Fourier series of the $\nabla\,div$ operator and Sobolev spaces II
本文研究了三维光滑边界空间的有界域$G $上模的平方可积的向量函数空间$\mathbf{L}_{2}(G)$的结构，以及散度梯度和旋度算子在构造其正交子空间$\mathcal{A}$和$\mathcal{B}$的基中的作用。${\mathcal{A}}$和${\mathcal{B}}$包含子空间${\mathcal{A}_γ}(G)\subset{\mathcal{A}}$和$\mathbf{V}^{0}(G)\subset{\mathcal{B}}$。散度梯度算子和a旋度算子在这些子空间中有延拓，它们的展开式$\mathcal{N}_d$和$S$是自伴的和可转换的，它们的逆算子$\mathcal{N}_{d}^{-1}$和$S^{-1}$是紧的.在每个子空间中，我们建立ortonormal基。将这些基结合起来，我们得到了由散度梯度和旋度算子的本征函数构成的全空间$\mathbf{L}_{2}(G)$的完全正交基。在一种情况下，当域$G$是球$B$时，基本函数由初等函数定义。定义了空间$\mathcal{A}^{s}_{\mathcal{K}}(B)$。证明了$ \mathbf{v}\in\mathcal{A}^{s}_{\mathcal {K}}(B)$是其傅里叶级数（关于散度梯度的特征函数）在Sobolev空间$ \mathbf{H}^{s}(B)$范数下收敛的充要条件.利用函…
2017-12-07 math-ph math.AP math.MP
Multilinear Fourier Multipliers with Minimal Sobolev Regularity, II
本文给出了多线性Fourier算子在Sobolev空间中局部符号的Hardy-Lebesgue空间上的有界性的刻画。设$H^q(\mathbb R^n)$表示$0<q\le 1$时的Hardy空间，设$1<q\le \infty$时的Lebesgue空间$L^q(\mathbb R^n)$。我们找到了$m$ -线性傅里叶乘子算子的最优条件，当$1/p=1/p_1+\cdots +1/p_m$在局部$L^2$-Sobolev空间中对算子的符号进行估计时，该算子从$H^{p_1}\times \cdots \times H^{p_m}$到$L^p$是有界的.我们的条件提供了Calderón和Torchinsky的线性结果[http：//www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0001870877800169]和Miyachi和Tomita的双线性结果[http://www.ems-ph.org/journals/show_abstract.php? issn=0213-2230&vol=29&iss=2&rank=4]。扩展到一般的$m$在技术上和组合上都要复杂得多，符号所需的最佳Sobolev空间光滑性取决于Hardy-Lebesgue指数，并且在由$[0,\infty)^m$中的$m2^{m-1} +1$点的配置所形成的各种凸单形上是常…
2015-04-28 math.AP
The generic behavior of solutions to some evolution equations: asymptotics and Sobolev norms
本文研究了一类发展方程解的通有性态。将这些方法应用于圆上的薛定谔演化。
2009-08-17 math-ph math.AP math.MP
Quasi invariant modified Sobolev norms for semi linear reversible PDEs
本文考虑一类无限维可逆微分系统。假设线性频率上的非共振条件，我们构造了这类系统的几乎不变的伪范数，它们接近于Sobolev类范数。这使我们能够证明，如果索伯列夫范数的索引$s$的初始数据$z_0$是足够小的（顺序$ε$），然后索伯列夫范数的解决方案是有界的$2ε$在很长的时间（顺序$ε^{-r}$与$r$任意）。结果表明，该定理适用于包括d维环面上的非线性薛定谔方程在内的一大类可逆半线性偏微分方程。我们也将我们的方法应用到一个系统的耦合NLS方程是可逆的，但不是哈密顿。我们还注意到，对于同一类可逆系统，我们可以证明伯克霍夫范式定理，该定理反过来又意味着索伯列夫范数的相同界限。然而，我们证明拟不变伪范数存在性的技巧要简单直接得多。
2009-08-21 math-ph math.AP math.MP
Fefferman--Stein-type estimates and fractional NLS in Fourier Sobolev spaces
