On the number of transversals in latin squares
Vladimir N. Potapov
所有$n$阶的拉丁方上的最大横截数的对数大于$\frac{n}{6}(\ln n+ O(1))$。
The logarithm of the maximum number of transversals over all latin squares of order $n$ is greater than $\frac{n}{6}(\ln n+ O(1))$.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Transversals in Latin arrays with many distinct symbols
如果数组的任何一行中没有重复的符号，则该数组是行-拉丁。一个数组是拉丁文，如果它和它的转置都是行拉丁文。$n\times n$阵列中的横向是对来自不同行和不同列的$n$不同符号的选择。我们证明了每一个包含至少$(2-\sqrt{2}) n^2$不同符号的$n \times n$拉丁数组有一个断面。此外，每个包含至少$\frac14(5-\sqrt{5})n^2$不同符号的$n \times n$行拉丁数组都有一个横截。最后，我们通过计算表明，每一个拉丁阵列的顺序$7$有一个横截，我们描述了所有较小的拉丁阵列，没有横截。
Quasi-transversal in Latin Squares
本文首先给出了拉丁方中的截线与其拉丁方图中的一些概念之间的关系，并给出了拉丁方有正交配偶的一个等价条件。组合数学中最著名的公开问题是求拉丁方中不相交断面的最大数目。因此，我们的下一个目标是找到一族可分解为不相交断面的拉丁方。在下一节中，我们给出了Brualdi，Stein和Ryser用拟截线概念所提出的一个猜想的等价表述。最后，我们证明了Rodney猜想对图族的真实性。
Hamilton transversals in random Latin squares
Gyárfás和Sárközy证明了每个$n\times n$拉丁方都有一个大小为$n-2$的“无圈”部分断面。我们证实了这一猜想在强烈的意义上几乎所有的拉丁方，通过显示，作为$n \rightarrow \infty$，所有的$n\times n$拉丁方，但一个消失的比例有一个汉密尔顿横截，即一个完整的横截，任何真子集是循环自由的。事实上，我们证明了一个计数结果，在几乎所有的拉丁方，汉密尔顿断面的数量本质上是Taranenko的上界的数量的充分断面。这个结果加强了关的一个结果（这反过来意味着几乎所有的拉丁方也满足著名的Ryser-Brualdi-Stein猜想）。
Latin transversals of rectangular arrays
设m和n为整数，$2 \leq m \leq n$。一个m × n阵列由mn个单元组成，排列成m行和n列，每个单元恰好包含一个符号。一个数组的横截由m个单元组成，每行一个，同一列没有两个。一个拉丁横切面是一个横切面，其中没有一个符号出现超过一次。我们将建立一个3 × n数组有拉丁断面的充分条件。
Latin Squares whose transversals share many entries
本文证明了对于所有偶数 $n\geq10$ 和奇数 $m\geq3$，存在具有特定横截线重合性质及子方阵覆盖性质的拉丁方阵，并给出了无横截线条目的下界。
Latin squares with no transversals
$n$阶拉丁方中的$k$ -丛是对$kn$条目的选择，其包括来自每行和列的$k$代表以及每个符号的$k$出现。$1$ -plex也称为横切面.众所周知，如果$n$是偶数，则整数模$n$的加法表$B_n$不具有横截。我们发现，有大量的拉丁方是类似于$B_n$，没有横截。因此，横向自由拉丁方的物种的数量被证明是至少$n^{n^{3/2}(1/2-o(1))}$，甚至$n\rightarrow\infty$。我们还产生了各种建设拉丁方没有横截，但确实有一个$k$ -丛一些奇数$k>1$。证明了第二作者在2002年提出的一个猜想：对于所有偶数阶$n>4$，存在一个$n$阶的拉丁方，它包含一个$3$ -plex，但没有横截.我们还证明了对于奇数$k$和$m\geq 2$，存在一个$2km$阶拉丁方，它有一个$k$ -丛，但对于奇数$k'<k$没有$k'$ -丛.
