Latin transversals of rectangular arrays
设m和n为整数，$2 \leq m \leq n$。一个m × n阵列由mn个单元组成，排列成m行和n列，每个单元恰好包含一个符号。一个数组的横截由m个单元组成，每行一个，同一列没有两个。一个拉丁横切面是一个横切面，其中没有一个符号出现超过一次。我们将建立一个3 × n数组有拉丁断面的充分条件。
2001-09-18 math.CO
Latin Squares whose transversals share many entries
本文证明了对于所有偶数 $n\geq10$ 和奇数 $m\geq3$，存在具有特定横截线重合性质及子方阵覆盖性质的拉丁方阵，并给出了无横截线条目的下界。
2024-12-17 math.CO
Latin squares with no transversals
$n$阶拉丁方中的$k$ -丛是对$kn$条目的选择，其包括来自每行和列的$k$代表以及每个符号的$k$出现。$1$ -plex也称为横切面.众所周知，如果$n$是偶数，则整数模$n$的加法表$B_n$不具有横截。我们发现，有大量的拉丁方是类似于$B_n$，没有横截。因此，横向自由拉丁方的物种的数量被证明是至少$n^{n^{3/2}(1/2-o(1))}$，甚至$n\rightarrow\infty$。我们还产生了各种建设拉丁方没有横截，但确实有一个$k$ -丛一些奇数$k>1$。证明了第二作者在2002年提出的一个猜想：对于所有偶数阶$n>4$，存在一个$n$阶的拉丁方，它包含一个$3$ -plex，但没有横截.我们还证明了对于奇数$k$和$m\geq 2$，存在一个$2km$阶拉丁方，它有一个$k$ -丛，但对于奇数$k'<k$没有$k'$ -丛.
2017-04-13 math.CO
Transversals in Latin Squares
本文综述了过去十年关于Latin squares中transversals研究的最新进展。
2024-06-28 math.CO
On the Length of a Partial Independent Transversal in a Matroidal Latin Square
我们提出并探讨了关于拉丁方的Brualdi - Ryser猜想的拟阵形式.本文证明了任何$n\times n$矩阵，其行和列都是拟阵的基，都有一个独立的长度为$\lceil2n/3\rceil$的部分断面。我们证明了对于任何$n$，存在这样一个矩阵，其最大独立部分断面的长度至多为$n-1$。
2012-04-24 math.CO
Covers and partial transversals of Latin squares
我们将拉丁方的覆盖定义为一组条目，其中包括每行，列和符号的至少一个代表。如果一个覆盖不包含任何更小的覆盖，则它是最小的。部分横切是一组条目，其中包括每行、列和符号的至多一个代表。一个部分断面是极大的，如果它不包含在任何更大的部分断面中。我们探讨覆盖和部分断面之间的关系。我们证明如下：（1）$n$阶拉丁方中覆盖的最小尺寸是$n+a$当且仅当部分断面的最大尺寸是$n-2a$或$n-2a+1$。(2)一个$n$阶拉丁方的极小覆盖的大小至多为$μ_n=3(n+1/2-\sqrt{n+1/4})$。(3)有无穷多个阶$n$，对于这些阶，存在一个拉丁方，它具有从$n$到$μ_n$的每个大小的最小覆盖。(4)每个$n$阶的拉丁方都有一个大小渐近等于$μ_n$的最小覆盖。(5)如果$1\le k\le n/2$和$n\ge5$，则存在一个$n$阶的拉丁方，其最大部分断面的大小为$n-k$。(6)对于任何$ε>0$，渐近地几乎所有的拉丁方都没有大小小于$n-n^{2/3+ε}$的最大部分断面。
2017-12-07 math.CO
Transversals in Latin Squares
$n$阶拉丁方是$n$符号的$n\times n$阵列，其中每个符号在每行和每列中只出现一次。这样的正方形的横截是$n$条目的集合，使得没有两个条目共享相同的行、列或符号。断面与（拟）群中的完备映射和正形的概念密切相关，并且是相互正交拉丁方概念的基础。在这里，我们提供了一个简短的调查的文学横截。我们包括（1）存在性和计数结果，（2）断面的推广，包括部分断面和丛，（3）当拉丁方是群表时的特殊情况，（4）置换集的覆盖半径的联系。该调查包括一些问题和未决问题。
2009-03-30 math.CO
Small Latin arrays have a near transversal
