The generic behavior of solutions to some evolution equations: asymptotics and Sobolev norms
Sergey A. Denisov
本文研究了一类发展方程解的通有性态。将这些方法应用于圆上的薛定谔演化。
We study generic behavior of solutions to a large class of evolution equations. The methods are applied to Schrodinger evolution on the circle.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Quasi invariant modified Sobolev norms for semi linear reversible PDEs
本文考虑一类无限维可逆微分系统。假设线性频率上的非共振条件，我们构造了这类系统的几乎不变的伪范数，它们接近于Sobolev类范数。这使我们能够证明，如果索伯列夫范数的索引$s$的初始数据$z_0$是足够小的（顺序$ε$），然后索伯列夫范数的解决方案是有界的$2ε$在很长的时间（顺序$ε^{-r}$与$r$任意）。结果表明，该定理适用于包括d维环面上的非线性薛定谔方程在内的一大类可逆半线性偏微分方程。我们也将我们的方法应用到一个系统的耦合NLS方程是可逆的，但不是哈密顿。我们还注意到，对于同一类可逆系统，我们可以证明伯克霍夫范式定理，该定理反过来又意味着索伯列夫范数的相同界限。然而，我们证明拟不变伪范数存在性的技巧要简单直接得多。
On the growth of Sobolev norms for NLS on $2d$ and $3d$ manifolds
利用适当的修正能量，研究了一般$2d$或$3d$紧致流形上非线性薛定谔方程高阶Sobolev范数随时间的增长性.在$2d$中，我们推广了以前只处理三次非线性项的结果，得到了任意高阶非线性项的多项式时间界。在$3d$中，我们证明了三次NLS的解最多是指数增长的，而对于次三次NLS，我们得到了$H^2$ -范数增长的多项式界。
Global approximate controllability for Schrödinger equation in higher Sobolev norms and applications
证明了薛定谔方程在Sobolev空间$H^s$，$s>0$中关于位势是近似可控的.我们给出了这个结果的两个应用。首先，在一维空间的情形下，将我们的结果与局部精确能控性相结合，得到了系统在高阶Sobolev空间中的全局精确能控性。证明了具有随机含时振幅势的薛定谔方程在$L^2 $中的单位球$S$上至多存在一个定态测度.
The Sobolev norms and localization on the Fourier side for the solutions to some evolution equations
在一维环面情形下，研究了具有粗糙含时势的发展方程。我们表明，该解决方案具有较高的正则性的一般值的耦合常数。研究了大时间渐近性和傅立叶侧的局部化。
Long time growth of Sobolev norms in time dependent semiclassical anharmonic oscillators
本文考虑由$$\mathrm{i} \hbar \partial_t ψ= \left(-\frac{\hbar^2}{2} Δ+ W_l(x) \right)ψ+ V(t,x)ψ,$$给出的$\mathbb R^d$上的半经典薛定谔方程，其中$W_l$是$W_l(x)= \frac{1}{2l}\sum_{j=1}^d x_j^{2l}$形式的非谐陷波，$l\geq 2$是整数，$\hbar$是半经典小参数.我们构造了一个光滑的潜在$V(t,x)$，有界的时间与其衍生物，和一个初始数据，使Sobolev规范的解决方案增长的对数速度为所有时间的顺序$\log^{\frac12}(\hbar^{-1})$。证明依赖于两个成分：首先，我们构造了一个无界的解决方案的强制机械非谐振子，然后我们利用半经典近似与相干态，以获得增长的Sobolev范数的量子系统，这是有效的半经典时间尺度。
Corrigenda to "$L^p$ estimates and asymptotic behavior for finite energy solutions of extremals to Hardy-Sobolev inequalities", Trans. Amer. Math. Soc. 363 (2011), no. 1, 37--62
“Hardy-Sobolev不等式极值的有限能量解的$L^p$估计和渐近行为”，Trans. Amer. Math. Soc. 363（2011），第1期，第37- 62页。
Asymptotic behavior of extremal functions to an inequality involving Hardy potential and critical Sobolev exponent
本文研究了一类含Hardy势和临界Sobolev指数的不等式的径向极值函数的渐近性态。基于原点和无穷远处的渐近性态，我们将推出两个最佳常数之间的严格不等式。最后，作为这个严格不等式的应用，我们考虑了一类具有Hardy势和临界Sobolev指数的拟线性Brezis-Nirenberg型问题非平凡解的存在性。
Sobolev norms of $L^2$-solutions to NLS
本文利用逆谱理论，针对非线性薛定谔方程，证明了对于$L^2$初始数据和$s\in[-1,0]$，存在与解的$H^s$范数等价的守恒量。
Asymptotic behaviours in Fractional Orlicz-Sobolev spaces on Carnot groups
本文在Carnot群上定义了一类分式Orlicz-索伯列夫空间，并在Bourgain-Brezis-Mironescu和Maz'ya-Shaanova著名结果的基础上，研究了当分式参数达到$1$和$0$时Orlicz泛函的渐近性质.
