Mutually orthogonal latin squares with large holes
两个拉丁方是正交的，如果当它们叠加时，每个符号的序偶恰好出现一次。这个定义自然地延伸到“不完整的”拉丁方，每个方在相同的行、列和符号上都有一个洞。如果一个$n$阶的不完全拉丁方有一个$m$阶的洞，那么很容易观察到$n \ge 2m$。更一般地说，如果一组$t$不完全的相互正交拉丁方的顺序$n$有一个共同的洞的顺序$m$，那么$n \ge (t+1)m$。在这篇文章中，我们证明了这样的集合不完全平方存在的所有$n,m \gg 0$满足$n \ge 8(t+1)^2 m$。
2014-10-24 math.CO
Orthogonal Quantum Latin Squares with Maximal Cardinality from Full-Rank Factorizations
Nanjing Normal University（南京师范大学）
本文利用有限阿贝尔群的特征与满秩分解及乘积构造，证明了两个无限阶族存在具有最大基数的正交量子拉丁方对。
2026-09-25 math.CO
A linear algebraic approach to orthogonal arrays and Latin squares
为了研究正交表和符号正交表，Ray-Chaudhuri和Singhi（1988和1994）考虑了一些模空间。在这里，使用线性代数方法，我们定义了一个包含矩阵，并找到它的秩。在特殊的情况下，拉丁方，我们表明，有一个简单的算法生成一个基础，这个矩阵使用所谓的intercalates。我们还扩展了最后一个想法。
2009-05-02 math.CO
Some existence problems regarding partial Latin squares
拉丁方是一种有趣的组合对象，有许多应用。在处理拉丁方时，有时会导致处理部分拉丁方，这是拉丁方的推广。关于部分拉丁方和应用于拉丁方的问题之一是是否存在具有给定条件集的部分拉丁方。本文的目的是介绍这类问题并回答部分拉丁方的存在性问题
2014-03-18 math.CO
Latin squares, partial latin squares and its generalized quotients
（部分）拉丁方是（部分）拟群的乘法表。一个（部分）拟群的乘法可以被认为是一个三元组的集合。本文给出了三元组的集合是（部分）拉丁方的商的一个充要条件。
2003-03-27 math.CO
Multi-latin squares
阶数$n$和索引数$k$的多拉丁方是多集合的$n\times n$阵列，每个集合具有基数$k$，使得来自大小为$n$的固定集合的每个符号在每行中出现$k$次，在每列中出现$k$次.索引为$k$的多拉丁方也称为$k$ -拉丁方.一个$1$ -拉丁方等价于一个拉丁方，因此多拉丁方可以被认为是一个拉丁方的推广。本文证明了对于每个$n\geq 2m$，任何部分填充的$k$-$m$阶拉丁方嵌入$k$-$n$阶拉丁方，从而推广了Evans定理.利用这一结果，我们证明了每个$n\geq k+2$都存在不可分的$k$ -拉丁方.我们还表明，对于每个$n\geq 1$，存在一些有限值$g(n)$，使所有$k\geq g(n)$，每个$k$ -拉丁方的顺序$n$是可分的。讨论了$k$ -拉丁方与正交表、拉丁平行六面体、半拉丁方和$k$ -拉丁交换等相关组合对象之间的联系。我们还列举和分类$k$ -小订单的拉丁方。
2010-07-23 math.CO
Avoiding a partial Latin square with an isotope of a given Latin square
KU Leuven Campus Kulak-Kortrijk（荷语鲁汶大学库尔拉克-科特赖克校区）；Monash University（蒙纳士大学）
该研究针对足够大的n阶拉丁方，通过仅置换行和列的方法，证明了可使其避开任意指定的n阶部分拉丁方，证明结合了Hall定理与随机置换的初等估计。
2026-10-15 math.CO
Generalising Latin square orthogonality and Frobenius-König with alternating sign matrices