拉丁数组是一个符号矩阵，其中没有符号在一行或一列中出现超过一次。$n\times n$阵列的对角线是从阵列的不同行和列中选取的$n$单元。对角线的权是对角线上不同符号的个数，通过计算证明了每一个$n\le11$阶的拉丁数组都有一条权至少为$n-1$的对角线.一个推论是在这些阶的拉丁方中存在近横截。更一般地说，对于所有$k\le20$，我们计算任何没有至少$n-k$的对角线的拉丁数组的阶的下界。
2021-05-05 math.CO
On the maximum number of Latin transversals
令$T(n)$表示阶- $n$拉丁方中的最大断面数。改进McKay等人获得的边界，Taranenko最近证明了$T(n) \leq \left((1+o(1))\frac{n}{e^2}\right)^{n}$，并证明了这个界是紧的。我们证明通过概率的建设，确实$T(n) = \left((1+o(1))\frac{n}{e^2}\right)^{n}$。直到本文，没有超指数下界为$T(n)$是已知的。我们也给出了一个更简单的上界的证明。
2015-06-02 math.CO
Almost every Latin square has a decomposition into transversals
针对Euler关于特定阶拉丁方不存在横截分解的猜想，本文通过随机拉丁方证明反例以高概率普遍存在。
2025-01-09 math.CO
Latin Squares whose transversals intersect in unusual ways
Monash University（莫纳什大学）
研究偶数阶拉丁方横截线相交问题，构造特定拉丁方使每对横截线至少共享一个条目，推测不存在所有横截线共有的条目，通过算法证明该推测对\(n\leq10000\)成立，还研究了主导横截线的存在情况。
2026-07-21 math.CO
Transversals in quasirandom latin squares
本文使用圆法的宽松变体，将几乎每个拉丁方横截数量的渐近估计改进为 $(e^{-1/2} + o(1)) n!^2 / n^n$，并证明该方法适用于所有满足特定拟随机性条件的拉丁方。
2023-04-21 math.CO
Transversals in generalized Latin squares
我们正在寻找一个充分条件，迫使一个断面在一个广义拉丁方。$n$阶的广义拉丁方等价于$K_{n,n}$的真边染色。横截对应于多色完美匹配。Akbari和Alipour将$l(n)$定义为最小整数，使得每个正确的边着色的$K_{n,n}$，其中至少包含$l(n)$不同的颜色，允许多色完美匹配。他们证实，如果$n$足够大，则可以使用$l(n)\leq n^2/2$。本文证明了当$n>1$满足时，$l(n)$由$0.75n^2$上界.我们指出一个连接到反拉姆齐的问题。我们提出了一个与Woolbright和Fu的一个著名结果有关的猜想，即$K_{2n}$的每一个真边染色都允许一个多色的$1$ -因子.
2017-01-27 math.CO
Latin squares with maximal partial transversals of many lengths
拉丁方$L$的部分横截$T$是$L$的一组条目，其中每行、列和符号最多表示一次。一个部分断面是极大的，如果它不包含在一个更大的部分断面中。任何$n$阶拉丁方的极大部分断面的大小至少为$\lceil\frac{n}{2}\rceil$且至多为$n$。我们说一个拉丁方是全方位的，如果它拥有所有可行尺寸的最大部分断面，如果它拥有除一个之外的所有可行尺寸的最大部分断面，则它是近全方位的。埃文斯证明了对于任何奇数的$n \neq 3$，都存在$n$阶的任意拉丁方。通过推广这个结果，我们证明了一个$n$阶的万能拉丁方存在当且仅当$n\notin\{3,4\}$和$n \not\equiv 2 \mod 4$ .此外，我们表明，几乎无所不在的拉丁方存在的所有订单$n \equiv 2 \mod 4$。最后，我们证明了没有一个非平凡群具有全方位Cayley表，只有15个群具有近全方位Cayley表。事实上，随着$n$的增长，$n$阶群的凯莱表会丢失最大部分横截的可行大小的常数部分。在证明这一点的过程中，我们考虑了组合群论中的以下有趣问题。假设我们有有限群$G$的两个子集$R,C\subseteq G$，使得$|\{rc:r\in R,c\in C\}|=m$。$|R|$和$|C|$需要多大（根据$m$）才能确定$G$和$x,y\in G$中$m$阶的某个子群$H$的$R\subseteq xH$和…