Indian Institute of Science Education and Research Pune（印度科学教育研究所浦那分校）；Polytechnic University of Japan（日本工业大学）
研究一维分数阶非线性薛定谔方程在傅里叶 - 索伯列夫空间的适定性，通过证明费弗曼 - 斯坦型估计，利用其不等式及推广，克服导数损失困难，得出大数据局部和小数据全局适定性结果。
2026-07-21 math.AP
On the growth of Sobolev norms for NLS on $2d$ and $3d$ manifolds
利用适当的修正能量，研究了一般$2d$或$3d$紧致流形上非线性薛定谔方程高阶Sobolev范数随时间的增长性.在$2d$中，我们推广了以前只处理三次非线性项的结果，得到了任意高阶非线性项的多项式时间界。在$3d$中，我们证明了三次NLS的解最多是指数增长的，而对于次三次NLS，我们得到了$H^2$ -范数增长的多项式界。
2016-07-29 math-ph math.AP math.MP
The Fourier extension operator of distributions in Sobolev spaces of the sphere and the Helmholtz equation
本文用$α\in \mathbb{R}$刻画了由分布在球面$H^α(\mathbb{S}^{d-1}),$的索伯列夫空间中的Fourier延拓算子引起的齐次Helmholtz方程的全部解（$\mathbb{R}^d$中的解）.我们提出了两个特征。第一个是书面的某些$L^2$加权规范涉及的球拉普拉斯的真实权力。第二种方法是在P.Hartman和C.威尔科克斯对于$α>0$，该特征涉及在亥姆霍兹方程的整体解的向量中评估的多变量平方函数，而对于$α<0$，其被写在充当分数积分算子的球形积分算子方面。最后，我们也刻画了所有的解决方案，是傅立叶扩展运营商的分布在球。
2020-04-03 math.AP math.CA
Global approximate controllability for Schrödinger equation in higher Sobolev norms and applications
证明了薛定谔方程在Sobolev空间$H^s$，$s>0$中关于位势是近似可控的.我们给出了这个结果的两个应用。首先，在一维空间的情形下，将我们的结果与局部精确能控性相结合，得到了系统在高阶Sobolev空间中的全局精确能控性。证明了具有随机含时振幅势的薛定谔方程在$L^2 $中的单位球$S$上至多存在一个定态测度.
2009-05-14 math-ph math.AP math.MP
On Two-Sided Estimates for the Nonlinear Fourier Transform of KdV
圆上的KdV方程$u_t = -u_{xxx} + 6uu_x$允许全局非线性傅里叶变换，也称为Birkhoff映射，线性化KdV流。已知$u$的正则性与相应的非线性傅里叶系数的衰减性质密切相关。本文利用非线性Fourier变换的加权范数，得到了所有整数Sobolev范数$||u||_m$，$m\ge 0$的双边多项式估计，它们在最高阶是线性的.进一步得到了任意加权索伯列夫空间中非线性Fourier变换的定量估计。
2015-02-16 math.AP
Sobolev norms of $L^2$-solutions to NLS
本文利用逆谱理论，针对非线性薛定谔方程，证明了对于$L^2$初始数据和$s\in[-1,0]$，存在与解的$H^s$范数等价的守恒量。
2022-11-14 math-ph math.AP math.MP
Optimal error estimate of a conservative Fourier pseudo-spectral method for the space fractional nonlinear Schrödinger equation
本文研究了空间分数阶非线性薛定谔方程的保质量保能量的保Fourier准谱方法的误差分析。给出了一个新的分数阶Sobolev范数，它可以构造离散的分数阶索伯列夫空间，并证明了一些重要的引理.基于这些引理和能量方法，可以建立该方法的先验误差估计。然后，我们能够证明傅立叶准谱方法是无条件收敛的，在离散$L^{\infty}$范数下阶为$O(τ^{2}+N^{α/2-r})$，其中$τ$是时间步长，$N$是谱方法中使用的配置点的数目。数值算例验证了理论分析的正确性。
2019-10-21 cs.NA math.AP math.NA
A Fourier approach to the profile decomposition in Orlicz spaces
本文利用傅里叶分析刻画了$H^N(R^{2N})$在Orlicz空间中的Sobolev嵌入缺乏紧性.
