Construction of blow-up solutions for Zakharov system on $\mathbb{T}^2$
Nobu Kishimoto, Masaya Maeda
考虑二维空间中具有周期边界条件的Zakharov系统。我们证明了有限时间爆破解的存在性。进一步证明了不存在最小质量爆破解。
We consider the Zakharov system in two space dimension with periodic boundary condition. We prove the existence of finite time blow-up solutions. Further, we show there exists no minimal mass blow-up solution.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Dispersive Blow-up for Solutions of the Zakharov-Kuznetsov equation
本文的主要目的是研究Zakharov-Kuznetsov方程解的色散爆破。色散爆破是指由于短波或长波的聚焦而产生的点奇点。我们将构造初始数据，使得线性问题的解呈现这种奇异性。然后，我们证明了相应的非线性问题的解决方案目前色散爆破继承的线性部分的方程。对广义Zakharov-Kuznetsov方程也得到了类似的结果。
The Well-posedness and Blow-up rate of Solution for the Generalized Zakharov equations with Magnetic field in R^d
研究了R^d中带磁场的广义Zakharov（GZ）方程组Cauchy问题解的适定性和爆破率的下界. GZ系统的适定性的工作是建立在文献[9]的局部适定性理论基础上的。首先证明了磁场在Rd上的GZ系统解的存在性、唯一性和连续性。其次，我们建立了GZ系统在索伯列夫空间中爆破解的爆破速率的下界，它几乎是一个临界指标。最后，我们得到了整体解的长时间行为，其H^k-范数随时间以k-指数增长。
Mass-concentration of low-regularity blow-up solutions to the focusing 2D modified Zakharov-Kuznetsov equation
本文考虑二维空间中的聚焦修正Zakharov-Kuznetsov（mZK）方程。我们证明了解决方案，在有限的时间内爆破的$H^1(\R^{2})$规范的财产，他们集中了非平凡的一部分，他们的质量（更准确地说，至少等于质量的基态）在爆破时间。对于$\frac{17}{18} < s < 1$在$H^s(\R^2)$范数下的有限时间爆破解，我们证明了一个稍弱的结果。此外，我们证明了更强的浓度的结果可以扩展到范围$ \frac{17}{18} < s \le 1$的额外假设下的爆破速度的上界。这里使用的主要工具是$I$ -方法和一个有界的$H^1(\R^{2})$函数族的剖面分解定理。
Dispersive blow-up for solutions to three dimensional generalized Zakharov-Kuznetsov equations
本文研究三维广义 Zakharov-Kuznetsov 方程解的色散爆破现象，通过构造光滑初始数据使全局解在有理数时间点失去 $C^{1}$ 正则性，其核心方法是构造线性解并证明非线性平滑估计。
On the minimal Blow-up rate for the 2D generalized Zakharov- Kuznetsov model
研究二维广义Zakharov-Kuznetsov方程在H^s空间中的破裂率下界，结合线性估计和局部well-posedness理论，发现修改方程的破裂率存在理论间隙。
Lower bound for the rate of blow-up of singular solutions of the Zakharov system in $\R^3$
本文考虑了在初始条件为$(ψ(0), n(0), n_t(0)) \in H^{\ell+1/2} \times H^\ell \times H^{\ell-1} $，$0\leq\ell \leq 1$的$\R^3$中的标量Zakharov系统.假设解在有限时间$t^* < \infty$内爆破，我们建立了相应Sobolev范数爆破速率的下界，其形式为$$ \|ψ(t)\|_{H^{\ell+1/2}} +\|n(t)\|_{H^{\ell}} + \|n_t(t)\|_{H^{\ell-1}} > C(t^*-t)^{-θ_\ell} $$ with $θ_\ell = \frac{1}{4}(1+ 2 \ell)^-$ .该分析是对Ginibre、Tsutsumi和Velo（1997）的局部适定性理论的重新评价，并结合了Cazenave和Weissler（1990）在非线性薛定谔方程的背景下提出的一个论点。
Nonexistence of minimal mass blow-up solution for the 2D cubic Zakharov-Kuznetsov equation
本文证明二维质量临界三次 Zakharov-Kuznetsov 方程在能量空间中不存在最小质量的有限或无限时间爆破解，并通过精细 ODE 调制论证与单调修正能量–位力 Lyapunov 泛函完成证明。
Construction of blow-up solution with minimal mass for 2D cubic Zakharov--Kuznetsov equation
针对二维三次Zakharov--Kuznetsov方程，构造其最小质量爆破解，研究低正则性解在质量阈值处的动力学并证明有限时间爆破可能发生，补充了能量空间中最小质量爆破元不存在的结果。
L^2-concentration phenomenon for Zakharov system below energy norm
本文证明了二维Zakharov方程组在径向初值为（u_0，n_0，n_1）\in H^s \times L^2 \times H^{-1}（{16/17}<s<1）时，解发生爆破时的L^2-浓度结果.此外，我们还发现了该系统的爆破特性。进一步地，我们将Bourgain的整体存在性结果推广到上述空间.