2021-01-09 math.CO
Latin Squares with Few Transversals
本文改进拉丁方横截线最小数量的上界，通过构造3×3分块拉丁方，证明对n≡3 (mod 6)的奇数阶n，t(n)不超过((1+o(1))2n/(3e^2))^n。
2026-09-09 math.CO
Embedding a Latin square with transversal into a projective space
一个n边的拉丁方自然地定义了一个3 n个点上的有限几何，其中有三条长度为n的直线和n^2条长度为3的直线。一个n边的拉丁方有一个截线，类似地在3 n +1个点上定义了一个有限几何，其中有三条长度为n的线，n^2-n条长度为3的线，n条长度为4的共点线。由k个相互正交拉丁方组成的集合定义了一个在kn个点上的几何，其中k条线的长度为n，n^2条线的长度为k。Bruen和Colbourn（J. Combin.日Ser.A92（2000），88-94），我们将这些有限几何嵌入到除环上的射影空间中。
2011-08-25 math.CO
All group-based latin squares possess near transversals
在$n$阶的拉丁方中，近横切面是$n-1$单元格的集合，它们与每行、列和符号类最多相交一次。Brualdi、Ryser和Stein的一个长期猜想断言，每个拉丁方都有一个近断面。我们证明了这个猜想是真实的每一个拉丁方是主类等价于凯莱表的有限群。
2019-08-11 math.CO math.GR
On the intersection of three or four transversals of the back circulant latin square B_n
Cavenagh和Wanless的一篇论文诊断了后循环拉丁方B_n的任意两个断面的可能相交，并利用该结果完全确定了双向k-齐次拉丁交易的谱。本文将此问题推广到B_n的μ断面的交，给出了此问题的一个构造，并给出了在计算搜索中发现的μ= 3，4的情形下构造的基设计。这个结果然后被应用到寻找μ-路k-齐次拉丁交易的问题。本文将这个问题推广到B_n的μ断面的交，使得断面稳定相交（即任何断面对的交与断面对的选择无关），并证明了这些结构可以用来构造奇阶的μ路k齐次循环拉丁交换.我们给出了B_n中稳定相交的μ断面的存在性和不存在性的一些基本结果，以及对小n的计算搜索结果.其次是本文的主要结果;一个建设，涵盖了很大一部分的频谱时，n是足够大的，这需要一定的基础设计。这些基本设计是在μ= 3，4的情况下提供的，它们是通过计算搜索找到的。我们利用这个结果找到了奇数阶的μ-路k-齐次循环拉丁交易的存在性，其中μ= 3，4。
2015-03-16 math.CO
Parity of transversals of Latin squares
我们引入了断面奇偶性的概念，并用它来证明在$2 \bmod 4$阶的拉丁方中，断面数是4的倍数。我们还展示了一些关系（主要是同余模4）涉及$E_1,\dots, E_n$，其中$E_i$是一个给定的拉丁广场，正好包含$i$不同的符号对角线的数量。令$A(i\mid j)$表示通过从父矩阵$A$中删除行$i$和列$j$而获得的矩阵。定义$t_{ij}$为$L(i\mid j)$中的横截数，对于某个固定的拉丁方$L$。我们表明，$t_{ab}\equiv t_{cd}\bmod2$的所有$a,b,c,d$和$L$。此外，如果$L$具有奇数阶，则$L$的横截数等于$t_{ab}$ mod 2。我们猜想，$t_{ac} + t_{bc} + t_{ad} + t_{bd} \equiv 0 \bmod 4$对所有的$a,b,c,d$。在我们的调查过程中，我们证明了几个结果，可能是在其他情况下的利益。例如，当$n$为奇数且$k\equiv0\bmod 4$为奇数时，证明了$k$正则二部图中$2n$顶点上的完美匹配数可被$4$整除.当$A$是奇数阶整数矩阵且所有行和列和等于$k\equiv2\bmod4$时，我们还证明了对所有的$a,b,c,d$都有$${\rm per}\, A(a \mid c)+{\rm per}\, A(b \mid c)+{\rm per}\, A(a \mid d)…
2019-12-24 math.CO
Rainbow matchings and partial transversals of Latin squares
