Transitive latin bitrades
本文给出了两个结果。首先，如果拉丁比特流$(T_1, T_2)$是主要的、精简的、分离的，并且$T_1$的自映射组定期地作用于$T_1$，则$(T_1, T_2)$可以从基于组的构造中导出。第二，如果拉丁比特数$(T_1, T_2)$的亏格为0，则不相交的配偶$T_2$是唯一的，并且$T_1$的自同构群等于$T_2$的自同构群。
2008-04-29 math.CO
Computing autotopism groups of partial Latin rectangles: a pilot study
计算部分拉丁矩形的自拓扑群可以以多种方式执行。这项试验性研究有两个目的：（a）通过实验比较这些方法，（b）确定开发实用软件时应该考虑的设计目标。为此，我们比较了六个家庭的算法（两个回溯方法和四个图自同构方法），有和没有使用的条目不变量，在两个测试套件。我们考虑两个条目不变量：一个由行、列和符号代表的频率确定，一个由$2 \times 2$子矩阵确定。我们发现：（a）在条目很少的情况下，经常存在许多对称性，并且这些对称性应该在数学上而不是在计算上被识别，（b）在条目的中间数量的情况下，快速计算条目不变量在减少计算的需要方面是有效的，（c）在几乎完全的部分拉丁矩形的情况下，需要更复杂的条目不变量，和（d）（全）拉丁方的性能明显差于其他部分拉丁矩形的可比大小，阻碍了拉丁方的存在与大（可能传递）自同构组。
2019-10-22 math.CO
0/1-Polytopes related to Latin squares autotopisms
$n$阶的拉丁方的集合LS（n）可以在$\mathbb{R}^{n^3}$中表示为$(n-1)^3$ -维0/1-多面体。给定一个自同构$Θ=(α,β,γ)\in\mathfrak{A}_n$，本文研究了LS（n）的自同构群中含有$Θ$的子集所对应的0/1-多面体.具体地说，我们证明了这种多面体结构是由一个多面体在$\mathbb{R}^{((\mathbf{n}_α-\mathbf{l}_α^1)\cdot n^2 + \mathbf{l}_α^1\cdot \mathbf{n}_β\cdot n)-(\mathbf{l}_α^1\cdot \mathbf{l}_β^1\cdot (n -\mathbf{l}_γ^1) + \mathbf{l}_α^1\cdot \mathbf{l}_γ^1\cdot (\mathbf{n}_β -\mathbf{l}_β^1) + \mathbf{l}_β^1\cdot \mathbf{l}_γ^1\cdot (\mathbf{n}_α -\mathbf{l}_α^1))}$，其中$\mathbf{n}_α$和$\mathbf{n}_β$是$α$和$β$的循环数，分别和$\mathbf{l}_δ^1$是$δ$的不动点的数量，对于所有$δ\in \{α,β,γ\}$。此外，我们研究了这两个多面体的拉丁方的阶数为9。
2011-05-05 math.CO
Triples of Orthogonal Latin and Youden Rectangles For Small Orders
我们已经进行了一个完整的枚举的非同位素三元组的相互正交的$k\times n$拉丁矩形$k\leq n \leq 7$。在这里，我们将提出一个这样的三元组的普查，按各种属性分类，包括三元组的自同构群的顺序。作为其中的一部分，我们还实现了第一次枚举的成对正交三元组的约登矩形。我们还研究了$k \times 8$矩形的正交三元组，它们是通过一次一行地扩展具有非平凡自拓扑的相互正交三元组而形成的，并且要求在每一步中自拓扑群是非平凡的。这类包括一个来自8阶射影平面的三元组。在这里，我们发现一个显着对称的一对三元组的$4 \times 8$矩形，形成并列两个选定的副本的完整的MOLS的顺序4。
2018-10-30 cs.DM math.CO
Constructions of transitive latin hypercubes
