Scattering for the Zakharov system in 3 dimensions
Zaher Hani, Fabio Pusateri, Jalal Shatah
我们证明了3维空间中Zakharov系统Cauchy问题小局部解的整体存在性和分散性。波分量以最佳速率t^{-1}逐点衰减，而薛定谔分量几乎以速率t^{-7/6}衰减。
We prove global existence and scattering for small localized solutions of the Cauchy problem for the Zakharov system in 3 space dimensions. The wave component is shown to decay pointwise at the optimal rate of t^{-1}, whereas the Schrödinger component decays almost at a rate of t^{-7/6}.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Small energy scattering for the Klein-Gordon-Zakharov system with radial symmetry
我们证明了具有径向对称性的三维Klein-Gordon-Zakharov系统的小能量散射。其证明思想与\cite{GN}中研究的Zakharov系统相同，即结合正规形约化和径向改进的Zakhartz估计
Small energy scattering for the Zakharov system with radial symmetry
我们证明了具有径向对称性的3D Zakharov系统的小能量散射。主要成分是正规形约化和径向改进的Eschhartz估计。
Scattering problem for Zakharov-Kuznetsov equation in three space dimensions
本文在三维空间中研究Zakharov-Kuznetsov方程的散射问题，构造了一个全局解，该解能够散射到给定的自由解，且不假设渐近状态的大小条件。
Small energy scattering for radial solutions to the generalized Zakharov system
本文基于Guo-Nakanishi思想，利用频率局部化正规形约化和径向改进的Strichartz估计，证明了三维广义Zakharov系统径向解的小能量散射，并处理了积分方程与微分方程的关系。
Scattering for the magnetic Zakharov system in 3 dimensions
本文研究了三维磁Zakharov系统解的整体存在性与散射，利用时空共振法、加权Sobolev空间和色散估计证明了小初值下解的光滑整体存在性、散射及衰减率。
We consider the Zakharov system in the energy critical dimension $d=4$ with energy below the ground state. It is known that below the ground state solutions exist globally in time, and scatter in the radial case. Scattering below the ground state in the non-radial case is an open question. We show that if scattering fails, then there exists a minimal energy non-scattering solution below the ground state. Moreover the orbit of this solution is precompact modulo translations. The proof follows by a concentration compactness argument, together with a refined small data theory for energy dispersed…
Scattering for the 4D Zakharov system below the ground state
研究四维Zakharov系统在基态势阱内所有能量空间解的全局存在性与散射，通过排除预紧解完成证明。
A note on the 2D generalized Zakharov-Kuznetsov equation: local, global, and scattering results
考虑广义二维Zakharov-Kuznetsov方程$u_t+\partial_x Δu+\partial_x(u^{k+1})=0$，其中$k\geq3$为整数.对于$k\geq8$，我们证明了基于$L^2$的索伯列夫空间$H^s(\mathbb{R}^2)$的局部适定性，其中$s$大于临界标度指数$s_k=1-2/k$ .对于$k\geq 3$，我们还建立了一个尖锐的标准，以获得整体$H^1(\R^2)$的解决方案。假设初始数据很小且属于合适的勒贝格空间，还建立了$H^1(\R^2)$中的非线性散射结果。
Scattering of the 2D modified Zakharov-Kuznetsov equation
研究二维修正Zakharov-Kuznetsov方程，证明小且局部化初值解的长时间散射，方法为时空共振。
On the global well-posedness and scattering of the 3D Klein-Gordon-Zakharov system
本文研究了三维Klein-Gordon-Zakharov系统在小初始数据下的整体适定性，通过改进的Alinhac幽灵权重方法和正则形式型估计证明了全局解能量的一致有界性。
Generalized Strichartz estimates and scattering for 3D Zakharov system
在角正则度为1的能量空间中，我们得到了非径向小数据的三维Zakharov系统的散射。主要内容是薛定谔方程在$L^2$角可积空间中的广义Schihartz估计。
Scattering and well-posedness for the Zakharov system at a critical space in four and more spatial dimensions