Finite time blow up for the energy critical Zakharov system II: exact solutions
本文证明了4D能量临界Zakharov系统存在有限时间II型爆破解，通过引入近似调制理论、频率局部化及畸变傅里叶方法，克服了近似解线性化中时空非局部项的困难。
Global dynamics below the ground state energy for the Klein-Gordon-Zakharov system in the 3D radial case
在三维径向情形下，我们考虑了Klein-Gordon-Zakharov系统基态能量以下的整体动力学，得到了散射和有限时间爆破的二分法。
Blow-up in finite or infinite time of the 2D cubic Zakharov-Kuznetsov equation
本文证明了2D三次聚焦Zakharov-Kuznetsov方程的近阈值负能量解会在有限或无限时间内爆破，通过非线性Liouville定理和局部-virial时空估计排除非平凡线性解，并引入新方法处理二维情形。
On a two-dimensional Camassa-Holm-Zakharov-Kuznetsov equation
本文研究结合Camassa-Holm方程非线性结构与Zakharov-Kuznetsov方程横向色散的新型二维CH-ZK方程，建立其局部适定性与爆破准则，构造有限时间爆破强解，证明解的唯一延拓性质，且得到行波解的刚性定理。
Numerical study of Zakharov-Kuznetsov equations in two dimensions
我们提出了一个详细的数值研究的解决方案（广义）Zakharov-Kuznetsov方程在两个空间维度与各种功率非线性。在$L^{2}$ -亚临界的情况下，数值证据的孤子的稳定性和孤子的分辨率为通用的初始数据。在$L^2$ -临界和超临界的情况下，孤子对色散和爆破都是不稳定的。证明了爆破是在有限时间内发生的，爆破解具有自相似性，即，该爆破核心形成了一个快速移动的自相似型重新标度轮廓，其中在临界情况下爆破发生在无穷远处，而在超临界情况下爆破发生在有限位置。在$L^{2}$ -临界情形下，爆聚现象与$L^{2}$ -临界广义Korteweg-de Vries方程中的爆聚现象相似，其分布是动态尺度变化的孤子.