引入意大利方阵作为拉丁方阵的推广，定义正交性概念，解决Brualdi-Dahl定义的不一致性，并得到正交集最大规模上界、正交伴侣存在条件、无穷正交族和横截等结果，同时证明了一类(0,±1)-矩阵的Frobenius-König型定理。
2026-06-25 math.CO
On the chromatic number of Latin square graphs
拉丁方的色数是覆盖其胞腔的部分断面的最少数目。这就是它的关联拉丁方图的色数。虽然拉丁方图作为强正则图已被广泛研究，但其色数似乎还未被探索。确定了循环拉丁方的色数，并给出了其它几类拉丁方的界.用计算机，我们找到了所有主类的拉丁方阶的色数至多为8。
2016-04-06 math.CO
On the minimum number of entries in a pair of maximal orthogonal partial Latin squares
ARC Centre of Excellence for Plant Success in Nature and Agriculture（植物在自然与农业中成功卓越中心）；School of Mathematics and Physics, University of Queensland（昆士兰大学数理学院）；School of Mathematics and Statistics, The Open University（开放大学数学与统计学院）；Department of Mathematics, Koç University（科奇大学数学系）
研究证明了一对最大正交偏拉丁方中填充值的下限为$n^2/3$，并确定了该下限的唯一结构形式。
2026-02-10 math.CO
A three-factor product construction for mutually orthogonal latin squares
众所周知，相互正交拉丁方，或MOLS，允许（克罗内克）产品的建设。我们表明，在温和的条件下，“三重产品”的MOLS可以导致一个平方的增益。在横截设计方面，该技术是使用罗尔夫里斯的构造两次：一次是获得一个产品后的块的粗略分辨率，然后重新组织类并解决第二个产品的块。作为结果，我们报告了一些改进的MOLS表，并获得了轻微的加强著名的MacNeish定理。
2014-01-07 math.CO
Infinite Latin Squares: Neighbor Balance and Orthogonality
关于邻居平衡，我们认为自然的推广$D$ -完全拉丁方和梵蒂冈广场从有限到无限。我们表明，如果$G$是一个无限阿贝尔群与$|G|$ -许多平方元素，那么它是可能的置换的行和列的凯莱表，以创建一个无限梵蒂冈广场。我们还构建了一个梵蒂冈广场的任何给定的无限秩序，是无法通过排列的行和列的凯莱表。关于正交性，我们表明，每一个无限群$G$有一组$|G|$相互正交的正形，因此有一组$|G|$相互正交拉丁方的基础上$G$。证明了具有$|G|$ -多个平方元的无限群$G$具有强完备映射;并且，除了某些可能的例外，无限阿贝尔群具有强完备映射。
2018-07-23 math.CO
Orthogonal bases for transportation polytopes applied to Latin squares, magic squares and Sudoku boards
本文给出了行列和为零的m × n矩阵空间的一个正交基的简单构造。这个向量空间对应于自然地与Birkhoff多面体、列联表和拉丁方相关联的仿射空间。我们还提供了正交基的空间基础的幻方和数独板。我们的结构结合了外部（即，张量或并矢）与某些有根的向量标记的二叉树的乘积。我们的基自然地尊重向量空间分解成中心对称和反对称中心对称的部分;基可以很容易地修改，以尊重通常的矩阵对称和反对称。
2016-10-13 math.CO
Enumeration of Latin squares with conjugate symmetry
一个拉丁方有六个共轭的拉丁方，它们是通过对它的（行、列、符号）三元组进行均匀排列而得到的。我们说一个拉丁方具有共轭对称性，如果它的六个共轭中至少有两个相等。我们列举了具有共轭对称性的拉丁方，并根据几种常见的等价概念对其进行了分类。我们还在其他假设下进行类似的枚举，例如假设拉丁方是简化的、对角的、幂等的或幂单的。我们的数据纠正了早期文献中的一个错误，并提出了几种模式，我们随后找到了证明，包括（1）$n$阶半对称幂等拉丁方的同构类的数量等于$n+1$阶半对称幂单拉丁方的同构类的数量，以及（2）假设$A$和$B$是$n\not\equiv0\bmod3$阶全对称拉丁方。如果$A$和$B$是对位的，则$A$和$B$是同构的。