本文考虑了边着色图，即两条边不能有一个端点，所以每一个颜色类都是一个匹配。如果匹配的边具有不同的颜色，则称为\it彩虹\rm。图的最小度记为$δ(G)$。我们证明了具有$|V(G)|\ge 4δ(G)-3$的适当边着色图$G$具有大小为$δ(G)$的彩虹匹配，这对Wang最近提出的一个问题给出了最好的估计.由于显然至少需要$2δ(G)$顶点来保证大小为$δ(G)$的彩虹匹配，我们研究当$|V(G)|\ge 2δ(G)$。我们证明了任何具有$|V(G)|\ge 2δ$的正确边着色图$G$都包含大小至少为$δ- 2δ(G)^{2/3}$的彩虹匹配。这个结果扩展了（具有较弱的误差项）众所周知的结果，即完全二分图$K_{n,n}$的因子分解具有大小为$n-o(n)$的彩虹匹配，或者等价地，每个拉丁方的顺序$n$具有大小为$n-o(n)$的部分横截（Ryser - Brualdi猜想的渐近版本）。在这个方向上，我们还表明，每一个拉丁方的顺序$n$有一个{ \em无圈部分断面}的大小为$n-o(n)$。
2012-08-28 math.CO
Every latin hypercube of order 5 has transversals
Sobolev Institute of Mathematics（索博列夫数学研究所）；Novosibirsk State University（新西伯利亚国立大学）
该研究证明了阶数为5的拉丁超立方体具有横贯线，并探讨了无横贯线的层拉丁立方体和长方体的构造与分类。
2023-11-25 cs.IT math.CO math.IT
Transversals in completely reducible multiary quasigroups and in multiary quasigroups of order 4
一个$q$阶的$n$ -元拟群$f$是一个在一组基数$q$上的$n$ -元运算，使得该运算的凯莱表是一个$q$阶的$n$ -维拉丁超立方体。准群$f$（或相应的拉丁超立方体）中的截线是来自$f$的凯莱表的$q$ $(n+1)$ -元组的集合，每对元组在每个位置都不同。拉丁超立方体中的横截问题是由Wanless在2011年提出的。一个$n$元拟群$f$称为可约的，如果它可以由两个元数至少为2的拟群的合成得到;如果它可以分解为二元拟群，则它是完全可约的.本文研究了可约拟群和4阶拟群的断面。我们发现了一个下界的数量的横截的一个巨大的类完全可约拟群。其次证明了除偶数元的迭代群$\mathbb{Z}_4$外，每一个4阶$n$元拟群都有断面.同时得到了4阶奇元拟群的断面数的一个下界，以及奇元迭代群$\mathbb{Z}_4$和迭代群$\mathbb{Z}_2^2.$中的断面数。
2017-09-11 math.CO
On the transversals of Latin squares generated by nonlinear bipermutive cellular automata
University of Milano-Bicocca（米兰比可卡大学）；Durham University（杜伦大学）；University of Twente（特文特大学）
本文研究了在无边界条件的情况下，双置换细胞自动机生成的拉丁方是否具有正交配对的条件，证明了主对角线存在transversal的双置换细胞自动机的生成函数特性，并通过穷举搜索实验确定了最小直径d=6时存在非线性双置换CA生成具有主对角线transversal的拉丁方。
2026-05-15 cs.FL math.CO
Transversals, near transversals, and diagonals in iterated groups and quasigroups
给定一个$n$阶的二元拟群$G$，一个$d$ -迭代拟群$G[d]$是等于$G$与自身的$d$ -乘合成的$(d+1)$ -元拟群.每一个$d$元拟群的Cayley表都是一个$d$维拉丁超立方体.定义了多元拟群中的横截和对角，使之与相应的拉丁超立方体中的横截和对角一致。证明了若$n$阶群$G$满足Hall-Paige条件，则对于大的$d$，$G[d]$中的断面数等于$ \frac{n!}{ |G'| n^{n-1}} \cdot n!^{d} (1 + o(1))$，其中$G'$是$G$的换位子群.对于一般拟群$G$，我们得到了类似的关于$G[d]$中断面和近断面个数的估计，并发展了一种计算迭代拟群中其它类型对角线的方法.