Equivalence of Sobolev norms for Kolmogorov operators with scaling-critical drift
本文研究了Kolmogorov算子中具有缩放临界漂移项的Sobolev范数等价性，指出需对可比Sobolev空间范围施加额外限制，因相关半群缺乏梯度界。
A characterization of the subspace of radially symmetric functions in Sobolev spaces
该研究通过径向剖面的加权Sobolev范数等价刻画径向对称函数的Sobolev空间，并将结果用于描述共旋映射的范数。
Long-time asymptotics of the modified KdV equation in weighted Sobolev spaces
在某些加权索伯列夫空间中，在初始条件下建立了离焦修正Korteweg-de vries（MKdV）方程解的长时间行为.我们的方法是基于非线性最速下降法Deift和周和它的重新制定由Dieng和McLaughlin通过$\overline{\partial}$ -衍生物。为了将渐近性推广到具有较低正则性空间中的初始数据的解，我们通过PDE技术应用全局逼近。
The long-time asymptotic behaviors of the solutions for the coupled dispersive AB system with weighted Sobolev initial data
本文利用$\bar{\partial}$ -陡集下降法研究了在加权索伯列夫空间$H^{1,1}(\mathbb{R})$，\begin{align*} \left\{\begin{aligned} &A_{xt}-αA-βAB=0,\\ &B_{x}+\fracγ{2}(|A|^2)_t=0,\\ &A(x,0)=A_0(x),~~~~B(x,0)=B_0(x)\in H^{1,1}(\mathbb{R}). \end{aligned}\right. \end{align*}中具有初始条件的耦合色散AB系统的Cauchy问题。从耦合色散AB系统的Lax对出发，通过构造基本的黎曼-希尔伯特问题，成功地导出了耦合色散AB系统的解。利用$\bar{\partial}$ -陡集下降法，在没有离散谱的情况下，刻画了耦合色散AB系统解的长时间渐近行为.我们的结果表明，与以前的结果相比，我们提高了长期渐近解的精度从$O(t^{-1}\log t)$到$O(t^{-1})$。
Remarks on Sobolev norms of fractional orders
当一个属于分数阶索伯列夫空间的函数在定义了索伯列夫空间的Lipschitz整环的真子集中得到支撑时，它作为一个函数在较小集合上的索伯列夫范数与它在整个整环上的范数相比如何？比较常数取决于什么？不同的规范是否有不同的表现？本文将讨论这些问题。证明了一些不等式，并通过反例反驳了一些误解。
Long-time asymptotics for solutions of the NLS equation with initial data in a weighted Sobolev space
在初始数据位于加权索伯列夫空间的假设下，计算了NLS方程解的长时间渐近性。在早期的工作中（例如见[DZ1]，[DIZ]），初始数据需要高阶衰减和平滑。本文的方法是[DZ 1]的最速下降方法的进一步发展，并用振荡抵消代替了[DZ 1]中的某些绝对型估计。
On some equivalent norms in Sobolev spaces on bounded domains and on the boundaries
本文研究了d维实欧几里得空间中有界域上的索伯列夫空间和这些域边界上的索伯列夫空间中的一些范数的等价性。
Well-posedness of an asymptotic model for free boundary Darcy flow in porous media in the critical Sobolev space
我们证明了毛细驱动自由边界Darcy流的二次近似在$ \dot{H}^{3/2} $中是适定的，并且在$ \dot{H}^{3/2} $中，当初始数据较小时，二次近似是整体适定的。
Uniform Bound of Sobolev Norms of Solutions to 3D Nonlinear Wave Equations with Null Condition
研究了三维拟线性波动方程在零条件下经典解的Sobolev范数的时间增长性。
Growth of higher Sobolev norms for energy critical NLS on irrational tori: small energy case
考虑一般无理环面上的能量临界非线性薛定谔方程。利用文献[8]中证明的长时间Sobolev估计，我们建立了小能量解的高Sobolev范数的多项式上界。
Growth of Sobolev norms for linear Schr{ö}dinger operators
我们给出了一个线性的，时间相关的，薛定谔算子的Sobolev范数的最佳增长的例子。的建设是明确的，并依赖于全面研究的线性最低朗道能级方程与时间相关的潜力。