2021-04-16 math.CO
Direct constructions for general families of cyclic mutually nearly orthogonal Latin squares
如果$L$在$M$上的叠加产生一个$n\times n$阵列$A=[(l(i,j),m(i,j))]$，其中每个有序对$(x,y)$、$0\leq x,y\leq n-1$和$x\neq y$至少出现一次，而有序对$(x,x+n/2)$正好出现两次，则称两个偶数阶$n$且具有条目$\{0,1,2,\ldots,n-1\}$的拉丁方$L=[l(i,j)]$和$M=[m(i,j)]$几乎正交。本文给出了$48k+14$，$48k+22$，$48k+38$和$48k+46$阶的三个循环相互正交拉丁方的一般族的存在性的直接构造.所采用的技术是基于差分方法的原则，所以我们也建立了无限类的“准差”集这些订单。
2014-01-30 math.CO
The set of autotopisms of partial Latin squares
部分拉丁方的对称性由它的自拓扑群决定。类似于拉丁方的情况，给定一个合痕$Θ$，在$Θ$下不变的部分拉丁方的集合$\mathcal{PLS}_Θ$的基数只取决于后者的共轭类，或者等价地，取决于它的循环结构。本文刻画了部分拉丁方的自映射集的圈结构，并研究了几个相关性质。还可以看出，$Θ$的循环结构决定了$\mathcal{PLS}_Θ$的元素的可能大小以及具有给定大小的该集合的部分拉丁方的数量。最后，将部分拉丁方可补的传统概念推广到一个拉丁方.
2011-07-16 math.CO
Rectangles in latin squares
要从一个给定的拉丁方得到另一个，我们必须至少改变4个条目。我们将展示如何找到这些条目以及如何更改它们。
2019-02-13 math.CO
Completing partial Latin squares with two filled rows and three filled columns
考虑一个部分拉丁方$P$，其中前两行和前三列完全填充，并且$P$的每隔一个单元格为空。它已被证明，所有这样的部分拉丁方的顺序至少$8$是可完成的。基于技术的库尔和麦金，我们描述了一个框架，完成部分拉丁方在这个类。此外，我们使用我们的方法证明，所有部分拉丁方从这个家庭，其中的非空的行和列的交点形成一个拉丁矩形与三个不同的符号，是可完成的。
2020-05-17 math.CO
Quasi-transversal in Latin Squares
本文首先给出了拉丁方中的截线与其拉丁方图中的一些概念之间的关系，并给出了拉丁方有正交配偶的一个等价条件。组合数学中最著名的公开问题是求拉丁方中不相交断面的最大数目。因此，我们的下一个目标是找到一族可分解为不相交断面的拉丁方。在下一节中，我们给出了Brualdi，Stein和Ryser用拟截线概念所提出的一个猜想的等价表述。最后，我们证明了Rodney猜想对图族的真实性。
2018-08-15 math.CO
There are asymptotically the same number of Latin squares of each parity
如果一个拉丁方的第一行和第一列是自然序，则它是简化的。对于特定阶数的拉丁方$n$，有四种可能的不同奇偶性。我们证实了一个猜想的石头和Wanless通过显示渐近相等的数量之间的减少拉丁方的每一个可能的奇偶性的顺序$n\rightarrow\infty$。
2016-10-20 math.CO
Completions of epsilon-dense partial Latin squares