On completing three cyclic transversals to a latin square
设$P$是由三个循环生成的断面组成的素数阶部分拉丁方$p>7$.具体地说，令$P$为以下形式的部分拉丁方：对于某些不同的$c,c',c''$和某些不同的$s,s',s''$，为\[ P=\{(i,c+i,s+i),(i,c'+i,s'+i),(i,c''+i,s''+i)\mid 0 \leq i< p\} \]。在本文中，我们证明了任何这样的$P$完成一个拉丁方，这是对角循环。
Transversals in Latin Squares
本文综述了过去十年关于Latin squares中transversals研究的最新进展。
On the Length of a Partial Independent Transversal in a Matroidal Latin Square
我们提出并探讨了关于拉丁方的Brualdi - Ryser猜想的拟阵形式.本文证明了任何$n\times n$矩阵，其行和列都是拟阵的基，都有一个独立的长度为$\lceil2n/3\rceil$的部分断面。我们证明了对于任何$n$，存在这样一个矩阵，其最大独立部分断面的长度至多为$n-1$。
Covers and partial transversals of Latin squares
我们将拉丁方的覆盖定义为一组条目，其中包括每行，列和符号的至少一个代表。如果一个覆盖不包含任何更小的覆盖，则它是最小的。部分横切是一组条目，其中包括每行、列和符号的至多一个代表。一个部分断面是极大的，如果它不包含在任何更大的部分断面中。我们探讨覆盖和部分断面之间的关系。我们证明如下：（1）$n$阶拉丁方中覆盖的最小尺寸是$n+a$当且仅当部分断面的最大尺寸是$n-2a$或$n-2a+1$。(2)一个$n$阶拉丁方的极小覆盖的大小至多为$μ_n=3(n+1/2-\sqrt{n+1/4})$。(3)有无穷多个阶$n$，对于这些阶，存在一个拉丁方，它具有从$n$到$μ_n$的每个大小的最小覆盖。(4)每个$n$阶的拉丁方都有一个大小渐近等于$μ_n$的最小覆盖。(5)如果$1\le k\le n/2$和$n\ge5$，则存在一个$n$阶的拉丁方，其最大部分断面的大小为$n-k$。(6)对于任何$ε>0$，渐近地几乎所有的拉丁方都没有大小小于$n-n^{2/3+ε}$的最大部分断面。
Transversals in Latin Squares
$n$阶拉丁方是$n$符号的$n\times n$阵列，其中每个符号在每行和每列中只出现一次。这样的正方形的横截是$n$条目的集合，使得没有两个条目共享相同的行、列或符号。断面与（拟）群中的完备映射和正形的概念密切相关，并且是相互正交拉丁方概念的基础。在这里，我们提供了一个简短的调查的文学横截。我们包括（1）存在性和计数结果，（2）断面的推广，包括部分断面和丛，（3）当拉丁方是群表时的特殊情况，（4）置换集的覆盖半径的联系。该调查包括一些问题和未决问题。
Small Latin arrays have a near transversal
拉丁数组是一个符号矩阵，其中没有符号在一行或一列中出现超过一次。$n\times n$阵列的对角线是从阵列的不同行和列中选取的$n$单元。对角线的权是对角线上不同符号的个数，通过计算证明了每一个$n\le11$阶的拉丁数组都有一条权至少为$n-1$的对角线.一个推论是在这些阶的拉丁方中存在近横截。更一般地说，对于所有$k\le20$，我们计算任何没有至少$n-k$的对角线的拉丁数组的阶的下界。
On the maximum number of Latin transversals
令$T(n)$表示阶- $n$拉丁方中的最大断面数。改进McKay等人获得的边界，Taranenko最近证明了$T(n) \leq \left((1+o(1))\frac{n}{e^2}\right)^{n}$，并证明了这个界是紧的。我们证明通过概率的建设，确实$T(n) = \left((1+o(1))\frac{n}{e^2}\right)^{n}$。直到本文，没有超指数下界为$T(n)$是已知的。我们也给出了一个更简单的上界的证明。
Almost every Latin square has a decomposition into transversals
针对Euler关于特定阶拉丁方不存在横截分解的猜想，本文通过随机拉丁方证明反例以高概率普遍存在。
Latin Squares whose transversals intersect in unusual ways
研究偶数阶拉丁方横截线相交问题，构造特定拉丁方使每对横截线至少共享一个条目，推测不存在所有横截线共有的条目，通过算法证明该推测对\(n\leq10000\)成立，还研究了主导横截线的存在情况。
Transversals in quasirandom latin squares
本文使用圆法的宽松变体，将几乎每个拉丁方横截数量的渐近估计改进为 $(e^{-1/2} + o(1)) n!^2 / n^n$，并证明该方法适用于所有满足特定拟随机性条件的拉丁方。
Transversals in generalized Latin squares
我们正在寻找一个充分条件，迫使一个断面在一个广义拉丁方。$n$阶的广义拉丁方等价于$K_{n,n}$的真边染色。横截对应于多色完美匹配。Akbari和Alipour将$l(n)$定义为最小整数，使得每个正确的边着色的$K_{n,n}$，其中至少包含$l(n)$不同的颜色，允许多色完美匹配。他们证实，如果$n$足够大，则可以使用$l(n)\leq n^2/2$。本文证明了当$n>1$满足时，$l(n)$由$0.75n^2$上界.我们指出一个连接到反拉姆齐的问题。我们提出了一个与Woolbright和Fu的一个著名结果有关的猜想，即$K_{2n}$的每一个真边染色都允许一个多色的$1$ -因子.