Equivalence of Sobolev norms involving generalized Hardy operators
本文研究带哈代位势的分数阶薛定谔算子所生成的齐次索伯列夫空间与通常齐次索伯列夫空间的等价性，得到广义及反向哈代不等式，并推广了非分数阶情形下的近期结果。
Smoothing effect and asymptotic behavior of solutions to nonlinear elastic wave equations with viscoelastic terms in the framework of $L^{p}$-Sobolev spaces
在$L^{p}$框架下研究了具有粘弹性阻尼项的非线性弹性波动方程的Cauchy问题.证明了文[12]中在$L^{2}$ -索伯列夫空间中构造的整体小解满足与初值的附加正则性相对应的相容性。结果，建立了$t$中的精确估计和扩散波的近似公式。
Asymptotic behavior of Musielak-Orlicz-Sobolev modulars
本文研究分数阶参数趋于1时各向异性非局部非标准增长模量的渐近行为，建立了广义Bourgain-Brezis-Mironescu型公式，并在变指数分数阶Sobolev空间中降低了对指数正则性的要求。
Asymptotic Behaviors of Solutions to quasilinear elliptic Equations with critical Sobolev growth and Hardy potential
对拟线性椭圆型方程\[-Δ_{p}u-\fracμ{|x|^{p}}|u|^{p-2}u=Q(x)|u|^{\frac{Np}{N-p}-2}u,\quad\,x\in \mathbb{R}^{N},\]得到了弱解在原点和无穷远处的渐近性态的最优估计，其中$1<p<N, 0\leqμ<\left({(N-p)}/{p}\right)^{p}$和$Q\in L^{\infty}(\mathbb{R}^{N})$ .
Fully nonlinear elliptic and parabolic equations in weighted and mixed-norm Sobolev spaces
在松弛的凸性条件下，证明了全空间中完全非线性椭圆型和抛物型方程的加权和混合范数Sobolev估计，其中几乎VMO依赖于时空变量.得到了相应的内点估计和边界估计。
Growth of Sobolev norms for coupled Lowest Landau Level equations
研究了非线性最低水平Landau方程的耦合系统，证明了解的整体存在性，并给出了Sobolev范数的可能增长性的多项式界.我们还展示了明确的无界轨迹，这表明这些界限是最佳的。
Sobolev-class asymptotically hyperbolic manifolds and the Yamabe problem
我们考虑度量具有Sobolev类正则性的渐近双曲流形，并介绍了几种研究此类流形上偏微分方程的技术工具。我们的结果采用了两个新的家庭的函数空间适合度量可能有大量的内部可微性，但其Sobolev正则性意味着只有一个Hölder连续的共形结构在无穷远。我们建立Fredholm定理椭圆算子所产生的度量在这些家庭。为了证明我们的方法的效用，我们解决了Yamabe问题在这一类。作为一种特殊情况，我们证明了渐近双曲Yamabe问题是可解的，只要度量承认一个$W^{1,p}$共形紧化，与$p$大于的维数的流形。
Bounds on Sobolev norms for the nonlinear Schrödinger equation on general tori
我们证明了一般平坦d-环面上任意d.利用这些估计，我们证明了三次非线性薛定谔方程在适当的索伯列夫空间中的局部适定性.在二维和三维，我们证明了多项式的光滑解的Sobolev范数的可能增长的界限。
On the Growth in time of Sobolev Norms for Time Dependent Linear Generalized KdV-type Equations
在一维空间中，我们给出了圆上不定常线性广义KdV型方程Sobolev范数的增长性。对于大多数的初始数据，Sobolev范数的增长是多项式时间固定的解析势允许的增长。如果初始数据是在一个固定的较小的函数空间中给出的，对于$V(x,t)$具有更严格的容许增长条件，那么以前的Sobolev范数的增长在时间上至多是对数的。
Lp estimates and asymptotic behavior for finite energy solutions of extremals to Hardy-Sobolev inequalities
受一类Hardy-Sobolev型不等式的极值所满足的方程的启发，我们在$\mathbb{R}^n$的子空间上证明了含有临界指数和可能奇异性的p-Laplace方程有限能量解的$\mathbb{R}^n$正则性，这意味着解在无穷远处的渐近行为.此外，在所考虑的$L^2$ Hardy-Sobolev不等式的情况下，我们找到了最佳常数和极值.