在每个参数中可逆的函数$f:\{0,...,q-1\}^n\to\{0,...,q-1\}$称为拉丁超立方体。$\{0,...,q-1\}$的排列的集合$(π_0,π_1,...,π_n)$被称为拉丁超立方体$f$的自同构，如果$π_0f(x_1,...,x_n)=f(π_1x_1,...,π_n x_n)$对于所有$x_1$，.，$x_n$。我们称一个拉丁超立方体是合素传递的（拓扑线性的），如果它的自同构群在所有的$q^n$参数值集合上都是传递的（规则的）。我们证明了非等价的拓扑线性拉丁超立方体的数目关于$\sqrt{n}$指数增长，如果$q$是偶数和关于$n^2$指数增长，如果$q$是可分的平方。我们展示了一个连接的类的同位素传递拉丁方与类的G-循环，已知的非交换代数，并建立存在一个topolinear拉丁方，是不是一个组同位素。刻画了$q=4$和$q=5$阶的同位素传递拉丁超立方体类.关键词：传递码，准线性码，拉丁方，拉丁超立方体，自映射，g-环。
2019-08-28 cs.IT math.CO math.IT
Some existence problems regarding partial Latin squares
拉丁方是一种有趣的组合对象，有许多应用。在处理拉丁方时，有时会导致处理部分拉丁方，这是拉丁方的推广。关于部分拉丁方和应用于拉丁方的问题之一是是否存在具有给定条件集的部分拉丁方。本文的目的是介绍这类问题并回答部分拉丁方的存在性问题
2014-03-18 math.CO
Latin squares, partial latin squares and its generalized quotients
（部分）拉丁方是（部分）拟群的乘法表。一个（部分）拟群的乘法可以被认为是一个三元组的集合。本文给出了三元组的集合是（部分）拉丁方的商的一个充要条件。
2003-03-27 math.CO
Multi-latin squares
阶数$n$和索引数$k$的多拉丁方是多集合的$n\times n$阵列，每个集合具有基数$k$，使得来自大小为$n$的固定集合的每个符号在每行中出现$k$次，在每列中出现$k$次.索引为$k$的多拉丁方也称为$k$ -拉丁方.一个$1$ -拉丁方等价于一个拉丁方，因此多拉丁方可以被认为是一个拉丁方的推广。本文证明了对于每个$n\geq 2m$，任何部分填充的$k$-$m$阶拉丁方嵌入$k$-$n$阶拉丁方，从而推广了Evans定理.利用这一结果，我们证明了每个$n\geq k+2$都存在不可分的$k$ -拉丁方.我们还表明，对于每个$n\geq 1$，存在一些有限值$g(n)$，使所有$k\geq g(n)$，每个$k$ -拉丁方的顺序$n$是可分的。讨论了$k$ -拉丁方与正交表、拉丁平行六面体、半拉丁方和$k$ -拉丁交换等相关组合对象之间的联系。我们还列举和分类$k$ -小订单的拉丁方。
2010-07-23 math.CO
Avoiding a partial Latin square with an isotope of a given Latin square
KU Leuven Campus Kulak-Kortrijk（荷语鲁汶大学库尔拉克-科特赖克校区）；Monash University（蒙纳士大学）
该研究针对足够大的n阶拉丁方，通过仅置换行和列的方法，证明了可使其避开任意指定的n阶部分拉丁方，证明结合了Hall定理与随机置换的初等估计。
2026-10-15 math.CO
Embedding partial Latin squares in Latin squares with many mutually orthogonal mates
我们证明了任何部分拉丁方的顺序$n$可以嵌入到拉丁方的顺序最多$16n^2$，其中至少有$2n$相互正交的队友。我们还表明，对于任何$t\geq 2$，一对正交的部分拉丁方的顺序$n$可以嵌入到一组$t$相互正交的拉丁方（MOLS）的顺序一个多项式相对于$n$。进一步证明了MOLS（$n^2$）$\geq$ MOLS（$n$）+2，从而给出了一个$9$ MOLS（$576$）的集合.一组MOLS（$576$）的最大已知大小先前在文献中被给出为$8$。
