The local logarithmic Brunn-Minkowski inequality for zonoids
Ramon van Handel
本文的目的是证明对数型Brunn-Minkowski猜想的局部形式对z成立。该证明使用了Bochner方法的一个变种，由于Shenfeld和作者。
The aim of this note is to show that the local form of the logarithmic Brunn-Minkowski conjecture holds for zonoids. The proof uses a variant of the Bochner method due to Shenfeld and the author.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
General Higher Order $L^p$ Mean Zonoids
本文将 $L^p$ 平均带状体从经典Brunn-Minkowski理论推广到高阶Brunn-Minkowski理论框架，并建立了相应的高阶等周不等式。
Monotonicity of the deficit in the local log-Brunn-Minkowski inequality
本文建立了局部 log-Brunn-Minkowski 不等式亏格在线段加法下的单调性，推证出其可从凸体 K 扩展至 K+Z 并给出 zonoids 的新证明，且在假设有效下确定了光滑凸体等式成立的条件。
On the volume of the Minkowski sum of zonoids
本文研究zonoid的Minkowski和体积相关不等式，证明多个局部几何不等式与体积对数次模性及Dembo-Cover-Thomas猜想等价，并在三维、二维及$L_2$理论中验证或加强结论。
Equivalence of the local and global versions of the $L^p$-Brunn-Minkowski inequality
通过研究强同构多面体的$L^p$ -组合，证明了Böröczky，Lutwak，Yang和Zhang证明的$L^p$ -Brunn-Minkowski不等式等价于Colesanti，Livshyts，Marsiglietti和Kolesnikov，Milman的局部不等式，解决了后者的一个猜想.此外，我们还证明了$2$维上的局部不等式，从而给出了平面上的$L^p$ -Brunn-Minkowski不等式的一个新的证明.
Dual Orlicz-Brunn-Minkowski theory: Orlicz $φ$-radial addition, Orlicz $L_ϕ$-dual mixed volume and related inequalities
本文发展了星体对偶Orlicz-Brunn-Minkowski理论的基本背景。提出了两个或多个星体的Orlicz $φ$ -径向加法，建立了相应的对偶Orlicz-Brunn-Minkowski不等式.基于两个星体的线性Orlicz $φ$ -径向加和，我们导出了Orlicz $L_ϕ$ -对偶混合体积的公式.证明了Orlicz $L_ϕ$ -对偶混合体积的对偶Orlicz-Minkowski不等式、Orlicz $L_ϕ$ -对偶表面积的对偶Orlicz等周不等式和Orlicz $L_ϕ$ -调和平均半径的对偶Orlicz-Urysohn不等式.
On the stability of Brunn-Minkowski type inequalities
Log-Brunn-Minkowski不等式是由Boröczky，Lutwak，Yang和Zhang \cite{BLYZ}建立的，它指出经典Brunn-Minkowski不等式的某种加强在对称凸集的情形下是容许的.最近Nayar，Zvavitch，第二和第三作者\cite{LMNZ}证明了对数凹测度的Log-Brunn-Minkowski不等式蕴含着一定维的Brunn-Minkowski不等式，在Gaussian测度的情况下，Gardner和Zvavitch \cite{GZ}证明了这一点.在本文中，我们得到了球附近旋转不变对数凸测度的Log-Brunn-Minkowski不等式和维数Brunn-Minkowski不等式的稳定性结果。值得注意的是，对称性的假设只对Log-Brunn-Minkowski稳定性是必要的，这强调了两个被证明的不等式之间的重要区别。此外，我们确定了无穷小版本的log-Brunn-Minkowski不等式。作为结果，我们得到了一个强Poincaré型不等式的情况下，无条件凸集，以及对称凸集在平面上。此外，我们推导出一个无穷小的等价版本的B-猜想的任意措施。
From the Brunn-Minkowski inequality to a class of Poincaré type inequalities
给出了一个关于具有光滑边界和正Gauss曲率的凸体边界的Brunn-Minkowski不等式到Poincare型不等式的证明
Functional inequalities derived from the Brunn-Minkowski inequalities for quermassintegrals
利用Brunn-Minkowski不等式在$n$维欧几里得空间中的单位球面上和光滑凸体边界上导出了一类Poincaré型不等式.