2021-08-19 math.CO
A Matroid Generalization of a Result on Row-Latin Rectangles
设A是一个m \times n矩阵，其中每行的元素都是不同的。Drisko表明，如果m \ge 2 n-1，那么A有一个横截：一组n个不同的条目，没有两个在同一行或列。我们将其推广到具有拟阵元素的矩阵。对于这样一个矩阵A，我们证明了如果A的每一行形成一个独立集，那么我们可以要求断面也是独立的。我们确定的算法的复杂性的基础上证明这个结果。最后，我们观察到，m \ge 2 n-1似乎迫使不仅存在一个，但许多横截。我们讨论了一些与此有关的观察（其中一些涉及拟阵，其中一些不）。
1998-07-08 math.CO
On the chromatic number of Latin square graphs
拉丁方的色数是覆盖其胞腔的部分断面的最少数目。这就是它的关联拉丁方图的色数。虽然拉丁方图作为强正则图已被广泛研究，但其色数似乎还未被探索。确定了循环拉丁方的色数，并给出了其它几类拉丁方的界.用计算机，我们找到了所有主类的拉丁方阶的色数至多为8。
2016-04-06 math.CO
A proof of the Ryser-Brualdi-Stein conjecture for large even $n$
本文证明了对足够大的偶数 $n$，每个 $n$ 阶拉丁方都含有 $n-1$ 个单元格的横截线，从而解决了 Ryser-Brualdi-Stein 猜想的大偶数情形，并将方法应用于 Steiner 三元系匹配问题，证明了 Brouwer 1981 年猜想。
2023-10-30 math.CO
A Generalization of Plexes of Latin Squares
拉丁方的$k$ -plex是表示每行、列和符号精确$k$次的单元格的集合。$k=1$的经典病例通常称为横截骨。我们引入了$k$ -权的概念，它是一个拉丁方的行、列和符号和都是$k$的单元格上的积分权函数。然后，我们表明，几个不存在的结果有关$k$ -丛可以被看作是更一般的事实，关于$k$ -权重和权重类似物的几个著名的存在性理论丛实际上持有的$k$ -权重。
2010-08-01 math.CO
A three-factor product construction for mutually orthogonal latin squares
众所周知，相互正交拉丁方，或MOLS，允许（克罗内克）产品的建设。我们表明，在温和的条件下，“三重产品”的MOLS可以导致一个平方的增益。在横截设计方面，该技术是使用罗尔夫里斯的构造两次：一次是获得一个产品后的块的粗略分辨率，然后重新组织类并解决第二个产品的块。作为结果，我们报告了一些改进的MOLS表，并获得了轻微的加强著名的MacNeish定理。
2014-01-07 math.CO
Partitioning 3-homogeneous latin bitrades
拉丁位交易$(T^{\diamond}, T^{\otimes})$是一对部分拉丁方，其定义了相同阶的两个任意拉丁方$L^{\diamond} \supseteq T^{\diamond}$和$L^{\diamond} \supseteq T^{\otimes}$之间的差。3齐次比特率$(T^{\diamond}, T^{\otimes})$在每行中具有三个条目，在每列中具有三个条目，并且每个符号在$T^{\diamond}$中出现三次。Cavenagh（2006）表明，任何3-齐次比特率都可以划分为三个横截。本文利用几何方法对Cavenagh的结果给出了一个独立的证明。在这样做的过程中，我们提供了一个研究bitrades的球面，欧几里得或双曲空间的镶嵌的框架。
2008-03-08 math.CO
Transversals, plexes, and multiplexes in iterated quasigroups
一个$n$阶的$d$ -元拟群是在一组基数$n$上的一个$d$ -元运算，使得该运算的凯莱表是一个相同阶的$d$ -维拉丁超立方体。给定一个二元拟群$G$，$d$ -迭代拟群$G^{\left[d\right]}$是一个$d$ -元拟群，它是$G$与自身的$d$ -时间合成.在$n$阶的$d$维拉丁超立方体$Q$中或在相应的$d$元拟群中的$k$复用（$k$-plex）$K$是$kn$项的多集（集合），使得$Q$的每个超平面和每个符号恰好被$K$的$k$元素覆盖.横截线是1-plex。本文证明了存在一个常数$c(G,k)$，使得如果一个$d$ -迭代拟群$n$阶的$G$有一个$k$ -复用，则对于大的$d$，它的$k$ -复用的个数渐近等于$c(G,k) \left(\frac{(kn)!}{k!^n}\right)^{d-1}$ .作为推论，我们得到：如果$n$阶的$d$ -迭代拟群$G$的Cayley表的断面数不为零，则它渐近地为$c(G,1) n!^{d-1}$ .此外，我们给出了两个5阶迭代拟群中断面数的极限常数和递推公式，刻画了典型的$k$ -多重性，并估计了$d$ -迭代拟群中部分$k$ -多重性和断面数.