本文研究了空间维$d\ge 4$中Zakharov系统的Cauchy问题，初值为$(u(0), n(0), \partial_t n(0)) \in H^k(\mathbb{R}^d) \times \dot{H}^l(\mathbb{R}^d)\times \dot{H}^{l-1}(\mathbb{R}^d)$ .根据Ginibre、Tsutsumi和Velo的观点，$(k,l)$的临界指数是$((d-3)/2,(d-4)/2)$。我们证明了在临界空间的散射性和小数据全局适定性。仅仅应用Koch-Tataru引入的$U^2,\ V^2$型空间似乎很难得到关键的双线性估计。为了避免这个困难，我们使用了一个$V^2$型空间和时空Lebesgue空间$L^2_tL_x^{2d/(d-2)}$的交集空间，它与端点的Lebhartz估计有关。
Global dynamics below the ground state energy for the Zakharov system in the 3D radial case
我们考虑Zakharov系统在3D径向情况下的基态能量以下的全局动力学。我们得到了散射和增长之间的二分法。
We are interested in the Klein-Gordon-Zakharov system in $\mathbb{R}^{1+2}$, which is an important model in plasma physics with extensive mathematical studies. The system can be regarded as semilinear coupled wave and Klein-Gordon equations with nonlinearities violating the null conditions. Without the compactness assumptions on the initial data, we aim to establish the existence of small global solutions, and in addition, we want to illustrate the optimal pointwise decay of the solutions. Furthermore, we show that the Klein-Gordon part of the system enjoys linear scattering while the wave par…
Global well-posedness and scattering for the 2D modified Zakharov-Kuznetsov equation
本研究针对二维修正Zakharov-Kuznetsov方程的柯西问题，引入标度与经典$H^s$空间一致的双参数函数空间，证明了特定参数范围下的局部适定性，以及小初值时的全局适定性与散射性，且结果在$C^3$流意义下最优。
Well-posedness and scattering for the Zakharov system in four dimensions
考虑了四维Zakharov系统的Cauchy问题。得到了一些新的适定性结果。对于小的初始数据，证明了全局适定性和散射结果，包括初始数据在能量空间中的情况。这些结果都不限于径向对称数据。
Global dynamics below the ground state energy for the Klein-Gordon-Zakharov system in the 3D radial case
在三维径向情形下，我们考虑了Klein-Gordon-Zakharov系统基态能量以下的整体动力学，得到了散射和有限时间爆破的二分法。
Scattering of the 3D Zakharov-Kuznetsov equation
本文研究三维Zakharov-Kuznetsov方程的全局解散射性质，采用时空共振方法和部分对称性方法，引入各向异性加权范数，证明散射估计和先验估计。
Scattering theory for the Zakharov system
研究了三维空间中Zakharov系统的散射理论。我们证明了特别是存在的波算子的系统，没有大小限制的数据在更大的空间和更一般的渐近状态比以前考虑的，我们确定收敛速度的时间范围内的波算子的解决方案的基本线性系的解决方案。我们还考虑了相同的系统在空间维2，在那里我们证明了存在的波算子的特殊情况下消失的渐近数据的波场。
Global solutions with infinite energy for the 1-dimensional Zakharov system
1维Zakharov系统被证明有一个唯一的整体解决方案的数据没有有限的能量。证明使用Colliander，Keel，Staffilani，Takaoka和Tao介绍的“I-方法”，并结合改进的双线性Strichatz估计。
The Zakharov system in 4D radial energy space below the ground state
我们证明了动力学二分法到散射和爆破（在弱意义上）的所有径向解决方案的Zakharov系统在能量空间的四维空间，具有小于基态的能量，这是书面使用Aubin-Talenti功能。二分法的特点是临界质量的波分量的基态。所得结果与Kenig和Merle对能量临界非线性薛定谔方程（NLS）的结果相似。然而，与NLS不同，证明中最困难的相互作用源于自由波分量。为了控制它，主要的新成分，我们在本文中开发的是一个统一的全球Schrodinger方程的亚临界质量的潜在解决波动方程的Schrodinger估计。这一估计，以及证据，可能是独立的利益。对于散射证明，我们遵循Dodson和Murphy的想法。
Existence of traveling waves for the two-dimensional Zakharov system
本文利用不动点论证方法，构造了二维Zakharov系统中任意小速度的孤立波，并研究了其渐进行为。
We are interested in the long time asymptotic behavoir of solutions to the scalar Zakharov system \[ i u_{t} + Δu = nu,\] \[n_{tt} - Δn= Δ|u|^2\] and the Klein-Gordon Zakharov system \[ u_{tt} - Δu + u = - nu,\] \[ n_{tt} - Δn= Δ|u|^2\] in one dimension of space. For these two systems, we give two results proving decay of solutions for initial data in the energy space. The first result deals with decay over compact intervals asuming smallness and parity conditions ($u$ odd). The second result proves decay in far field regions along curves for solutions whose growth can be dominated by an incre…