2013-12-04 math.AP
Long time decay for 3D-NSE in Gevrey-Sobolev spaces
本文证明了：若$u$是Sobolev-Gevrey空间$H^1_{a,σ}(\mathbb R^3)$中斯托克斯方程的整体解，则$\|u(t)\|_{H^1_{a,σ}}$随时间的无穷大衰减到零.使用了傅里叶分析。
2015-02-14 math.AP
Equivalence of Sobolev norms for Kolmogorov operators with scaling-critical drift
School of Mathematical and Physical Sciences, Macquarie University（麦考瑞大学数学与物理科学学院）；Institute for Theoretical Physics, ETH Zurich（苏黎世联邦理工学院理论物理研究所）
本文研究了Kolmogorov算子中具有缩放临界漂移项的Sobolev范数等价性，指出需对可比Sobolev空间范围施加额外限制，因相关半群缺乏梯度界。
2026-01-21 math-ph math.AP math.FA
A characterization of the subspace of radially symmetric functions in Sobolev spaces
该研究通过径向剖面的加权Sobolev范数等价刻画径向对称函数的Sobolev空间，并将结果用于描述共旋映射的范数。
2024-05-07 math-ph math.AP math.FA
Remarks on Sobolev norms of fractional orders
当一个属于分数阶索伯列夫空间的函数在定义了索伯列夫空间的Lipschitz整环的真子集中得到支撑时，它作为一个函数在较小集合上的索伯列夫范数与它在整个整环上的范数相比如何？比较常数取决于什么？不同的规范是否有不同的表现？本文将讨论这些问题。证明了一些不等式，并通过反例反驳了一些误解。
2021-01-11 math.AP
On some equivalent norms in Sobolev spaces on bounded domains and on the boundaries
本文研究了d维实欧几里得空间中有界域上的索伯列夫空间和这些域边界上的索伯列夫空间中的一些范数的等价性。
2022-02-22 math.AP
Uniform Bound of Sobolev Norms of Solutions to 3D Nonlinear Wave Equations with Null Condition
研究了三维拟线性波动方程在零条件下经典解的Sobolev范数的时间增长性。
2015-10-11 math.AP
Growth of higher Sobolev norms for energy critical NLS on irrational tori: small energy case
考虑一般无理环面上的能量临界非线性薛定谔方程。利用文献[8]中证明的长时间Sobolev估计，我们建立了小能量解的高Sobolev范数的多项式上界。
2017-02-18 math.AP
Growth of Sobolev norms for linear Schr{ö}dinger operators
我们给出了一个线性的，时间相关的，薛定谔算子的Sobolev范数的最佳增长的例子。的建设是明确的，并依赖于全面研究的线性最低朗道能级方程与时间相关的潜力。
2021-05-07 math.AP
Fully nonlinear elliptic and parabolic equations in weighted and mixed-norm Sobolev spaces
在松弛的凸性条件下，证明了全空间中完全非线性椭圆型和抛物型方程的加权和混合范数Sobolev估计，其中几乎VMO依赖于时空变量.得到了相应的内点估计和边界估计。
2018-05-31 math.AP
Growth of Sobolev norms for coupled Lowest Landau Level equations
研究了非线性最低水平Landau方程的耦合系统，证明了解的整体存在性，并给出了Sobolev范数的可能增长性的多项式界.我们还展示了明确的无界轨迹，这表明这些界限是最佳的。
2021-02-04 math.AP
On the characterisations of wave front sets via the short-time Fourier transform
众所周知，经典波前和Sobolev波前通过短时傅里叶变换被推广到不等价的全局形式。在这篇很短的论文中，我们通过短时傅里叶变换给出了初始波前集的完整特征。
2018-09-24 math.AP
Long time decay for global solutions to the Navier-Stokes equations in Sobolev-Gevery spaces
本文证明了：如果$u\in C([0,\infty), \dot{H}^{1/2}_{a,1}(\mathbb{R}^3))$是三维不可压Navier-斯托克斯方程的整体解，则当时间趋于无穷大时，$\|u\|_{\dot{H}^{1/2}_{a,1}}$衰减到零.使用了傅里叶分析和标准技术。
2019-03-07 math.AP
Upper bound of higher-order Sobolev norms for Zkaharov system in one space dimension
本文研究一维Zkaharov系统在Diriclet边界条件下的Cauchy问题，利用修正能量方法证明了解的整体适定性及高阶Sobolev范数的增长。
2024-03-26 math.AP
Bounds on Sobolev norms for the nonlinear Schrödinger equation on general tori