Strichartz estimates for the generalized Zakharov-Kuznetsov equation on $\mathbb{R} \times \mathbb{T}$ and applications
本文通过建立几乎最优的线性L^4估计和双线性修正，证明了k-广义Zakharov-Kuznetsov方程在R×T上的局部适定性，特别是修改的Zakharov-Kuznetsov方程在s>11/24时的适定性。
A note on the well-posedness of the quartic Zakharov-Kuznetsov equation on $\mathbb{R} \times \mathbb{T}$
本文利用双线性平滑估计和线性Strichartz型估计，改进了四次Zakharov-Kuznetsov方程局部适定性的阈值，证明其在$s > 1/2$时局部适定。
On the periodic Zakharov-Kuznetsov equation
我们考虑了Zakharov-Kuznetsov方程的Cauchy问题，该问题是在$\mathbb{T}^2$上提出的.我们证明了在$H^s(\mathbb{T}^2)$中，当$s>5/3$。更重要的是，我们证明了该方程是拟线性型的初始数据在任何索伯列夫空间上的环面，在其半线性字符在$\mathbb{R}^2$和$\mathbb{R}\times \mathbb{T}$设置形成鲜明对比。
Low-regularity global well-posedness theory for the generalized Zakharov-Kuznetsov equation on $\mathbb{R} \times \mathbb{T}$ and polynomial growth of higher Sobolev norms
本文利用I方法和Strichartz型估计，研究了广义Zakharov-Kuznetsov方程在不同空间上的全局适定性，并证明了其高Sobolev范数的多项式增长特性。
Finite time blow up for the energy critical Zakharov system I: approximate solutions
本文构造了临界4D Zakharov系统在有限时间内坍缩至孤立子体解奇异重整化的近似解，其构造方法基于匹配渐近区域与近似程序。
Low regularity global well-posedness for the Zakharov and Klein-Gordon-Schrödinger systems
本文证明了一维Zakharov系统和三维Klein-Gordon-Schrödinger系统的低正则性全局适定性，这两个系统是两个变量$u:\mathbb{R}_x^d\times \mathbb{R}_t \to \mathbb{C}$和$n:\mathbb{R}^d_x\times \mathbb{R}_t\to \mathbb{R}$ .已知Zakharov系统在$(u,n)\in L^2\times H^{-1/2}$中是局部适定的，而Klein-Gordon-Schrödinger系统在$(u,n)\in L^2\times L^2$中是局部适定的。在这里，我们证明了Zakharov和Klein-Gordon-Schr dinger系统在这些空间中是全局适定的，分别通过使用$u$的$L^2$范数的可用守恒律和通过局部理论中的估计控制$n$的增长。
A note on global existence for the Zakharov system on $\mathbb{T}$
我们证明了一维周期Zakharov系统在一类低正则性的Fourier-Lebesgue空间中是整体适定的。将I-方法与Bourgain的高低分解方法相结合得到了结果。作为推论，我们在基于$L^2$的索伯列夫空间中得到了概率全局存在性结果.我们还获得了全局适定性$H^{\frac12+} \times L^2$，这是尖锐的（端点）类$L^2$为基础的索伯列夫空间。
Stability for line solitary waves of Zakharov-Kuznetsov equation
本文研究二维Zakharov-Kuznetsov方程在$\mathbb{R}\times\mathbb{T}_L$上的线孤波的稳定性，其中$\mathbb{T}_L$是周期为$2πL$的环面，$\mathbb{R}\times\mathbb{T}_L$是Korteweg-de Vries方程的高维推广. Benjamin，Pego和Weinstein，Martel和Merle证明了能量空间上Korteweg-de Vries方程单孤子的轨道稳定性和渐近稳定性.本文将Korteweg-de Vries方程的单孤子看作Zakharov-Kuznetsov方程在$\mathbb{R}\times\mathbb{T}_L$上的线孤波。利用Evans函数方法和Zakharov-Kuznetsov方程的解集和Tzvetkov的论证，证明了Zakharov-Kuznetsov方程的线孤波的稳定性和横向不稳定性.利用Martel和Merle的论证、Liouville型定理和修正的维里型估计，证明了Zakharov-Kuznetsov方程轨道稳定线孤波的渐近稳定性.
Well-Posedness for the Two-dimensional Zakharov-Kuznetsov Equation
利用I-方法证明了二维Zakharov-Kuznetsov方程在$H^{s}({\mathbb{R}^2})$中当$\frac{11}{13}<s<1$时的整体适定性.此外，利用原子空间，建立了对称化ZK方程在$ B^\frac{1}{2}_{2,1}(\mathbb{R}^2)$中的局部适定性.
Blow-Up Dynamics for the $L^2$ critical case of the $2$D Zakharov-Kuznetsov equation
研究二维 $L^2$ 临界 Zakharov-Kuznetsov 方程的爆破动力学，建立了局部化扰动在孤子流形附近的三分支结果，并刻画了稳定爆破中气泡集中、辐射收敛及爆破速率的精确行为。
The Zakharov-Kuznetsov equation in weighted Sobolev spaces
本文研究了二维Zakharov-Kuznetsov方程$$\left. \begin{array}{rl} u_t+\partial_x^3 u+\partial_x \partial_y^2 u +u \partial_x u &\hspace{-2mm}=0,\qquad\qquad (x,y)\in\mathbb R^2,\; t\in\mathbb R,\\ u(x,y,0)&\hspace{-2mm}=u_0(x,y). \end{array} \right\}$$的初值问题，并在加权索伯列夫空间$$H^s(\mathbb R^2) \cap L^2((1+x^2+y^2)^{r} dx dy),$$中用$s,r\in\mathbb R$研究了该初值问题的适定性.