2017-09-10 math.CO
Counting Near-Spanning Matchings in Latin Squares and Steiner Triple Systems
Georgia State University（佐治亚州立大学）
本文证明了拉丁方和斯坦纳三元系中近生成匹配的精确计数结果，给出了指数级数量的部分横截和匹配，证实了相关猜想和预测。
2026-09-11 math.CO
New bounds for Ryser's conjecture and related problems
$n$阶的拉丁方是填充有$n$符号的$n \times n$阵列，使得每个符号在每行或每列中仅出现一次，并且横截是不共享相同行、列或符号的单元的集合。对拉丁方的研究可以追溯到200多年前欧拉的工作。这一领域最著名的开放问题之一是60年代Ryser-Brualdi-Stein提出的一个猜想，该猜想认为每个$n\times n$阶的拉丁方都包含一个$n-1$阶的横截。本文证明了$n-O(\log{n}/\log{\log{n}})$阶断面的存在性，改进了Hatami和Shor关于$n-O(\log^2n)$阶断面的著名界.我们的方法（不同于Hatami-Shor的方法）是相当普遍的，并给出了其他几个应用程序。我们得到了一个新的下界40岁的猜想Brouwer的最大匹配Steiner三元系，表明每一个这样的系统的顺序$n$是保证有一个匹配的大小$n/3-O(\log{n}/\log{\log{n}})$。这实质上改进了Alon、Kim和Spencer的具有$n^{1/2+o(1)}$阶误差项的当前最佳结果。最后，我们还表明，$O(n\log{n}/\log{\log{n}})$许多符号在拉丁数组足以保证一个完整的横向，提高以前已知的界$n^{2-\varepsilon}$。证明以一种新的方式结合半随机方法与强大的扩展性能的边缘着色伪随机图显示存在的彩虹匹配覆盖所有，但$O(\log n/\…
2020-05-25 math.CO
Bounded-Support Additive Latin Transversals
McMaster University（麦克马斯特大学）；Université Clermont Auvergne（克莱蒙奥弗涅大学）；Zuse Institute Berlin（柏林祖斯研究所）；Technische Universität Berlin（柏林工业大学）
研究加法拉丁横截问题，核心方法是给出颜色计数匹配的随机算法，通过归约和结合已有算法得到运行时间，主要贡献是对加法拉丁横截问题，在固定支持大小时可随机多项式时间构造。
2026-08-10 cs.DS math.CO
A weak version of Rota's basis conjecture for odd dimensions
通过对约化拉丁方（拉丁方的第一行和第一列是单位置换）的说明，将Alon-Tarsi拉丁方猜想推广到奇数维。一个修改后的版本Onn的丰富多彩的行列式身份是用来显示如何有效的这个猜想意味着一个弱版本的罗塔的基础猜想为奇数维，即一组$n$基地在$\mathbb{R}^n$有$n-1$不相交的独立断面。
2013-04-26 math.CO
On the number of symbols that forces a transversal
Akbari和Alipour指出，任何至少有$n^2/2$符号的$n$阶拉丁数组都包含一个截线。我们对大$n$证实了这一猜想，此外，我们还证明了$n^{399/200}$符号就足够了。
2018-05-28 cs.DM math.CO
The Chromatic Number of Finite Group Cayley Tables
拉丁方$L$的色数，记作$χ(L)$，是覆盖其所有胞元所需的部分横截的最小数目。证明了每个拉丁方都满足$χ(L) \leq |L|+2$。如果是真的，这将解决一个长期存在的猜想-通常归因于Brualdi-每个拉丁方都有一个大小为$|L|-1$的部分断面。限制我们的注意力有限群的凯莱表，我们证明了两个主要结果。首先，我们解决了有限阿贝尔群的Cayley表的色数问题：阿贝尔群$G$的Cayley表具有色数$|G|$或$|G|+2$，后一种情况发生当且仅当$G$具有非平凡循环Sylow 2-子群。其次，我们给出了任意有限群的Cayley表的色数的一个上界。对于$|G|\geq 3$，这将最著名的一般上界从$2|G|$改进为$\frac{3}{2}|G|$，同时在无限多的情况下产生甚至更强的结果。
2018-05-17 math.CO
Generalising Latin square orthogonality and Frobenius-König with alternating sign matrices
引入意大利方阵作为拉丁方阵的推广，定义正交性概念，解决Brualdi-Dahl定义的不一致性，并得到正交集最大规模上界、正交伴侣存在条件、无穷正交族和横截等结果，同时证明了一类(0,±1)-矩阵的Frobenius-König型定理。
2026-06-25 math.CO
The Steiner triple systems of order 21 with a transversal subdesign TD(3,6)