组合数学中的一个经典问题是：给定一个部分拉丁方P，我们何时能将P完全化为一个拉丁方L？本文研究了一类\leq ε-稠密的部分拉丁方：每个符号、行和列包含\leq ε n个非空单元的部分拉丁方。一个猜想的纳什威廉姆斯三角图导致Daykin和Häggkvist猜想，所有\leq（1/4）-密集部分拉丁方是完全的。本文讨论了以往解决这一猜想的证明方法和结果，介绍了Jacobson和Matthews关于生成随机拉丁方的论文中提出的一种新方法，并利用该方法研究了含有\leqdn^2胞元的\leq ε-稠密部分拉丁方.特别地，我们建立了所有\leq（1/5300）-稠密n乘n部分拉丁方是可完成的，以及所有\leq（1/13）-稠密n乘n部分拉丁方包含\leq（8.8*10^（-5）*n^2）-许多填充单元。这改进了Gustavsson的先前结果，其要求ε= d \leq 10^（-7），以及Chetwynd和Haggkvist的先前结果，其要求ε= d \leq 10^（-5）和n偶数，\leq 10 ^7。
2013-06-03 math.CO
On the distances between Latin squares and the smallest defining set size
本文证明了对于每一个$n\geq 2$阶的拉丁方$L$，都存在一个$n$阶的拉丁方$L'\neq L$，使得$L$和$L'$至多在$8\sqrt{n}$胞元上不同.等价地，每一个$n$阶的拉丁方包含一个最大为$8\sqrt{n}$的拉丁交易。我们还证明了拉丁方的最小定义集的大小是$Ω(n^{3/2})$。也就是说，存在常数$c$和$n_0$，使得对于任何$n>n_0$，阶数$n$的最小定义%集合的大小至少为$cn^{3/2}$。
2016-02-24 math.CO
On the number of transversals in latin squares
所有$n$阶的拉丁方上的最大横截数的对数大于$\frac{n}{6}(\ln n+ O(1))$。
2015-10-21 math.CO
Parity Types, Cycle Structures and Autotopisms of Latin Squares
拉丁方的奇偶校验类型是根据偶数和奇数行和列的数目来定义的。它与阿隆-塔尔西猜想有关，该猜想适用于奇数阶的拉丁方。奇偶校验类型用于导出自同构群大小的上界。本文提出了一种基于行循环分解的拉丁方自同构群的快速算法。
2012-10-03 math.CO
Intercalates and Discrepancy in Random Latin Squares
拉丁方中的插入是$2\times2$拉丁子方。令$N$为均匀随机$n\times n$拉丁方中的嵌入数。证明了渐近几乎必然$N\ge\left(1-o\left(1\right)\right)\,n^{2}/4$和$\mathbb{E}N\le\left(1+o\left(1\right)\right)\,n^{2}/2$（因此对任何$f\to\infty$渐近几乎必然$N\le fn^{2}$）.这显著地改进了先前的最佳下限和上限。我们还给出了随机拉丁方的两个固定行中插入数的上尾界。此外，我们还讨论了低差拉丁方上的Linial和Luria问题。
2017-01-17 math.CO
Equitable partitions of Latin-square graphs
研究了拉丁方图的公平划分问题，并对商矩阵不具有特征值$-3$的图给出了一个完全分类.
2018-02-03 math.CO
Domination for latin square graphs
在组合数学中，一个拉丁方是一个填充有n个不同符号的$n\times n$矩阵，每个符号在每行和每列中只出现一次。与每个拉丁方相关联，我们可以定义一个单图，称为拉丁方图。在这篇文章中，我们计算了这类图的控制数和k-元组全控制数的上下界上界。此外，我们还给出了二元组全控制数的计算公式。
2021-03-04 math.CO
Hamilton transversals in random Latin squares
Gyárfás和Sárközy证明了每个$n\times n$拉丁方都有一个大小为$n-2$的“无圈”部分断面。我们证实了这一猜想在强烈的意义上几乎所有的拉丁方，通过显示，作为$n \rightarrow \infty$，所有的$n\times n$拉丁方，但一个消失的比例有一个汉密尔顿横截，即一个完整的横截，任何真子集是循环自由的。事实上，我们证明了一个计数结果，在几乎所有的拉丁方，汉密尔顿断面的数量本质上是Taranenko的上界的数量的充分断面。这个结果加强了关的一个结果（这反过来意味着几乎所有的拉丁方也满足著名的Ryser-Brualdi-Stein猜想）。