Latin squares with maximal partial transversals of many lengths
拉丁方$L$的部分横截$T$是$L$的一组条目，其中每行、列和符号最多表示一次。一个部分断面是极大的，如果它不包含在一个更大的部分断面中。任何$n$阶拉丁方的极大部分断面的大小至少为$\lceil\frac{n}{2}\rceil$且至多为$n$。我们说一个拉丁方是全方位的，如果它拥有所有可行尺寸的最大部分断面，如果它拥有除一个之外的所有可行尺寸的最大部分断面，则它是近全方位的。埃文斯证明了对于任何奇数的$n \neq 3$，都存在$n$阶的任意拉丁方。通过推广这个结果，我们证明了一个$n$阶的万能拉丁方存在当且仅当$n\notin\{3,4\}$和$n \not\equiv 2 \mod 4$ .此外，我们表明，几乎无所不在的拉丁方存在的所有订单$n \equiv 2 \mod 4$。最后，我们证明了没有一个非平凡群具有全方位Cayley表，只有15个群具有近全方位Cayley表。事实上，随着$n$的增长，$n$阶群的凯莱表会丢失最大部分横截的可行大小的常数部分。在证明这一点的过程中，我们考虑了组合群论中的以下有趣问题。假设我们有有限群$G$的两个子集$R,C\subseteq G$，使得$|\{rc:r\in R,c\in C\}|=m$。$|R|$和$|C|$需要多大（根据$m$）才能确定$G$和$x,y\in G$中$m$阶的某个子群$H$的$R\subseteq xH$和…
Latin Squares with Few Transversals
本文改进拉丁方横截线最小数量的上界，通过构造3×3分块拉丁方，证明对n≡3 (mod 6)的奇数阶n，t(n)不超过((1+o(1))2n/(3e^2))^n。
Embedding a Latin square with transversal into a projective space
一个n边的拉丁方自然地定义了一个3 n个点上的有限几何，其中有三条长度为n的直线和n^2条长度为3的直线。一个n边的拉丁方有一个截线，类似地在3 n +1个点上定义了一个有限几何，其中有三条长度为n的线，n^2-n条长度为3的线，n条长度为4的共点线。由k个相互正交拉丁方组成的集合定义了一个在kn个点上的几何，其中k条线的长度为n，n^2条线的长度为k。Bruen和Colbourn（J. Combin.日Ser.A92（2000），88-94），我们将这些有限几何嵌入到除环上的射影空间中。
All group-based latin squares possess near transversals
在$n$阶的拉丁方中，近横切面是$n-1$单元格的集合，它们与每行、列和符号类最多相交一次。Brualdi、Ryser和Stein的一个长期猜想断言，每个拉丁方都有一个近断面。我们证明了这个猜想是真实的每一个拉丁方是主类等价于凯莱表的有限群。
On the intersection of three or four transversals of the back circulant latin square B_n
Cavenagh和Wanless的一篇论文诊断了后循环拉丁方B_n的任意两个断面的可能相交，并利用该结果完全确定了双向k-齐次拉丁交易的谱。本文将此问题推广到B_n的μ断面的交，给出了此问题的一个构造，并给出了在计算搜索中发现的μ= 3，4的情形下构造的基设计。这个结果然后被应用到寻找μ-路k-齐次拉丁交易的问题。本文将这个问题推广到B_n的μ断面的交，使得断面稳定相交（即任何断面对的交与断面对的选择无关），并证明了这些结构可以用来构造奇阶的μ路k齐次循环拉丁交换.我们给出了B_n中稳定相交的μ断面的存在性和不存在性的一些基本结果，以及对小n的计算搜索结果.其次是本文的主要结果;一个建设，涵盖了很大一部分的频谱时，n是足够大的，这需要一定的基础设计。这些基本设计是在μ= 3，4的情况下提供的，它们是通过计算搜索找到的。我们利用这个结果找到了奇数阶的μ-路k-齐次循环拉丁交易的存在性，其中μ= 3，4。
Parity of transversals of Latin squares