Well-posedness for the Cauchy problem of the modified Zakharov-Kuznetsov equation
本文研究了修正的Zakharov-Kuznetsov方程在$\mathbb{R}^d$上的Cauchy问题.如果$d=2$，我们证明了尖锐的估计，这意味着局部的时间适定性在Sobolev空间$H^s(\mathbb{R}^2)$为$s \geq 1/4$。如果是$d \geq 3$，利用$U^p$和$V^p$空间，在尺度临界Sobolev空间$H^{s_c}(\mathbb{R}^d)$中建立了小数据的全局适定性，其中$s_c = d/2-1$ .
Global Well-Posedness and Global Attractor for Two-dimensional Zakharov-Kuznetsov Equation
在原子空间中，利用$I$ -方法，证明了二维Zakharov-Kuznetsov方程初值问题在$H^s({\mathbb{R}^2})$中对所有$\frac{5}{7}<s<1$是整体适定的.在$H^s({\mathbb{R}^2})$中，利用修正能量的增量，对$\frac{10}{11}<s<1$建立了弱阻尼受迫Zakharov-Kuznetsov方程整体吸引子的存在性.
On Periodic Solutions of the Zakharov-Rubenchik System
本文研究一维Zakharov-Rubenchik系统的周期解，利用半群理论证明线性方程的整体适定性，并通过变量替换和Banach不动点定理获得修正系统的局部适定性。
Well-posedness for the Cauchy problem of the Klein-Gordon-Zakharov system in five and more dimensions
本文研究了空间维$d \ge 5$中Klein-Gordon-Zakharov系统的Cauchy问题，初值为$(u, \partial_t u, n, \partial_t n)|_{t=0} \in H^{s+1}(\mathbb{R}^d) \times H^s(\mathbb{R}^d) \times \dot{H}^s(\mathbb{R}^d) \times \dot{H}^{s-1}(\mathbb{R}^d)$ . $s$的临界值为$s_c=d/2-2$。利用$U^2, V^2$型空间，证明了小数据量下$d \ge 5$的全局适定性和离散性在$s=s_c$上成立.
A Note on $C^2$ Ill-Posedness Results for the Zakharov System in Arbitrary Dimension
本文研究索伯列夫空间$H^k(\mathbb R^d)\!\times\!H^l(\mathbb R^d)\!\times\!H^{l-1}\!(\mathbb R^d)$中Zakharov系统的初值问题。我们回顾了迄今为止已知的适定性和不适定性结果，并建立了新的不适定性结果。我们证明了$C^2$对一些新指标$(k,l)\in\mathbb R^2$的不适定性。此外，我们的结果是有效的，在任意维数。我们相信，我们的详细证明是建立在一个有条不紊的方法，可以适应其他系统和方程获得类似的结果。
Norm inflation for the Zakharov system
在索伯列夫空间$H^s(\mathbb{R}^d)\times H^l(\mathbb{R}^d)$的范围内证明了经典Zakharov系统的Cauchy问题在范数膨胀意义下是不适定的，对于所有的维数$d$ .这证明了几个结果的适定性，其中包括解的存在性，唯一性和连续依赖于初始数据，是尖锐的端点。
The three dimensional stochastic Zakharov system
本文研究三维随机扎卡罗夫系统在能量空间中的well-posed性，证明了系统在最大存在时间内的解的存在性和爆炸替代，利用精细的缩放变换和正常形式方法，并结合局部平滑估计控制噪声引起的低阶扰动，最终证明了通过添加足够大的非保守噪声可防止有限时间爆炸。
Local well-posedness for the Zakharov-Kuznetsov equation on the background of a bounded function
证明了二维Zakharov-Kuznetsov方程在$H^s(\mathbb{R}^2)$中的局部适定性，对于$s\in [1,2]$，在$Ψ(t,x,y)$满足一些自然额外条件的$L^\infty(\mathbb{R}^3)$ -函数$Ψ(t,x,y)$的背景下.这一结果不仅为我们提供了一个框架，以解决ZK方程周围的扭结，例如，但也围绕一个周期性的解决方案，即考虑局部非周期扰动的周期解。此外，我们证明了在能量空间$H^1(\mathbb{R}^2)$的整体适定性。