2022-04-11 math.CO
Enumerating extensions of mutually orthogonal Latin squares
两个$n \times n$拉丁方$L_1, L_2$被称为正交的，如果对于每个符号的有序对$(x,y)$，存在坐标$(i,j)$使得$L_1(i,j) = x$和$L_2(i,j) = y$。$k$ -MOLS是$k$两两-正交拉丁方的序列，这些对象的存在性和计数已经吸引了大量的关注。Keevash和Luria最近的工作为所有固定的$k$提供了关于$k$ -MOLS数目的对数渐近紧界。为了研究$k$与$n$一起增长时的情况，我们限制了$k$ -MOLS可以扩展到$(k+1)$ -MOLS的方式的数量。这些界限对于常数$k$也是紧的，并且允许我们推导出所有$k$的$k$ -MOLS总数的上限。这些界限甚至对于$n$中的线性$k$也接近于紧，并且容易推广到更广泛的一类gerechte设计，其中包括数独平方。
2019-10-07 math.CO
On completing three cyclic transversals to a latin square
设$P$是由三个循环生成的断面组成的素数阶部分拉丁方$p>7$.具体地说，令$P$为以下形式的部分拉丁方：对于某些不同的$c,c',c''$和某些不同的$s,s',s''$，为\[ P=\{(i,c+i,s+i),(i,c'+i,s'+i),(i,c''+i,s''+i)\mid 0 \leq i< p\} \]。在本文中，我们证明了任何这样的$P$完成一个拉丁方，这是对角循环。
2007-12-03 math.CO
Parity of Sets of Mutually Orthogonal Latin Squares
每个拉丁方都有三个属性，可以是偶数或奇数，但其中任何两个属性决定了第三个属性。因此，拉丁方的奇偶校验具有2比特的信息内容。我们将奇偶校验的定义从拉丁方扩展到相互正交拉丁方（MOLS）和相应的正交表（OA）。假设$\mathrm{OA}(k,n)$的奇偶校验具有$\dim(k,n)$比特的信息内容。我们证明了$\dim(k,n) \leq {k \choose 2}-1$ .对于对应于投影平面的情况，我们证明了一个更严格的界限，即$\dim(n+1,n) \leq {n \choose 2}$当$n$是奇数和$\dim(n+1,n) \leq {n \choose 2}-1$当$n$是偶数。利用存在的MOLS与subMOLS，我们证明了，如果$\dim(k,n)={k \choose 2}-1$，那么$\dim(k,N) = {k \choose 2}-1$对所有足够大的$N$。令$\mathrm{OA}$的系综是通过将OA的任何三列解释为拉丁方而导出的拉丁方的集合。我们证明了许多限制的拉丁方的数量，每个奇偶校验的合奏的$\mathrm{OA}(k,n)$可以包含。这些限制取决于$n\mod4$，并给出了一些关于为什么构建$n \not= 2\mod4$阶的投影平面比构建$n \not= 2\mod4$阶的投影平面更困难的见解。例如，我们证明，当$n \not= 2\mod 4$它是…
2017-03-14 math.CO
Distance in Latin Squares
$n$阶的拉丁方是一个$n\times n$数组，它在每行和每列中只包含一个$n$不同的符号。我们定义两个相邻单元（包含整数）之间的相邻距离是它们的差模$n$，并且拉丁方的内部距离是拉丁方中相邻距离的最小值。通过首先建立上界，然后用所述内部距离构造正方形，我们发现$n \times n$拉丁方的最大内部距离是$\left\lfloor\frac{n-1}{2}\right\rfloor$。然后，我们研究了特殊类型的拉丁方，如泛对角线（也称为Knut-Vik设计），以及数独拉丁方。这项研究是在美国国家科学基金会的支持下，在摩拉维亚学院的计算和实验数学研究挑战REU进行的。
2021-07-15 math.CO
On uniformly generating Latin squares
通过模拟一个在n × n拉丁方空间上平稳分布为均匀分布的遍历马尔可夫链，Mark T. Jacobson和Peter Matthews [4]讨论了生成具有均匀分布（近似）的拉丁方的优雅方法。中心问题是建造连接广场的“移动”。他们的大部分长篇论文都是为了证明关联图确实是连通的。我们给出了一个简短的证明这一事实，使用拉丁bitrades的概念。