我们引入了断面奇偶性的概念，并用它来证明在$2 \bmod 4$阶的拉丁方中，断面数是4的倍数。我们还展示了一些关系（主要是同余模4）涉及$E_1,\dots, E_n$，其中$E_i$是一个给定的拉丁广场，正好包含$i$不同的符号对角线的数量。令$A(i\mid j)$表示通过从父矩阵$A$中删除行$i$和列$j$而获得的矩阵。定义$t_{ij}$为$L(i\mid j)$中的横截数，对于某个固定的拉丁方$L$。我们表明，$t_{ab}\equiv t_{cd}\bmod2$的所有$a,b,c,d$和$L$。此外，如果$L$具有奇数阶，则$L$的横截数等于$t_{ab}$ mod 2。我们猜想，$t_{ac} + t_{bc} + t_{ad} + t_{bd} \equiv 0 \bmod 4$对所有的$a,b,c,d$。在我们的调查过程中，我们证明了几个结果，可能是在其他情况下的利益。例如，当$n$为奇数且$k\equiv0\bmod 4$为奇数时，证明了$k$正则二部图中$2n$顶点上的完美匹配数可被$4$整除.当$A$是奇数阶整数矩阵且所有行和列和等于$k\equiv2\bmod4$时，我们还证明了对所有的$a,b,c,d$都有$${\rm per}\, A(a \mid c)+{\rm per}\, A(b \mid c)+{\rm per}\, A(a \mid d)…
Rainbow matchings and partial transversals of Latin squares
本文考虑了边着色图，即两条边不能有一个端点，所以每一个颜色类都是一个匹配。如果匹配的边具有不同的颜色，则称为\it彩虹\rm。图的最小度记为$δ(G)$。我们证明了具有$|V(G)|\ge 4δ(G)-3$的适当边着色图$G$具有大小为$δ(G)$的彩虹匹配，这对Wang最近提出的一个问题给出了最好的估计.由于显然至少需要$2δ(G)$顶点来保证大小为$δ(G)$的彩虹匹配，我们研究当$|V(G)|\ge 2δ(G)$。我们证明了任何具有$|V(G)|\ge 2δ$的正确边着色图$G$都包含大小至少为$δ- 2δ(G)^{2/3}$的彩虹匹配。这个结果扩展了（具有较弱的误差项）众所周知的结果，即完全二分图$K_{n,n}$的因子分解具有大小为$n-o(n)$的彩虹匹配，或者等价地，每个拉丁方的顺序$n$具有大小为$n-o(n)$的部分横截（Ryser - Brualdi猜想的渐近版本）。在这个方向上，我们还表明，每一个拉丁方的顺序$n$有一个{ \em无圈部分断面}的大小为$n-o(n)$。
Every latin hypercube of order 5 has transversals
该研究证明了阶数为5的拉丁超立方体具有横贯线，并探讨了无横贯线的层拉丁立方体和长方体的构造与分类。
Transversals in completely reducible multiary quasigroups and in multiary quasigroups of order 4
一个$q$阶的$n$ -元拟群$f$是一个在一组基数$q$上的$n$ -元运算，使得该运算的凯莱表是一个$q$阶的$n$ -维拉丁超立方体。准群$f$（或相应的拉丁超立方体）中的截线是来自$f$的凯莱表的$q$ $(n+1)$ -元组的集合，每对元组在每个位置都不同。拉丁超立方体中的横截问题是由Wanless在2011年提出的。一个$n$元拟群$f$称为可约的，如果它可以由两个元数至少为2的拟群的合成得到;如果它可以分解为二元拟群，则它是完全可约的.本文研究了可约拟群和4阶拟群的断面。我们发现了一个下界的数量的横截的一个巨大的类完全可约拟群。其次证明了除偶数元的迭代群$\mathbb{Z}_4$外，每一个4阶$n$元拟群都有断面.同时得到了4阶奇元拟群的断面数的一个下界，以及奇元迭代群$\mathbb{Z}_4$和迭代群$\mathbb{Z}_2^2.$中的断面数。
On the transversals of Latin squares generated by nonlinear bipermutive cellular automata
本文研究了在无边界条件的情况下，双置换细胞自动机生成的拉丁方是否具有正交配对的条件，证明了主对角线存在transversal的双置换细胞自动机的生成函数特性，并通过穷举搜索实验确定了最小直径d=6时存在非线性双置换CA生成具有主对角线transversal的拉丁方。
Transversals, near transversals, and diagonals in iterated groups and quasigroups
给定一个$n$阶的二元拟群$G$，一个$d$ -迭代拟群$G[d]$是等于$G$与自身的$d$ -乘合成的$(d+1)$ -元拟群.每一个$d$元拟群的Cayley表都是一个$d$维拉丁超立方体.定义了多元拟群中的横截和对角，使之与相应的拉丁超立方体中的横截和对角一致。证明了若$n$阶群$G$满足Hall-Paige条件，则对于大的$d$，$G[d]$中的断面数等于$ \frac{n!}{ |G'| n^{n-1}} \cdot n!^{d} (1 + o(1))$，其中$G'$是$G$的换位子群.对于一般拟群$G$，我们得到了类似的关于$G[d]$中断面和近断面个数的估计，并发展了一种计算迭代拟群中其它类型对角线的方法.