Scattering of the 2D modified Zakharov-Kuznetsov equation
研究二维修正Zakharov-Kuznetsov方程，证明小且局部化初值解的长时间散射，方法为时空共振。
The 3D critical Zakharov--Kuznetsov equation: blow-up and soliton dynamics
该研究针对带分数阶非线性项的三维临界Zakharov-Kuznetsov方程，通过理论分析与多GPU三维数值模拟，揭示其解的爆破动力学及质量非唯一决定爆破的特性。
Low regularity analysis of the Zakharov--Kuznetsov equation on $\mathbb{R} \times \mathbb{T}$
本文研究柱面上 Zakharov-Kuznetsov 方程的 Cauchy 问题，通过改进共振集的几何分析将局部适定性提升至 $s>1/2$ 且证明其最优性，并利用低正则性修正的 $X^{s,b}$ 空间在随机初始数据下获得 $s<0$ 的一般数据解。
On local energy decay for large solutions of the Zakharov-Kuznetsov equation
本文考虑Zakharov-Kutznesov（ZK）方程在$\mathbb R^d$中的存在性，其中有$d=2$和$3$ .这两个方程在$L^2(\mathbb R^d)$中是整体适定的。在本文中，我们证明了局部能量衰减的整体解决方案：如果$u(t)$是一个解决方案，ZK与$L^2(\mathbb R^d)$中的数据，然后\[ \liminf_{t\rightarrow \infty}\int_{Ω_d(t)}u^{2}({\bf x},t)\mathrm{d}{\bf x}=0, \]的适当区域的空间$Ω_d(t)\subseteq \mathbb R^d$周围的起源，增长无界的时间，不包含孤子区域。我们还证明了局部衰减的$H^1(\mathbb R^d)$解决方案。作为一个副产品，我们的结果扩展了由Gustavo Ponce和第二作者证明的KdV和四次KdV方程的衰变性质。还提供了连续的衰减率和其他强衰减结果。
Sharp Lower Bound for the Blow-up Rate of Solutions to the Magnetic Zakharov System without the Skin Effect
本文考虑二维Zakharov磁系统的Cauchy问题：具有初始数据$\left(E_{10}(x),E_{20}(x),n_{0}(x),\mathbf{v}_{0}(x)\right)$的\[ \begin{cases} & i E_{1t}+ΔE_1-n E_1+ηE_2 (E_1\overline{E_2}-\overline{E_1} E_2)=0, \\ & i E_{2t}+ΔE_2-n E_2+ηE_1(\overline{E_1} E_2-E_1\overline{E_2})=0, \\ & n_t+\nabla \cdot \textbf{v}=0, \\ & \textbf{v}_t+\nabla n+\nabla (|E_1|^2+|E_2|^2)=0, \\ \end{cases} \tag{G-Z} \]，它描述了冷等离子体中无趋肤效应的磁场的自发产生，其中$η>0$为物理常数系数.由冷磁场产生的两个非线性项给Zakharov系统带来了与经典系统不同的困难。假设初始质量满足以下估计：\begin{gather*} \frac{||Q||_{L^2(\mathbb{R}^2)}^2}{1+η} <||E_{10}||_{L^2(\mathbb{R}^2)}^2+||E_{20}||_{L^2(\mathbb{R}^2)}^2 <\frac{||Q||_{L^…
On the stabilization of $L^2$ and $H^1$ norms for the Zakharov-Kuznetsov equation with damping
本文研究了阻尼Zakharov-Kuznetsov方程在二维和三维空间中解的L²和H¹范数指数衰减问题，采用Kato型平滑效应、唯一延续性和可观察性不等式等方法进行证明。
Existence of traveling waves for the two-dimensional Zakharov system
本文利用不动点论证方法，构造了二维Zakharov系统中任意小速度的孤立波，并研究了其渐进行为。
Local ill-posedness of the 1D Zakharov system