我们证明了一般平坦d-环面上任意d.利用这些估计，我们证明了三次非线性薛定谔方程在适当的索伯列夫空间中的局部适定性.在二维和三维，我们证明了多项式的光滑解的Sobolev范数的可能增长的界限。
2008-09-26 math.AP math.CA
A remark on norm inflation with general initial data for the cubic nonlinear Schrödinger equations in negative Sobolev spaces
本文研究了三次非线性薛定谔方程的不适定性问题。特别地，我们证明了在任何初始条件下，在低于或处于标度临界正则性的负索伯列夫空间中的范数膨胀。
2021-06-22 math.AP
On the Growth in time of Sobolev Norms for Time Dependent Linear Generalized KdV-type Equations
在一维空间中，我们给出了圆上不定常线性广义KdV型方程Sobolev范数的增长性。对于大多数的初始数据，Sobolev范数的增长是多项式时间固定的解析势允许的增长。如果初始数据是在一个固定的较小的函数空间中给出的，对于$V(x,t)$具有更严格的容许增长条件，那么以前的Sobolev范数的增长在时间上至多是对数的。
2018-10-21 math.AP math.DS
The stability of nonlinear Schrödinger equations with a potential in high Sobolev norms revisited
本文考虑$\mathbb T^d$上带位势的非线性薛定谔方程.对于几乎所有的势函数，我们证明了在很高的Sobolev范数下的几乎全局稳定性。我们应用Birkhoff标准形的迭代，如Bourgain \cite{Bo00}引入的公式。这个结果重新证明了Bambusi和Grebert \cite{BG}关于无穷维Birkhoff规范形定理的一个动力学结果
2014-06-02 math.AP
On the growth of Sobolev norm for the cubic NLS on two dimensional product space
本文研究二维乘积空间上三次散焦NLS解的Sobolev范数增长，通过角向改进双线性Strichartz估计增强平滑估计，获得多项式上界，度量能量向高模态的转移。
2023-06-23 math.AP
Cauchy problem for singular-degenerate porous medium type equations: well-posedness and Sobolev regularity
本文研究扩散系数兼具多孔介质型退化与奇异性的拟线性反应扩散方程柯西问题，利用m-增生算子理论、动力学公式和Fourier分析技术证明了其适定性与Sobolev正则性。
2023-12-04 math.AP
Local Well-posedness for 2-D Schrodinger Equation on Irrational Tori and Bounds on Sobolev Norms
本文研究了二维空间中无理环面上的三次薛定谔方程。我们的主要结果是一个改进的非理性环面上的Eschhartz估计。使用这个估计，我们获得了H^s的局部适定性结果，其中s>131/416。我们还得到了高阶Sobolev范数的改进的增长界。
2013-06-29 math.AP
On differentiability of Sobolev functions with respect to the Sobolev norm
本文研究Sobolev函数的$W^1_p$-可微性与$L_p$-可微性之间的关系，证明前者蕴含后者但反之不成立，并讨论近似可微性及$\cp_p$-几乎处处的$W^1_p$-可微性。
2023-11-28 math.AP
Growth of Sobolev norms for unbounded perturbations of the Schrödinger equation on flat tori
该研究针对平坦环面上拉普拉斯算子的无界时变扰动问题，证明其Sobolev范数增长满足$\u27e8 t\u27e9^\u03b5$界，为相关偏微分方程解的正则性分析提供了理论结果。
2023-06-09 math.AP math.DS
Sobolev stability of plane wave solutions to the cubic nonlinear Schrödinger equation on a torus
结果表明，平面波解的三次非线性薛定谔方程的环面行为轨道稳定的一般扰动下的初始数据是小的，在一个高阶Sobolev范数，在很长的时间内，扩展到任意负的权力的小参数。在如此长的时间内，扰动在相同的Sobolev范数下保持很小。证明使用了一个哈密尔顿的减少和变换，或者，伯克霍夫正规形式或调制傅立叶展开的时间。
2012-10-11 math.AP
Beating effects in cubic Schrödinger systems and growth of Sobolev norms
考虑耦合三次薛定谔方程系统。我们证明了存在拍频效应，即不同模式之间的能量交换。这种构造可以转化为线性时变薛定谔方程：我们建立解，使得它们的索伯列夫范数以几何方式增长。所有这些结果都是在大而有限的时间内得到的。
2012-08-28 math.AP
Estimates of anisotropic Sobolev spaces with mixed norms for the Stokes system in a half-space
在${\mathbb R}^n_+ \times (0,T)$中研究了具有非齐次外力和非零初值的非定常Stokes系统。利用混合各向异性索伯列夫空间得到了含压力解的新估计.作为应用，给出了三维半空间中Navier-斯托克斯方程弱解的各向异性Sobolev估计.