A Matroid Generalization of a Result on Row-Latin Rectangles
设A是一个m \times n矩阵，其中每行的元素都是不同的。Drisko表明，如果m \ge 2 n-1，那么A有一个横截：一组n个不同的条目，没有两个在同一行或列。我们将其推广到具有拟阵元素的矩阵。对于这样一个矩阵A，我们证明了如果A的每一行形成一个独立集，那么我们可以要求断面也是独立的。我们确定的算法的复杂性的基础上证明这个结果。最后，我们观察到，m \ge 2 n-1似乎迫使不仅存在一个，但许多横截。我们讨论了一些与此有关的观察（其中一些涉及拟阵，其中一些不）。
On the chromatic number of Latin square graphs
拉丁方的色数是覆盖其胞腔的部分断面的最少数目。这就是它的关联拉丁方图的色数。虽然拉丁方图作为强正则图已被广泛研究，但其色数似乎还未被探索。确定了循环拉丁方的色数，并给出了其它几类拉丁方的界.用计算机，我们找到了所有主类的拉丁方阶的色数至多为8。
Some existence problems regarding partial Latin squares
拉丁方是一种有趣的组合对象，有许多应用。在处理拉丁方时，有时会导致处理部分拉丁方，这是拉丁方的推广。关于部分拉丁方和应用于拉丁方的问题之一是是否存在具有给定条件集的部分拉丁方。本文的目的是介绍这类问题并回答部分拉丁方的存在性问题
Latin squares, partial latin squares and its generalized quotients
（部分）拉丁方是（部分）拟群的乘法表。一个（部分）拟群的乘法可以被认为是一个三元组的集合。本文给出了三元组的集合是（部分）拉丁方的商的一个充要条件。
Multi-latin squares
阶数$n$和索引数$k$的多拉丁方是多集合的$n\times n$阵列，每个集合具有基数$k$，使得来自大小为$n$的固定集合的每个符号在每行中出现$k$次，在每列中出现$k$次.索引为$k$的多拉丁方也称为$k$ -拉丁方.一个$1$ -拉丁方等价于一个拉丁方，因此多拉丁方可以被认为是一个拉丁方的推广。本文证明了对于每个$n\geq 2m$，任何部分填充的$k$-$m$阶拉丁方嵌入$k$-$n$阶拉丁方，从而推广了Evans定理.利用这一结果，我们证明了每个$n\geq k+2$都存在不可分的$k$ -拉丁方.我们还表明，对于每个$n\geq 1$，存在一些有限值$g(n)$，使所有$k\geq g(n)$，每个$k$ -拉丁方的顺序$n$是可分的。讨论了$k$ -拉丁方与正交表、拉丁平行六面体、半拉丁方和$k$ -拉丁交换等相关组合对象之间的联系。我们还列举和分类$k$ -小订单的拉丁方。
Avoiding a partial Latin square with an isotope of a given Latin square
该研究针对足够大的n阶拉丁方，通过仅置换行和列的方法，证明了可使其避开任意指定的n阶部分拉丁方，证明结合了Hall定理与随机置换的初等估计。
Embedding partial Latin squares in Latin squares with many mutually orthogonal mates
