On the discrete functional $l_p$ Minkowski problem
Tuo Wang
提出并求解了离散泛函$L_p$ Minkowski问题。由此建立了广义仿射Pólya-Szegö原理和广义仿射Sobolev不等式.
The discrete functional $L_p$ Minkowski problem is posed and solved. As a consequence, the general affine Pólya-Szegö principle and the general affine Sobolev inequalities are established.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
A discrete version and stability of Brunn Minkowski inequality
在本文的第一部分中，我们定义了一个近似的Brunn-Minkowski不等式，它推广了长度空间中的经典不等式。我们的新定义只基于距离性质，使我们也可以处理离散空间。在度量测度空间收敛的条件下，证明了新不等式的稳定性。这个结果作为推论给出了经典Brunn-Minkowski不等式在测地空间上的稳定性。这种稳定性的证明是针对不同的不等式（曲率维数不等式，度量收缩性质），但据我们所知，没有Brunn-Minkowski一个。第二部分证明了满足经典Brunn-Minkowski不等式的度量测度空间都可以用具有近似Brunn-Minkowski不等式的离散空间来近似。
The discrete logarithmic Minkowski problem
对于单位球面上的离散测度满足关于某些特殊真子空间的子空间集中条件，证明了对数Minkowski问题解的存在性.为了理解这个条件有多优，我们讨论了任何锥体积测度所满足的某些条件。
The discrete horospherical $p$-Minkowski problem in hyperbolic space
该研究在已有光滑域 horospherical $p$-Minkowski 问题的基础上，提出并求解了双曲空间中离散形式的该问题，覆盖全体实数 $p$ 且给定测度为单位球面上的偶测度。
On discrete $L_p$ Brunn-Minkowski type inequalities
格点计数器$\mathrm{G}_n(\cdot)$的$L_p$ Brunn-Minkowski型不等式在几何和功能设置中均示出。特别地，我们证明了对于任何具有整数点的有界集$K, L\subset\mathbb{R}^n$和所有$λ\in(0,1)$，都有\[\mathrm{G}_n\bigl((1-λ)\cdot K +_p λ\cdot L + (-1,1)^n\bigr)^{p/n}\geq (1-λ)\mathrm{G}_n(K)^{p/n}+λ\mathrm{G}_n(L)^{p/n}\].我们还表明，这些新的离散类似物（$\mathrm{G}_n(\cdot)$）意味着相应的结果有关的勒贝格测度。
Minkowski's successive minima in convex and discrete geometry
本文综述了Minkowski逐次极小在凸几何与离散几何中的影响，探讨了其与格点计数器、内蕴体积等泛函的关系及相关猜想，并讨论了其在Siegel引理中的应用。
On the discrete logarithmic Minkowski problem in the plane
本文研究平面中离散对数Minkowski问题，通过分析多边形的锥体积向量，推导出解存在的必要条件。
Discrete variants of Brunn-Minkowski type inequalities
我们提出了一个替代的，简短的证明最近离散版本的Brunn-Minkowski不等式由于Lehec和第二命名的作者。我们的证明也产生了Ahlswede和Daykin的四个功能定理以及一些新的变种。
On a Brunn-Minkowski principle for first-order information functionals
本文提出一个一般原理，将凸锥上满足Brunn-Minkowski不等式的正齐次泛函转化为满足线性Brunn-Minkowski不等式的信息泛函，并建立对偶版本，恢复经典结果并给出$L_p$推广，同时证明齐次性必要性。
Monotonicity and concavity of integral functionals involving area measures of convex bodies
对于定义在$n$ -维凸体空间上的一类广泛的积分泛函，我们建立了单调性的充要条件和Brunn-Minkowski型不等式成立的必要条件.特别地，我们证明了Brunn-Minkowski型不等式蕴涵单调性，并且一般的Brunn-Minkowski型不等式等价于泛函是混合体积。
Variational Principles for Minkowski Type Problems, Discrete Optimal Transport, and Discrete Monge-Ampere Equations
本文建立了离散最优输运（DOT）、凸多胞体的Minkowski型问题和离散Monge-Ampere方程（DMAE）的几个相关的有限维变分原理.建立了计算几何中离散的最优输运、离散的Monge-Ampere方程和功率图之间的联系。
The Lp Minkowski problem for polytopes for 0 < p < 1
给出了离散Lp Minkowski问题在0 < p < 1的临界情形下解存在的充要条件.
A Remark on discrete Brunn-Minkowski type inequalities via transportation of measure
本文给出了Halikias、Klartag和作者最近得到的离散Brunn-Minkowski型不等式的另一种证明。这个证明也暗示了这些不等式的更强的加权形式。我们的方法推广了Gozlan，Roberto，Samson和Tetali的测度迁移理论的思想，并给出了格点计数器的熵型不等式的新的位移凸性.
