Alexandrov's Approach to the Minkowski Problem
S. S. Kutateladze
这篇文章是献给亚历山大·D.亚历山德罗夫（1912-1999）。他的功能分析方法来解决闵可夫斯基问题的检查和应用到极值问题的等周型与冲突的目标。
This article is dedicated to the centenary of the birth of Aleksandr D. Alexandrov (1912-1999). His functional-analytical approach to the solving of the Minkowski problem is examined and applied to the extremal problems of isoperimetric type with conflicting goals.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Minkowski-type and Alexandrov-type theorems for polyhedral herissons
将经典的关于具有指定方向和面积的凸多面体的存在唯一性的H.Minkowski定理以及著名的A.D.Alexandrov的H.Minkowski唯一性定理的推广到一类称为多面体Herissons的非凸多面体，这类多面体可以描述为具有内射球面像的多面体.
Critical values and level sets of distance functions in Riemannian, Alexandrov and Minkowski spaces
设$F \subset \R^n$为闭集，且为$n=2$或$n=3$。S. Ferry（1975）证明了，对几乎所有的$r>0$，水平集（距离球面，$r$ -边界）$S_r(F):= \{x \in \R^n: \dist(x,F) = r\}$是拓扑$(n-1)$维流形。J.H.G. Fu（1985）。我们表明，费里的结果是一个简单的后果，唯一的事实，即距离函数$d(x)= \dist(x,F)$是本地DC和没有驻点在$\R^n\setminus F$。利用这一观察，我们证明了Ferry（甚至Fu）的结果扩展到具有$\dim X \in \{2,3\}$的充分光滑赋范线性空间$X$（例如，到$\ell^p_n, n=2,3, p\geq 2$），改进和推广了R. Garibrant和W.D. Pepe（1972年）。用同样的方法，我们还将Fu的结果推广到黎曼流形上，改进了K。盐滨和M. Tanaka（1996）关于亚历山德罗夫空间中的距离球。
A.D. Alexandrov's problem for Busemann non-positively curved spaces
本文是最后一个周期致力于解决亚历山德罗夫的问题，非积极弯曲的空间。在这里，我们研究Busemann意义下的非正曲空间。证明了若$X$在无穷远真Busemann空间测地线完全连通，则它具有如下等距刻划.对于任何双射$f:X\to X$，如果$f$和$f^{-1}$保持距离1，则$f$是等距的。
On a Problem of Gromov about Generalizing Alexandrov-Fenchel Inequality
本文回答了Gromov在《凸集与Kahler流形》一文中提出的关于混合体积的一个问题。为了读者的方便，我们提醒混合体积和混合判别式的定义和一些性质。
Prescribing The Gauss Curvature Of Convex Bodies In Hyperbolic Space
点欧氏凸体的高斯曲率测度是单位球面上的测度，它将高斯曲率的概念推广到非光滑体上。亚历山德罗夫的问题在于找到一个凸体与给定的曲率措施。A.D.Alexandrov在欧几里得空间中给出了这个问题有解的测度的一个充要条件。本文讨论了双曲空间H m+1中凸体的Alexandrov问题.在定义了任意双曲凸体的高斯曲率测度后，我们完全解决了Alexandrov问题。与欧几里德情形相反，我们还证明了这种凸体的唯一性。证明该问题解的存在性和唯一性的方法都是新的。
Lipschitz continuity of harmonic maps between Alexandrov spaces
1997年，J. Jost [27]和F. H. Lin [39]独立地证明了从具有下有界曲率的Alexandrov空间到具有非正曲率的Alexandrov空间的每个能量极小调和映射是局部Hölder连续的。在[39]中，F. H. Lin提出了一个挑战性的问题：Hölder连续性能否改进为Lipschitz连续性？J. Jost也提出了关于奇异空间之间调和映射的Lipschitz正则性的类似问题（见[28]第38页）。本文的主要定理给出了这一问题的一个完整的解答。
The torsion log-Minkowski problem
本文利用逼近方法，在无对称性条件下解决了挠率对数闵可夫斯基问题。
Isoperimetric problem and structure at infinity on Alexandrov spaces with nonnegative curvature
研究非负曲率有限维Alexandrov空间的等周剖面、等周集存在性与无穷远渐近结构的关系，证明线性体积增长等条件的等价性，并给出2维情形下等周集的存在性与拓扑刻画。
On the discrete functional $l_p$ Minkowski problem
提出并求解了离散泛函$L_p$ Minkowski问题。由此建立了广义仿射Pólya-Szegö原理和广义仿射Sobolev不等式.