Ginibre-Tsutsumi-Velo（1997）在非齐次索伯列夫空间$(u,n)\in H^k(\mathbb{R}^d)\times H^s(\mathbb{R}^d)$中证明了Zakharov系统对任意维数$d$的局部适定性，其中$k$，$s$依赖于$d$ .在这里，我们限制到维度$d=1$，并提出了一些结果建立局部不适定性指数对$(k,s)$的适定性制度之外。所采用的技术源于Bourgain（1993）、Birnir-Kenig-Ponce-Svanstedt-Vega（1996）和Christ-Colliander-Tao（2003）应用于非线性薛定谔方程的工作。
On the 2d Zakharov system with L^2 Schrödinger data
我们证明了L^2 x H^{-1/2} x H^{-3/2}中具有大初始数据的二维Zakharov系统的局部时间适定性。这是最优正则性的空间，因为在基于L^2的索伯列夫尺度下，对于任何更粗糙的空间对，数据到解的映射在原点处都不平滑。此外，它是一个自然的空间柯西问题的亚音速极限方程，即聚焦立方非线性薛定谔方程。我们得到的存在时间仅取决于初始数据的相应范数--这一结果对于二维的三次非线性薛定谔方程来说是错误的--并且它是最优的，因为Glangetas-Merle的解在那时爆炸。
Local and global well-posedness for the 2D generalized Zakharov-Kuznetsov equation
本文讨论了广义Zakharov-Kuznetsov方程的初值问题的适定性问题，即：\{方程 *} \quad \left \{\{array}{lll} { \displaystyle u_t+ \partial_x Δu+u^ku_x = 0，} \qquad（x，y）\in \mathbb{R}^2，\，t>0，{ \displaystyle u（x，y，0）=u_0（x，y）}. \{array} \right。\{equation*}对于$2\leq k \leq 7$，上述IVP对于$H^s(\mathbb{R}^2)$、$s>3/4$中的数据显示为局部适定。对于$k\geq8$，局部适定性被证明对$H^s(\mathbb{R}^2)$，$s>s_k$中的数据成立，其中$s_k=1-3/(2k-4)$。此外，对于$k\geq3$，若$u_0\in H^1(\mathbb{R}^2)$且满足$\|u_0\|_{H^1}\ll1$，则证明解在$H^1(\mathbb{R}^2)$中是全局的.对于$k=2$，若$u_0\in H^s(\mathbb{R}^2)$，$s>53/63$，和满足$\|u_0\|_{L^2}<\sqrt3 \, \|ϕ\|_{L^2}$，其中$ϕ$是相应的基态解，则证明了解在$H^s(\mathbb{R}^2)$中是全局的.
Global Well-posedness for the Cauchy problem of the Zakharov-Kuznetsov equation in 2D
本文研究了$2$ D Zakharov-Kuznetsov方程的Cauchy问题.我们证明了双线性估计，这意味着当地的时间适定性在索伯列夫空间$H^s({\mathbb{R}}^2)$的$s > -1/4$，这些都是最佳的终点。我们利用经典的Loomis-Whitney不等式的非线性版本，并开发了一个几乎正交分解的共振频率。作为推论，我们得到了$L^2({\mathbb{R}}^2)$的整体适定性。
The Zakharov system in 4D radial energy space below the ground state
我们证明了动力学二分法到散射和爆破（在弱意义上）的所有径向解决方案的Zakharov系统在能量空间的四维空间，具有小于基态的能量，这是书面使用Aubin-Talenti功能。二分法的特点是临界质量的波分量的基态。所得结果与Kenig和Merle对能量临界非线性薛定谔方程（NLS）的结果相似。然而，与NLS不同，证明中最困难的相互作用源于自由波分量。为了控制它，主要的新成分，我们在本文中开发的是一个统一的全球Schrodinger方程的亚临界质量的潜在解决波动方程的Schrodinger估计。这一估计，以及证据，可能是独立的利益。对于散射证明，我们遵循Dodson和Murphy的想法。
Local and global well-posedness for the 2D Zakharov-Kuznetsov-Burgers equation in low regularity Sobolev space
该研究针对带耗散项的二维ZKB方程柯西问题，采用结合耗散效应的Fourier限制范数方法，将其适定性的Sobolev空间指标下限拓展至$s>-1/2$，改进了已有相关方程的适定性结果。