We consider the final-state problem for the Zakharov system in the energy space in three space dimensions. For $(u_+, v_+) \in H^1 \times L^2$ without any size restriction, symmetry assumption or additional angular regularity, we perform a physical-space randomization on $u_+$ and an angular randomization on $v_+$ yielding random final states $(u_+^ω, v_+^ω)$. We obtain that for almost every $ω$, there is a unique solution of the Zakharov system scattering to the final state $(u_+^ω, v_+^ω)$. The key ingredient in the proof is the use of time-weighted norms and generalized Strichartz estimates…
An initial-boundary value problem for the n-dimensional ($n$ is a natural number from the interval [2,7]) Kuramoto-Sivashinsky-Zakharov-Kuznetsov equation posed on smooth bounded domains in $\mathbb{R}^n$ was considered. The existence and uniqueness of global regular solutions as well as their exponential decay have been established. A connection between an order of the stationary part of the equation and admissible dimensions of a domain has been revealed. Keywords: Kuramoto-Sivashinsky equation, Zakharov-Kuznetsov equation, Global solutions
Well-Posedness for the Two-dimensional Zakharov-Kuznetsov Equation
利用I-方法证明了二维Zakharov-Kuznetsov方程在$H^{s}({\mathbb{R}^2})$中当$\frac{11}{13}<s<1$时的整体适定性.此外，利用原子空间，建立了对称化ZK方程在$ B^\frac{1}{2}_{2,1}(\mathbb{R}^2)$中的局部适定性.
A Remark on the modified Zakharov-Kuznetsov equation in three space dimensions
本文证明了三维空间中修正的Zakharov-Kuznetsov方程的Cauchy问题在$H^s(\R^3)$中是局部适定的，对于$s > \frac12$ .结合质量和能量守恒，这一结果意味着全球适定性小数据在$H^1(\R^3)$。
Global Well-Posedness and Global Attractor for Two-dimensional Zakharov-Kuznetsov Equation
在原子空间中，利用$I$ -方法，证明了二维Zakharov-Kuznetsov方程初值问题在$H^s({\mathbb{R}^2})$中对所有$\frac{5}{7}<s<1$是整体适定的.在$H^s({\mathbb{R}^2})$中，利用修正能量的增量，对$\frac{10}{11}<s<1$建立了弱阻尼受迫Zakharov-Kuznetsov方程整体吸引子的存在性.
The Zakharov system in dimension $d=2,3$ is shown to have a local unique solution for any initial values in the energy space $H^{s} \times H^{l} \times H^{l-1}$, where the range of regularity $(s, l)$ is extended, especially at $s=l-1$. The result is obtained mainly by the normal form reduction and the Strichartz estimates.
Existence of wave operators for Zakharov-Kuznetsov equation in two space dimensions
本文在终态问题框架下构造二维 Zakharov-Kuznetsov 方程散射到给定自由解的小整体解，并利用时空共振方法证明其波算子存在。
Multi-solitary waves for the one-dimensional Zakharov system
本文研究了一维Zakharov系统中不同速度下的多孤立波解的存在性，方法借鉴了NLS和gKdV方程的研究成果。
Well-posedness for the Cauchy problem of the Klein-Gordon-Zakharov system in five and more dimensions
本文研究了空间维$d \ge 5$中Klein-Gordon-Zakharov系统的Cauchy问题，初值为$(u, \partial_t u, n, \partial_t n)|_{t=0} \in H^{s+1}(\mathbb{R}^d) \times H^s(\mathbb{R}^d) \times \dot{H}^s(\mathbb{R}^d) \times \dot{H}^{s-1}(\mathbb{R}^d)$ . $s$的临界值为$s_c=d/2-2$。利用$U^2, V^2$型空间，证明了小数据量下$d \ge 5$的全局适定性和离散性在$s=s_c$上成立.