2010-05-18 math.CO
Generalizations of nets and Latin squares
University of South Florida（南佛罗里达大学）
研究推广(k,n)-网等的组合结构，通过网状结构定义协作系统与半正交阵列，引入副同构和同构概念，给出小网状结构构造及大网状结构的三种递归构造。
2026-08-04 math.CO
Completing Partial Latin Squares - Alternative Proof
完成一个部分指定的n乘n拉丁方的问题是解决了另一种证明，基于填充行（或对角线）从1到n，使用霍尔的婚姻定理的扩展形式。
2016-12-26 math.CO
Enumeration and classification of self-orthogonal partial Latin rectangles by using the polynomial method
本文讨论了基于$n$符号的自正交$r\times r$部分拉丁矩形集$\mathcal{SOR}_{r,n}$的计数和分类问题。这些组合对象与汉明图的独立集和多项式的根零维理想的零点相标识，其约化Gröbner基和Hilbert级数可以被计算以明确地确定集合$\mathcal{SOR}_{r,n}$。特别是，这个集合的基数显示为$r\leq 4$和$n\leq 9$和几个公式的基数$\mathcal{SOR}_{r,n}$暴露，为$r\leq 3$。对于所有的$r,s,n\leq 4$，还得到了基于$n$符号的$r\times s$部分拉丁矩形按其大小的分布。
2014-10-04 math.CO
Symmetric Quantum Latin Squares with Maximal Cardinality
Nanjing Normal University（南京师范大学）
本文证明了所有$n\geq 6$阶存在最大基数的对称量子拉丁方，且所有$4k+2$阶存在最大基数的对称幂等量子拉丁方。
2026-09-22 math.CO
Autoparatopisms of Quasigroups and Latin Squares
Monash University（蒙纳士大学）
研究quasigroups和拉丁方的自paratopism性质，确定n≤17时Par(n)的结构，并分析n趋于无穷时Par(n)在所有paratopism中的比例。
2026-03-25 math.CO
The number of Latin squares of order 11
构造性和非构造性技术被用来枚举拉丁方和相关对象。本文证明了11阶拉丁方有2036029552582883134196099个主要类，$K_{11,11}$的一因子分解有6108088657705958932053657个同构类，$K_{11,11}$的一因子分解有61080886577个同构类。（iii）12216177315369229261482540 11阶拉丁方的合痕类;（iv）1478157455158044452849321016 11阶环的同构类;（v）19464657391668924966791023043937578299025个11阶拟群的同构类.枚举是建设性的1151666641主类与自paratopy组的顺序至少为3。
2010-02-08 math.CO
Hall's Condition for Partial Latin Squares
Hall条件是部分拉丁方可完备的必要条件。Hilton和Johnson证明了对于一个部分拉丁方，其填充单元形成一个矩形，Hall条件等价于Ryser条件，这是可完全性的一个充要条件。我们给什么可以被视为一个扩展的Ryser定理，通过显示，部分拉丁方的填充细胞形成一个矩形，其中有最多一个空细胞在每列的矩形，霍尔的条件是一个充要条件的可完成性。部分拉丁方是否可完备的判定问题是NP-完全的。证明了满足Hall条件的部分拉丁方是否可完备的问题是NP-困难的。
2011-07-13 math.CO
On the number of Latin squares