A Prékopa-Leindler type inequality of the $L_p$ Brunn-Minkowski inequality
本文证明了$L_p$ Brunn-Minkowski不等式的一个Prékopa-Leindler型不等式.它推广了Das Gupta [8]和Klartag [16]证明的一个不等式，从而恢复了Prékopa-Leindler不等式.此外，我们还证明了一个泛函$L_p$ Minkowski不等式.
A letter: The log-Brunn-Minkowski inequality for complex bodies
在这篇短文中，我们解释了为什么对数-布伦-闵可夫斯基猜想对复杂的凸体是正确的。我们这样做有关的猜想的概念复杂的插值，并呼吁一个一般定理的Cordero-Erausquin。
Dual Orlicz-Brunn-Minkowski theory: dual Orlicz $L_ϕ$ affine and geominimal surface areas
本文旨在发展对偶Orlicz $L_ϕ$仿射和天体几何表面积的基本理论，它属于最近的对偶Orlicz-Brunn-Minkowski天体理论。这些新的仿射不变量的基本属性将提供。建立了相关的Orlicz仿射等周不等式、循环不等式、Santaló型不等式和Alexander-Fenchel型不等式.
On the equality conditions of the Brunn-Minkowski theorem
本文给出了Brunn-Minkowski不等式等式条件的一个新证明。
Brunn-Minkowski inequalities in product metric measure spaces
给定一个度量测度空间$X$满足线性Brunn-Minkowski不等式，另一个度量测度空间$Y$满足指数为$p\ge -1$的Brunn-Minkowski不等式，证明了具有标准乘积距离和测度的乘积$X\times Y$满足$1/(1+p^{-1})$阶Brunn-Minkowski不等式.当我们考虑集合的限制类时，同样的结果也成立。证明了当$Y$满足Prékopa-Leindler不等式时，在$X\times Y$中得到了一个线性Brunn-Minkowski不等式.特别地，我们证明了经典的Brunn-Minkowski不等式对$\mathbb{R}^n$中的任何一对弱无条件集都成立（即，当我们考虑密度正减的$n$一维实测度的标准距离和积测度时，这产生了满足Gaussian Brunn-Minkowski不等式的集合类的改进。此外，从我们的结果导出了相关的等周不等式以及最近得到的Brunn-Minkowski不等式.
Brunn-Minkowski and Reverse Isoperimetric Inequalities for Dual Quermassintegrals
本文在对偶Brunn-Minkowski理论中建立了两个新几何不等式：证明了Lutwak猜想的原点对称凸体对偶均质积分的Brunn-Minkowski不等式，并推广Ball体积比不等式得出在John位置下立方体最大化对偶均质积分的逆向等周不等式。
Quantitative stability for the Brunn-Minkowski inequality
证明了Brunn-Minkowski不等式的一个定量稳定性结果：如果$|A|=|B|=1$，$t \in [τ,1-τ]$与$τ>0$，以及对于一些小的$δ$的$|tA+(1-t)B|^{1/n}\leq 1+δ$，那么，直到一个平移，$A$和$B$都定量地接近（就$δ$而言）一个凸集$K$ .