2013-08-07 math.AP
Anisotropic Fractional Sobolev Norms
Bourgain、Brezis和Mironescu证明了（在适当的尺度下）函数$f\in W^{1,p}(\rn)$的分数Sobolev $s$ -范数收敛到$f$的Sobolev范数，即$s\to 1^-$。由单位球$K$的$\rn$上的范数定义的$s$ -范数收敛到由单位球$\,\ompd K$（$K$的极$L_p$矩体）的范数定义的$f$的各向异性Sobolev范数.还确定了$s\to 0^+$的极限行为（扩展了Maz $'$ ya和Shaanova的结果）。
2013-04-02 math.AP math.FA
On Fractional Schrodinger Equations in sobolev spaces
设$σ\in(0,1)$与$σ\neq\frac{1}{2}$。研究了$\mathbb R^d$中的分数阶非线性薛定谔方程：$$i\partial_tu+(-Δ)^σu+μ|u|^{p-1}u=0,\, u(0)=u_0\in H^s,$$，其中$(-Δ)^σ$是符号$|ξ|^{2σ}$和$μ=\pm 1$的傅里叶乘子.这个模型是拉斯金在量子物理学\cite{laskin}中提出的。在索伯列夫空间中建立了幂型非线性项的局部适定性和不适定性。
2015-01-07 math.AP
A regularity theory for evolution equations with time-measurable pseudo-differential operators in weighted mixed-norm Sobolev-Lipschitz spaces
该研究针对带时间可测伪微分算子的发展方程，在加权混合范数Sobolev-Lipschitz空间框架下分析解的存在性、唯一性、正则性，并探究迹嵌入与解的连续性，丰富了相关方程的正则性理论。
2024-12-14 math.AP
Growth of Sobolev norms and controllability of Schrödinger equation
本文在一般的位势假设下得到了薛定谔方程的一个稳定性结果。然后我们考虑具有随机振幅的势的薛定谔方程。证明了若振幅分布充分非退化，则系统的任意轨线在索伯列夫空间中几乎必然是无界的。
2008-09-18 math.AP
Nonlocal approximations to anisotropic Sobolev norms
本文对非线性弹性力学、电流变流体理论以及图像处理中的一类变指数索伯列夫空间，在变指数$p(x)$达到值$1$的区域，得到了其非局部特征.
2021-10-26 math.AP math.FA
On solvability of parabolic equations with singular coefficients in odd mixed-norm Morrey-Sobolev spaces
本文研究了在奇混合范数Morrey- Sobolev空间中，具有奇异系数的抛物方程的可解性问题，通过引入混合范数Morrey类和BMO条件，证明了存在性和唯一性定理。
2025-12-01 math.AP
On the growth of high Sobolev norms of the cubic nonlinear Schrödinger equation on $\mathbb{R}\times \mathbb{T}$
考虑乘积流形$\mathbb{R}\times \mathbb{T}$上的三次非线性薛定谔方程.本文得到了解的高Sobolev范数随时间增长的多项式界。证明的主要内容是建立一个迭代界，它是基于Bourgain在\cite{B1}中使用的思想。
2023-02-01 math.AP
Sobolev norms explosion for the cubic NLS on irrational tori
考虑$2$维无理环面上的三次非线性薛定谔方程.我们构造的解决方案进行增长的Sobolev规范。更具体地说，对于每一个$s>0$，$s\neq 1$和几乎每一个选择的空间周期，我们构造的解决方案，其$H^s$ Sobolev规范增长的任何规定的因素。此外，对于一组具有正豪斯多夫维数的空间周期，我们构造了其Sobolev范数从任意小到任意大的解。我们还提供了估计所需的时间进行规范爆炸。注意，空间周期的不合理性将线性共振相互作用分解为$1$维共振的产物，从而大大降低了通常用于构造能量转移解的共振动力学的复杂性。然而，人们可以通过使用依赖于空间周期的丢番图逼近性质的准共振来提供这些增长的Sobolev范数解。
2022-03-01 math.AP math.DS
Logarithmic bounds on Sobolev norms for time-dependent linear Schrödinger equations
我们证明了在1-D的增长的Sobolev范数的不定常的线性薛定谔方程是最多对数的时间为任何（固定）的潜力，这是分析（或Gevrey）。最近在[N]中证明了Sobolev范数几乎必然是无界的，这表明对数几乎必然是必要的。在[W]中，作者证明了对于显式时间周期势，Sobolev范数是有界的。这是在[N]意义下的例外集合中。本文与[N，W]一起给出了圆上不定常线性薛定谔方程的一个比较完整的图象.
