还表明，对于某些选择的$F$，我们获得这些语句的无条件版本。
Liouville Numbers and Schanuel's Conjecture
本文利用P. Erdos，K. Alniacik和E. Saias，推广了P. Erdos，G. J. Rieger，W. Schwarz，K. Alniacik，E. Saias，E.B.汉堡在G δ-子集的框架下，我们还得到了与Liouville数和Schanuel猜想有关的代数独立性的新结果。
The Ax-Schanuel conjecture for variations of mixed Hodge structures
本文证明了混合Hodge结构的所有容许变分的Ax-Schanuel猜想。
The Schanuel Subset Conjecture implies Gelfond's Power Tower Conjecture
作为著名的Schanuel猜想（SC）的替代，我们引入Schanuel子集猜想（SSC）：给定$α_1,...,α_n\in \mathbb{C}$在$\mathbb{Q}$上线性无关，如果$\{α_1,...,α_n, e^{α_1},...,e^{α_n}\}$是$\overline{\mathbb{Q}}$ -依赖于子集$\{β_1,...,β_n\}$，则$β_1,...,β_n$是代数独立的}.（如果$\overline{\mathbb{Q}}(X) \subset \overline{\mathbb{Q}}(Y)$，则集合$X\subset \mathbb{C}$称为$\overline{\mathbb{Q}}$ -依赖于$Y\subset \mathbb{C}$。）我们讨论是否SC是等价的先验较弱的SSC。假设SSC，我们给Gelfond的电力塔猜想和其他两个结果的条件证明。
On Elliptic Curves in SL_2(C)/Γ, Schanuel's conjecture and geodesic lengths
设H是SL_2（C）的离散余紧子群.我们猜想商流形X=SL_2（C）/H包含无穷多条非齐次的椭圆曲线，并证明了如果Schanuel猜想成立，情况确实如此.在H与SL_2（R）的交在SL_2（R）中是余紧的特殊情况下，我们也证明了这一点。此外，我们推导出实双曲2-和3-折叠的测地长度谱的一些结果。
A conjecture in Schanuel style for 1-motives
本文提出一个Schanuel式猜想，用于半椭圆指数函数，涵盖Weierstrass函数和Serre函数的值，证明了该猜想与Grothendieck-André周期猜想的关系。
Schanuel's conjecture and algebraic powers z^w and w^z with z and w transcendental
我们简要介绍了超越数理论的发展历史，包括Schanuel猜想（S）。假设（S），我们证明如果z和w是复数，不是0或1，且z^w和w^z是代数的，则z和w要么都是有理数，要么都是超越数。一个推论是，如果（S）为真，那么我们可以找到四个不同的超越正实数x，y，s，t，使得三个数x^y=/=y^x和s^t=t^s都是整数。另一个应用（可能是已知的）是（S）意味着数sqrt（2）^sqrt（2）^sqrt（2），i^i^i和i^e^pi的超越。我们还证明了如果（S）成立且a^a^z=z，其中a=/=0是代数的且z是无理数，则z是超越的.
Polynomial exponential equations and Zilber's conjecture
假设Schanuel猜想，我们证明了任何多项式指数方程的一个变量必须有一个解决方案，是超越一个给定的生成域。利用丢番图几何中的一些新结果，我们（无条件）证明了某些多项式指数方程只有1/2个有理解。这肯定地回答了一个问题的大卫标记，谁问，并证明在案件的代数系数，是否至少一个变量的情况下齐伯的强指数代数封闭性猜想可以减少到Schanuel的猜想。
Some consequences of Schanuel's Conjecture
在亚利桑那冬季学校2008年（在图森，亚利桑那州举行），我们对以下问题的工作：a）（扩大由S。Lang）。定义$E_0 = \overline{\mathbb{Q}}$归纳地，对于$n \geq 1$，将$E_n$定义为通过数字$\exp(x)=e^x$在$E_{n-1}$上生成的字段的代数闭包，其中$x$的范围在$E_{n-1}$上。令$E$是$E_n$，$n \geq 0$的并集。证明了Schanuel猜想意味着数$π, \log π, \log \log π, \log \log \log π, \ldots $在$E$上代数独立。b）尝试得到涉及如下定义的字段$L$的（结构上的）概括。定义$L_0 = \overline{\mathbb{Q}}$。归纳地，对于$n \geq 1$，将$L_n$定义为由数$y$在$L_{n-1}$上生成的域的代数闭包，其中$y$在复数集合上的范围使得$e^y\in L_{n-1}$。令$L$为$L_n$的并集，即$n \geq 0$。我们能够证明Schanuel猜想意味着$E$和$L$在$\overline{\mathbb{Q}}$上线性不相交。
Joint distribution of leftmost digits in positional notation and Schanuels's conjecture
本文研究了位置记数法中最左边数字的联合分布，并证明了在特定条件下，不同基数的对数是无理无关的，与Schanuel猜想相关。
Exponential algebraicity in exponential fields
给出了指数域上的指数代数闭包算子总是预几何的代数证明，并证明了其维数函数满足弱Schanuel性质.一个推论是，有至多可数许多必要的反例Schanuel猜想。
A pseudoexponentiation-like structure on the algebraic numbers
伪指数域是类似于复指数的指数域，满足Schanuel性质，这是Schanuel猜想的抽象陈述，也是存在闭包的一种适应形式。在这里，我们表明，如果我们删除Schanuel性质，只关心存在闭包，有可能创建几个存在封闭的指数函数的代数数，仍然有相似之处，复指数。主要的困难是有关的算术的代数数，他们可以克服与已知的结果专业化的乘法独立功能的代数簇。
Variations on Schanuel's Conjecture for elliptic and quasi-elliptic functions I: the split case
针对椭圆曲线通过乘法群的分裂扩张$G={\mathbb G}_m\times {\mathcal E}$的指数映射，提出分裂半椭圆猜想，其等价于格罗滕迪克-安德烈广义周期猜想的1-motive应用，且蕴含施耐德的三个椭圆类比定理及魏尔斯特拉斯$\zeta$函数猜想。
Schanuel Property for Elliptic and Quasi--Elliptic Functions
研究沙努尔猜想的强版本，证明对几乎所有复数元组成立，将指数函数替换为代数独立函数时类似结论成立，并给出椭圆和拟椭圆函数等代数独立的例子。
Trading degree for dimension in the section conjecture: The non-abelian Shapiro Lemma
本文旨在通过建立其在标量的Weil限制下的行为，为Anabel几何的截面猜想提供证据。特别地，Weil限制的标准基本群由非阿贝尔群上同调的Shapiro引理确定.