我们证明了任何部分拉丁方的顺序$n$可以嵌入到拉丁方的顺序最多$16n^2$，其中至少有$2n$相互正交的队友。我们还表明，对于任何$t\geq 2$，一对正交的部分拉丁方的顺序$n$可以嵌入到一组$t$相互正交的拉丁方（MOLS）的顺序一个多项式相对于$n$。进一步证明了MOLS（$n^2$）$\geq$ MOLS（$n$）+2，从而给出了一个$9$ MOLS（$576$）的集合.一组MOLS（$576$）的最大已知大小先前在文献中被给出为$8$。
A proof of the Ryser-Brualdi-Stein conjecture for large even $n$
本文证明了对足够大的偶数 $n$，每个 $n$ 阶拉丁方都含有 $n-1$ 个单元格的横截线，从而解决了 Ryser-Brualdi-Stein 猜想的大偶数情形，并将方法应用于 Steiner 三元系匹配问题，证明了 Brouwer 1981 年猜想。
Recent results on Choi's orthogonal Latin squares
崔锡贞研究拉丁方至少60年前欧拉虽然这是鲜为人知的。他介绍了一对正交拉丁方的9阶在他的书。有趣的是，他的两个正交的非双对角拉丁方产生一个9阶的幻方，其理论原因没有研究。有一些研究崔的拉丁方的9阶。最近的一个是柯伟Lih的建设崔的拉丁广场的9阶的基础上，两个$3 \times 3$正交拉丁方。本文利用包含Lih构造的Kronecker积，将Choi的9阶正交拉丁方推广到大小为$n^2$的正交拉丁方.我们发现一个几何描述崔的正交拉丁方的9阶使用二面体群$D_8$。我们还给出了一种新的方法来构造幻方从两个正交的非双对角拉丁方，这就解释了为什么崔的拉丁方产生一个幻方的顺序为9。
A Generalization of Plexes of Latin Squares
拉丁方的$k$ -plex是表示每行、列和符号精确$k$次的单元格的集合。$k=1$的经典病例通常称为横截骨。我们引入了$k$ -权的概念，它是一个拉丁方的行、列和符号和都是$k$的单元格上的积分权函数。然后，我们表明，几个不存在的结果有关$k$ -丛可以被看作是更一般的事实，关于$k$ -权重和权重类似物的几个著名的存在性理论丛实际上持有的$k$ -权重。
Enumeration of Latin squares with conjugate symmetry
一个拉丁方有六个共轭的拉丁方，它们是通过对它的（行、列、符号）三元组进行均匀排列而得到的。我们说一个拉丁方具有共轭对称性，如果它的六个共轭中至少有两个相等。我们列举了具有共轭对称性的拉丁方，并根据几种常见的等价概念对其进行了分类。我们还在其他假设下进行类似的枚举，例如假设拉丁方是简化的、对角的、幂等的或幂单的。我们的数据纠正了早期文献中的一个错误，并提出了几种模式，我们随后找到了证明，包括（1）$n$阶半对称幂等拉丁方的同构类的数量等于$n+1$阶半对称幂单拉丁方的同构类的数量，以及（2）假设$A$和$B$是$n\not\equiv0\bmod3$阶全对称拉丁方。如果$A$和$B$是对位的，则$A$和$B$是同构的。
The set of autotopisms of partial Latin squares
部分拉丁方的对称性由它的自拓扑群决定。类似于拉丁方的情况，给定一个合痕$Θ$，在$Θ$下不变的部分拉丁方的集合$\mathcal{PLS}_Θ$的基数只取决于后者的共轭类，或者等价地，取决于它的循环结构。本文刻画了部分拉丁方的自映射集的圈结构，并研究了几个相关性质。还可以看出，$Θ$的循环结构决定了$\mathcal{PLS}_Θ$的元素的可能大小以及具有给定大小的该集合的部分拉丁方的数量。最后，将部分拉丁方可补的传统概念推广到一个拉丁方.