Well-posedness for the Cauchy problem of the Klein-Gordon-Zakharov system in four and more spatial dimensions
研究了空间维$d \ge 4$中Klein-Gordon-Zakharov系统的Cauchy问题，初始数据为径向或非径向$(u, \partial_t u, n, \partial_t n)|_{t=0}\in H^{s+1}(\mathbb{R}^d) \times H^s(\mathbb{R}^d) \times \dot{H}^s(\mathbb{R}^d) \times \dot{H}^{s-1}(\mathbb{R}^d)$ . $s$的临界值为$s=s_c=d/2-2$。在初始数据为径向的情况下，利用径向Escherichartz估计和$U^2, V^2$型空间，证明了$d \ge 4$的小数据全局适定性和临界空间的离散性.另一方面，如果初始数据是非径向的，那么我们证明了局部适定性在$s=1/4$当$d=4$和$s=s_c+1/(d+1)$当$d \ge 5$通过应用$U^2, V^2$型空间。
Scattering and well-posedness for the Zakharov system at a critical space in four and more spatial dimensions
本文研究了空间维$d\ge 4$中Zakharov系统的Cauchy问题，初值为$(u(0), n(0), \partial_t n(0)) \in H^k(\mathbb{R}^d) \times \dot{H}^l(\mathbb{R}^d)\times \dot{H}^{l-1}(\mathbb{R}^d)$ .根据Ginibre、Tsutsumi和Velo的观点，$(k,l)$的临界指数是$((d-3)/2,(d-4)/2)$。我们证明了在临界空间的散射性和小数据全局适定性。仅仅应用Koch-Tataru引入的$U^2,\ V^2$型空间似乎很难得到关键的双线性估计。为了避免这个困难，我们使用了一个$V^2$型空间和时空Lebesgue空间$L^2_tL_x^{2d/(d-2)}$的交集空间，它与端点的Lebhartz估计有关。
Bilinear Strichartz estimates for the Zakharov-Kuznetsov equation and applications
本文研究Zakharov-Kuznetsov方程{方程} \label{ZK0} \partial_t u+ \partial_x Δu+u \partial_x u=0 . {equation}我们证明了相关的初值问题在$H^s(\mathbb R^2)$中对于$s>\frac12$是局部适定的，在$H^1(\mathbb R\times \mathbb T)$和$H^s(\R^3) $中对于$ s>1$是全局适定的.我们的主要新成分是一个双线性的Burgain的空间，它允许控制出现在\eqref{ZK0}的非线性的高低频率的相互作用的上下文中的Eschhartz估计。在$\mathbb R^2$的情况下，我们还需要使用Carbery，Kenig和Ziesler关于齐次色散算子的锐Eschhartz估计的最近结果。最后，为了证明$ \R^3 $中的整体适定性结果，我们需要使用Koch和Tataru引入的原子空间。
Subcritical well-posedness results for the Zakharov-Kuznetsov equation in dimension three and higher
本文证明三维及以上 Zakharov-Kuznetsov 方程在次临界 Sobolev 空间中的局部适定性，并由此导出三维 L² 和四维小初值 H¹ 的全局适定性。
Uniform Adiabatic Limit of Benney type Systems
本文证明了三次非线性薛定谔方程的解是Benney系统解的渐近极限。由于一维输运方程的特殊性，对一维Zakharov和1d-Zakharov-Rubenchik系统的解也得到了同样的结果。在拓扑$L^2(\mathbb{R})\times L^2(\mathbb{R})$中以及在能量空间$H^1(\mathbb{R})\times L^2(\mathbb{R})$中的近似下达到收敛。在Zakharov系统的情况下，这是在没有波分量的条件$\partial_t n(x,0) \in \dot H^{-1}(\mathbb{R})$的情况下实现的，改进了以前的结果。
Dispersive decay for the mass-critical generalized Korteweg-de Vries equation and generalized Zakharov-Kuznetsov equations