Magnetic Brunn-Minkowski inequalities
研究黎曼流形上由磁性测地线定义的闵可夫斯基平均，建立Brunn-Minkowski不等式与磁性里奇曲率下界的等价性，并在海森堡群上证明尖锐的接触磁性Brunn-Minkowski不等式。
On the $L_p$-Brunn-Minkowski and dimensional Brunn-Minkowski conjectures for log-concave measures
本文在统一的框架下研究了Brunn-Minkowski型不等式中对称性的作用，如Böröczky，Lutwak，Yang和Zhang的$L_p$ -Brunn-Minkowski猜想，Gardner和Zvavitch的维数Brunn-Minkowski猜想.我们得到了一些新的结果。证明了当$K\subset L,$时，$L_p$ -Minkowski猜想的乘法形式对$p\geq 1-Cn^{-0.75}$的勒贝格测度成立，这改进了Kolesnikov和Milman在一个物体包含在另一个物体中的部分情况下的估计.我们还表明，乘法版本的$L_p$ -Brunn-Minkowski猜想的标准高斯测度的情况下，集包含足够大的球（其半径取决于$p$）。特别地，当$K$和$L$包含$\sqrt{0.5 (n+1)}B_2^n.$时，Gaussian Log-Brunn-Minkowski猜想成立.我们对对数凹测度提出了一个先验更强的猜想，推广了$L_p$ -Brunn-Minkowski猜想和维数猜想，并在集合是扩张的且测度是Gaussian的情况下验证了该猜想.我们还表明，对数-布伦-闵可夫斯基猜想，如果验证，将产生这个更一般的家庭的不平等。我们的结果建立在Kolesnikov和Milman以及Colesanti，Livshyts，Marsiglietti开发的方法上。我们进一步验证，这些结…
Diagonal Minkowski classes, zonoid equivalence, and stable laws
我们考虑从一个原点对称凸体$K$通过与对角矩阵相乘，通过形成变换集的Minkowski和，以及通过在Hausdorff度量中取极限而得到的凸体族。这些凸体的支撑函数由对角矩阵族上的测度的积分变换产生，等价地，在欧几里得空间上，我们称之为$K$ -变换。在特殊情况下，如果$K$是一个不位于任何坐标超平面上的线段，则得到zeros族和余弦变换。在这种情况下，两个事实是已知的：由zero-z的支撑函数生成的向量空间在原点对称凸体的支撑函数族中是稠密的;并且余弦变换是内射的。我们表明，这两个属性是等价的一般$K$。对于$K$是一个广义zeroised，我们确定的条件，确保注入的$K$变换。关系到混合体积和几何描述的片面稳定的法律进行了讨论。后来的概率应用引起了家庭的凸体作为限制的总和对角缩放$\ell_p$ -球。
Interpolation, Prekopa and Brunn-Minkowski for $F$-subharmonicity
我们将Prekopa定理和Brunn-Minkowski定理从凸性推广到$F$ -次调和性。我们将其应用到插值问题的凸函数和凸集引入一个新的概念“调和插值”，我们认为作为一个推广的Minkowski加法。
The local logarithmic Brunn-Minkowski inequality for bodies of revolution
本文证明了旋转体的局部对数Brunn-Minkowski不等式，并推广至非对称旋转体，限制了等号成立的可能情况，采用算子理论和球函数的分解方法。
A direct proof of the Brunn-Minkowski inequality in Nilpotent Lie groups
本文的目的是在欧几里得空间中经典Brunn-Minkowski不等式的Hadwiger-Ohmann的基础上，给出幂零李群中乘法Brunn-Minkowski不等式的一个直接证明.
Volume inequalities and additive maps of convex bodies
推广了凸体旋转缠绕可加映射的Brunn-Minkowski理论中经典不等式的类似结果。类比也证明了不等式的对偶Brunn-Minkowski理论的交织加性映射的星体。这些不等式推广了投影体和相交体的结果。作为推论，得到了极投影体体积的一个新的Brunn-Minkowski不等式。
The Dual Orlicz-Brunn-Minkowski Theory
本文介绍了星集的对偶Orlicz-Brunn-Minkowski理论。提出了两个或多个星集的径向Orlicz加法，并建立了相应的对偶Orlicz-Brunn-Minkowski不等式.基于两个星集的径向Orlicz线性组合，导出了对偶Orlicz混合体积公式，并证明了相应的对偶Orlicz-Minkowski不等式.这些不等式作为特殊情况证明了Böröczky、Lutwak、Yang和Zhang的严格对数Brunn-Minkowski不等式和对数Minkowski不等式的精确解。一个新的除了星集称为径向$M$ -此外还介绍和示出有关的径向Orlicz此外。
Affine isoperimetric inequalities in the functional Orlicz-Brunn-Minkowski theory
本文发展了凸函数和$s$ -凹函数的Orlicz仿射和几何最小曲面面积的基本理论。证明了这些新引入的泛函仿射不变量的一些基本性质，并建立了相关的泛函仿射等周不等式和泛函Santaló型不等式.