The Discrete $L_p$ Minkowski Problem for Negative $p$
本文针对p<0的离散L_p闵可夫斯基问题建立同调存在准则，对具有对径支撑的离散测度给出任意正质量的完整存在性刻画，偶情形下解可原点对称，其中p=-n对应中心仿射情形。
A curved Brunn--Minkowski inequality on the discrete hypercube
在离散超立方体$\{0,1\}^N$的情况下，我们比较了非光滑空间上里奇曲率的两种方法。虽然粗糙的里奇曲率的第一作者很容易产生一个正值的曲率，位移凸性质的洛特，斯特姆和第二作者不能完全实现。然而，一路走来，我们得到了新的结果的组合和概率性质，包括弯曲Brunn-Minkowski不等式的离散超立方体。
Functional inequalities derived from the Brunn-Minkowski inequalities for quermassintegrals
利用Brunn-Minkowski不等式在$n$维欧几里得空间中的单位球面上和光滑凸体边界上导出了一类Poincaré型不等式.
Additive Kinematic Formulas for Functional Minkowski Vectors
本文通过混合Monge-Ampère测度建立了函数Minkowski向量的加法运动公式，这是该类向量在凸函数空间上自然的向量值估值家族的首次积分几何应用。
Affine isoperimetric inequalities in the functional Orlicz-Brunn-Minkowski theory
本文发展了凸函数和$s$ -凹函数的Orlicz仿射和几何最小曲面面积的基本理论。证明了这些新引入的泛函仿射不变量的一些基本性质，并建立了相关的泛函仿射等周不等式和泛函Santaló型不等式.
Alexandrov's Approach to the Minkowski Problem
这篇文章是献给亚历山大·D.亚历山德罗夫（1912-1999）。他的功能分析方法来解决闵可夫斯基问题的检查和应用到极值问题的等周型与冲突的目标。
The distance to the boundary with respect to the Minkowski functional of a polytope
研究了多面体Minkowski函数下域边界距离函数的正则性，并通过实例观察了新现象。
A generalization of the discrete version of Minkowski's fundamental theorem
闵可夫斯基的几何观点在数论中的最丰硕成果之一是他的所谓第一基本定理。它提供了一个最优的上界的体积的o-对称凸体，其唯一的内部格点是原点。闵可夫斯基还得到了一个离散模拟，通过证明最佳上界的数量格点的边界，这样的凸体。虽然体积不等式已经由van der Corput在20世纪30年代推广到任意数量的内部格点，但离散情况下的相应结果仍有待证明。我们的主要贡献是一个o-对称凸体的边界和内部格点之间的最佳对应关系。证明依赖于一个同余参数和差集估计从加法组合。
The dual Orlicz curvature measures for log-concave functions and their related Minkowski problems
本文通过对数凹函数类中 Orlicz 矩关于 Asplund 和的变分，引入对偶 Orlicz 曲率测度，并证明函数对偶 Orlicz Minkowski 问题的部分存在性。
From Brunn-Minkowski to Prékopa-Leindler and Borell-Brascamp-Lieb: discrete inequalities
本文通过Brunn-Minkowski不等式推导出Prékopa-Leindler和Borell-Brascamp-Lieb不等式，并证明了其在整数空间上的离散形式。
On Ruzsa's discrete Brunn-Minkowski conjecture
本文证明了Ruzsa关于离散Brunn-Minkowski不等式的猜想，给出了在特定条件下集合和的大小下界。
Generalized permutahedra: Minkowski linear functionals and Ehrhart positivity
我们刻画了所有定义广义置换面体的带符号Minkowski和，扩展了Ardila-Benedetti-Doker（2010）的结果。我们使用这个特征给出了一个完整的分类的所有积极的，不变性，对称Minkowski线性泛函上的广义置换面体。我们表明，他们形成一个单纯锥，并明确描述他们的发电机。我们应用我们的结果证明了包含拟阵多面体的广义置换体的Ehrhart多项式的线性系数是非负的，在这种情况下验证了De Loera-Haws-Koeppe（2009）和Castillo-Liu（2018）的推论。我们也应用这种技术，给出了一个例子的立体角多项式的广义置换面体，具有负线性项，并获得的β不变量的收缩拟阵的不等式。
The $L_p$ Minkowski problems on affine dual quermassintegrals