Low regularity global well-posedness for the two-dimensional Zakharov system
当薛定谔部分的L^2 -范数足够小时，证明了二维Zakharov方程组在没有有限能量的情况下有唯一的整体解。证明使用了一种改进的I-方法，最初由Colliander，Keel，Staffilani，Takaoka和Tao发起。并给出了解的多项式增长界。
On the unique continuation property of solutions of the three-dimensional Zakharov-Kuznetsov equation
证明了三维Zakharov-Kuznetsov方程$$\partial_{t}u+\partial_{x}\triangle u+u\partial_{x}u=0 \text{,}\quad (x,y,z)\in\mathbb R^3, \;t\in[0,1],$$的两个充分光滑解之差在两个不同时刻衰减为$e^{-a(x^2+y^2+z^2)^{3/4}}$，且对某个足够大的$a>0$，则两个解重合.
On The Cauchy Problem for the elliptic Zakharov-Schulman system in dimensions 2 and 3
本文证明了Zakharov-Schulman系统$iu_t+L_1u=uv$，$L_2v=L_3(|u|^2)$的Cauchy问题在索伯列夫空间$H^s(R^n)$，$s\geq n/4$（n = 2，3）中对给定的初值是局部适定的.这里，L_j表示二阶算子，L_1为非退化算子，L_2为椭圆算子。
The Zakharov system in dimension $d\leqslant 3$ is shown to be locally well-posed in Sobolev spaces $H^s \times H^l$, extending the previously known result. We construct new solution spaces by modifying the $X^{s,b}$ spaces, specifically by introducing temporal weights. We use contraction mapping principle to prove local well-posedness in the same. The result obtained is sharp up to endpoints.
Stability and instability of the standing waves for the Klein-Gordon-Zakharov system in one space dimension
Klein-Gordon-Zakharov系统的驻波的轨道不稳定性已经在径向对称条件下在二维和三维空间中建立，参见Ohta-Todorova（SIAM J. Math. Anal. 2007年）。在一维情形中，对于非退化情形，我们首先检查Klein-Gordon-Zakharov系统满足Grillakis-Shatah-Strauss关于抽象哈密顿系统的稳定性和不稳定性定理的假设，参见Grillakis-Shatah-Strauss（J. Funct. Anal. 1987年）。对于频率为$|ω|=1/\sqrt{2}$的简并情况，我们遵循Wu（ArXiv：1705.04216，2017），通过使用调制参数结合维里恒等式来描述Klein-Gordon-Zakharov系统驻波的不稳定性。为此，我们建立了一个修正的维里恒等式，以克服传统维里恒等式中遗留的几个麻烦的术语。
The Zakharov-Kuznetsov equation in spatial dimension $d\geq 5$ is considered. The Cauchy problem is shown to be globally well-posed for small initial data in critical spaces and it is proved that solutions scatter to free solutions as $t \to \pm \infty$. The proof is based on i) novel endpoint non-isotropic Strichartz estimates which are derived from the $(d-1)$-dimensional Schrödinger equation, ii) transversal bilinear restriction estimates, and iii) an interpolation argument in critical function spaces. Under an additional radiality assumption, a similar result is obtained in dimension $d=4$…
Bounds in time for the Klein-Gordon-Schroedinger and the Zakharov system
证明了（2+1）、（3+1）和（4+1）维Klein-Gordon-Schroedinger系统以及（2+1）和（3+1）维Zakharov系统的正则整体解的空间Sobolev范数至多多项式增长，其界依赖于数据的正则类.证明采用傅立叶限制范数方法。
Global rough solutions for the Zakharov system in two spatial dimensions