2018-11-12 math.CO
On the chromatic number of Latin square graphs
拉丁方的色数是覆盖其胞腔的部分断面的最少数目。这就是它的关联拉丁方图的色数。虽然拉丁方图作为强正则图已被广泛研究，但其色数似乎还未被探索。确定了循环拉丁方的色数，并给出了其它几类拉丁方的界.用计算机，我们找到了所有主类的拉丁方阶的色数至多为8。
2016-04-06 math.CO
Recent results on Choi's orthogonal Latin squares
崔锡贞研究拉丁方至少60年前欧拉虽然这是鲜为人知的。他介绍了一对正交拉丁方的9阶在他的书。有趣的是，他的两个正交的非双对角拉丁方产生一个9阶的幻方，其理论原因没有研究。有一些研究崔的拉丁方的9阶。最近的一个是柯伟Lih的建设崔的拉丁广场的9阶的基础上，两个$3 \times 3$正交拉丁方。本文利用包含Lih构造的Kronecker积，将Choi的9阶正交拉丁方推广到大小为$n^2$的正交拉丁方.我们发现一个几何描述崔的正交拉丁方的9阶使用二面体群$D_8$。我们还给出了一种新的方法来构造幻方从两个正交的非双对角拉丁方，这就解释了为什么崔的拉丁方产生一个幻方的顺序为9。
2021-09-28 math.CO
Enumeration of Latin squares with conjugate symmetry
一个拉丁方有六个共轭的拉丁方，它们是通过对它的（行、列、符号）三元组进行均匀排列而得到的。我们说一个拉丁方具有共轭对称性，如果它的六个共轭中至少有两个相等。我们列举了具有共轭对称性的拉丁方，并根据几种常见的等价概念对其进行了分类。我们还在其他假设下进行类似的枚举，例如假设拉丁方是简化的、对角的、幂等的或幂单的。我们的数据纠正了早期文献中的一个错误，并提出了几种模式，我们随后找到了证明，包括（1）$n$阶半对称幂等拉丁方的同构类的数量等于$n+1$阶半对称幂单拉丁方的同构类的数量，以及（2）假设$A$和$B$是$n\not\equiv0\bmod3$阶全对称拉丁方。如果$A$和$B$是对位的，则$A$和$B$是同构的。
2021-04-16 math.CO
Mutually orthogonal Sudoku Latin squares and their graphs
我们引入一个图附加到相互正交的数独拉丁方。明确地确定了从有限域得到的图的谱。作为一个推论，我们然后使用特征值来区分非同构的数独拉丁方。
2021-11-09 math.CO
Rectangles in latin squares
要从一个给定的拉丁方得到另一个，我们必须至少改变4个条目。我们将展示如何找到这些条目以及如何更改它们。
2019-02-13 math.CO
Completing partial Latin squares with two filled rows and three filled columns
考虑一个部分拉丁方$P$，其中前两行和前三列完全填充，并且$P$的每隔一个单元格为空。它已被证明，所有这样的部分拉丁方的顺序至少$8$是可完成的。基于技术的库尔和麦金，我们描述了一个框架，完成部分拉丁方在这个类。此外，我们使用我们的方法证明，所有部分拉丁方从这个家庭，其中的非空的行和列的交点形成一个拉丁矩形与三个不同的符号，是可完成的。
2020-05-17 math.CO
Quasi-transversal in Latin Squares
本文首先给出了拉丁方中的截线与其拉丁方图中的一些概念之间的关系，并给出了拉丁方有正交配偶的一个等价条件。组合数学中最著名的公开问题是求拉丁方中不相交断面的最大数目。因此，我们的下一个目标是找到一族可分解为不相交断面的拉丁方。在下一节中，我们给出了Brualdi，Stein和Ryser用拟截线概念所提出的一个猜想的等价表述。最后，我们证明了Rodney猜想对图族的真实性。
2018-08-15 math.CO
