The logarithmic Minkowski inequality for cylinders
本文证明了：若$K$是$o$对称柱，$L$是$\mathbb R^3$中的$o$对称凸体，则对数Minkowski不等式\[\frac{1}{V(K)}\int_{\mathbb S^{2}}\log\frac{h_L}{h_K}\,dV_K\geq\frac{1}{3}\log\frac{V(L)}{V(K)}\]成立，且等式成立当且仅当$K$和$L$是相对柱.
2022-10-05 math.CO math.MG
On the discrete functional $l_p$ Minkowski problem
提出并求解了离散泛函$L_p$ Minkowski问题。由此建立了广义仿射Pólya-Szegö原理和广义仿射Sobolev不等式.
2020-09-22 math.MG
Logarithmic Brunn--Minkowski Inequality under $n-2$ Reflection Symmetries
School of Mathematical Sciences, Zhejiang University（浙江大学数学学院）
该研究证明了具有n-2个正交超平面对称性的原点对称凸体的对数Brunn-Minkowski不等式，讨论其等号情况与对数Minkowski问题的唯一性，并将不等式推广到特定对数凹测度。
2026-09-29 math.AP math.DG math.MG
The local logarithmic Brunn-Minkowski inequality for bodies of revolution
Goethe-Universität Frankfurt（法兰克福歌德大学）
本文证明了旋转体的局部对数Brunn-Minkowski不等式，并推广至非对称旋转体，限制了等号成立的可能情况，采用算子理论和球函数的分解方法。
2026-03-25 math.DG math.MG
A discrete version and stability of Brunn Minkowski inequality
在本文的第一部分中，我们定义了一个近似的Brunn-Minkowski不等式，它推广了长度空间中的经典不等式。我们的新定义只基于距离性质，使我们也可以处理离散空间。在度量测度空间收敛的条件下，证明了新不等式的稳定性。这个结果作为推论给出了经典Brunn-Minkowski不等式在测地空间上的稳定性。这种稳定性的证明是针对不同的不等式（曲率维数不等式，度量收缩性质），但据我们所知，没有Brunn-Minkowski一个。第二部分证明了满足经典Brunn-Minkowski不等式的度量测度空间都可以用具有近似Brunn-Minkowski不等式的离散空间来近似。
2007-10-25 math.MG
The discrete horospherical $p$-Minkowski problem in hyperbolic space
该研究在已有光滑域 horospherical $p$-Minkowski 问题的基础上，提出并求解了双曲空间中离散形式的该问题，覆盖全体实数 $p$ 且给定测度为单位球面上的偶测度。
2023-10-05 math.MG
On discrete $L_p$ Brunn-Minkowski type inequalities
格点计数器$\mathrm{G}_n(\cdot)$的$L_p$ Brunn-Minkowski型不等式在几何和功能设置中均示出。特别地，我们证明了对于任何具有整数点的有界集$K, L\subset\mathbb{R}^n$和所有$λ\in(0,1)$，都有\[\mathrm{G}_n\bigl((1-λ)\cdot K +_p λ\cdot L + (-1,1)^n\bigr)^{p/n}\geq (1-λ)\mathrm{G}_n(K)^{p/n}+λ\mathrm{G}_n(L)^{p/n}\].我们还表明，这些新的离散类似物（$\mathrm{G}_n(\cdot)$）意味着相应的结果有关的勒贝格测度。
2021-05-24 math.MG
Minkowski's successive minima in convex and discrete geometry
本文综述了Minkowski逐次极小在凸几何与离散几何中的影响，探讨了其与格点计数器、内蕴体积等泛函的关系及相关猜想，并讨论了其在Siegel引理中的应用。
2023-05-17 math.MG
The dual Minkowski problem for negative indices
最近，黄，Lutwak，Yang和Zhang发现了Federer曲率测度的双曲率测度（称为双曲率测度）（ACTA，2016）。在同一篇论文中，他们提出了对偶Minkowski问题，对偶曲率测度的特征问题，并证明了当指标q在（0，n）中时存在结果。对偶Minkowski问题包括Aleksandrov问题（q = 0）和对数Minkowski问题（q = n）作为特殊情况。在目前的工作中，对偶Minkowski问题的一个完整的解决方案，当q < 0，包括存在性和唯一性，提出。
2017-03-01 math.MG
Discrete variants of Brunn-Minkowski type inequalities
我们提出了一个替代的，简短的证明最近离散版本的Brunn-Minkowski不等式由于Lehec和第二命名的作者。我们的证明也产生了Ahlswede和Daykin的四个功能定理以及一些新的变种。
2020-07-23 math.MG math.PR
The Lp Minkowski problem for polytopes for 0 < p < 1
给出了离散Lp Minkowski问题在0 < p < 1的临界情形下解存在的充要条件.