The Orlicz-Brunn-Minkowski theory: A general framework, additions, and inequalities
由Lutwak、Yang和Zhang提出的Orlicz-Brunn-Minkowski理论是经典Brunn-Minkowski理论的一个新的推广。它代表了$L_p$ -Brunn-Minkowski理论的推广，类似于Orlicz空间推广$L_p$空间的方式。对于适当的凸函数$φ:[0,\infty)^m\to [0,\infty)$，提出了一种组合$\R^n$中任意集合的新方法.这个运算称为Orlicz加法，用$+_φ$表示，它有几个理想的性质，但不是结合的，除非它简化为$L_p$加法。一个一般的框架介绍了Orlicz-Brunn-Minkowski理论，其中包括新的除了和以前介绍的概念，并首次明确的关系，Orlicz空间和规范。它也表明，Orlicz除了是密切相关的一个自然的和基本的推广Minkowski除了称为$M$ -加法。得到的结果表明，粗略地说，Orlicz-Brunn-Minkowski理论是最一般的可能的基础上，除了保留所有的基本几何性质所享有的$L_p$ -Brunn-Minkowski理论。得到了$M$ -加法和Orlicz加法的Brunn-Minkowski型不等式.新的Orlicz-Brunn-Minkowski不等式蕴涵了$L_p$ -Brunn-Minkowski不等式.得到了新的Orlicz-Minkowski不等式，推广了$L_p$ -Minkowsk…
Brunn-Minkowski type inequalities for the lattice point enumerator
给出了格点计数器$\mathrm{G}_n(\cdot)$的几何和泛函Brunn-Minkowski型不等式.特别地，我们证明了$$\mathrm{G}_n((1-λ)K + λL + (-1,1)^n)^{1/n}\geq (1-λ)\mathrm{G}_n(K)^{1/n}+λ\mathrm{G}_n(L)^{1/n}$$对任何非空有界集$K, L\subset\mathbb{R}^n$和所有$λ\in(0,1)$ .我们还证明了这些新的离散形式蕴涵了经典的结果，并讨论了与其他相关不等式的联系。
Sharp quantitative stability of the planar Brunn-Minkowski inequality
我们证明了$A,B\subset\mathbb{R}^2$的Brunn-Minkowski不等式的一个尖锐的稳定性结果。假设Brunn-Minkowski亏格$δ=|A+B|^{\frac{1}{2}}/(|A|^\frac12+|B|^\frac12)-1$在$t=|A|^{\frac{1}{2}}/(|A|^{\frac{1}{2}}+|B|^{\frac{1}{2}})$方面足够小，则存在位似凸集$K_A \supset A$和$K_B\supset B$使得$\frac{|K_A\setminus A|}{|A|}+\frac{|K_B\setminus B|}{|B|} \le C t^{-\frac{1}{2}}δ^{\frac{1}{2}}$。关键要素是显示每个$ε>0$，如果$δ$足够小，则显示$|co(A+B)\setminus (A+B)|\le (1+ε)(|co(A)\setminus A|+|co(B)\setminus B|)$。
A unified treatment for Lp Brunn-Minkowski type inequalities
本文改进了一种将经典Brunn-Minkowski型不等式推广为Lp Brunn-Minkowski型不等式的统一方法，称为Lp转移原理.作为该方法的有效性和实用性的例证，建立了关于混合体积、转动惯量、质量积分、投影体和容量的几个新的Lp Brunn-Minkowski型不等式.
