Topology of foliations and decomposition of stochastic flows of diffeomorphisms
设$M$是一个紧流形，它具有一对互补的叶理，比如水平和垂直的叶理。在卡托尼奥，席尔瓦和鲁菲诺（$Stoch$ . $Dyn$ .，2013）证明了直到停止时间$τ$，$M$中的局部自同态$φ_t$的随机流可以被写为保持水平叶理的自同态子群中的马尔可夫过程与保持垂直叶理的自同态子群中的过程组成.在这里，我们讨论这种分解的拓扑方面。主要结果保证了全球分解的流动，如果它保持了横向定向叶理的方向。在最后一节中，我们给出了线性化流的子行列式的Itô-刘维尔公式。我们利用这个公式得到了所有$t\geq 0$的分解存在的充分条件。
2015-11-04 math.DS math.PR
Smooth center-stable/unstable manifolds and foliations of stochastic evolution equations with non-dense domain
本文利用积分半群理论和随机Stieltjes卷积估计，通过Lyapunov-Perron方法研究了一类非稠密域随机偏微分方程的中心-不稳定不变流形与中心-稳定叶层的存在性和光滑性，并用随机年龄结构模型和随机抛物型方程加以验证。
2023-11-29 math.DS math.PR
Slow foliation of a slow-fast stochastic evolutionary system
研究了用尺度参数量化的快慢随机演化系统的动力学行为。不变的叶理将状态空间分解为不同动力学区域的几何区域，从而有助于理解动力学。建立了该系统的慢不变叶理。结果表明，缓慢的叶理收敛到一个临界叶理（即，尺度参数为零），因为尺度参数趋于零。利用分布上的误差估计构造了慢叶理的近似。进一步研究了慢叶理的几何结构：慢叶理的每根纤维相互平行，慢流形是一种特殊的纤维。事实上，当纤维的任意选择的点落在慢流形中时，纤维本身必须是慢流形。
2013-11-01 math.AP math.DS math.PR
Compact Dynamical Foliations
根据Dennis Sullivan的工作，在5-球面上存在光滑流，其所有的轨道都是周期的，尽管它们的周期没有统一的界限。本文所讨论的问题是，这些类型的例子是否可以出现在部分双曲上下文中。也就是说，如果存在一个紧致流形的部分双曲双同态，使得它的中心叶理的所有叶子都是紧致的，但它们的体积没有一致的界。我们开发的工具来攻击前一个问题，并表明它有否定的答案，提供所有的周期叶有限holonomy。
2014-06-20 math.DS
Automorphic Forms and Reeb-Like Foliations on Three-Manifolds
本文考虑三维流形上动力系统的不同生成方法。首先，我们利用自守函数理论对上半空间模型进行统一化，得到了一般双曲三维流形上动力系统的显式微分方程。它是通过修改标准庞加莱θ系列，以产生系统不变的每个单独的基本区域，使解决方案的轨迹匹配后，产生一个双曲3-流形的识别适当的侧。然后我们考虑共形球模型中的胶合模式。最后我们将利用Reeb叶理研究动力系统的构造。
2007-06-28 math.DS
Pseudo-automorphisms with no invariant foliation
我们构造了一个双有理变换的有理三倍的第一和第二动力度重合，是$>1$，但不保持任何全纯（奇异）叶理的例子。特别是，这对Guedj的一个问题提供了否定的答案。在我们的方式中，我们开发了几种技术来研究在双有理变换下不变的叶理。
2013-09-26 math.DS
Smooth invariant foliations without a bunching condition and Belitskii's $C^{1}$ linearization for random dynamical systems
该研究针对随机动力系统，在无Lyapunov指数聚束条件下证明了$C^{1,β}$稳定与不稳定叶层的存在性，进而得到Belitskii型$C^{1,β}$线性化定理，弱化了经典定理的前提假设。
2023-07-21 math.DS
Realization of bifurcations of Liouville foliations for integrable billiards in non-convex domains
台球是一个动力系统，其中粒子在直线运动和边界的镜面反射之间交替。研究了由共焦二次曲面的线段围成的非凸区域中的台球问题。本文描述了Liouville叶理三维分支的拓扑结构。
2022-05-21 math.DS
Extension of time for decomposition of stochastic flows in spaces with complementary foliations