Upper bound of higher-order Sobolev norms for Zkaharov system in one space dimension
本文研究一维Zkaharov系统在Diriclet边界条件下的Cauchy问题，利用修正能量方法证明了解的整体适定性及高阶Sobolev范数的增长。
A remark on norm inflation with general initial data for the cubic nonlinear Schrödinger equations in negative Sobolev spaces
本文研究了三次非线性薛定谔方程的不适定性问题。特别地，我们证明了在任何初始条件下，在低于或处于标度临界正则性的负索伯列夫空间中的范数膨胀。
Long-time asymptotic behavior of the nonlocal nonlinear Schrödinger equation with initial potential in weighted sobolev space
在加权索伯列夫空间中研究了以$H^{1,1}(\mathbb{R})$为初位势的非局部非线性薛定谔方程的Cauchy问题，\begin{align*} iq_t(x,t)&+q_{xx}(x,t)+2σq^2(x,t)\bar q(-x,t)=0,\quadσ=\pm1,\\ q(x,0)&=q_0(x). \end{align*}我们证明了该问题的解可以用黎曼-希尔伯特问题（RH问题）的解来表示，并在没有离散谱的假设下，主要应用$\bar\partial$ -最陡下降法下降法分析了它的长时间渐近性态.
The stability of nonlinear Schrödinger equations with a potential in high Sobolev norms revisited
本文考虑$\mathbb T^d$上带位势的非线性薛定谔方程.对于几乎所有的势函数，我们证明了在很高的Sobolev范数下的几乎全局稳定性。我们应用Birkhoff标准形的迭代，如Bourgain \cite{Bo00}引入的公式。这个结果重新证明了Bambusi和Grebert \cite{BG}关于无穷维Birkhoff规范形定理的一个动力学结果
Asymptotic study of supercritical generalized SQG equations in critical Sobolev spaces
本文研究了超临界gSQG方程在非线性完全 regime 下正则解的长期行为，证明了在临界Sobolev范数下小初始数据条件下，唯一全局解满足能量不等式且临界范数随时间趋于零。
On the growth of Sobolev norm for the cubic NLS on two dimensional product space
本文研究二维乘积空间上三次散焦NLS解的Sobolev范数增长，通过角向改进双线性Strichartz估计增强平滑估计，获得多项式上界，度量能量向高模态的转移。
Asymptotic for optimizers of the fractional Hardy-Sobolev inequality
本文研究了具有可微阶$s\in ]0,1[$的空间$\dot{W}^{s,p}({\mathbb R}^N)$的Hardy-Sobolev不等式中的优化器$u$.在证明了集中紧性的存在性之后，我们得到了大$|x|$的逐点渐近$u(x)\simeq |x|^{-\frac{N-ps}{p-1}}$和所有$γ>\frac{N(p-1)}{N-s}$的可和性估计$u\in \dot{W}^{s,γ}({\mathbb R}^N)$.这些估计在极限$s\to 1^-$中是最优的，在这种情况下，优化器是明确已知的。
Local Well-posedness for 2-D Schrodinger Equation on Irrational Tori and Bounds on Sobolev Norms
本文研究了二维空间中无理环面上的三次薛定谔方程。我们的主要结果是一个改进的非理性环面上的Eschhartz估计。使用这个估计，我们获得了H^s的局部适定性结果，其中s>131/416。我们还得到了高阶Sobolev范数的改进的增长界。
Growth of Sobolev norms for unbounded perturbations of the Schrödinger equation on flat tori
该研究针对平坦环面上拉普拉斯算子的无界时变扰动问题，证明其Sobolev范数增长满足$\u27e8 t\u27e9^\u03b5$界，为相关偏微分方程解的正则性分析提供了理论结果。
On differentiability of Sobolev functions with respect to the Sobolev norm
