Avoiding a partial Latin square with an isotope of a given Latin square
KU Leuven Campus Kulak-Kortrijk（荷语鲁汶大学库尔拉克-科特赖克校区）；Monash University（蒙纳士大学）
该研究针对足够大的n阶拉丁方，通过仅置换行和列的方法，证明了可使其避开任意指定的n阶部分拉丁方，证明结合了Hall定理与随机置换的初等估计。
2026-10-15 math.CO
An enumeration of spherical latin bitrades
拉丁比特（T1，T2）是一对不相交的部分拉丁方，占据相同的非空单元格集合，并且其对应的行和列包含相同的条目集合。一个亏格可以通过在一个定向曲面中构造一个底层图的嵌入来与一个拉丁比特率相关联。我们报告的球形（属0）拉丁bitrades的数量计算枚举结果的大小为24。
2009-09-16 math.CO
Infinite Latin Squares: Neighbor Balance and Orthogonality
关于邻居平衡，我们认为自然的推广$D$ -完全拉丁方和梵蒂冈广场从有限到无限。我们表明，如果$G$是一个无限阿贝尔群与$|G|$ -许多平方元素，那么它是可能的置换的行和列的凯莱表，以创建一个无限梵蒂冈广场。我们还构建了一个梵蒂冈广场的任何给定的无限秩序，是无法通过排列的行和列的凯莱表。关于正交性，我们表明，每一个无限群$G$有一组$|G|$相互正交的正形，因此有一组$|G|$相互正交拉丁方的基础上$G$。证明了具有$|G|$ -多个平方元的无限群$G$具有强完备映射;并且，除了某些可能的例外，无限阿贝尔群具有强完备映射。
2018-07-23 math.CO
Counting partial Latin rectangles and tridimensional rook placements with multisymmetric functions
Universidad de Sevilla（塞维利亚大学）
将Gessel公式推广到部分拉丁矩形和三维棋盘上车的放置，用多对称函数的标量积方法，得出2或3层棋盘上车放置的生成级数的显式短公式，该级数也计数2或3行的部分拉丁矩形。
2026-07-08 math.CO
On the Length of a Partial Independent Transversal in a Matroidal Latin Square
我们提出并探讨了关于拉丁方的Brualdi - Ryser猜想的拟阵形式.本文证明了任何$n\times n$矩阵，其行和列都是拟阵的基，都有一个独立的长度为$\lceil2n/3\rceil$的部分断面。我们证明了对于任何$n$，存在这样一个矩阵，其最大独立部分断面的长度至多为$n-1$。
2012-04-24 math.CO
Latin transversals of rectangular arrays
设m和n为整数，$2 \leq m \leq n$。一个m × n阵列由mn个单元组成，排列成m行和n列，每个单元恰好包含一个符号。一个数组的横截由m个单元组成，每行一个，同一列没有两个。一个拉丁横切面是一个横切面，其中没有一个符号出现超过一次。我们将建立一个3 × n数组有拉丁断面的充分条件。
2001-09-18 math.CO
Intercalates and Discrepancy in Random Latin Squares
拉丁方中的插入是$2\times2$拉丁子方。令$N$为均匀随机$n\times n$拉丁方中的嵌入数。证明了渐近几乎必然$N\ge\left(1-o\left(1\right)\right)\,n^{2}/4$和$\mathbb{E}N\le\left(1+o\left(1\right)\right)\,n^{2}/2$（因此对任何$f\to\infty$渐近几乎必然$N\le fn^{2}$）.这显著地改进了先前的最佳下限和上限。我们还给出了随机拉丁方的两个固定行中插入数的上尾界。此外，我们还讨论了低差拉丁方上的Linial和Luria问题。
2017-01-17 math.CO
Mutually orthogonal latin squares with large holes