Mutually orthogonal Sudoku Latin squares and their graphs
我们引入一个图附加到相互正交的数独拉丁方。明确地确定了从有限域得到的图的谱。作为一个推论，我们然后使用特征值来区分非同构的数独拉丁方。
Rectangles in latin squares
要从一个给定的拉丁方得到另一个，我们必须至少改变4个条目。我们将展示如何找到这些条目以及如何更改它们。
Completing partial Latin squares with two filled rows and three filled columns
考虑一个部分拉丁方$P$，其中前两行和前三列完全填充，并且$P$的每隔一个单元格为空。它已被证明，所有这样的部分拉丁方的顺序至少$8$是可完成的。基于技术的库尔和麦金，我们描述了一个框架，完成部分拉丁方在这个类。此外，我们使用我们的方法证明，所有部分拉丁方从这个家庭，其中的非空的行和列的交点形成一个拉丁矩形与三个不同的符号，是可完成的。
There are asymptotically the same number of Latin squares of each parity
如果一个拉丁方的第一行和第一列是自然序，则它是简化的。对于特定阶数的拉丁方$n$，有四种可能的不同奇偶性。我们证实了一个猜想的石头和Wanless通过显示渐近相等的数量之间的减少拉丁方的每一个可能的奇偶性的顺序$n\rightarrow\infty$。
Completions of epsilon-dense partial Latin squares
组合数学中的一个经典问题是：给定一个部分拉丁方P，我们何时能将P完全化为一个拉丁方L？本文研究了一类\leq ε-稠密的部分拉丁方：每个符号、行和列包含\leq ε n个非空单元的部分拉丁方。一个猜想的纳什威廉姆斯三角图导致Daykin和Häggkvist猜想，所有\leq（1/4）-密集部分拉丁方是完全的。本文讨论了以往解决这一猜想的证明方法和结果，介绍了Jacobson和Matthews关于生成随机拉丁方的论文中提出的一种新方法，并利用该方法研究了含有\leqdn^2胞元的\leq ε-稠密部分拉丁方.特别地，我们建立了所有\leq（1/5300）-稠密n乘n部分拉丁方是可完成的，以及所有\leq（1/13）-稠密n乘n部分拉丁方包含\leq（8.8*10^（-5）*n^2）-许多填充单元。这改进了Gustavsson的先前结果，其要求ε= d \leq 10^（-7），以及Chetwynd和Haggkvist的先前结果，其要求ε= d \leq 10^（-5）和n偶数，\leq 10 ^7。
On the distances between Latin squares and the smallest defining set size
本文证明了对于每一个$n\geq 2$阶的拉丁方$L$，都存在一个$n$阶的拉丁方$L'\neq L$，使得$L$和$L'$至多在$8\sqrt{n}$胞元上不同.等价地，每一个$n$阶的拉丁方包含一个最大为$8\sqrt{n}$的拉丁交易。我们还证明了拉丁方的最小定义集的大小是$Ω(n^{3/2})$。也就是说，存在常数$c$和$n_0$，使得对于任何$n>n_0$，阶数$n$的最小定义%集合的大小至少为$cn^{3/2}$。
A polynomial embedding of pairs of orthogonal partial latin squares
我们证明了一对正交的部分拉丁方的顺序$n$可以嵌入到一对正交拉丁方的顺序最多$16n^4$和所有的订单大于或等于$48n^4$。本文给出了文献中第一个直接多项式阶嵌入的构造方法。
Parity Types, Cycle Structures and Autotopisms of Latin Squares
拉丁方的奇偶校验类型是根据偶数和奇数行和列的数目来定义的。它与阿隆-塔尔西猜想有关，该猜想适用于奇数阶的拉丁方。奇偶校验类型用于导出自同构群大小的上界。本文提出了一种基于行循环分解的拉丁方自同构群的快速算法。
Intercalates and Discrepancy in Random Latin Squares
拉丁方中的插入是$2\times2$拉丁子方。令$N$为均匀随机$n\times n$拉丁方中的嵌入数。证明了渐近几乎必然$N\ge\left(1-o\left(1\right)\right)\,n^{2}/4$和$\mathbb{E}N\le\left(1+o\left(1\right)\right)\,n^{2}/2$（因此对任何$f\to\infty$渐近几乎必然$N\le fn^{2}$）.这显著地改进了先前的最佳下限和上限。我们还给出了随机拉丁方的两个固定行中插入数的上尾界。此外，我们还讨论了低差拉丁方上的Linial和Luria问题。
Equitable partitions of Latin-square graphs
研究了拉丁方图的公平划分问题，并对商矩阵不具有特征值$-3$的图给出了一个完全分类.