本文研究了$L_p$设定下仿射对偶质度积分的闵可夫斯基问题，解决了非对称和对称测度情况下的存在性问题，并在$p=0$时引入并解决了仿射对偶闵可夫斯基问题。
New bounds in the discrete analogue of Minkowski's second theorem
本文通过改编Tao和Vu的论证，给出原点对称凸体所含格点数的改进上界，从而改进并在渐近意义下验证了Betke-Henk-Wills猜想，同时将结果推广到非对称情形。
Functional Brunn-Minkowski Inequalities Induced by Polarity
证明了一类新的不等式，它比较了非负函数的几何卷积的积分与原函数的积分。对于经典的下卷积，这种类型的不等式被称为Prékopa-Leindler不等式，它限制于凸体的指标，给出了经典的Brunn-Minkowski不等式。我们考虑的卷积是一个不同的卷积，它产生于对函数极性变换的研究。虽然下卷积产生的勒让德变换下的凸函数的通常添加的拉回，我们的几何下卷积产生的几何凸函数的二阶逆变换（称为极性变换或$A$ -变换）的拉回。这些是，直到线性项，唯一的顺序逆转同构类的几何凸函数。我们证明了这两个函数的新的几何卷积的积分是有界的，从下面的调和平均的个人积分。我们的不等式包含Brunn-Minkowski不等式，以及其他一些新的关于物体体积的不等式。我们的不等式是密切相关的Busemann的凸性定理，一个新的变种，我们证明1-凸包和对数凹密度。
On $L_p$ Brunn-Minkowski type inequalities for a general class of functionals
本文证明了标准高斯测度和经典 Wills 泛函的 $L_p$ Brunn-Minkowski 型不等式及其等号条件，并基于更一般的泛函方法推广至具有径向递减密度的绝对连续测度。
The Minkowski problem for the torsional rigidity
本文证明了在$n$维欧几里得空间的开有界凸子集类中，关于扭转刚度的Minkowski型问题的解的存在唯一性.对于存在性部分，我们适用的变分方法介绍了Jerison类似的问题，其他变分泛函。由Brunn-Minkowski不等式推导出扭转刚度的唯一性和相应的等式条件。
Orthogonality in Generalized Minkowski Spaces
我们结合功能分析和几何的观点近似Birkhoff和等腰正交广义Minkowski空间，这是有限维向量空间配备了规范。这是第一个在这样的空间正交类型的方法。
On the functional Minkowski problem
本研究完整解决了泛函Minkowski问题，刻画了可作为对数凹函数表面积测度的测度对，还证明了表面积测度的连续性及问题解关于数据的连续性，并引入了一类新型凸函数径向函数构造。
A General Method to Determine Limiting Optimal Shapes for Edge-Isoperimetric Inequalities
对于$\mathbb{Z}^n$上的一般图族，我们将边等周问题转化为$\mathbb{R}^n$上的连续等周问题.然后利用Brunn-Minkowski不等式和Minkowski关于混合算子的定理解决连续等周问题。这种转换使我们能够得出结论，在关于离散问题的合理假设下，随着集合的大小增加，离散问题中的最优集合的形状接近连续问题中的最优集合的形状。解是定义为原始图的边的Minkowski和的带拓扑。我们证明了这种方法的有效性，通过重温一些以前解决的经典边缘等周问题。然后，我们将我们的方法应用到一些离散的等周问题，以前没有得到解决。这些解决方案的复杂性表明，仅使用离散方法很难找到它们。
General volumes in the Orlicz-Brunn-Minkowski theory and a related Minkowski Problem II
最近，对于内部含有原点的函数$G: (0, \infty)\times \sphere\rightarrow (0, \infty)$和$\R^n$中的凸体$K$，引入了广义对偶体积$\dveV(K)$和广义对偶Orlicz曲率测度$\deV(K, \cdot)$.我们扩展$\dveV(K)$和$\deV(K, \cdot)$更一般的功能$G: [0, \infty)\times \sphere\rightarrow [0, \infty)$和紧凑的凸集$K$包含的起源（但不一定在其内部）。给出了一般对偶体积和对偶Orlicz曲率测度的一些基本性质，如对基础集的连续依赖性。这些都需要研究闵可夫斯基型问题的对偶Orlicz曲率措施。我们主要研究了当$G$和$ψ$都增加时的情形，从而补充了我们以前的工作。Minkowski问题要求刻画$\sphere$上的Borel测度$μ$，其中$\R^n$中有一个凸体$K$，包含原点，使得$μ$等于$\deV(K, \cdot)$，直到一个常数。分析中的一个主要步骤涉及离散措施$μ$，我们证明了凸多面体的存在性，包含在其内部解决闵可夫斯基问题的起源。对于一般（不一定是离散的）测量$μ$，我们使用近似参数。这种方法也适用于$G$减少和$ψ$增加的情况，因此增加了我们以前的工作。当测度$μ$为偶数时，在较弱的条件下，给出了$G$和$ψ$上的原点对称凸体…