There are asymptotically the same number of Latin squares of each parity
如果一个拉丁方的第一行和第一列是自然序，则它是简化的。对于特定阶数的拉丁方$n$，有四种可能的不同奇偶性。我们证实了一个猜想的石头和Wanless通过显示渐近相等的数量之间的减少拉丁方的每一个可能的奇偶性的顺序$n\rightarrow\infty$。
2016-10-20 math.CO
Completions of epsilon-dense partial Latin squares
组合数学中的一个经典问题是：给定一个部分拉丁方P，我们何时能将P完全化为一个拉丁方L？本文研究了一类\leq ε-稠密的部分拉丁方：每个符号、行和列包含\leq ε n个非空单元的部分拉丁方。一个猜想的纳什威廉姆斯三角图导致Daykin和Häggkvist猜想，所有\leq（1/4）-密集部分拉丁方是完全的。本文讨论了以往解决这一猜想的证明方法和结果，介绍了Jacobson和Matthews关于生成随机拉丁方的论文中提出的一种新方法，并利用该方法研究了含有\leqdn^2胞元的\leq ε-稠密部分拉丁方.特别地，我们建立了所有\leq（1/5300）-稠密n乘n部分拉丁方是可完成的，以及所有\leq（1/13）-稠密n乘n部分拉丁方包含\leq（8.8*10^（-5）*n^2）-许多填充单元。这改进了Gustavsson的先前结果，其要求ε= d \leq 10^（-7），以及Chetwynd和Haggkvist的先前结果，其要求ε= d \leq 10^（-5）和n偶数，\leq 10 ^7。
2013-06-03 math.CO
On the distances between Latin squares and the smallest defining set size
本文证明了对于每一个$n\geq 2$阶的拉丁方$L$，都存在一个$n$阶的拉丁方$L'\neq L$，使得$L$和$L'$至多在$8\sqrt{n}$胞元上不同.等价地，每一个$n$阶的拉丁方包含一个最大为$8\sqrt{n}$的拉丁交易。我们还证明了拉丁方的最小定义集的大小是$Ω(n^{3/2})$。也就是说，存在常数$c$和$n_0$，使得对于任何$n>n_0$，阶数$n$的最小定义%集合的大小至少为$cn^{3/2}$。
2016-02-24 math.CO
A polynomial embedding of pairs of orthogonal partial latin squares
我们证明了一对正交的部分拉丁方的顺序$n$可以嵌入到一对正交拉丁方的顺序最多$16n^4$和所有的订单大于或等于$48n^4$。本文给出了文献中第一个直接多项式阶嵌入的构造方法。
2014-01-23 math.CO
On the number of transversals in latin squares
所有$n$阶的拉丁方上的最大横截数的对数大于$\frac{n}{6}(\ln n+ O(1))$。
2015-10-21 math.CO
Intercalates and Discrepancy in Random Latin Squares
拉丁方中的插入是$2\times2$拉丁子方。令$N$为均匀随机$n\times n$拉丁方中的嵌入数。证明了渐近几乎必然$N\ge\left(1-o\left(1\right)\right)\,n^{2}/4$和$\mathbb{E}N\le\left(1+o\left(1\right)\right)\,n^{2}/2$（因此对任何$f\to\infty$渐近几乎必然$N\le fn^{2}$）.这显著地改进了先前的最佳下限和上限。我们还给出了随机拉丁方的两个固定行中插入数的上尾界。此外，我们还讨论了低差拉丁方上的Linial和Luria问题。
2017-01-17 math.CO
Equitable partitions of Latin-square graphs
研究了拉丁方图的公平划分问题，并对商矩阵不具有特征值$-3$的图给出了一个完全分类.