The dimensional Brunn-Minkowski inequality in Gauss space
令$γ_n$为$\mathbb{R}^n$上的标准高斯测度。我们证明了对于每个对称凸集$K,L$在$\mathbb{R}^n$和每个$λ\in(0,1)$，$$γ_n(λK+(1-λ)L)^{\frac{1}{n}} \geq λγ_n(K)^{\frac{1}{n}}+(1-λ)γ_n(L)^{\frac{1}{n}},$$，从而解决了Gardner和Zvavitch（2010）提出的问题。这是经典Brunn-Minkowski不等式对于勒贝格测度的高斯模拟。我们还表明，对于一个固定的$λ\in(0,1)$，达到平等的当且仅当$K=L$。
The Brunn--Minkowski inequality implies the CD condition in weighted Riemannian manifolds
曲率维数条件CD（K，N）是由Sturm和Lott-Villani提出的一个综合概念，它是在非光滑情形下，曲率有界，维数有界.这个条件是Brunn-Minkowski不等式的一个适当的推广，记作BM（K，N）.本文讨论了加权黎曼流形的逆蕴涵，证明了BM（K，N）实际上等价于CD（K，N）.我们的结果允许的曲率维数条件下，既不使用最佳的运输，也不使用流形的微分结构的特点。
A strengthening of the dimensional Brunn-Minkowski conjecture implies the (B)-conjecture
本文证明了维度Brunn-Minkowski猜想的加强形式可推导出(B)-猜想，并通过遗传凸测度提供了该结论的替代证明。
Logarithmic Brunn--Minkowski Inequality under $n-2$ Reflection Symmetries
该研究证明了具有n-2个正交超平面对称性的原点对称凸体的对数Brunn-Minkowski不等式，讨论其等号情况与对数Minkowski问题的唯一性，并将不等式推广到特定对数凹测度。
Brunn-Minkowski inequalities for sprays on surfaces
该研究推广了黎曼流形子集的Minkowski平均，刻画了曲面上满足Brunn-Minkowski不等式的曲线族，证明常速曲线族满足该不等式的充要条件。
A discrete version and stability of Brunn Minkowski inequality
在本文的第一部分中，我们定义了一个近似的Brunn-Minkowski不等式，它推广了长度空间中的经典不等式。我们的新定义只基于距离性质，使我们也可以处理离散空间。在度量测度空间收敛的条件下，证明了新不等式的稳定性。这个结果作为推论给出了经典Brunn-Minkowski不等式在测地空间上的稳定性。这种稳定性的证明是针对不同的不等式（曲率维数不等式，度量收缩性质），但据我们所知，没有Brunn-Minkowski一个。第二部分证明了满足经典Brunn-Minkowski不等式的度量测度空间都可以用具有近似Brunn-Minkowski不等式的离散空间来近似。
Stability of the log-Brunn-Minkowski inequality in the case of many hyperplane symmetries
本文在n个独立线性超平面对称条件下，建立了凸体的对数Brunn-Minkowski不等式与对数Minkowski不等式的稳定性版本。
On the analogue of the concavity of entropy power in the Brunn-Minkowski theory
Costa和Cover在{ \it On the similarity of the entropy power inequality and Brunn-Minkowski inequality}（IEEE Trans. Inform. Theory 30（1984），no. 6，837-839）可测集的外部平行体积的$\frac{1}{n}$ -熵作为熵功率的熵的模拟。我们研究了这个猜想，并研究了它与几何不等式的关系。
A note on an $L^p$-Brunn-Minkowski inequality for convex measures in the unconditional case
我们考虑一个不同的$L^p$ -Minkowski组合的紧集$\mathbb{R}^n$比Firey介绍的，我们证明了一个$L^p$ -Brunn-Minkowski不等式，$p \in [0,1]$，一般类的措施称为凸措施，包括日志凹措施，在无条件的假设。因此，我们得到了函数$t \mapsto μ(t^{\frac{1}{p}} A)$，$p \in (0,1]$，无条件凸测度$μ$和无条件凸体$A$在$\mathbb{R}^n$。我们还证明了所有一致测度的（B）-猜想等价于所有对数凹测度的（B）-猜想，完成了Saroglou最近的工作。