2008-09-30 math.AP math.SP
Normalized solutions of quasilinear Schrödinger equation with Sobolev critical exponent on star-shaped bounded domains
本文研究星形有界域上具Sobolev临界指数的拟线性Schrödinger方程，通过双偶方法证明了基态与山路解两类正归一化解的存在性。
2025-09-16 math.AP
Fractional Sobolev norms and BV functions on manifolds
紧流形上的有界变差范数和Sobolev范数表示为分数Sobolev范数的一个极限。这建立了有界变差函数和紧流形上的Sobolev函数的特征。作为应用，考虑了有限周长集的特殊情况。
2018-06-07 math.AP math.FA math.MG
Asymmetric anisotropic fractional Sobolev norms
Bourgain、Brezis和Mironescu证明了（在适当的尺度下）函数$f\in W^{1,p}(\mathbb{R}^n)$的分数Sobolev $s$ -范数收敛到$f$的Sobolev范数，即$s\rightarrow1^-$。Ludwig在具有单位球$K$的$\mathbb{R}^n$上引入了由范数定义的$f$的各向异性分数Sobolev $s$ -范数，并证明了它们收敛于由单位球为$K$的极$L_p$矩体的范数定义的$f$的各向异性Sobolev范数，即$s\rightarrow1^-$ .的非对称各向异性$s$的-EQUORMS收敛到各向异性Sobolev EQUORMS的$f$定义的Minkowski功能的极性非对称$L_p$矩体的$K$。
2014-10-22 math.AP math.FA
Growth of Sobolev norms for the quintic NLS on $\mathbb T^2$
研究了二维环面上的五次非线性薛定谔方程，给出了其Sobolev范数随时间增长的轨道.主要的一点是减少到一个足够简单的玩具模型，类似于在许多方面的情况下使用的立方体NLS。这需要精确的组合分析。
2014-05-07 math.AP
Bounds on the growth of high Sobolev norms of solutions to 2D Hartree Equations
本文考虑二维环面和平面上的Hartree型方程。我们证明了多项式的增长上界的高Sobolev规范的解决方案，这些方程。我们的研究结果的证明是基于适应两个维度的技术，我们以前用来研究类似的问题$S^1$，和$\mathbb{R}$。
2014-05-14 math.AP
Parabolic equations with partially VMO coefficients and boundary value problems in Sobolev spaces with mixed norms
研究了索伯列夫空间中具有混合范数的二阶抛物型方程.首项系数（除$a^{11}$外）在时间和一个空间变量中是可测量的，并且VMO在其他空间变量中是可测量的。系数$a^{11}$在时间上是可测量的，在空间变量上是VMO。利用方程在全空间中唯一可解的性质，求解了半空间中抛物型方程的Dirichlet和斜微商问题。
2007-06-03 math.AP
Negative Orlicz-Sobolev norms and strongly nonlinear systems in fluid mechanics
在Orlicz-索伯列夫空间中证明了一个负范数定理. Orlicz空间之间的Bogovskii算子的连续性的研究是一个关键的步骤，独立的利益，在我们的方法。应用的压力重建问题的非牛顿流体的本构关系，这不一定是幂型，提出。一个关键的不等式的数值分析的基础椭圆系统也得到。
2014-08-18 math.AP
Growth of Sobolev norms for the analytic NLS on $\mathbb T^2$
本文考虑二维环面上具有任意解析规范不变非线性项的完全共振散焦非线性薛定谔方程。修复$s>1$。我们证明了这个方程的解的存在性，实现任意大的增长$H^s$ Sobolev规范。我们还估计了实现这一增长所需的时间。
2017-06-15 math.AP math.DS