The Lp Minkowski problem for polytopes for 0 < p < 1
给出了离散Lp Minkowski问题在0 < p < 1的临界情形下解存在的充要条件.
The dual Minkowski problem for negative indices
最近，黄，Lutwak，Yang和Zhang发现了Federer曲率测度的双曲率测度（称为双曲率测度）（ACTA，2016）。在同一篇论文中，他们提出了对偶Minkowski问题，对偶曲率测度的特征问题，并证明了当指标q在（0，n）中时存在结果。对偶Minkowski问题包括Aleksandrov问题（q = 0）和对数Minkowski问题（q = n）作为特殊情况。在目前的工作中，对偶Minkowski问题的一个完整的解决方案，当q < 0，包括存在性和唯一性，提出。
Minkowski Problems for Geometric Measures
本文系统综述了凸几何分析中几何测度的闵可夫斯基问题，梳理其历史渊源与近期发展，并在Brunn-Minkowski理论框架下整合凸几何、偏微分方程与调和分析中的经典及新型问题。
The Minkowski problem in the Gaussian probability space
研究了高斯概率空间中的Minkowski问题。除了提供这个问题的高斯体积归一化版本的存在性结果之外，当前工作的主要目标是提供高斯Minkowski问题的唯一性和存在性结果（不需要归一化）。
The generalized Gaussian log-Minkowski problem
本文研究了源于信息论的广义高斯分布，引入并求解了与之相关的log-Minkowski问题。
The Lp Minkowski problem for polytopes for negative p
证明了当p小于0时Lp Minkowski问题解的存在性.对于p=-n的临界情形，即中心仿射Minkowski问题，本文包含了文[71]中的主要结果作为其特例。
Geometric measures in the dual Brunn-Minkowski theory and their associated Minkowski problems
本文回答了凸体 Federer 曲率测度的对偶类似物这一长期问题，并建立涉及测度集中性的充分条件，证明对偶 Minkowski 型问题解的存在性。
Smoothness in the $l_p$ Minkowski problem for $p<1$
讨论了当$p<1$和给定测度具有正的密度函数时，$L_p$ Minkowski问题解的光滑性和严格凸性.
On the continuity of the solutions to the $L_{p}$ torsional Minkowski problem
在本文中，我们得到了$p>1$的$L_{p}$扭转Minkowski问题的解的连续性。证明了$L_{p}$扭测度的弱收敛蕴涵了相应的凸体序列在Hausdorff度量下的收敛性.此外，还得到了$L_{p}$扭转Minkowski问题解关于$p$的连续性.
The $L_{p}$ Dual Minkowski Problem for Group-Invariant Convex Bodies
本文从代数视角研究所有实数$q,p$下的$L_p$对偶Minkowski问题，证明群不变凸体（不必原点对称）解的存在性，涵盖$L_p$ Minkowski、$L_p$ Aleksandrov及对偶Minkowski问题为特例。
Equality cases of the Alexandrov--Fenchel inequality are not in the polynomial hierarchy
本文证明凸多面体上 Alexandrov–Fenchel 不等式等号条件的描述不在多项式层级中，除非多项式层级坍缩到有限层，首次给出该问题的计算复杂性困难性结果。
Continuity of the solution to the $L_p$ Minkowski problem in Gaussian probability space
本文证明了$L_p$ Guassian表面积测度的弱收敛蕴涵了$p\geq 1$的Hausdorff度量中相应凸体的收敛性.此外，本文还得到了Guassian Minkowski问题的解关于$p$是连续的.