证明了包含一个或多个横截子设计TD（3，w）的3w+3阶Steiner三元系（STS）的若干结构性质.使用穷举搜索，我们发现有2004720个同构类的STS（21），包括一个子设计TD（3，6），或等价地，一个6 × 6的拉丁方。
2019-05-23 cs.DM math.CO
Completions of epsilon-dense partial Latin squares; quasirandom k-colorings of graphs
组合数学中的一个经典问题是：给定一个部分拉丁方$P$，什么时候我们可以将$P$完全化为一个拉丁方$L$？本文研究了\textbf{$ε$-dense partial Latin squares}类：\ partial拉丁方，其中每个符号、行和列包含不超过$εn$ -许多非空单元格.基于Nash-Williams的一个猜想，Daykin和Häggkvist证明了所有$\frac{1}{4}$稠密的部分拉丁方都是可补的。在本文中，我们将讨论的证明方法和结果在以前的尝试来解决这个猜想，介绍了一种新的技术，来自Jacobson和Matthews的论文产生随机拉丁方，并使用这种新的技术来研究$ ε$ -密集的部分拉丁方，包含不超过$δn^2$填充细胞总数。特别地，我们构造了所有$ ε$ -稠密部分拉丁方的完备化，它们总共包含不超过$δn^2$填充的单元格，给定$ε< \frac{1}{12}, δ< \frac{ \left(1-12ε\right)^{2}}{10409}$ .特别是，我们证明了所有$9.8 \cdot 10^{-5}$稠密的部分拉丁方是可完成的。我们进一步表明，这样的完成总是可以在多项式时间内找到。这与科尔伯恩的结果形成对比。在第三章中，我们加强了Colbourn的结果，证明了对任意$ε> 0$，完备任意$\left(\frac{1}{2} + ε\right)$ -稠密…
2013-06-03 math.CO
Pursuit-evasion games on latin square graphs
我们研究了拉丁方图上的各种追逐-逃避参数，包括copnumber，度量维数和局部化数。研究了拉丁方图的copn数，给出了$k$-MOLS图copn数的$(n),$界.如果是$n>(k+1)^2,$，则cop数为$k+2.$.给出了拉丁方图的度量维数和局部化数的上界.反循环拉丁方的度量维数表明其下界接近于紧。最近关于拉丁方的覆盖和部分断面的结果给出了$n.$阶拉丁方图的局部化数的$n+O\left(\frac{\log{n}}{\log{\log{n}}}\right)$的上界
2021-09-29 cs.DM math.CO
Do $K_{3,3}$-Free Latin Squares Exist?
Yandex；Hebei Normal University（河北师范大学）；Sobolev Institute of Mathematics（索博列夫数学研究所）
研究是否存在不含K33子结构的拉丁方，构造了阶为16的K33自由拉丁方，并探讨了正交拉丁方的类似问题。
2026-09-01 math.CO
Ryser's Theorem for Simple Multi-Latin Rectangle
本文推广了拉丁矩的补全理论，证明了在预先指定符号出现次数且单元格无重复符号的设定下，简单多重拉丁矩可扩展为拉丁方，并证实了Cavenagh等人关于部分拉丁方嵌入的猜想。
2025-09-14 math.CO
Low-Density Parity-Check Codes From Transversal Designs With Improved Stopping Set Distributions
研究了基于正交拉丁方集的横向设计构造低密度奇偶检验（LDPC）码。通过将组合设计中构型的概念转移到拉丁方的层次上，我们深入地研究了所产生的码的停止集的发生和避免。已知停止集确定二进制擦除信道上的解码性能，并且对于小尺寸应该避免。基于大的简单结构的MOLS集，我们得到强大的约束条件，选择合适的子集，从而改善停止集分布相应的代码。我们重点研究列重为4的LDPC码，但结果也适用于构造列重更高的码。最后，我们表明，所提出的代码的子类具有准循环结构，允许低复杂度的编码。
2013-06-21 cs.DM cs.IT math.CO
A constructive algorithm for the LLL on permutations
针对随机排列语境下LLL算法缺失的问题，提出一种构造性随机多项式时间算法，应用于拉丁横贯等组合问题，并保留Moser-Tardos算法的多数性质。
2016-12-08 cs.DS math.CO
Orthogonal trades in complete sets of MOLS
设$B_p$是由整数模奇素数$p$的加法表给出的拉丁方。在这里，我们考虑$B_p$中拉丁交易的属性，这些属性与有限域构造给出的其中一个$p-1$ MOLS保持正交性。我们表明，对于某些选择的正交伴侣，有一个下限对数$p$的次数，每个符号出现在这样的贸易，与整体下限的$(\log{p})^2/\log\log{p}$的大小，这样的贸易。这种交换意味着循环群的正形的存在，它与线性正形有很小的不同。我们还表明，在$B_p$中的任何横向击中主对角线要么$p$或最多$p-\log_2{p}-1$倍。最后，如果$p\equiv 1\mod{6}$，我们证明了拉丁方的存在性，它包含一个与$B_p$正交的$2\times 2$子方。