我们（1）确定了11列拉丁矩形的数目和每一个可能的行数，包括~11阶的拉丁方，（2）回答了Alter的一些问题，证明了约化的$n$阶的拉丁方的数目可被$f!$整除，其中$f$是一个接近于$\frac12n$的特定整数，（3）给出了用$(+1,-1)$ -矩阵的积和表示的拉丁方个数的计算公式;（4）求出了当$2n$，（5）证明了具有非平凡对称群的拉丁方的比例随着阶数的增加而迅速趋于零。
2009-09-11 math.CO
Designs based on the cycle structure of a Latin square autotopism
拉丁方在历史上被用来创建统计设计，其中，从少量的实验开始，可以获得大的实验空间。从这个意义上说，拉丁方的选择的优化可以是决定性的。要考虑的一个因素是对称性，实验空间必须验证，这是由每个拉丁方的自同构群建立的。虽然这个组的大小是已知的拉丁方的顺序高达10，分类的不同对称尚未完成。本文给出了一个拉丁方自拓扑的循环结构，研究了具有这种循环结构的自拓扑集合与由至少一个前一个自拓扑保持稳定的拉丁方集合所形成的关联结构的正则性。此外，还证明了由拉丁方的同位素类给出的每个子结构都是1- $(v,k,r)$设计。由于相应的参数$k$是已知的拉丁方的顺序高达7，我们得到的所有这些子结构的其余参数，因此，所有可能的对称性的分类达到这些订单。
2011-05-05 math.CO
Note on random Latin squares and the triangle removal process
这是一个同伴注意到的文件“几乎所有施泰纳三元系有完美的匹配（arXiv：1611.02246）。该论文包含有关随机斯坦纳三元系的几个一般引理;在本说明中，我们记录了随机拉丁方的这些引理的类似物，这些引理特别是我们最近的论文“随机拉丁方中的大偏差”（arXiv：2106.11932）的必要成分。最重要的是一致随机序- $n$拉丁方和完全三部图$K_{n,n,n}$上的三角形去除过程之间的关系。
2021-09-30 math.CO
Do $K_{3,3}$-Free Latin Squares Exist?
Yandex；Hebei Normal University（河北师范大学）；Sobolev Institute of Mathematics（索博列夫数学研究所）
研究是否存在不含K33子结构的拉丁方，构造了阶为16的K33自由拉丁方，并探讨了正交拉丁方的类似问题。
2026-09-01 math.CO
Substructures in Latin squares
证明了关于拉丁方中子结构的几个结果。首先，我们解释了如何适应我们最近的工作高围Steiner三元系的设置拉丁方，解决了猜想Linial，存在拉丁方任意高围长。因此，我们看到没有插入的阶$n$拉丁方的数量（即，没有$2\times2$拉丁子方）至少是$(e^{-9/4}n-o(n))^{n^{2}}$。等量，$\mathbb{P}\left[\mathbf{N}=0\right]\ge e^{-n^{2}/4-o(n^{2})}=e^{-(1+o(1))\mathbb{E}\mathbf{N}}$，其中$\mathbf{N}$是以均匀随机顺序插入的数量- $n$拉丁方。事实上，延长最近的工作关，萨，和Sawhney，我们解决了一般的大偏差问题的随机拉丁方，插入常数因子的指数：对于任何常数$0<δ\le1$，我们有$\mathbb{P}[\mathbf{N}\le(1-δ)\mathbb{E}\mathbf{N}]=\exp(-Θ(n^{2}))$和任何常数$δ>0$，我们有$\mathbb{P}[\mathbf{N}\ge(1+δ)\mathbb{E}\mathbf{N}]=\exp(-Θ(n^{4/3}\log n))$。最后，作为研究随机拉丁方子结构的一些新的通用工具的应用，我们表明，在几乎所有的顺序- $n$拉丁方，立方八面体的数量（即，具有相同符号排列的可能退化的$2\tim…
2022-08-04 math.CO
Completions of epsilon-dense partial Latin squares; quasirandom k-colorings of graphs