The Logarithmic Minkowski Problem
本文研究对数闵可夫斯基问题，通过类比经典闵可夫斯基问题，给出了单位球面上测度成为有限维巴拿赫空间单位球锥体积测度的充要条件。
Affine dual Minkowski problem for general measures
本文针对一般测度（m>1）提出了仿射对偶Minkowski问题解存在的必要且充分条件，推广了2025年Cai等人关于偶测度的结果。
The $L_p$ Minkowski problems on affine dual quermassintegrals
本文研究了$L_p$设定下仿射对偶质度积分的闵可夫斯基问题，解决了非对称和对称测度情况下的存在性问题，并在$p=0$时引入并解决了仿射对偶闵可夫斯基问题。
The discrete logarithmic Minkowski problem
对于单位球面上的离散测度满足关于某些特殊真子空间的子空间集中条件，证明了对数Minkowski问题解的存在性.为了理解这个条件有多优，我们讨论了任何锥体积测度所满足的某些条件。
The discrete horospherical $p$-Minkowski problem in hyperbolic space
该研究在已有光滑域 horospherical $p$-Minkowski 问题的基础上，提出并求解了双曲空间中离散形式的该问题，覆盖全体实数 $p$ 且给定测度为单位球面上的偶测度。
Multiple Criteria Problems over Minkowski Balls
研究Minkowski球空间上的一些向量最优化问题，即，欧几里得空间中对称凸紧子集一个典型的问题需要在存在冲突目标的情况下实现最佳结果;例如，给定对称凸体$\mathfrak x$的表面积，我们试图同时最大化$\mathfrak x$的体积和最小化$\mathfrak x$的宽度。
The Logarithmic Minkowski conjecture and the $L_p$-Minkowski Problem
该文综述球面上 Monge–Ampère 方程形式的 $L_p$ Minkowski 问题及 Lutwak 对数 Minkowski 猜想，并梳理其与相关问题的联系。
The general dual-polar Orlicz-Minkowski problem
本文系统地研究了一般双极Orlicz-Minkowski问题（例如，问题\ref{general-dual-polar}）。这个问题涉及到最近在\cite{GHWXY, GHXY}中为了研究一般对偶Orlicz-Minkowski问题而提出的一般对偶体积$\widetilde{V}_G(\cdot)$。由于$\widetilde{V}_G(\cdot)$扩展了体积和$q$的对偶体积，一般双极Orlicz-Minkowski问题与最近提出的\cite{GHWXY, GHXY}中的一般对偶Orlicz-Minkowski问题是“极”的，与\cite{LuoYeZhu}中新提出的极Orlicz-Minkowski问题是“对偶”的.证明了一般双极Orlicz-Minkowski问题解的存在性、连续性和唯一性。多面体解决方案和/或反例一般双极Orlicz-Minkowski问题的离散措施也提供。一般双极Orlicz-Minkowski问题的几个变化进行了讨论，以及，特别是一个导致一般Orlicz-Petty机构。
Uniqueness and continuity of the solution to $L_p$ dual Minkowski problem
Lutwak，Yang和Zhang \cite{LYZ2018}介绍了$L_p$对偶曲率测度，它统一了对偶Brunn-Minkowski理论和Brunn-Minkowski理论中的其他几种几何测度。受\cite{LYZ2018}研究的启发，我们考虑了$L_p$对偶Minkowski问题解的唯一性和连续性.为了将LYZ的重要工作（\ref{uniquepolytope}定理）推广到一般凸体的情形，我们建立了一些新的Minkowski型不等式，这些不等式与$L_p$对偶Minkowski问题的最优化问题密切相关.当$q< p$时，得到了一般凸体的$L_p$对偶Minkowski问题解的唯一性.此外，我们还得到了凸体的$L_p$对偶Minkowski问题解的连续性。
Entire Monge-Ampère equations and weighted Minkowski problems
本文证明了由加权闵可夫斯基问题导出的整体蒙日-安培方程解的存在性，为该类方程提供了存在性结果。
The Gaussian Minkowski-type problems for $C$-pseudo-cones
本文针对C-伪锥引入高斯表面积测度与高斯锥测度，提出并解决了相应的高斯Minkowski问题及高斯对数Minkowski问题，证明了解的存在性与唯一性。
On the planar Gaussian-Minkowski problem
目前的工作集中在2维的高斯-闵可夫斯基问题。特别地，我们证明了如果高斯表面积测度与球面勒贝格测度成比例，则相应的凸体必须是中心圆盘。作为一个应用，这个“唯一性”的结果被用来证明光滑的小解决方案的存在性高斯Minkowski问题通过度理论的方法。
The Minkowski problem for the torsional rigidity
本文证明了在$n$维欧几里得空间的开有界凸子集类中，关于扭转刚度的Minkowski型问题的解的存在唯一性.对于存在性部分，我们适用的变分方法介绍了Jerison类似的问题，其他变分泛函。由Brunn-Minkowski不等式推导出扭转刚度的唯一性和相应的等式条件。
The dual Orlicz-Minkowski problem
本文提出了对偶Orlicz曲率测度，并给出了它的基本性质.建立了对偶Orlicz-quermass积分的变分公式，给出了对偶Orlicz曲率测度的几何解释.基于所建立的变分公式，给出了关于对偶Orlicz曲率测度的对偶Orlicz-Minkowski问题的一个解.