2014-08-02 math.MG
Variational Principles for Minkowski Type Problems, Discrete Optimal Transport, and Discrete Monge-Ampere Equations
本文建立了离散最优输运（DOT）、凸多胞体的Minkowski型问题和离散Monge-Ampere方程（DMAE）的几个相关的有限维变分原理.建立了计算几何中离散的最优输运、离散的Monge-Ampere方程和功率图之间的联系。
2013-02-22 math.DG math.GT math.MG
A Remark on discrete Brunn-Minkowski type inequalities via transportation of measure
本文给出了Halikias、Klartag和作者最近得到的离散Brunn-Minkowski型不等式的另一种证明。这个证明也暗示了这些不等式的更强的加权形式。我们的方法推广了Gozlan，Roberto，Samson和Tetali的测度迁移理论的思想，并给出了格点计数器的熵型不等式的新的位移凸性.
2021-06-07 math.MG math.PR
The Discrete $L_p$ Minkowski Problem for Negative $p$
School of Mathematics, Sichuan University（四川大学数学学院）
本文针对p<0的离散L_p闵可夫斯基问题建立同调存在准则，对具有对径支撑的离散测度给出任意正质量的完整存在性刻画，偶情形下解可原点对称，其中p=-n对应中心仿射情形。
2026-09-02 math.CA math.MG
A curved Brunn--Minkowski inequality on the discrete hypercube
在离散超立方体$\{0,1\}^N$的情况下，我们比较了非光滑空间上里奇曲率的两种方法。虽然粗糙的里奇曲率的第一作者很容易产生一个正值的曲率，位移凸性质的洛特，斯特姆和第二作者不能完全实现。然而，一路走来，我们得到了新的结果的组合和概率性质，包括弯曲Brunn-Minkowski不等式的离散超立方体。
2011-05-19 math.MG math.PR
Chord Measures in Integral Geometry and Their Minkowski Problems
该研究在凸体几何测度家族中新增弦测度家族，提出并探讨其闵可夫斯基问题及对数变体，解决了无正则性假设下的主要情形，正则数据下转化为含对偶均质积分的完全非线性偏微分方程。
2025-02-12 math.MG
The Dual Minkowski Problem under Group Actions
School of Mathematics, Sichuan University（四川大学数学学院）
研究群对称下的对偶Minkowski问题，对于$0<q\le n$，在群$G\subset O(n)$无非零不动点时给出了$G$-不变凸体框架下的完整存在性刻画，并恢复了$G=\{\pm I\}$时的原点对称情形。
2026-05-28 math.MG
A note on Bourgain-Milman's universal constant
本文是对对数Brunn-Minkowski不等式的一个研究结果。利用一个修正的对数Brunn-Minkowski不等式，得到了$\mathbb{R}^n$中关于原点不对称的凸体的体积积的较低估计.