2018-02-03 math.CO
Domination for latin square graphs
在组合数学中，一个拉丁方是一个填充有n个不同符号的$n\times n$矩阵，每个符号在每行和每列中只出现一次。与每个拉丁方相关联，我们可以定义一个单图，称为拉丁方图。在这篇文章中，我们计算了这类图的控制数和k-元组全控制数的上下界上界。此外，我们还给出了二元组全控制数的计算公式。
2021-03-04 math.CO
Mutually orthogonal latin squares with large holes
两个拉丁方是正交的，如果当它们叠加时，每个符号的序偶恰好出现一次。这个定义自然地延伸到“不完整的”拉丁方，每个方在相同的行、列和符号上都有一个洞。如果一个$n$阶的不完全拉丁方有一个$m$阶的洞，那么很容易观察到$n \ge 2m$。更一般地说，如果一组$t$不完全的相互正交拉丁方的顺序$n$有一个共同的洞的顺序$m$，那么$n \ge (t+1)m$。在这篇文章中，我们证明了这样的集合不完全平方存在的所有$n,m \gg 0$满足$n \ge 8(t+1)^2 m$。
2014-10-24 math.CO
Difference Covering Arrays and Pseudo-Orthogonal Latin Squares
差分阵列用于软件测试、认证码和数据压缩等应用。伪正交拉丁方用于试验设计。一类特殊的伪正交拉丁方是在2002年首次讨论的互近正交拉丁方（MNOLS），其一般构造在2007年给出。本文从差分覆盖阵列出发，发展了行完备MNOLS。我们将使用这种联系来解决偶数阶的3个相互伪正交拉丁方的集合的谱问题，除了146阶。
2015-02-09 math.CO
Hamilton transversals in random Latin squares
Gyárfás和Sárközy证明了每个$n\times n$拉丁方都有一个大小为$n-2$的“无圈”部分断面。我们证实了这一猜想在强烈的意义上几乎所有的拉丁方，通过显示，作为$n \rightarrow \infty$，所有的$n\times n$拉丁方，但一个消失的比例有一个汉密尔顿横截，即一个完整的横截，任何真子集是循环自由的。事实上，我们证明了一个计数结果，在几乎所有的拉丁方，汉密尔顿断面的数量本质上是Taranenko的上界的数量的充分断面。这个结果加强了关的一个结果（这反过来意味着几乎所有的拉丁方也满足著名的Ryser-Brualdi-Stein猜想）。
2022-04-11 math.CO
On completing three cyclic transversals to a latin square
设$P$是由三个循环生成的断面组成的素数阶部分拉丁方$p>7$.具体地说，令$P$为以下形式的部分拉丁方：对于某些不同的$c,c',c''$和某些不同的$s,s',s''$，为\[ P=\{(i,c+i,s+i),(i,c'+i,s'+i),(i,c''+i,s''+i)\mid 0 \leq i< p\} \]。在本文中，我们证明了任何这样的$P$完成一个拉丁方，这是对角循环。
2007-12-03 math.CO
Distance in Latin Squares
$n$阶的拉丁方是一个$n\times n$数组，它在每行和每列中只包含一个$n$不同的符号。我们定义两个相邻单元（包含整数）之间的相邻距离是它们的差模$n$，并且拉丁方的内部距离是拉丁方中相邻距离的最小值。通过首先建立上界，然后用所述内部距离构造正方形，我们发现$n \times n$拉丁方的最大内部距离是$\left\lfloor\frac{n-1}{2}\right\rfloor$。然后，我们研究了特殊类型的拉丁方，如泛对角线（也称为Knut-Vik设计），以及数独拉丁方。这项研究是在美国国家科学基金会的支持下，在摩拉维亚学院的计算和实验数学研究挑战REU进行的。
2021-07-15 math.CO
On uniformly generating Latin squares
通过模拟一个在n × n拉丁方空间上平稳分布为均匀分布的遍历马尔可夫链，Mark T. Jacobson和Peter Matthews [4]讨论了生成具有均匀分布（近似）的拉丁方的优雅方法。中心问题是建造连接广场的“移动”。他们的大部分长篇论文都是为了证明关联图确实是连通的。我们给出了一个简短的证明这一事实，使用拉丁bitrades的概念。
2010-05-18 math.CO
Completing Partial Latin Squares - Alternative Proof