The Lp centro-sectional Minkowski problem
本文引入Lp中心截面闵可夫斯基问题，解决了p>1且q>0时的存在性，讨论了正则性与唯一性，并证明了p较大时的Lp Brunn-Minkowski型不等式。
The $L_{p}$ Gaussian Minkowski problem for $C$-pseudo-cones
本文研究了$C$-伪锥的$L_{p}$高斯Minkowski问题，建立了其存在性与唯一性结果，并扩展了先前在$p=1$和$p=0$情形下的相关工作。
Uniqueness of solutions to the isotropic $L_{p}$ Gaussian Minkowski problem
该研究在无需凸体原点中心假设的条件下，证明了$\mathbb{R}^{n+1}$中参数范围为$-(n+1)<p<-1$（$n\geq1$）的各向同性$L_{p}$高斯Minkowski问题解的唯一性。
The Discrete $L_p$ Minkowski Problem for Negative $p$
本文针对p<0的离散L_p闵可夫斯基问题建立同调存在准则，对具有对径支撑的离散测度给出任意正质量的完整存在性刻画，偶情形下解可原点对称，其中p=-n对应中心仿射情形。
Necessary subspace concentration conditions for the even dual Minkowski problem
证明了关于$q\geq n+1$的$n$维原点对称凸体的对偶曲率测度$\widetilde{\mathrm{C}}_q(K,\cdot)$的紧子空间集中不等式.这补充了以前在$q\leq n$范围内获得的结果。
Orlicz-Minkowski flows
研究了一类各向异性非齐次Gauss曲率流的长时间存在性和性态，如果其定常解存在，则其解是正则Orlicz-Minkowski问题的解.作为应用，我们得到了正则偶Orlicz-Minkowski问题的新旧结果，相应的$L_p$版本是$p>-n-1$的偶$L_p$-Minkowski问题.此外，利用抛物近似方法，我们给出了一般Orlicz-Minkowski问题的一些存在性结果的新证明;对于$p>0$的$L_p$版本是偶$L_p$ -Minkowski问题，对于$p>1$的$L_p$ -Minkowski问题.最后，我们利用一个不带整体项的曲率流来求解一类$L_p$ -Christoffel-Minkowski型问题。
The $p$-capacitary Orlicz-Hadamard variational formula and Orlicz-Minkowski problems
本文将$p\in (1, n)$的$p$ -容性与凸区域的Orlicz加法相结合，建立了$p$ -容性Orlicz-Brunn-Minkowski理论.特别地，引入了两个凸区域的Orlicz $L_ϕ$混合$p$ -容度，并利用$p$ -容度Orlicz-Hadamard变分公式得到了它的几何解释.建立了$p$ -容Orlicz-Brunn-Minkowski不等式和Orlicz-Minkowski不等式，并讨论了这两个不等式的等价性.提出了$p$ -容性Orlicz-Minkowski问题，并在涉及函数和测度的较弱条件下得到了求解.特别地，我们给出了离散和一般测度下的带$q>1$的规范化$p$ -容性$L_q$ Minkowski问题的解.