The equivalence between timelike Ricci curvature and the timelike Brunn Minkowski inequality on synthetic Lorentzian spaces
本文研究了合成洛伦兹空间中时序里奇曲率与时序Brunn-Minkowski不等式的关系，证明了在时序q-非分支设定下，q-时序曲率维度条件与时序Brunn-Minkowski条件等价，扩展了在非光滑设定下的研究成果。
Hyperbolic $p$-sum and Horospherical $p$-Brunn-Minkowski theory in hyperbolic space
经典的Brunn-Minkowski理论利用Minkowski和研究欧氏空间中凸体的几何。它起源于H。Brunn在1887年的论文和H.闵可夫斯基1903年的论文。由于双曲空间中两个集合之和没有公认的定义，因此自1903年以来，双曲空间中就没有Brunn-Minkowski理论。本文在双曲空间中，对任意的$p>0$，引入了两个集合的和，称之为双曲$p$ -和.然后利用我们的双曲$p$ -和在双曲空间中建立了一个Brunn-Minkowski理论，我们称之为时球$p$ -Brunn-Minkowski理论.设$K$是双曲空间$\mathbb{H}^{n+1}$中的光滑均匀凸有界域.通过利用我们的双曲$p$ -和计算$K$的$k$ -次修正质量积分的变化，我们引入了单位球$\mathbb{S}^n$上与$K$相关的准球面$k$ -次$p$ -表面积测度.对于$k=0$，我们引入了准球面$p$ -Minkowski问题，这是一个规定的准球面$p$ -表面积测量问题.通过设计和研究一个新的保体积流，解决了当给定测度为偶数时，对所有$p \in (-\infty,+\infty)$，半球$p$ -Minkowski问题解的存在性.对于$1 \leq k \leq n-1$，我们引入了准球面$p$ -Christoffel-Minkowski问题，它是准球面$k$ -次$p$ -表面积测量问题…
General volumes in the Orlicz-Brunn-Minkowski theory and a related Minkowski Problem I
引入了星形体的广义体积概念，它包括通常体积、$q$第二对偶体积以及许多先前类型的对偶混合体积。针对Lutwak，Yang和Zhang最近提出的$(p,q)$ -对偶曲率测度，定义了一个相应的新的广义对偶Orlicz曲率测度.建立了两类Orlicz线性组合的一般体积的一般变分公式。其中之一是适用于闵可夫斯基问题的新的一般对偶Orlicz曲率措施，特别是解决闵可夫斯基问题所提出的Lutwak，杨，张为$(p,q)$ -对偶曲率措施时，$p>0$和$q<0$。得到了一般体积的对偶Orlicz-Brunn-Minkowski不等式，以及星体的对偶Orlicz-Minkowski型不等式和唯一性结果.最后，一个非常普遍的Minkowski型不等式，涉及两个Orlicz功能，两个凸体，和一个星体，证明，其中包括作为特殊情况下，其他几个在文献中，特别是一个由于Lutwak，杨，张$(p,q)$ -混合体积。
Mixed volumes of zonoids and the absolute value of the Grassmannian
该研究提出组合框架，将带形域混合体积与格拉斯曼流形绝对值研究相联。利用多面体计算，在(n,d)=(6,2)和(6,3)时得出 d 维中 n 个带形域新不等式族，其具有在各带形域中闵可夫斯基线性的特殊特征。
Weighted Brunn-Minkowski Theory I: On Weighted Surface Area Measures
本文将 Brunn-Minkowski 理论推广到带密度 Borel 测度，建立至多三个凸体的加权混合测度与加权表面积测度，给出新积分公式，并证明旋转不变对数凹测度的 Bézout 型不等式。
Discrete variants of Brunn-Minkowski type inequalities
我们提出了一个替代的，简短的证明最近离散版本的Brunn-Minkowski不等式由于Lehec和第二命名的作者。我们的证明也产生了Ahlswede和Daykin的四个功能定理以及一些新的变种。
The centered logarithmic Brunn--Minkowski inequality
该研究证明了中心凸体的对数Brunn--Minkowski和对数Minkowski不等式，刻画了锥体积测度相同的条件，并推广到L_p情形，建立了表面积测度的唯一性。
Complemented Brunn-Minkowski Inequalities and Isoperimetry for Homogeneous and Non-Homogeneous Measures