完成一个部分指定的n乘n拉丁方的问题是解决了另一种证明，基于填充行（或对角线）从1到n，使用霍尔的婚姻定理的扩展形式。
2016-12-26 math.CO
Symmetric Quantum Latin Squares with Maximal Cardinality
Nanjing Normal University（南京师范大学）
本文证明了所有$n\geq 6$阶存在最大基数的对称量子拉丁方，且所有$4k+2$阶存在最大基数的对称幂等量子拉丁方。
2026-09-22 math.CO
Autoparatopisms of Quasigroups and Latin Squares
Monash University（蒙纳士大学）
研究quasigroups和拉丁方的自paratopism性质，确定n≤17时Par(n)的结构，并分析n趋于无穷时Par(n)在所有paratopism中的比例。
2026-03-25 math.CO
The number of Latin squares of order 11
构造性和非构造性技术被用来枚举拉丁方和相关对象。本文证明了11阶拉丁方有2036029552582883134196099个主要类，$K_{11,11}$的一因子分解有6108088657705958932053657个同构类，$K_{11,11}$的一因子分解有61080886577个同构类。（iii）12216177315369229261482540 11阶拉丁方的合痕类;（iv）1478157455158044452849321016 11阶环的同构类;（v）19464657391668924966791023043937578299025个11阶拟群的同构类.枚举是建设性的1151666641主类与自paratopy组的顺序至少为3。
2010-02-08 math.CO
Hall's Condition for Partial Latin Squares
Hall条件是部分拉丁方可完备的必要条件。Hilton和Johnson证明了对于一个部分拉丁方，其填充单元形成一个矩形，Hall条件等价于Ryser条件，这是可完全性的一个充要条件。我们给什么可以被视为一个扩展的Ryser定理，通过显示，部分拉丁方的填充细胞形成一个矩形，其中有最多一个空细胞在每列的矩形，霍尔的条件是一个充要条件的可完成性。部分拉丁方是否可完备的判定问题是NP-完全的。证明了满足Hall条件的部分拉丁方是否可完备的问题是NP-困难的。
2011-07-13 math.CO
On the number of Latin squares
我们（1）确定了11列拉丁矩形的数目和每一个可能的行数，包括~11阶的拉丁方，（2）回答了Alter的一些问题，证明了约化的$n$阶的拉丁方的数目可被$f!$整除，其中$f$是一个接近于$\frac12n$的特定整数，（3）给出了用$(+1,-1)$ -矩阵的积和表示的拉丁方个数的计算公式;（4）求出了当$2n$，（5）证明了具有非平凡对称群的拉丁方的比例随着阶数的增加而迅速趋于零。
2009-09-11 math.CO
Note on random Latin squares and the triangle removal process
这是一个同伴注意到的文件“几乎所有施泰纳三元系有完美的匹配（arXiv：1611.02246）。该论文包含有关随机斯坦纳三元系的几个一般引理;在本说明中，我们记录了随机拉丁方的这些引理的类似物，这些引理特别是我们最近的论文“随机拉丁方中的大偏差”（arXiv：2106.11932）的必要成分。最重要的是一致随机序- $n$拉丁方和完全三部图$K_{n,n,n}$上的三角形去除过程之间的关系。
2021-09-30 math.CO
Do $K_{3,3}$-Free Latin Squares Exist?
Yandex；Hebei Normal University（河北师范大学）；Sobolev Institute of Mathematics（索博列夫数学研究所）
研究是否存在不含K33子结构的拉丁方，构造了阶为16的K33自由拉丁方，并探讨了正交拉丁方的类似问题。
2026-09-01 math.CO
Substructures in Latin squares