两个拉丁方是正交的，如果当它们叠加时，每个符号的序偶恰好出现一次。这个定义自然地延伸到“不完整的”拉丁方，每个方在相同的行、列和符号上都有一个洞。如果一个$n$阶的不完全拉丁方有一个$m$阶的洞，那么很容易观察到$n \ge 2m$。更一般地说，如果一组$t$不完全的相互正交拉丁方的顺序$n$有一个共同的洞的顺序$m$，那么$n \ge (t+1)m$。在这篇文章中，我们证明了这样的集合不完全平方存在的所有$n,m \gg 0$满足$n \ge 8(t+1)^2 m$。
2014-10-24 math.CO
On the probability that a random Latin square is all-even
UNSW Sydney（新南威尔士大学）；Institute of Science and Technology Austria (ISTA)（奥地利科学技术研究所）
该研究针对随机n×n拉丁方，证明其所有行均为偶的概率为2^{-n+o(n)}，填补了Kwan等人工作的空白，还推广了相关奇偶性指定概率的定理，通过扩展前人思路引入新方法控制交换操作。
2026-10-12 math.CO
On the number of Latin squares
我们（1）确定了11列拉丁矩形的数目和每一个可能的行数，包括~11阶的拉丁方，（2）回答了Alter的一些问题，证明了约化的$n$阶的拉丁方的数目可被$f!$整除，其中$f$是一个接近于$\frac12n$的特定整数，（3）给出了用$(+1,-1)$ -矩阵的积和表示的拉丁方个数的计算公式;（4）求出了当$2n$，（5）证明了具有非平凡对称群的拉丁方的比例随着阶数的增加而迅速趋于零。
2009-09-11 math.CO
The size of the smallest uniquely completable set in order 8 Latin squares
1990年，Kolesova、Lam和Thiel确定了8阶拉丁方的283，657个主要类。使用技术，以确定相关的拉丁贸易和整数规划，我们检查这些主要类的代表，并确定没有一个可以包含一个唯一的完整的集大小小于16。在其中三个主要类别中，使用包含小于或等于三行、三列或三个元素的交易不足以确定这一事实。我们仔细研究这三个主要类别的代表的属性。写的主要结果在Nelder的符号临界集，我们证明了scs（8）=16。
2004-02-28 math.CO
Row-Hamiltonian Latin squares and Falconer varieties
本研究首次构造出仅具备列哈密顿或符号哈密顿性质之一的行哈密顿拉丁方族，并用其构建非平凡反结合迷向$L$-封闭拟群簇，解决了Falconer1970年提出的公开问题。
2022-11-24 math.CO
On the minimum number of entries in a pair of maximal orthogonal partial Latin squares
ARC Centre of Excellence for Plant Success in Nature and Agriculture（植物在自然与农业中成功卓越中心）；School of Mathematics and Physics, University of Queensland（昆士兰大学数理学院）；School of Mathematics and Statistics, The Open University（开放大学数学与统计学院）；Department of Mathematics, Koç University（科奇大学数学系）
研究证明了一对最大正交偏拉丁方中填充值的下限为$n^2/3$，并确定了该下限的唯一结构形式。
2026-02-10 math.CO
A Quantum Latin Square of Order Six with Cardinality 29
Dirac Labs（狄拉克实验室）
本文构造了六阶基数为29的实量子拉丁方，完善了六阶量子拉丁方的基数谱。
2026-08-14 math.CO
Cycle structure of autotopisms of quasigroups and Latin squares
一个拉丁方的自同构是一个三重$(α,β,γ)$的排列，使得拉丁方通过用$α$排列它的行，用$β$排列它的列，用$γ$排列它的符号来映射到它自己。令$\mathrm{Atp}(n)$是$n$阶的拉丁方的所有自同构的集合。排列的三元组$(α,β,γ)$是否属于$\mathrm{Atp}(n)$仅取决于$α$、$β$和$γ$的循环结构。我们建立了一些必要条件$(α,β,γ)$是在$\mathrm{Atp}(n)$，并使用它们来确定$n\le17$的$\mathrm{Atp}(n)$。对于一般的$n$，我们确定是否$(α,α,α)\in\mathrm{Atp}(n)$（即，如果$α$是某个阶为$n$的拟群的自同构），只要$α$至多有三个除不动点之外的圈，或者$α$的非不动点在相同长度的圈中。