本文研究Sobolev函数的$W^1_p$-可微性与$L_p$-可微性之间的关系，证明前者蕴含后者但反之不成立，并讨论近似可微性及$\cp_p$-几乎处处的$W^1_p$-可微性。
Beating effects in cubic Schrödinger systems and growth of Sobolev norms
考虑耦合三次薛定谔方程系统。我们证明了存在拍频效应，即不同模式之间的能量交换。这种构造可以转化为线性时变薛定谔方程：我们建立解，使得它们的索伯列夫范数以几何方式增长。所有这些结果都是在大而有限的时间内得到的。
Anisotropic Fractional Sobolev Norms
Bourgain、Brezis和Mironescu证明了（在适当的尺度下）函数$f\in W^{1,p}(\rn)$的分数Sobolev $s$ -范数收敛到$f$的Sobolev范数，即$s\to 1^-$。由单位球$K$的$\rn$上的范数定义的$s$ -范数收敛到由单位球$\,\ompd K$（$K$的极$L_p$矩体）的范数定义的$f$的各向异性Sobolev范数.还确定了$s\to 0^+$的极限行为（扩展了Maz $'$ ya和Shaanova的结果）。
Estimates of anisotropic Sobolev spaces with mixed norms for the Stokes system in a half-space
在${\mathbb R}^n_+ \times (0,T)$中研究了具有非齐次外力和非零初值的非定常Stokes系统。利用混合各向异性索伯列夫空间得到了含压力解的新估计.作为应用，给出了三维半空间中Navier-斯托克斯方程弱解的各向异性Sobolev估计.
A regularity theory for evolution equations with time-measurable pseudo-differential operators in weighted mixed-norm Sobolev-Lipschitz spaces
该研究针对带时间可测伪微分算子的发展方程，在加权混合范数Sobolev-Lipschitz空间框架下分析解的存在性、唯一性、正则性，并探究迹嵌入与解的连续性，丰富了相关方程的正则性理论。
Nonlocal approximations to anisotropic Sobolev norms
本文对非线性弹性力学、电流变流体理论以及图像处理中的一类变指数索伯列夫空间，在变指数$p(x)$达到值$1$的区域，得到了其非局部特征.
Growth of Sobolev norms and controllability of Schrödinger equation
本文在一般的位势假设下得到了薛定谔方程的一个稳定性结果。然后我们考虑具有随机振幅的势的薛定谔方程。证明了若振幅分布充分非退化，则系统的任意轨线在索伯列夫空间中几乎必然是无界的。
Sobolev norms explosion for the cubic NLS on irrational tori
考虑$2$维无理环面上的三次非线性薛定谔方程.我们构造的解决方案进行增长的Sobolev规范。更具体地说，对于每一个$s>0$，$s\neq 1$和几乎每一个选择的空间周期，我们构造的解决方案，其$H^s$ Sobolev规范增长的任何规定的因素。此外，对于一组具有正豪斯多夫维数的空间周期，我们构造了其Sobolev范数从任意小到任意大的解。我们还提供了估计所需的时间进行规范爆炸。注意，空间周期的不合理性将线性共振相互作用分解为$1$维共振的产物，从而大大降低了通常用于构造能量转移解的共振动力学的复杂性。然而，人们可以通过使用依赖于空间周期的丢番图逼近性质的准共振来提供这些增长的Sobolev范数解。
On solvability of parabolic equations with singular coefficients in odd mixed-norm Morrey-Sobolev spaces
本文研究了在奇混合范数Morrey- Sobolev空间中，具有奇异系数的抛物方程的可解性问题，通过引入混合范数Morrey类和BMO条件，证明了存在性和唯一性定理。
Logarithmic bounds on Sobolev norms for time-dependent linear Schrödinger equations
我们证明了在1-D的增长的Sobolev范数的不定常的线性薛定谔方程是最多对数的时间为任何（固定）的潜力，这是分析（或Gevrey）。最近在[N]中证明了Sobolev范数几乎必然是无界的，这表明对数几乎必然是必要的。在[W]中，作者证明了对于显式时间周期势，Sobolev范数是有界的。这是在[N]意义下的例外集合中。本文与[N，W]一起给出了圆上不定常线性薛定谔方程的一个比较完整的图象.
