具有极少横截线的拉丁方
Latin Squares with Few Transversals
AI总结：
本文改进拉丁方横截线最小数量的上界，通过构造3×3分块拉丁方，证明对n≡3 (mod 6)的奇数阶n，t(n)不超过((1+o(1))2n/(3e^2))^n。
AI中文摘要：
设 $t(n)$ 表示奇数阶 $n$ 的拉丁方中横截线的最小数量。改进了 Dai、Divoux 和 Kelly 最近的一个界，我们证明对于每个满足 $n \equiv 3 \pmod 6$ 的 $n$，有 \\[ t(n) \leq \left( \left(1+o(1)\right) \frac{2n}{3e^2}\right)^n. \\] 我们的证明基于一族 $3 \times 3$ 分块拉丁方，其横截线被限制为要么完全位于对角块内，要么完全避开对角块。
英文摘要：
Let $t(n)$ denote the minimum number of transversals in a Latin square of odd order $n$. Improving upon a recent bound of Dai, Divoux and Kelly, we prove that for every $n$ such that $n \equiv 3 \pmod 6$, \[ t(n) \leq \left( \left(1+o(1)\right) \frac{2n}{3e^2}\right)^n . \] Our proof is based on a family of $3 \times 3$ block Latin squares whose transversals are constrained to either lie entirely in the diagonal blocks or avoid them altogether.