2014-05-31 math.DG math.MG
A generalization of the discrete version of Minkowski's fundamental theorem
闵可夫斯基的几何观点在数论中的最丰硕成果之一是他的所谓第一基本定理。它提供了一个最优的上界的体积的o-对称凸体，其唯一的内部格点是原点。闵可夫斯基还得到了一个离散模拟，通过证明最佳上界的数量格点的边界，这样的凸体。虽然体积不等式已经由van der Corput在20世纪30年代推广到任意数量的内部格点，但离散情况下的相应结果仍有待证明。我们的主要贡献是一个o-对称凸体的边界和内部格点之间的最佳对应关系。证明依赖于一个同余参数和差集估计从加法组合。
2016-02-05 math.CO math.MG
From Brunn-Minkowski to Prékopa-Leindler and Borell-Brascamp-Lieb: discrete inequalities
本文通过Brunn-Minkowski不等式推导出Prékopa-Leindler和Borell-Brascamp-Lieb不等式，并证明了其在整数空间上的离散形式。
2026-02-11 math.CA math.CO math.FA
On Ruzsa's discrete Brunn-Minkowski conjecture
本文证明了Ruzsa关于离散Brunn-Minkowski不等式的猜想，给出了在特定条件下集合和的大小下界。
2023-06-22 math.CO math.MG math.NT
The $L_p$ Minkowski problems on affine dual quermassintegrals
Hebei Normal University（河北师范大学）；East China Normal University（华东师范大学）
本文研究了$L_p$设定下仿射对偶质度积分的闵可夫斯基问题，解决了非对称和对称测度情况下的存在性问题，并在$p=0$时引入并解决了仿射对偶闵可夫斯基问题。
2026-01-16 math.MG
New bounds in the discrete analogue of Minkowski's second theorem
本文通过改编Tao和Vu的论证，给出原点对称凸体所含格点数的改进上界，从而改进并在渐近意义下验证了Betke-Henk-Wills猜想，同时将结果推广到非对称情形。
2024-10-01 math.CO math.MG
A General Method to Determine Limiting Optimal Shapes for Edge-Isoperimetric Inequalities
对于$\mathbb{Z}^n$上的一般图族，我们将边等周问题转化为$\mathbb{R}^n$上的连续等周问题.然后利用Brunn-Minkowski不等式和Minkowski关于混合算子的定理解决连续等周问题。这种转换使我们能够得出结论，在关于离散问题的合理假设下，随着集合的大小增加，离散问题中的最优集合的形状接近连续问题中的最优集合的形状。解是定义为原始图的边的Minkowski和的带拓扑。我们证明了这种方法的有效性，通过重温一些以前解决的经典边缘等周问题。然后，我们将我们的方法应用到一些离散的等周问题，以前没有得到解决。这些解决方案的复杂性表明，仅使用离散方法很难找到它们。
2016-08-23 math.CO math.MG
General volumes in the Orlicz-Brunn-Minkowski theory and a related Minkowski Problem II
最近，对于内部含有原点的函数$G: (0, \infty)\times \sphere\rightarrow (0, \infty)$和$\R^n$中的凸体$K$，引入了广义对偶体积$\dveV(K)$和广义对偶Orlicz曲率测度$\deV(K, \cdot)$.我们扩展$\dveV(K)$和$\deV(K, \cdot)$更一般的功能$G: [0, \infty)\times \sphere\rightarrow [0, \infty)$和紧凑的凸集$K$包含的起源（但不一定在其内部）。给出了一般对偶体积和对偶Orlicz曲率测度的一些基本性质，如对基础集的连续依赖性。这些都需要研究闵可夫斯基型问题的对偶Orlicz曲率措施。我们主要研究了当$G$和$ψ$都增加时的情形，从而补充了我们以前的工作。Minkowski问题要求刻画$\sphere$上的Borel测度$μ$，其中$\R^n$中有一个凸体$K$，包含原点，使得$μ$等于$\deV(K, \cdot)$，直到一个常数。分析中的一个主要步骤涉及离散措施$μ$，我们证明了凸多面体的存在性，包含在其内部解决闵可夫斯基问题的起源。对于一般（不一定是离散的）测量$μ$，我们使用近似参数。这种方法也适用于$G$减少和$ψ$增加的情况，因此增加了我们以前的工作。当测度$μ$为偶数时，在较弱的条件下，给出了$G$和$ψ$上的原点对称凸体…
2018-09-25 math.AP math.DG math.FA
The general dual-polar Orlicz-Minkowski problem
本文系统地研究了一般双极Orlicz-Minkowski问题（例如，问题\ref{general-dual-polar}）。这个问题涉及到最近在\cite{GHWXY, GHXY}中为了研究一般对偶Orlicz-Minkowski问题而提出的一般对偶体积$\widetilde{V}_G(\cdot)$。由于$\widetilde{V}_G(\cdot)$扩展了体积和$q$的对偶体积，一般双极Orlicz-Minkowski问题与最近提出的\cite{GHWXY, GHXY}中的一般对偶Orlicz-Minkowski问题是“极”的，与\cite{LuoYeZhu}中新提出的极Orlicz-Minkowski问题是“对偶”的.证明了一般双极Orlicz-Minkowski问题解的存在性、连续性和唯一性。多面体解决方案和/或反例一般双极Orlicz-Minkowski问题的离散措施也提供。一般双极Orlicz-Minkowski问题的几个变化进行了讨论，以及，特别是一个导致一般Orlicz-Petty机构。
2019-10-05 math.FA math.MG
On polynomial inequalities for cone-volumes of polytopes
Technische Universität Berlin（柏林工业大学）
受离散对数Minkowski问题启发，研究给定矩阵U的锥体积集，证明其为路径连通的半代数集，并定义子空间浓度多胞体，为离散对数Minkowski问题提供新几何视角。
2026-06-19 math.MG
The $p$-capacitary Orlicz-Hadamard variational formula and Orlicz-Minkowski problems
本文将$p\in (1, n)$的$p$ -容性与凸区域的Orlicz加法相结合，建立了$p$ -容性Orlicz-Brunn-Minkowski理论.特别地，引入了两个凸区域的Orlicz $L_ϕ$混合$p$ -容度，并利用$p$ -容度Orlicz-Hadamard变分公式得到了它的几何解释.建立了$p$ -容Orlicz-Brunn-Minkowski不等式和Orlicz-Minkowski不等式，并讨论了这两个不等式的等价性.提出了$p$ -容性Orlicz-Minkowski问题，并在涉及函数和测度的较弱条件下得到了求解.特别地，我们给出了离散和一般测度下的带$q>1$的规范化$p$ -容性$L_q$ Minkowski问题的解.