我们证明了改进的全局适定性结果Zakharov系统在两个空间维度与最小的正则性假设的数据。特别是我们能够允许薛定谔和波动数据，它们分别不属于H^1和L^2，因此具有无穷大的能量。证明使用了最初由Colliander，Keel，Staffilani，Takaoka和Tao发起的改进的I-方法以及Bejenaru，Herr，Holmer和Tataru的双线性估计。并给出了解的多项式增长界。
Local well-posedness for the Zakharov system on the background of a line soliton
我们证明了二维Zakharov方程组的Cauchy问题对于线性孤波的局部扰动是局部适定的。此外，对于这个Zakharov系统，我们证明了弱收敛到一个非线性薛定谔方程。
The stochastic Zakharov system in dimension $d \geq 4$: Local well-posedness and regularization by noise for scattering
本文研究了高维随机扎哈罗夫系统在超越能量空间的局部适定性及噪声正则化散射效应，揭示了大初始数据下的全局存在性和长期动力学。
Scattering for the Klein-Gordon-Zakharov system in two dimensions
针对二维Klein-Gordon-Zakharov系统，通过新型非线性变换与物理-频率空间结合方法，证明了小光滑局部初值解的全局存在性，揭示了修正散射与线性散射的二分现象。
Construction of blow-up solutions for Zakharov system on $\mathbb{T}^2$
考虑二维空间中具有周期边界条件的Zakharov系统。我们证明了有限时间爆破解的存在性。进一步证明了不存在最小质量爆破解。
This work is concerned with the Cauchy problem for a Zakharov system with initial data in Sobolev spaces $H^k(\mathbb R^d)\!\times\!H^l(\mathbb R^d)\!\times\!H^{l-1}\!(\mathbb R^d)$. We recall the well-posedness and ill-posedness results known to date and establish new ill-posedness results. We prove $C^2$ ill-posedness for some new indices $(k,l)\in\mathbb R^2$. Moreover, our results are valid in arbitrary dimension. We believe that our detailed proofs are built on a methodical approach and can be adapted to obtain similar results for other systems and equations.
Global dynamics above the ground state energy for the 3D Zakharov system
该研究对能量略高于基态能量的三维Zakharov系统径向初值，通过正则形式技术和新型局域virial估计，将初值划分为9个区域并分类解的全局动力学，拓展了此前基态能量以下的相关结果。
Global well-posedness below energy space for the 1D Zakharov system
1维Zakharov系统的柯西问题被证明是全球适定的大数据，不一定有有限的能量。该证明结合了Ginibre，Tsutsumi，Velo的局部适定性结果和Bourgain给出的证明非线性薛定谔方程的一个类似结果的一般方法.
We study here the Zakharov-Kuznetsov equation in dimension $2$ and $3$ and the modified Zakharov-Kuznetsov equation in dimension $2$. Those equations admit solitons, characterized by their velocity and their shift. Given the parameters of $K$ solitons $R^k$ (with distinct velocities), we prove the existence and uniqueness of a multi-soliton $u$ such that $\left\| u- \sum_{k=1}^K R^k \right\|_{H^1}\rightarrow 0 $ as $t \rightarrow +\infty$. The convergence takes place in $H^s$ with an exponential rate for all $s\geq 0$. The construction is made by successive approximations of the multi-soliton.…
Well-posedness results for the 3D Zakharov-Kuznetsov equation
证明了三维Zakharov-Kuznetsov方程$\partial_tu+Δ\partial_xu+ u\partial_xu=0$在索伯列夫空间$H^s(\R^3)$，$s>1$和Besov空间$B^{1,1}_2(\R^3)$中的局部适定性.证明是基于时间加权空间中的一个尖锐的极大函数估计。
Well-posedness for the Cauchy problem of the Klein-Gordon-Zakharov system in four and more spatial dimensions