本文研究质量临界 gKdV 方程及作为其多维推广的广义 Zakharov-Kuznetsov 方程，证明非线性解可达到线性衰减率，并给出小初值情形下的逐点衰减估计。
The energy-critical stochastic Zakharov system
本文研究四维能量临界随机Zakharov系统，证明了能量空间中的局部适定性与爆破二择一、大初值下低于基态阈值的全局存在性，以及非守恒噪声强度趋于无穷时全局存在且散射的概率趋于1的噪声正则化现象。
Spectral property for the 2D Zakharov-Kuznetsov equation
本文研究二维Zakharov-Kuznetsov方程维里算子的谱性质，通过解析分析将问题简化为数值验证内积符号和特征值，为孤立波的爆破或渐近稳定性提供关键要素。
On the unique continuation property of solutions of the three-dimensional Zakharov-Kuznetsov equation
证明了三维Zakharov-Kuznetsov方程$$\partial_{t}u+\partial_{x}\triangle u+u\partial_{x}u=0 \text{,}\quad (x,y,z)\in\mathbb R^3, \;t\in[0,1],$$的两个充分光滑解之差在两个不同时刻衰减为$e^{-a(x^2+y^2+z^2)^{3/4}}$，且对某个足够大的$a>0$，则两个解重合.
Global Existence and Scattering of the Klein-Gordon-Zakharov System in Two Space Dimensions
我们对$\mathbb{R}^{1+2}$中的Klein-Gordon-Zakharov系统感兴趣，它是等离子体物理中一个重要的模型，有着广泛的数学研究。该系统可以看作是半线性耦合波方程和Klein-Gordon方程，其非线性项违反了零条件。在初始数据上没有紧性假设的情况下，我们的目标是建立小的整体解的存在性，此外，我们还想说明解的最优逐点衰减。此外，我们还证明了系统的Klein-Gordon部分具有线性散射，而波动部分具有一致有界的低阶能量。由于$\mathbb{R}^{1+2}$中线性波和Klein-Gordon分量的缓慢逐点衰减性质，这些目标都不容易实现。我们通过仔细利用波和Klein-Gordon分量的性质，并依靠鬼权能量估计来接近高阶能量估计来解决这些困难。这似乎是第一个点态衰减结果和第一个散射结果的Klein-Gordon-Zakharov系统在$\mathbb{R}^{1+2}$没有紧性假设。
Resonant decomposition and the $I$-method for the two-dimensional Zakharov system
本文研究了具有一般周期的二维环面上Zakharov方程组的初值问题。我们应用$I$ -方法与一些“共振分解”，以显示小的$L^2$初始数据属于一些空间弱于能量类的全球适定性结果。我们还考虑了我们的思想在$\mathbb{R}^2$上的初值问题中的应用，并给出了Pecher（2012）最著名结果的改进。
Global well-posedness and scattering for the 2D modified Zakharov-Kuznetsov equation
本研究针对二维修正Zakharov-Kuznetsov方程的柯西问题，引入标度与经典$H^s$空间一致的双参数函数空间，证明了特定参数范围下的局部适定性，以及小初值时的全局适定性与散射性，且结果在$C^3$流意义下最优。
Scattering of the 3D Zakharov-Kuznetsov equation
本文研究三维Zakharov-Kuznetsov方程的全局解散射性质，采用时空共振方法和部分对称性方法，引入各向异性加权范数，证明散射估计和先验估计。
A note on the 2D generalized Zakharov-Kuznetsov equation: local, global, and scattering results
考虑广义二维Zakharov-Kuznetsov方程$u_t+\partial_x Δu+\partial_x(u^{k+1})=0$，其中$k\geq3$为整数.对于$k\geq8$，我们证明了基于$L^2$的索伯列夫空间$H^s(\mathbb{R}^2)$的局部适定性，其中$s$大于临界标度指数$s_k=1-2/k$ .对于$k\geq 3$，我们还建立了一个尖锐的标准，以获得整体$H^1(\R^2)$的解决方案。假设初始数据很小且属于合适的勒贝格空间，还建立了$H^1(\R^2)$中的非线性散射结果。
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