2017-11-19 math.AP math.FA math.MG
Logarithmic Voronoi polytopes for discrete linear models
本文研究离散线性模型的对数 Voronoi 胞腔，证明内部点处的胞腔均为多胞体且具有相同组合类型，并利用矩阵 B 的余回路和 Gale 图给出其顶点描述，同时分析了单纯形边界及部分线性模型边界上的情形。
2023-11-22 math.CO math.MG math.ST
Discrete logarithmic Sobolev inequalities in Banach spaces
本文在有限余型Banach空间上建立了离散超立方体上与维数无关的向量值Lp对数Sobolev不等式，并利用该不等式给出Hamming立方体非线性商的双Lipschitz畸变新下界。
2023-04-08 math.FA math.MG
New Brunn--Minkowski and functional inequalities via convexity of entropy
Technion - Israel Institute of Technology（以色列理工学院）；Michigan State University（密歇根州立大学）
本文研究了测度的凹性与相对熵的凸性之间的联系，证明了新的中心星形体的Brunn-Minkowski不等式，并通过Gaussian相对熵的凸性得到新的函数不等式。
2026-03-20 cs.IT math.IT math.MG
On the general dual Orlicz-Minkowski problem
对于$K\subseteq \mathbb{R}^n$是一个凸体，其原点在$o$的内部，$ϕ:\mathbb{R}^n\setminus\{o\}\rightarrow(0, \infty)$是一个连续函数，定义了$K$的一般对偶（$L_ϕ)$ Orlicz）quermassintegral。在一定的条件下，我们证明了$K\subseteq \mathbb{R}^n$的一般对偶（$L_ϕ)$ Orlicz）quermassintegral的变分公式，从而给出了$K$的一般对偶（$L_ϕ)$ Orlicz）曲率测度$\widetilde{C}_{ϕ,\mathcal{V}}(K, \cdot)$的定义。我们提出以下一般对偶Orlicz-Minkowski问题：给定一个定义在$S^{n-1}$上的非零有限Borel测度$μ$和一个连续函数$ϕ: \mathbb{R}^n\setminus\{o\}\rightarrow (0, \infty)$，能否找到一个常数$τ>0$和一个凸体$K$（理想地，在其内部包含$o$），使得，} $$μ=τ\widetilde{C}_{ϕ,\mathcal{V}}(K,\cdot)? $$基于Lagrange乘子法和建立的一般对偶（$L_ϕ)$ Orlicz quermass积分的变分公式，提供了一般对偶Orlicz-Minkowski问题的解。在某些特…
2018-02-18 math.AP math.MG
On the convergence rate of the chaos game
本文研究了在一个严格收缩迭代函数系统的吸引子内，混沌博弈的轨道达到一定密度所需的时间，其中我们只假设它的低维是正的。我们发现，这个覆盖时间的增长率是由闵可夫斯基维数的推动向前的移动不变测度与指数衰减的相关性驱动的混沌游戏。此外，我们从上方和下方的覆盖时间的期望值与乘法对数校正项绑定。作为一个应用，对于Bedford-McMullen地毯，我们完全证明了使Bernoulli测度的Minkowski维数最小化的概率向量族。有趣的是，这些载体以前没有出现在贝德福德-麦克马伦地毯的任何其他方面。
2021-12-04 math.CA math.DS math.MG