研究了空间维$d \ge 4$中Klein-Gordon-Zakharov系统的Cauchy问题，初始数据为径向或非径向$(u, \partial_t u, n, \partial_t n)|_{t=0}\in H^{s+1}(\mathbb{R}^d) \times H^s(\mathbb{R}^d) \times \dot{H}^s(\mathbb{R}^d) \times \dot{H}^{s-1}(\mathbb{R}^d)$ . $s$的临界值为$s=s_c=d/2-2$。在初始数据为径向的情况下，利用径向Escherichartz估计和$U^2, V^2$型空间，证明了$d \ge 4$的小数据全局适定性和临界空间的离散性.另一方面，如果初始数据是非径向的，那么我们证明了局部适定性在$s=1/4$当$d=4$和$s=s_c+1/(d+1)$当$d \ge 5$通过应用$U^2, V^2$型空间。
Martingale and Pathwise Solutions to the Stochastic Zakharov-Kuznetsov Equation with Multiplicative Noise
本文研究了乘性噪声驱动的随机Zakharov-Kuznetsov方程。我们在空间二维和三维中建立了鞅解的整体存在性，在空间二维中建立了整体路径唯一性和路径解的存在性。新的方法是采用在通道上的一种特殊类型的边界条件的限制，并在验证的路径的唯一性的鞅解决方案缺乏规律性，这两个困难出现由于部分双曲的功能模型。
Local ill-posedness of the 1D Zakharov system
Ginibre-Tsutsumi-Velo（1997）在非齐次索伯列夫空间$(u,n)\in H^k(\mathbb{R}^d)\times H^s(\mathbb{R}^d)$中证明了Zakharov系统对任意维数$d$的局部适定性，其中$k$，$s$依赖于$d$ .在这里，我们限制到维度$d=1$，并提出了一些结果建立局部不适定性指数对$(k,s)$的适定性制度之外。所采用的技术源于Bourgain（1993）、Birnir-Kenig-Ponce-Svanstedt-Vega（1996）和Christ-Colliander-Tao（2003）应用于非线性薛定谔方程的工作。
Asymptotic stability of a finite sum of solitary waves for the Zakharov-Kuznetsov equation
本文证明了二维和三维Zakharov-Kuznetsov方程有限个良序孤立波之和的渐近稳定性，并推导出有助于研究孤立波碰撞的定性轨道稳定性，通过将一维gKdV方程思想推广至高维，利用斜半空间单调性和单一孤立波刚性性质完成证明。
The Zakharov system in dimension $d \geqslant 4$
本文研究维度$d\geqslant4$下经典Zakharov系统的柯西问题，确定了其适定性的Sobolev空间精确范围，还在特定条件下证明了全局适定性与散射性，覆盖能量临界及超临界维度。
Non-existence of internal mode for small solitary waves of the 1D Zakharov system
研究证明了一维Zakharov系统中微弱孤立波线性化算子无内部模，该结果对孤立波渐近稳定性研究有潜在作用。
The Structure of Global Attractors for Dissipative Zakharov Systems with Forcing on the Torus
Zakharov系统最初是为了研究朗缪尔波在电离等离子体中的传播而提出的。本文在第一、第三作者早期工作的基础上，对一维环面上的耗散Zakharov系统的动力学进行了数值和解析研究。我们发现一个有趣的家庭稳定的周期轨道和不动点，并探讨这些点的分歧，因为我们采取较弱的耗散。
Subcritical well-posedness results for the Zakharov-Kuznetsov equation in dimension three and higher
本文证明三维及以上 Zakharov-Kuznetsov 方程在次临界 Sobolev 空间中的局部适定性，并由此导出三维 L² 和四维小初值 H¹ 的全局适定性。
L^2-concentration phenomenon for Zakharov system below energy norm
本文证明了二维Zakharov方程组在径向初值为（u_0，n_0，n_1）\in H^s \times L^2 \times H^{-1}（{16/17}<s<1）时，解发生爆破时的L^2-浓度结果.此外，我们还发现了该系统的爆破特性。进一步地，我们将Bourgain的整体存在性结果推广到上述空间.
The energy-critical stochastic Zakharov system
本文研究四维能量临界随机Zakharov系统，证明了能量空间中的局部适定性与爆破二择一、大初值下低于基态阈值的全局存在性，以及非守恒噪声强度趋于无穷时全局存在且散射的概率趋于1的噪声正则化现象。
A note on global existence for the Zakharov system on $\mathbb{T}$
我们证明了一维周期Zakharov系统在一类低正则性的Fourier-Lebesgue空间中是整体适定的。将I-方法与Bourgain的高低分解方法相结合得到了结果。作为推论，我们在基于$L^2$的索伯列夫空间中得到了概率全局存在性结果.我们还获得了全局适定性$H^{\frac12+} \times L^2$，这是尖锐的（端点）类$L^2$为基础的索伯列夫空间。
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