2015-09-18 math.CO
Latin Polytopes
拉丁方是研究得很好的组合对象。在本文中，我们推广的概念，并提出新的对象，如拉丁三角形，自由拉丁方，拉丁四面体，自由拉丁立方体等，我们开始与一个经典的定义拉丁方其次是一个基于拉丁化板的概念。于是，一个拉丁方就表现为一种组合设计，它的点是几何的，而它的线（行和列）在正方形的对称性下是不变的。下面的概括继续进行1。拓宽了这种几何对称性2.考虑点的更一般的配置，以及3.允许更自由地相交的线。由此产生的概念是拉丁董事会。最后，我们将拉丁板特殊化，定义了拉丁多面体、拉丁多边形和拉丁多面体。
2016-04-04 math.CO math.HO
Completions of epsilon-dense partial Latin squares; quasirandom k-colorings of graphs
组合数学中的一个经典问题是：给定一个部分拉丁方$P$，什么时候我们可以将$P$完全化为一个拉丁方$L$？本文研究了\textbf{$ε$-dense partial Latin squares}类：\ partial拉丁方，其中每个符号、行和列包含不超过$εn$ -许多非空单元格.基于Nash-Williams的一个猜想，Daykin和Häggkvist证明了所有$\frac{1}{4}$稠密的部分拉丁方都是可补的。在本文中，我们将讨论的证明方法和结果在以前的尝试来解决这个猜想，介绍了一种新的技术，来自Jacobson和Matthews的论文产生随机拉丁方，并使用这种新的技术来研究$ ε$ -密集的部分拉丁方，包含不超过$δn^2$填充细胞总数。特别地，我们构造了所有$ ε$ -稠密部分拉丁方的完备化，它们总共包含不超过$δn^2$填充的单元格，给定$ε< \frac{1}{12}, δ< \frac{ \left(1-12ε\right)^{2}}{10409}$ .特别是，我们证明了所有$9.8 \cdot 10^{-5}$稠密的部分拉丁方是可完成的。我们进一步表明，这样的完成总是可以在多项式时间内找到。这与科尔伯恩的结果形成对比。在第三章中，我们加强了Colbourn的结果，证明了对任意$ε> 0$，完备任意$\left(\frac{1}{2} + ε\right)$ -稠密…
2013-06-03 math.CO
How to burn a Latin square
本文通过研究拉丁方关联的超图探究其惰性燃烧过程，确定了 $n$-一致超图惰性燃烧数的紧致上下界，证明了 $3$-一致超图惰性燃烧数等于最短连通子方链加一，并确定了有限生成群导出超图的燃烧数。
2024-07-29 math.CO
Universal probability bounds for partial Latin squares
Freie Universität Berlin（柏林自由大学）；Universitat Politècnica de Catalunya (UPC)（加泰罗尼亚理工大学）
本文研究随机拉丁方中包含给定部分拉丁方的概率，得到概率介于(δ/n)^k和(Δ/n)^k之间的通用界，并应用于子方计数，首次证明3阶子方期望数非零，并给出a阶子方期望数的最佳渐近。
2026-06-23 math.CO
Ryser's Theorem for Simple Multi-Latin Rectangle
本文推广了拉丁矩的补全理论，证明了在预先指定符号出现次数且单元格无重复符号的设定下，简单多重拉丁矩可扩展为拉丁方，并证实了Cavenagh等人关于部分拉丁方嵌入的猜想。
2025-09-14 math.CO
Parity of Sets of Mutually Orthogonal Latin Squares