证明了关于拉丁方中子结构的几个结果。首先，我们解释了如何适应我们最近的工作高围Steiner三元系的设置拉丁方，解决了猜想Linial，存在拉丁方任意高围长。因此，我们看到没有插入的阶$n$拉丁方的数量（即，没有$2\times2$拉丁子方）至少是$(e^{-9/4}n-o(n))^{n^{2}}$。等量，$\mathbb{P}\left[\mathbf{N}=0\right]\ge e^{-n^{2}/4-o(n^{2})}=e^{-(1+o(1))\mathbb{E}\mathbf{N}}$，其中$\mathbf{N}$是以均匀随机顺序插入的数量- $n$拉丁方。事实上，延长最近的工作关，萨，和Sawhney，我们解决了一般的大偏差问题的随机拉丁方，插入常数因子的指数：对于任何常数$0<δ\le1$，我们有$\mathbb{P}[\mathbf{N}\le(1-δ)\mathbb{E}\mathbf{N}]=\exp(-Θ(n^{2}))$和任何常数$δ>0$，我们有$\mathbb{P}[\mathbf{N}\ge(1+δ)\mathbb{E}\mathbf{N}]=\exp(-Θ(n^{4/3}\log n))$。最后，作为研究随机拉丁方子结构的一些新的通用工具的应用，我们表明，在几乎所有的顺序- $n$拉丁方，立方八面体的数量（即，具有相同符号排列的可能退化的$2\tim…
2022-08-04 math.CO
Completions of epsilon-dense partial Latin squares; quasirandom k-colorings of graphs
组合数学中的一个经典问题是：给定一个部分拉丁方$P$，什么时候我们可以将$P$完全化为一个拉丁方$L$？本文研究了\textbf{$ε$-dense partial Latin squares}类：\ partial拉丁方，其中每个符号、行和列包含不超过$εn$ -许多非空单元格.基于Nash-Williams的一个猜想，Daykin和Häggkvist证明了所有$\frac{1}{4}$稠密的部分拉丁方都是可补的。在本文中，我们将讨论的证明方法和结果在以前的尝试来解决这个猜想，介绍了一种新的技术，来自Jacobson和Matthews的论文产生随机拉丁方，并使用这种新的技术来研究$ ε$ -密集的部分拉丁方，包含不超过$δn^2$填充细胞总数。特别地，我们构造了所有$ ε$ -稠密部分拉丁方的完备化，它们总共包含不超过$δn^2$填充的单元格，给定$ε< \frac{1}{12}, δ< \frac{ \left(1-12ε\right)^{2}}{10409}$ .特别是，我们证明了所有$9.8 \cdot 10^{-5}$稠密的部分拉丁方是可完成的。我们进一步表明，这样的完成总是可以在多项式时间内找到。这与科尔伯恩的结果形成对比。在第三章中，我们加强了Colbourn的结果，证明了对任意$ε> 0$，完备任意$\left(\frac{1}{2} + ε\right)$ -稠密…
2013-06-03 math.CO
Quasirandom Latin squares
我们证明了Garbe等人的一个猜想。[arXiv：2010.07854]通过证明一个拉丁方是拟随机的当且仅当每个2x 3模式的密度是1/720+o（1）。这个结果是最好的，因为对于任何N，2x 3都不能用2x2或1xN代替。
2021-08-25 math.CO
Transversals in Latin Squares
本文综述了过去十年关于Latin squares中transversals研究的最新进展。
2024-06-28 math.CO
Limits of Latin squares
本文发展了拉丁方的极限理论，引入了密度、割距离和极限对象Latinons，证明了极限空间的紧致性与拓扑等价性，并证明每个Latinon可由有限拉丁方近似。
2023-07-19 math.CO
Permutation Patterns in Latin Squares
本文研究了拉丁方中的模式回避问题，这给了我们一个二维的类似于排列中的模式回避的概念。我们的主要结果包括列举和表征的拉丁方，避免模式的长度为3和推广的Erdens-Szekeres定理。我们还讨论了较长的模式之间的等价类，并通过描述开放的问题的兴趣，无论是在光模式的避免和他们的潜力，以揭示有关拉丁方的结构的信息。一路上，我们表明，经典的结果不需要平凡的推广，并展示技术，可能有助于回答未来的问题。
2014-02-13 math.CO
Upper Bounds on Sets of Orthogonal Colorings of Graphs
我们将正交拉丁方的概念推广到单图的染色。一个图的两个$n$ -着色称为\emph{orthogonal}，如果当两个顶点在一个着色中共享一种颜色时，它们在另一个着色中具有不同的颜色。我们表明，通常的界限上的最大尺寸的一组特定的正交拉丁结构，如拉丁广场，行拉丁广场，等- $n$广场，单对角拉丁方，双对角拉丁方，或数独广场是一个特殊情况下的界限上的正交染色的图。