Domination for latin square graphs
在组合数学中，一个拉丁方是一个填充有n个不同符号的$n\times n$矩阵，每个符号在每行和每列中只出现一次。与每个拉丁方相关联，我们可以定义一个单图，称为拉丁方图。在这篇文章中，我们计算了这类图的控制数和k-元组全控制数的上下界上界。此外，我们还给出了二元组全控制数的计算公式。
Mutually orthogonal latin squares with large holes
两个拉丁方是正交的，如果当它们叠加时，每个符号的序偶恰好出现一次。这个定义自然地延伸到“不完整的”拉丁方，每个方在相同的行、列和符号上都有一个洞。如果一个$n$阶的不完全拉丁方有一个$m$阶的洞，那么很容易观察到$n \ge 2m$。更一般地说，如果一组$t$不完全的相互正交拉丁方的顺序$n$有一个共同的洞的顺序$m$，那么$n \ge (t+1)m$。在这篇文章中，我们证明了这样的集合不完全平方存在的所有$n,m \gg 0$满足$n \ge 8(t+1)^2 m$。
Difference Covering Arrays and Pseudo-Orthogonal Latin Squares
差分阵列用于软件测试、认证码和数据压缩等应用。伪正交拉丁方用于试验设计。一类特殊的伪正交拉丁方是在2002年首次讨论的互近正交拉丁方（MNOLS），其一般构造在2007年给出。本文从差分覆盖阵列出发，发展了行完备MNOLS。我们将使用这种联系来解决偶数阶的3个相互伪正交拉丁方的集合的谱问题，除了146阶。
A three-factor product construction for mutually orthogonal latin squares
众所周知，相互正交拉丁方，或MOLS，允许（克罗内克）产品的建设。我们表明，在温和的条件下，“三重产品”的MOLS可以导致一个平方的增益。在横截设计方面，该技术是使用罗尔夫里斯的构造两次：一次是获得一个产品后的块的粗略分辨率，然后重新组织类并解决第二个产品的块。作为结果，我们报告了一些改进的MOLS表，并获得了轻微的加强著名的MacNeish定理。
Partitioning 3-homogeneous latin bitrades
拉丁位交易$(T^{\diamond}, T^{\otimes})$是一对部分拉丁方，其定义了相同阶的两个任意拉丁方$L^{\diamond} \supseteq T^{\diamond}$和$L^{\diamond} \supseteq T^{\otimes}$之间的差。3齐次比特率$(T^{\diamond}, T^{\otimes})$在每行中具有三个条目，在每列中具有三个条目，并且每个符号在$T^{\diamond}$中出现三次。Cavenagh（2006）表明，任何3-齐次比特率都可以划分为三个横截。本文利用几何方法对Cavenagh的结果给出了一个独立的证明。在这样做的过程中，我们提供了一个研究bitrades的球面，欧几里得或双曲空间的镶嵌的框架。
Distance in Latin Squares
$n$阶的拉丁方是一个$n\times n$数组，它在每行和每列中只包含一个$n$不同的符号。我们定义两个相邻单元（包含整数）之间的相邻距离是它们的差模$n$，并且拉丁方的内部距离是拉丁方中相邻距离的最小值。通过首先建立上界，然后用所述内部距离构造正方形，我们发现$n \times n$拉丁方的最大内部距离是$\left\lfloor\frac{n-1}{2}\right\rfloor$。然后，我们研究了特殊类型的拉丁方，如泛对角线（也称为Knut-Vik设计），以及数独拉丁方。这项研究是在美国国家科学基金会的支持下，在摩拉维亚学院的计算和实验数学研究挑战REU进行的。
On uniformly generating Latin squares
通过模拟一个在n × n拉丁方空间上平稳分布为均匀分布的遍历马尔可夫链，Mark T. Jacobson和Peter Matthews [4]讨论了生成具有均匀分布（近似）的拉丁方的优雅方法。中心问题是建造连接广场的“移动”。他们的大部分长篇论文都是为了证明关联图确实是连通的。我们给出了一个简短的证明这一事实，使用拉丁bitrades的概念。
Completing Partial Latin Squares - Alternative Proof
完成一个部分指定的n乘n拉丁方的问题是解决了另一种证明，基于填充行（或对角线）从1到n，使用霍尔的婚姻定理的扩展形式。
Symmetric Quantum Latin Squares with Maximal Cardinality
本文证明了所有$n\geq 6$阶存在最大基数的对称量子拉丁方，且所有$4k+2$阶存在最大基数的对称幂等量子拉丁方。
Autoparatopisms of Quasigroups and Latin Squares
研究quasigroups和拉丁方的自paratopism性质，确定n≤17时Par(n)的结构，并分析n趋于无穷时Par(n)在所有paratopism中的比例。
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