每个拉丁方都有三个属性，可以是偶数或奇数，但其中任何两个属性决定了第三个属性。因此，拉丁方的奇偶校验具有2比特的信息内容。我们将奇偶校验的定义从拉丁方扩展到相互正交拉丁方（MOLS）和相应的正交表（OA）。假设$\mathrm{OA}(k,n)$的奇偶校验具有$\dim(k,n)$比特的信息内容。我们证明了$\dim(k,n) \leq {k \choose 2}-1$ .对于对应于投影平面的情况，我们证明了一个更严格的界限，即$\dim(n+1,n) \leq {n \choose 2}$当$n$是奇数和$\dim(n+1,n) \leq {n \choose 2}-1$当$n$是偶数。利用存在的MOLS与subMOLS，我们证明了，如果$\dim(k,n)={k \choose 2}-1$，那么$\dim(k,N) = {k \choose 2}-1$对所有足够大的$N$。令$\mathrm{OA}$的系综是通过将OA的任何三列解释为拉丁方而导出的拉丁方的集合。我们证明了许多限制的拉丁方的数量，每个奇偶校验的合奏的$\mathrm{OA}(k,n)$可以包含。这些限制取决于$n\mod4$，并给出了一些关于为什么构建$n \not= 2\mod4$阶的投影平面比构建$n \not= 2\mod4$阶的投影平面更困难的见解。例如，我们证明，当$n \not= 2\mod 4$它是…
2017-03-14 math.CO
Perfect $1$-factorisations of $K_{11,11}$
研究$K_{11,11}$的完美1-因子分解，发现其与行哈密顿拉丁方的关系，并填补了经典完美1-因子分解文献中的空白。
2026-04-09 math.CO
Restricted completion of sparse partial Latin squares
一个$n \times n$部分拉丁方$P$被称为$α$ -密集的，如果每行和列最多有$αn$非空单元格，并且每个符号在$P$中出现最多$αn$次。如果每个符号在每行和每列中最多出现$βn$次，并且每个单元最多包含$βn$大小的集合，则每个单元包含$\{1,\dots, n\}$子集的$n \times n$阵列$A$是$(βn, βn, βn)$阵列。结合完备部分拉丁方和避免数组的概念，证明了存在常数$α, β> 0$，使得对于每个正整数$n$，如果$P$是$α$ -稠密的$n \times n$部分拉丁方，$A$是$n \times n$ $(βn, βn, βn)$ -数组，并且$P$的任何单元都不包含出现在$A$的相应单元中的符号，则存在避免$A$的$P$的完成;即，在$P$的每个非空单元上存在与$P$一致的拉丁方$L$，并且对于满足$1 \leq i,j \leq n$的每个$i,j$，$L$中位置$(i,j)$中的符号不出现在$A$的相应单元中。
2016-08-26 cs.DM math.CO
Parities in random Latin squares
本文证明了均匀随机拉丁方中行、列和符号的奇偶性联合分布可由独立无偏硬币投掷近似，解决了Cameron猜想，并引入了稳定交织切换等研究随机拉丁方的新技术。
2025-09-17 math.CO math.PR
Toward a Three-dimensional Counterpart of Cruse's Theorem
本文确立了完全λ重3-图边着色嵌入一因子分解的充要条件，证明了首个超图Ryser型定理及Evans型结果。
2025-09-14 math.CO
Embedding Equitable Rectangles
Illinois State University（伊利诺伊州立大学）；Georgia State University（佐治亚州立大学）；Vanderbilt University（范德堡大学）
研究部分拉丁方阵的补全问题，推广Ryser定理到更一般情形，给出填充剩余单元格使各符号出现次数均衡的充要条件，统一并推广了多个经典结果。
2026-06-26 math.CO
Group Invariant Quantum Latin Squares
本文引入群不变量子拉丁方，证明其与群代数间保持迹和共轭转置的同构存在自然双射，并给出存在条件及与量子同构凯莱图的联系。
2025-02-28 math.CO math.QA quant-ph
Perpetually Fair Assignments Via Balanced Sequences of Permutations
University at Albany, State University of New York（纽约州立大学奥尔巴尼分校）；Ariel University（阿里埃勒大学）
本文提出通过平衡排列序列实现永恒公平分配，确保每一天的分配都公平，提出多个平衡条件以满足比例性要求。
2026-07-23 cs.GT math.CO