2012-11-29 math.CO
On the upper embedding of Steiner triple systems and Latin squares
本文证明了对于Steiner三元系或奇数阶拉丁方的三元组的任意给定定向，在由三元组构成三角面和一个特大面的可定向曲面中存在嵌入。
2019-11-13 math.CO
Lattice path enumeration for semi-magic squares by Latin rectangles
类似于标准的Young表格如何表示Young格中的路径，拉丁矩形可以用于枚举具有条目0或1的半幻方的偏序集中的路径。与行列式相关的对称性保持了这个偏序集，我们完整地描述了大小为4，5和6的正方形的轨道，覆盖数据和最大链。最后一项给出了这些情况下拉丁方的数量。为了有效地计算大小为6，我们反过来确定轨道与某些等价类的超图。
2022-02-13 math.CO
On the size of the minimum critical set of a Latin square
$n \times n$数组中的临界集是给定条目的集合$C$，使得存在$C$到$n\times n$拉丁方的唯一扩展，并且没有$C$的真子集具有此性质。对于拉丁方$L$，$\scs{L}$表示$L$的最小临界集的大小，$\scs{n}$是$n$阶的所有拉丁方$L$上的$\scs{L}$的最小值。我们找到了$k$大小的部分拉丁方个数的一个上界，并证明了$$n^2-(e+o(1))n^{10/6} \le \max \scs{L} \le n^2-\frac{\sqrtπ}{2}n^{9/6}.$$ %。Cavenagh博士论文，昆士兰大学，2003年），并反驳了他的论点之一。它还改进了以前已知的任何$n$阶拉丁方的最大临界集的大小的下界。
2006-12-31 math.CO
Orthogonal Quantum Latin Squares with Maximal Cardinality from Full-Rank Factorizations
Nanjing Normal University（南京师范大学）
本文利用有限阿贝尔群的特征与满秩分解及乘积构造，证明了两个无限阶族存在具有最大基数的正交量子拉丁方对。
2026-09-25 math.CO
Latin squares with no transversals
$n$阶拉丁方中的$k$ -丛是对$kn$条目的选择，其包括来自每行和列的$k$代表以及每个符号的$k$出现。$1$ -plex也称为横切面.众所周知，如果$n$是偶数，则整数模$n$的加法表$B_n$不具有横截。我们发现，有大量的拉丁方是类似于$B_n$，没有横截。因此，横向自由拉丁方的物种的数量被证明是至少$n^{n^{3/2}(1/2-o(1))}$，甚至$n\rightarrow\infty$。我们还产生了各种建设拉丁方没有横截，但确实有一个$k$ -丛一些奇数$k>1$。证明了第二作者在2002年提出的一个猜想：对于所有偶数阶$n>4$，存在一个$n$阶的拉丁方，它包含一个$3$ -plex，但没有横截.我们还证明了对于奇数$k$和$m\geq 2$，存在一个$2km$阶拉丁方，它有一个$k$ -丛，但对于奇数$k'<k$没有$k'$ -丛.
2017-04-13 math.CO
The spectrum of group-based Latin squares
我们构造了许多群的序列，这些群是奇阶阿贝尔群和奇素数阶循环群的半直积。从这些构造可以得出，存在一个$n$阶的基于群的完全拉丁方当且仅当$n \in \{ 1,2,4\}$或存在一个$n$阶的非阿贝尔群。
2018-12-13 math.CO
On extensions of the Alon-Tarsi Latin Square conjecture
表达式涉及产品的永久与（n-1）次幂的行列式矩阵的不定式，和（0，1）矩阵，被证明是有关的两个代数扩展的阿隆-塔尔西拉丁方猜想奇数维。得到了一个涉及（0，1）-矩阵的积和交错和的恒等式.
2012-09-03 math.CO
Computing the autotopy group of a Latin square by cycle structure
介绍了一种利用拉丁方行或列的循环结构计算其自同构群的算法。作为结果，得到了自同构群的大小的界。这个界限是用来表明，有两行或两列，从一个映射到另一个由置换分解成一个有界数量的不相交的循环的拉丁方的autotopy组的计算时间，是多项式的顺序$n$。
2014-07-28 math.CO