给出了赋范空间$(\mathbb{R}^n,||\cdot||)$上尖锐等周不等式的初等证明，该赋范空间具有测度$μ= w(x) dx$，使得$w^p$是齐次的，并给出了相应等式情形的特征.当假定$p \in (0,\infty]$和另外$w^p$是凹的时，结果是经典Brunn-Minkowski不等式的Borell-Brascamp-Lieb推广的直接推论，为Cabré-Ros Oton-Serra最近的一个结果提供了初等证明.当$p \in (-1/n,0)$时，相应的性质是一个新的“补Brunn-Minkowski”不等式，证明了当$w^p$是齐次的时，$μ$总是满足这个不等式.这就产生了一类新的措施，这是“补充”的类似物类的凸措施介绍了博雷尔，但有很大不同的性质。由此得到的等周不等式和等周极小元的刻画超越了Cañete-Rosales和Howe的最近结果。等周不等式和Brunn-Minkowski型不等式推广到非齐次情形，在一定的对数凸性假设下的密度。最后，我们得到的功能，Sobolev和纳什型版本的研究不等式。
From Brunn-Minkowski to Prékopa-Leindler and Borell-Brascamp-Lieb: discrete inequalities
本文通过Brunn-Minkowski不等式推导出Prékopa-Leindler和Borell-Brascamp-Lieb不等式，并证明了其在整数空间上的离散形式。
Weighted Brunn-Minkowski Theory II: Inequalities for Mixed Measures and Applications
本文提出混合测度的不等式及其实用性，揭示了测度的超模性与Lebesgue测度的关系。
Sharp Stability of Brunn-Minkowski for Homothetic Regions
我们证明了一个尖锐的稳定性结果如何密切的位似集达到近平等的Brunn-Minkowski不等式是凸的。特别地，解决了Figalli和Jerison的一个猜想，证明了存在普适常数$C_n,d_n>0$使得对于正测度的$A \subset \mathbb{R}^n$，如果$|\frac{A+A}{2}\setminus A| \le d_n |A|$，则$|\operatorname{co}(A)\setminus A| \le C_n |\frac{A+A}{2}\setminus A|$对于$\operatorname{co}(A)$是$A$的凸包.
Dimensionality and the stability of the Brunn-Minkowski inequality
我们证明了凸集上Brunn-Minkowski不等式的稳定性估计。与现有的稳定性结果不同，我们的估计随着维数的增加而提高。我们的结果等价于一个薄壳界，它是凸集中心极限定理证明中的重要组成部分之一。
On $p$-Brunn-Minkowski inequalities for intrinsic volumes with $0\leq p<1$
本文证明了对于$0\le p<1$，在单位球邻域内的$\mathbb{R}^n$中凸体的固有体积$V_k$，$k=2,\dots, n-1$的$p$-Brunn-Minkowski不等式的有效性.证明了当$p$充分接近$0$时，这个不等式在$\mathbb{R}^n$的整个凸体类上不成立.
A characterization of some mixed volumes via the Brunn-Minkowski inequality
考虑凸体空间上的泛函$\R^n$，定义如下：${\mathcal F}(K)$是固定连续函数$f$关于凸体$K$的面积测度在单位球面上的积分.证明了如果$\mathcal F$满足Brunn-Minkowski型不等式，则$f$是凸体的支撑函数，即，$\mathcal F$是混合体积。因此，我们得到了平移不变的，连续的赋值是齐次的$n-1$和满足Brunn-Minkowski型不等式的一个特征。
Functional Brunn-Minkowski Inequalities Induced by Polarity
证明了一类新的不等式，它比较了非负函数的几何卷积的积分与原函数的积分。对于经典的下卷积，这种类型的不等式被称为Prékopa-Leindler不等式，它限制于凸体的指标，给出了经典的Brunn-Minkowski不等式。我们考虑的卷积是一个不同的卷积，它产生于对函数极性变换的研究。虽然下卷积产生的勒让德变换下的凸函数的通常添加的拉回，我们的几何下卷积产生的几何凸函数的二阶逆变换（称为极性变换或$A$ -变换）的拉回。这些是，直到线性项，唯一的顺序逆转同构类的几何凸函数。我们证明了这两个函数的新的几何卷积的积分是有界的，从下面的调和平均的个人积分。我们的不等式包含Brunn-Minkowski不等式，以及其他一些新的关于物体体积的不等式。我们的不等式是密切相关的Busemann的凸性定理，一个新的变种，我们证明1-凸包和对数凹密度。
A Remark on discrete Brunn-Minkowski type inequalities via transportation of measure
本文给出了Halikias、Klartag和作者最近得到的离散Brunn-Minkowski型不等式的另一种证明。这个证明也暗示了这些不等式的更强的加权形式。我们的方法推广了Gozlan，Roberto，Samson和Tetali的测度迁移理论的思想，并给出了格点计数器的熵型不等式的新的位移凸性.