New Brunn--Minkowski and functional inequalities via convexity of entropy
本文研究了测度的凹性与相对熵的凸性之间的联系，证明了新的中心星形体的Brunn-Minkowski不等式，并通过Gaussian相对熵的凸性得到新的函数不等式。
The general dual-polar Orlicz-Minkowski problem
本文系统地研究了一般双极Orlicz-Minkowski问题（例如，问题\ref{general-dual-polar}）。这个问题涉及到最近在\cite{GHWXY, GHXY}中为了研究一般对偶Orlicz-Minkowski问题而提出的一般对偶体积$\widetilde{V}_G(\cdot)$。由于$\widetilde{V}_G(\cdot)$扩展了体积和$q$的对偶体积，一般双极Orlicz-Minkowski问题与最近提出的\cite{GHWXY, GHXY}中的一般对偶Orlicz-Minkowski问题是“极”的，与\cite{LuoYeZhu}中新提出的极Orlicz-Minkowski问题是“对偶”的.证明了一般双极Orlicz-Minkowski问题解的存在性、连续性和唯一性。多面体解决方案和/或反例一般双极Orlicz-Minkowski问题的离散措施也提供。一般双极Orlicz-Minkowski问题的几个变化进行了讨论，以及，特别是一个导致一般Orlicz-Petty机构。
Brunn-Minkowski type inequalities for the lattice point enumerator
给出了格点计数器$\mathrm{G}_n(\cdot)$的几何和泛函Brunn-Minkowski型不等式.特别地，我们证明了$$\mathrm{G}_n((1-λ)K + λL + (-1,1)^n)^{1/n}\geq (1-λ)\mathrm{G}_n(K)^{1/n}+λ\mathrm{G}_n(L)^{1/n}$$对任何非空有界集$K, L\subset\mathbb{R}^n$和所有$λ\in(0,1)$ .我们还证明了这些新的离散形式蕴涵了经典的结果，并讨论了与其他相关不等式的联系。
The $p$-capacitary Orlicz-Hadamard variational formula and Orlicz-Minkowski problems
本文将$p\in (1, n)$的$p$ -容性与凸区域的Orlicz加法相结合，建立了$p$ -容性Orlicz-Brunn-Minkowski理论.特别地，引入了两个凸区域的Orlicz $L_ϕ$混合$p$ -容度，并利用$p$ -容度Orlicz-Hadamard变分公式得到了它的几何解释.建立了$p$ -容Orlicz-Brunn-Minkowski不等式和Orlicz-Minkowski不等式，并讨论了这两个不等式的等价性.提出了$p$ -容性Orlicz-Minkowski问题，并在涉及函数和测度的较弱条件下得到了求解.特别地，我们给出了离散和一般测度下的带$q>1$的规范化$p$ -容性$L_q$ Minkowski问题的解.
Second order analysis of geometric functionals of Boolean models
本文给出了平稳布尔模型的几何泛函的渐近协方差公式和中心极限定理，这些几何泛函包括体积，表面积，以及作为突出例子的所有Minkowski泛函和平移不变Minkowski张量.特别重点放在各向异性的情况下。在对齐矩形的（各向异性）的例子中，我们提供了明确的解析公式，并与模拟结果进行比较。我们讨论了哪些信息的晶粒分布的二阶矩添加到平均值。
Anisotropy in finite continuum percolation: Threshold estimation by Minkowski functionals
我们研究各向异性和渗流之间的相互作用，即，在各向异性模型中自发形成的系统跨越集群。我们模拟连续渗流，布尔模型，这是由重叠的晶粒形成的基准模型的扩展。在这里，我们引入了一个取向偏差的晶粒，控制所产生的图案的各向异性的程度。我们分析了在欧几里得平面上的渗流阈值，在该阈值之上，在$x$ -和$y$ -方向上出现了扩散簇。只有在有限系统中，不同方向的有效渗流阈值之间才出现明显的差异。如果外推到无限大的系统尺寸，这些差异消失的模型的细节无关。在无限系统中，扩散簇的唯一性保证了唯一的渗流阈值。虽然渗透是各向同性的，即使各向异性的过程中，渗透阈值的值取决于模型参数，我们通过模拟一个分数的模型与不同程度的各向异性探索。在没有模拟的情况下，我们可以预测渗透阈值的精度是多少？我们讨论近似的解析公式（基于排除面积或欧拉特征），并将其与我们的模拟结果进行比较。类似系统的经验参数允许准确预测的逾渗阈值（与偏差$<5\%$在我们的例子中），但即使没有任何经验参数，明确的近似从积分几何提供，至少对于这里研究的系统，较低的边界，以及捕获的逾渗阈值对系统参数的定性依赖性（与偏差$5\%$ - $30\%$）。作为展望，我们建议进一步的候选人明确和几何近似的基础上的二阶矩的所谓的闵可夫斯基泛函。
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