On the $L_p$ Brunn-Minkowski theory and the $L_p$ Minkowski problem for $C$-coconvex sets
设$C$是$\mathbb{R}^n$中顶点在原点$o$上且内部非空的尖闭凸锥.如果$A$的体积有限且$A^{\bullet}=C\setminus A$是闭凸集，则集合$A\subset C$是$C$ -共凸的.对于$0<p<1$，引入了$C$ -共凸集的$p$ -共和，建立了$C$ -共凸集的相应的$L_p$ Brunn-Minkowski不等式.我们还定义了$L_p$表面积的措施，为$0\neq p\in \mathbb{R}$，某些$C$ -共凸集，这是至关重要的，在推导出一个变分公式的体积的武尔夫形状与家庭的功能从$p$ -共和。这激发了$L_p$ Minkowski问题，旨在描述$C$ -共凸集的$L_p$表面积测度。对所有的$0\neq p\in \mathbb{R}$建立了$L_p$ Minkowski问题解的存在性.证明了$0<p<1$的$L_p$ Minkowski不等式，并利用该不等式得到了$0<p<1$的$L_p$ Minkowski问题解的唯一性.对于$p=0$，我们引入了两个$C$ -共凸集$A_{1}$和$A_{2}$关于$τ\in(0, 1)$的对数余和$(1-τ)\diamond A_1\oplus_0τ\diamond A_2$，并证明了$C$ -共凸集的对数Brunn-Minkowski不等式. log-Minkowski不等式也被获得，并应用…
Variational Principles for Minkowski Type Problems, Discrete Optimal Transport, and Discrete Monge-Ampere Equations
本文建立了离散最优输运（DOT）、凸多胞体的Minkowski型问题和离散Monge-Ampere方程（DMAE）的几个相关的有限维变分原理.建立了计算几何中离散的最优输运、离散的Monge-Ampere方程和功率图之间的联系。
Hyperbolic $p$-sum and Horospherical $p$-Brunn-Minkowski theory in hyperbolic space
经典的Brunn-Minkowski理论利用Minkowski和研究欧氏空间中凸体的几何。它起源于H。Brunn在1887年的论文和H.闵可夫斯基1903年的论文。由于双曲空间中两个集合之和没有公认的定义，因此自1903年以来，双曲空间中就没有Brunn-Minkowski理论。本文在双曲空间中，对任意的$p>0$，引入了两个集合的和，称之为双曲$p$ -和.然后利用我们的双曲$p$ -和在双曲空间中建立了一个Brunn-Minkowski理论，我们称之为时球$p$ -Brunn-Minkowski理论.设$K$是双曲空间$\mathbb{H}^{n+1}$中的光滑均匀凸有界域.通过利用我们的双曲$p$ -和计算$K$的$k$ -次修正质量积分的变化，我们引入了单位球$\mathbb{S}^n$上与$K$相关的准球面$k$ -次$p$ -表面积测度.对于$k=0$，我们引入了准球面$p$ -Minkowski问题，这是一个规定的准球面$p$ -表面积测量问题.通过设计和研究一个新的保体积流，解决了当给定测度为偶数时，对所有$p \in (-\infty,+\infty)$，半球$p$ -Minkowski问题解的存在性.对于$1 \leq k \leq n-1$，我们引入了准球面$p$ -Christoffel-Minkowski问题，它是准球面$k$ -次$p$ -表面积测量问题…
The Gaussian Minkowski problem for epigraphs of convex functions
本文通过下确卷积扰动凸函数并利用其上图像的Gaussian体积推导变分公式，由此定义Euclidean Gaussian矩测度，并在温和自然条件下解决了相应的Minkowski型问题。
General volumes in the Orlicz-Brunn-Minkowski theory and a related Minkowski Problem I
引入了星形体的广义体积概念，它包括通常体积、$q$第二对偶体积以及许多先前类型的对偶混合体积。针对Lutwak，Yang和Zhang最近提出的$(p,q)$ -对偶曲率测度，定义了一个相应的新的广义对偶Orlicz曲率测度.建立了两类Orlicz线性组合的一般体积的一般变分公式。其中之一是适用于闵可夫斯基问题的新的一般对偶Orlicz曲率措施，特别是解决闵可夫斯基问题所提出的Lutwak，杨，张为$(p,q)$ -对偶曲率措施时，$p>0$和$q<0$。得到了一般体积的对偶Orlicz-Brunn-Minkowski不等式，以及星体的对偶Orlicz-Minkowski型不等式和唯一性结果.最后，一个非常普遍的Minkowski型不等式，涉及两个Orlicz功能，两个凸体，和一个星体，证明，其中包括作为特殊情况下，其他几个在文献中，特别是一个由于Lutwak，杨，张$(p,q)$ -混合体积。
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