We adapt an argument of Tao and Vu to show that if $λ_1\le\cdots\leλ_d$ are the successive minima of an origin-symmetric convex body $K$ with respect to some lattice $Λ<\mathbb{R}^d$, and if we set $k=\max\{j:λ_j\le1\}$, then $K$ contains at most $2^k(1+\frac{λ_k}2)^k/λ_1\cdotsλ_k$ lattice points. This provides improved bounds in a conjecture of Betke, Henk and Wills (1993), and verifies that conjecture asymptotically as $λ_k\to0$. We also obtain a similar result without the symmetry assumption.
On the analogue of the concavity of entropy power in the Brunn-Minkowski theory
Costa和Cover在{ \it On the similarity of the entropy power inequality and Brunn-Minkowski inequality}（IEEE Trans. Inform. Theory 30（1984），no. 6，837-839）可测集的外部平行体积的$\frac{1}{n}$ -熵作为熵功率的熵的模拟。我们研究了这个猜想，并研究了它与几何不等式的关系。
A generalization of the discrete version of Minkowski's fundamental theorem
闵可夫斯基的几何观点在数论中的最丰硕成果之一是他的所谓第一基本定理。它提供了一个最优的上界的体积的o-对称凸体，其唯一的内部格点是原点。闵可夫斯基还得到了一个离散模拟，通过证明最佳上界的数量格点的边界，这样的凸体。虽然体积不等式已经由van der Corput在20世纪30年代推广到任意数量的内部格点，但离散情况下的相应结果仍有待证明。我们的主要贡献是一个o-对称凸体的边界和内部格点之间的最佳对应关系。证明依赖于一个同余参数和差集估计从加法组合。
On discrete $L_p$ Brunn-Minkowski type inequalities
格点计数器$\mathrm{G}_n(\cdot)$的$L_p$ Brunn-Minkowski型不等式在几何和功能设置中均示出。特别地，我们证明了对于任何具有整数点的有界集$K, L\subset\mathbb{R}^n$和所有$λ\in(0,1)$，都有\[\mathrm{G}_n\bigl((1-λ)\cdot K +_p λ\cdot L + (-1,1)^n\bigr)^{p/n}\geq (1-λ)\mathrm{G}_n(K)^{p/n}+λ\mathrm{G}_n(L)^{p/n}\].我们还表明，这些新的离散类似物（$\mathrm{G}_n(\cdot)$）意味着相应的结果有关的勒贝格测度。