组合数学中的一个经典问题是：给定一个部分拉丁方$P$，什么时候我们可以将$P$完全化为一个拉丁方$L$？本文研究了\textbf{$ε$-dense partial Latin squares}类：\ partial拉丁方，其中每个符号、行和列包含不超过$εn$ -许多非空单元格.基于Nash-Williams的一个猜想，Daykin和Häggkvist证明了所有$\frac{1}{4}$稠密的部分拉丁方都是可补的。在本文中，我们将讨论的证明方法和结果在以前的尝试来解决这个猜想，介绍了一种新的技术，来自Jacobson和Matthews的论文产生随机拉丁方，并使用这种新的技术来研究$ ε$ -密集的部分拉丁方，包含不超过$δn^2$填充细胞总数。特别地，我们构造了所有$ ε$ -稠密部分拉丁方的完备化，它们总共包含不超过$δn^2$填充的单元格，给定$ε< \frac{1}{12}, δ< \frac{ \left(1-12ε\right)^{2}}{10409}$ .特别是，我们证明了所有$9.8 \cdot 10^{-5}$稠密的部分拉丁方是可完成的。我们进一步表明，这样的完成总是可以在多项式时间内找到。这与科尔伯恩的结果形成对比。在第三章中，我们加强了Colbourn的结果，证明了对任意$ε> 0$，完备任意$\left(\frac{1}{2} + ε\right)$ -稠密…
2013-06-03 math.CO
Quasirandom Latin squares
我们证明了Garbe等人的一个猜想。[arXiv：2010.07854]通过证明一个拉丁方是拟随机的当且仅当每个2x 3模式的密度是1/720+o（1）。这个结果是最好的，因为对于任何N，2x 3都不能用2x2或1xN代替。
2021-08-25 math.CO
Transversals in Latin Squares
本文综述了过去十年关于Latin squares中transversals研究的最新进展。
2024-06-28 math.CO
Computing random $r$-orthogonal Latin squares
本文针对$r$-正交和$r$-自正交拉丁方阵，开发了计算$n$阶$r$-正交拉丁方阵对的随机化算法，以及计算$n$阶$r$-自正交拉丁方阵的算法。
2024-02-14 cs.DM math.CO
Limits of Latin squares
本文发展了拉丁方的极限理论，引入了密度、割距离和极限对象Latinons，证明了极限空间的紧致性与拓扑等价性，并证明每个Latinon可由有限拉丁方近似。
2023-07-19 math.CO
Permutation Patterns in Latin Squares
本文研究了拉丁方中的模式回避问题，这给了我们一个二维的类似于排列中的模式回避的概念。我们的主要结果包括列举和表征的拉丁方，避免模式的长度为3和推广的Erdens-Szekeres定理。我们还讨论了较长的模式之间的等价类，并通过描述开放的问题的兴趣，无论是在光模式的避免和他们的潜力，以揭示有关拉丁方的结构的信息。一路上，我们表明，经典的结果不需要平凡的推广，并展示技术，可能有助于回答未来的问题。
2014-02-13 math.CO
On the upper embedding of Steiner triple systems and Latin squares
本文证明了对于Steiner三元系或奇数阶拉丁方的三元组的任意给定定向，在由三元组构成三角面和一个特大面的可定向曲面中存在嵌入。
2019-11-13 math.CO
Lattice path enumeration for semi-magic squares by Latin rectangles
类似于标准的Young表格如何表示Young格中的路径，拉丁矩形可以用于枚举具有条目0或1的半幻方的偏序集中的路径。与行列式相关的对称性保持了这个偏序集，我们完整地描述了大小为4，5和6的正方形的轨道，覆盖数据和最大链。最后一项给出了这些情况下拉丁方的数量。为了有效地计算大小为6，我们反过来确定轨道与某些等价类的超图。
2022-02-13 math.CO
Cycle structures of autotopisms of the Latin squares of order up to 11
拉丁方自同构$Θ=(α,β,γ)$的循环结构是三元组$(\mathbf{l}_α,\mathbf{l}_β,\mathbf{l}_γ)$，其中$\mathbf{l}_δ$是所有$δ\in\{α,β,γ\}$的$δ$的循环结构。在本文中，我们研究这些圈结构的一些性质，因此，我们给出了一个分类的所有autopisms的拉丁方的阶为11。
2009-04-27 math.CO