Geometric measures in the dual Brunn-Minkowski theory and their associated Minkowski problems
本文回答了凸体 Federer 曲率测度的对偶类似物这一长期问题，并建立涉及测度集中性的充分条件，证明对偶 Minkowski 型问题解的存在性。
A nonabelian Brunn-Minkowski inequality II
该研究证明非紧李维数为n的单模局部紧群满足严格非阿贝尔布伦-闵可夫斯基不等式，建立了一般形式并证实相关猜想，还应用得到非紧型对称空间的等周不等式。
The Reverse-log-Brunn-Minkowski inequality
本文提出了逆向-log-Brunn-Minkowski不等式猜想，证明了其与正向LBM猜想的等价性并建立“逆向到正向”原理，借此给出了二维LBM不等式及zonoid情形下LM不等式的新证明与等号条件刻画。
A very short unified proof of Dar's conjecture and Log-Brunn--Minkowski in the plane
本文给出Dar猜想与平面log-Brunn--Minkowski不等式的极短统一证明，通过建立$p\in[-\infty,0]$的平面$L_p$-Brunn-Minkowski不等式，并在$p=0$和$p=-\infty$处导出关键结果，进而提出高维推广猜想。
On the Gardner-Zvavitch conjecture: symmetry in the inequalities of Brunn-Minkowski type
本文研究Gardner和Zvavitch从\cite{GZ}中提出的猜想，证明了标准高斯测度$γ$关于\textbf{symmetric}凸集的Minkowski加法具有$\frac{1}{n}$ -可积性.我们证明了这一事实的一个因素的2：也就是说，我们表明，对称凸$K$和$L,$ $$ γ(λK+(1-λ)L)^{\frac{1}{2n}}\geq λγ(K)^{\frac{1}{2n}}+(1-λ)γ(L)^{\frac{1}{2n}}. $$此外，我们表明，在适当的无量纲的统一界限上的潜在的海森，甚至措施的对数可以加强到$p$，与$p>0,$相对于对称凸集的添加。
A curved Brunn--Minkowski inequality on the discrete hypercube
在离散超立方体$\{0,1\}^N$的情况下，我们比较了非光滑空间上里奇曲率的两种方法。虽然粗糙的里奇曲率的第一作者很容易产生一个正值的曲率，位移凸性质的洛特，斯特姆和第二作者不能完全实现。然而，一路走来，我们得到了新的结果的组合和概率性质，包括弯曲Brunn-Minkowski不等式的离散超立方体。
A Brunn-Minkowski theory for coconvex sets of finite volume
设$C$是${\mathbb R}^n$中的凸闭锥，有点且有内点.我们考虑$A=C\setminus A^\bullet$形式的集合，其中$A^\bullet\subset C$是闭凸集。若$A$具有有限体积（勒贝格测度），则称$A$为$C$ -共凸集. $C$ -共凸集族在$C\setminus(A_1\oplus A_2)= (C\setminus A_1)+(C\setminus A_2)$定义的加法$\oplus$下是闭的.我们开发的第一步的Brunn-闵可夫斯基理论的$C$ -共凸集，这涉及到除了体积的概念。特别地，我们建立了Brunn-Minkowski型不等式（不等式符号相反）的等式条件，引入了混合体积及其整表示，证明了等表面积测度下$C$ -共凸集的Minkowski型唯一性定理.
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