Prime number conjectures from the Shapiro class structure
由Pillai在1929年引入的$n$的高度$H(n)$是最小的正整数$i$，使得欧拉函数在$n$处的$i$阶为$1$。H. N. Shapiro（1943）在一个高度上研究了所有数的集合的结构。我们陈述了Shapiro的高度函数的公式，并使用它来列出在任何高度生成数字的步骤。事实证明，这是思考这个结构的一种有用的方式。特别地，我们推广了Shapiro关于在某一高度上的最大奇数的一些结果.我们提出了一些理论和计算的证据表明，$H$和它的亲属是密切相关的数论的重要功能，即$π(n)$和$n$第素数$p_n$。我们根据高度函数推测了$π(n)$和$p_n$的公式。
Functional Transcendence of Periods and the Geometric André--Grothendieck Period Conjecture
本文通过证明代数簇族中代数形式积分的函数超越性，给出混合 Hodge 结构变分的 Ax–Schanuel 结果，并据此建立几何形式的 André–Grothendieck 周期猜想。
Integrals Involving Rudin-Shapiro Polynomials and Sketch of a Proof of Saffari's Conjecture
从2004年开始，我们继续Christophe Doche和Laurent Habsieger的开创性工作，开发了计算机代数算法，在Maple中实现，用于找到Rudin-Shapiro多项式的任何积的积分（特别是矩）的生成函数。我们产生了大量的输出，并再次证实了萨法里的猜想的渐近小（和不那么小）的权力。我们还证实，对于小的权力，一个相关的，更一般的，猜想，休蒙哥马利。最后，我们概述了证明萨法里的充分猜想，我们相信可以变成一个充分的证明。[In这个版本，我们报告说，布拉德罗杰斯已经独立地发现了一个（完整！）Saffari猜想的证明http：//arxiv.org/abs/1606.01637]。
Generic points on exponential curves
我们证明，假设Schanuel猜想，每一个不可约的复多项式在两个变量，其中两个变量都出现有无穷多个代数独立的解决方案的形式（z，e^z）。
Consecutive Piatetski-Shapiro primes based on the Hardy-Littlewood conjecture
本文基于Hardy-Littlewood猜想，研究连续素数对分别属于两个Piatetski-Shapiro序列的分布，提出计数函数猜想并给出启发式论证，还证明了奇异级数加权平均的命题。
Bounds on Rudin-Shapiro polynomials of arbitrary degree
令$P_{<n}(z)$为次数为$n-1$的Rudin-Shapiro多项式。我们证明了$|P_{<n}(z)|\le \sqrt{6n-2}-1$对所有的$n\ge0$和$|z|=1$，证实了一个长期存在的猜想。当$n=(2\cdot 4^k+1)/3$和$z=1$。我们还表明，对于$n\ge m\ge0$，$|P_{<n}(z)-P_{<m}(z)|\le \sqrt{10(n-m)}$，这是渐近尖锐的意义上说，对于任何$\varepsilon>0$存在$n>m\ge0$和$z$与$|z|=1$和$|P_{<n}(z)-P_{<m}(z)|\ge\sqrt{(10-\varepsilon)(n-m)}$，蒙哥马利的猜想相矛盾。
Generic Solutions of Equations Involving the Modular $j$-function
本文在假设 Schanuel 猜想模版本与模 Zilber-Pink 猜想下，将涉及模 $j$-函数的方程族通解存在性归结为寻找 Zariski 稠密解集，并对簇定义域施加条件获得了无条件结果。
On the distribution of Rudin-Shapiro polynomials and lacunary walks on $SU(2)$
我们的特点的极限分布的鲁丁-夏皮罗多项式，表明，归一化，其值成为均匀分布在光盘。这解决了萨法里和蒙哥马利的问题。我们的证明收益有关的多项式的分布，弱相依随机矩阵的产品，我们分析使用$SU(2)$的表示论。我们的方法使我们的非交换模拟的经典中心极限定理的塞勒姆和Zygmund，这可能是独立的利益。
Zeros of $E$-functions and of exponential polynomials defined over $\overline{\mathbb{Q}}$
本文研究 $E$-函数和 $\overline{\mathbb{Q}}$ 上指数多项式的零点，部分刻画同重数零点，证明 Jossen 猜想特例，并从 Schanuel 猜想导出 $\pi$、代数数对数及特定贝塞尔函数零点的结果。
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