On the growth of high Sobolev norms of the cubic nonlinear Schrödinger equation on $\mathbb{R}\times \mathbb{T}$
考虑乘积流形$\mathbb{R}\times \mathbb{T}$上的三次非线性薛定谔方程.本文得到了解的高Sobolev范数随时间增长的多项式界。证明的主要内容是建立一个迭代界，它是基于Bourgain在\cite{B1}中使用的思想。
Fractional Sobolev norms and BV functions on manifolds
紧流形上的有界变差范数和Sobolev范数表示为分数Sobolev范数的一个极限。这建立了有界变差函数和紧流形上的Sobolev函数的特征。作为应用，考虑了有限周长集的特殊情况。
Normalized solutions of quasilinear Schrödinger equation with Sobolev critical exponent on star-shaped bounded domains
本文研究星形有界域上具Sobolev临界指数的拟线性Schrödinger方程，通过双偶方法证明了基态与山路解两类正归一化解的存在性。
Asymmetric anisotropic fractional Sobolev norms
Bourgain、Brezis和Mironescu证明了（在适当的尺度下）函数$f\in W^{1,p}(\mathbb{R}^n)$的分数Sobolev $s$ -范数收敛到$f$的Sobolev范数，即$s\rightarrow1^-$。Ludwig在具有单位球$K$的$\mathbb{R}^n$上引入了由范数定义的$f$的各向异性分数Sobolev $s$ -范数，并证明了它们收敛于由单位球为$K$的极$L_p$矩体的范数定义的$f$的各向异性Sobolev范数，即$s\rightarrow1^-$ .的非对称各向异性$s$的-EQUORMS收敛到各向异性Sobolev EQUORMS的$f$定义的Minkowski功能的极性非对称$L_p$矩体的$K$。
Normalized solutions for a class of Sobolev critical Schrodinger systems
本文研究一类具有Sobolev临界耦合项的耦合Schrödinger系统，在明确条件下建立了归一化解的存在性与多重性结果，并给出散焦情形的非存在性结果，为Sobolev临界系统归一化解提供了更全面的理解。
Growth of Sobolev norms for the quintic NLS on $\mathbb T^2$
研究了二维环面上的五次非线性薛定谔方程，给出了其Sobolev范数随时间增长的轨道.主要的一点是减少到一个足够简单的玩具模型，类似于在许多方面的情况下使用的立方体NLS。这需要精确的组合分析。
Bounds on the growth of high Sobolev norms of solutions to 2D Hartree Equations
本文考虑二维环面和平面上的Hartree型方程。我们证明了多项式的增长上界的高Sobolev规范的解决方案，这些方程。我们的研究结果的证明是基于适应两个维度的技术，我们以前用来研究类似的问题$S^1$，和$\mathbb{R}$。
Parabolic equations with partially VMO coefficients and boundary value problems in Sobolev spaces with mixed norms
研究了索伯列夫空间中具有混合范数的二阶抛物型方程.首项系数（除$a^{11}$外）在时间和一个空间变量中是可测量的，并且VMO在其他空间变量中是可测量的。系数$a^{11}$在时间上是可测量的，在空间变量上是VMO。利用方程在全空间中唯一可解的性质，求解了半空间中抛物型方程的Dirichlet和斜微商问题。
Negative Orlicz-Sobolev norms and strongly nonlinear systems in fluid mechanics
在Orlicz-索伯列夫空间中证明了一个负范数定理. Orlicz空间之间的Bogovskii算子的连续性的研究是一个关键的步骤，独立的利益，在我们的方法。应用的压力重建问题的非牛顿流体的本构关系，这不一定是幂型，提出。一个关键的不等式的数值分析的基础椭圆系统也得到。
Growth of Sobolev norms for the analytic NLS on $\mathbb T^2$
本文考虑二维环面上具有任意解析规范不变非线性项的完全共振散焦非线性薛定谔方程。修复$s>1$。我们证明了这个方程的解的存在性，实现任意大的增长$H^s$ Sobolev规范。我们还估计了实现这一增长所需的时间。
Mixed boundary value problems for parabolic equations in Sobolev spaces with mixed-norms
本文在具有粗糙时间依赖分离的圆柱Reifenberg平坦区域上建立了抛物型方程混合Dirichlet余正规问题的$L_{q,p}$估计及其可解性。
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