2016-07-18 math.CO
Restricted completion of sparse partial Latin squares
一个$n \times n$部分拉丁方$P$被称为$α$ -密集的，如果每行和列最多有$αn$非空单元格，并且每个符号在$P$中出现最多$αn$次。如果每个符号在每行和每列中最多出现$βn$次，并且每个单元最多包含$βn$大小的集合，则每个单元包含$\{1,\dots, n\}$子集的$n \times n$阵列$A$是$(βn, βn, βn)$阵列。结合完备部分拉丁方和避免数组的概念，证明了存在常数$α, β> 0$，使得对于每个正整数$n$，如果$P$是$α$ -稠密的$n \times n$部分拉丁方，$A$是$n \times n$ $(βn, βn, βn)$ -数组，并且$P$的任何单元都不包含出现在$A$的相应单元中的符号，则存在避免$A$的$P$的完成;即，在$P$的每个非空单元上存在与$P$一致的拉丁方$L$，并且对于满足$1 \leq i,j \leq n$的每个$i,j$，$L$中位置$(i,j)$中的符号不出现在$A$的相应单元中。
2016-08-26 cs.DM math.CO
Myrvold's Results on Orthogonal Triples of $10 \times 10$ Latin Squares: A SAT Investigation
School of Computer Science, University of Waterloo（滑铁卢大学计算机学院）；Department of Mathematics and Statistics, University of Windsor（温莎大学数学与统计系）；School of Mathematics and Statistics, Carleton University（卡尔顿大学数学与统计学院）
本文利用SAT求解器研究10×10拉丁方正交三元组的存在性，验证Myrvold的非存在性结果并找到剩余8种情况的正交对例子。
2026-01-21 cs.DM math.CO
An algebraic approach to Latin squares of prime power order by local permutation polynomials
本文通过局部置换多项式将素数幂阶拉丁方系数与代数集零点等同，提出统一代数描述方法，并处理约化与同位拉丁方，在q=4,5上构造验证，最后联系完全映射与横截。
2025-10-10 math.AG math.CO
Almost-full transversals in equi-$n$-squares
Mathematics Institute, University of Warwick（华威大学数学研究所）；Department of Computer Science, ETH Zürich（苏黎世联邦理工学院计算机科学系）；Department of Mathematics, ETH Zürich（苏黎世联邦理工学院数学系）
本文肯定回答等 n 方阵是否总有近似完全横截的问题，同时改进存在性反例界与普适的近乎完全互不相交横截界。
2026-10-14 math.CO
Toward a Three-dimensional Counterpart of Cruse's Theorem
本文确立了完全λ重3-图边着色嵌入一因子分解的充要条件，证明了首个超图Ryser型定理及Evans型结果。
2025-09-14 math.CO
An additive theorem and restricted sumsets
设G是任意具有循环扭子群的可加阿贝尔群，A，B，C是G的基数n>0的有限子集.我们证明了存在A的元素的编号{a_i}_{i=1}^n，B的元素的编号{b_i}_{i=1}^n和C的元素的编号{c_i}_{i=1}^n，使得所有和a_i+b_i+c_i（i=1，. n）是不同的。因此，由Z/NZ的凯莱加法表形成的拉丁立方体的每个子立方体包含拉丁断面。这个加法定理可以通过域中的限制和集得到进一步的推广。
2008-12-04 math.CO math.NT
Embedding Equitable Rectangles
Illinois State University（伊利诺伊州立大学）；Georgia State University（佐治亚州立大学）；Vanderbilt University（范德堡大学）
研究部分拉丁方阵的补全问题，推广Ryser定理到更一般情形，给出填充剩余单元格使各符号出现次数均衡的充要条件，统一并推广了多个经典结果。
2026-06-26 math.CO
Rainbow Arborescence Conjecture
Department of Mathematical and Computing Science, School of Computing, Institute of Science Tokyo（数学与计算科学系，计算学院，东京科学研究所）
彩虹树猜想研究了由n-1个spanning arborescences组成的图中是否存在一个使用每个弧恰好一次的arborescence，并证明了相关计算问题的NP完全性及在特定情况下的成立性。
2025-12-09 cs.DM cs.DS math.CO