设$M$是一个流形，局部地具有一对互补的叶理。在Catuogno，da Silva and Ruffino（Stoch.动力学2013），它表明，直到停时$τ$，局部同胚$φ_t$在$M$的随机流可以被分解为保持这个叶理的同胚。在这篇文章中，我们提出的技术，使我们能够延长这种分解的时间。对于这种推广，我们使用了两种技巧：第一种，假设系统的向量场彼此可交换，我们应用Marcus方程来构造跳跃不可分解的自同构。第二种方法处理一般情况下：我们引入了一个“停止和去”的技术，使我们能够构建一个过程，遵循原来的流程在“好区”的分解，并保持暂停在“坏区”。在其他应用中，我们的研究结果打开了研究每个组件的渐近行为的可能性。\end{abstract}
2014-08-28 math.DS math.PR
Classifying foliations
我们给一个调查的方法来分类叶理，开始与Haefliger分类空间和各种结果和例子有关的次级类叶理。介绍和讨论了叶理的各种动力学性质，包括膨胀率、局部熵和轨道增长率。这导致分解的叶状空间到博雷尔或可测组件与这些不同的动力学类型。的动态结构进行比较，通过二级分类。
2008-10-28 math.DS math.GT
Globally optimal stretching foliations of dynamical systems reveal the organizing skeleton of intensive instabilities
理解动力系统中的不稳定性是现代混沌理论的核心，无论是预测还是试图控制未来的结果。在映射的局部最大拉伸的意义上的不稳定性是很好理解的，并且与李雅普诺夫指数/向量、奥塞莱代克空间和柯西-格林张量的概念有关。在本文中，我们将概念扩展到拉伸的全局优化，因为这形成了组织一般不稳定性的骨架。“映射”是一般的，但包含了有限时间的必然性，就像在任何现实应用中一样：它可以通过离散映射的有限序列或与连续动力系统相关的有限时间流来定义。限制注意二维，我们制定的全球优化问题，在一个限制类的叶，并建立叶，最大化和最小化的全球拉伸。得到了叶理的非退化奇点的分类。计算最佳叶理的数值问题进行检查，特别是洞察特殊曲线沿叶理出现转向和/或不交叉，和附近的奇异性叶理行为。给出了Hénon图、双涡旋流和标准图的计算结果。
2021-01-25 math.DS nlin.CD
Non-resonant invariant foliations of quasi-periodically forced systems
本文利用参数化方法证明了解析离散时间动力系统中不变环面附近不变叶层的存在性与唯一性，为数据驱动模型降阶提供理论基础，并通过力学例子计算瞬时频率和阻尼比加以验证。
2024-03-21 math.DS
Dynamical aspects of foliations with ample normal bundle
该研究证明了Brunella关于维数不小于3的紧复流形上，余维数1且法丛丰富的全纯叶状结构的每片叶子都聚集于其奇异集的猜想，推进了复叶状结构动力学领域的相关研究。
2021-11-13 math.CV math.DS
Unstable Entropy and Unstable Pressure for Random Partially Hyperbolic Dynamical Systems
设$\mathcal{F}$是一个$C^2$随机部分双曲动力系统.对于不稳定叶理，通过不稳定叶理上的$\mathcal{F}$动力学，引入并研究了相应的不稳定度量熵、不稳定拓扑熵和不稳定压力.给出了不稳定度度量熵的Shannon-McMillan-Breiman定理的一个版本，得到了不稳定压力的一个变分原理，从而也得到了不稳定熵的一个变分原理.此外，作为变分原理的一个应用，研究了不稳定压力的平衡态，包括Gibbs $u$ -态。
2020-07-13 math.DS
Lie group foliations: Dynamical systems and integrators
本文研究保持相空间叶状结构的数值积分器，特别针对李群作用轨道给出的叶状结构，给出向量场分解条件，从而应用分裂方法和李群积分器等几何积分技术。
2002-09-27 cs.NA math.DG math.DS
Partial hyperbolicity and foliations in $\mathbb{T}^3$
证明了$\mathbb{T}^3$与Anosov同构的部分双曲双同态空间的动力学相干性是一个开的和闭的性质。证明了$\mathbb{T}^3$的强部分双曲同态要么是动态相干的，要么有一个不变的收缩或排斥的二维环面.为此，我们开发了一些一般性的结果余维一叶理，这可能是独立的利益。
2014-07-14 math.DS math.GT
Nonexistence of Invariant Tori Transverse to Foliations: An Application of Converse KAM Theory
本文扩展 MacKay 的逆 KAM 条件，提出与一维叶状结构横截的不变曲面不存在的充分条件，并通过对双波势粒子与 Beltrami 流的数值实验验证了该方法的有效性。
2020-10-23 math.DS
Dynamics of riemannian 1-foliations on $3$-manifolds
本文研究了定向闭三维流形$M$上黎曼$1$维叶理$\mathcal{L}$的若干动力学性质。Carriere将这种对归类为$(M,\mathcal{L})$。利用这种分类，我们证明了$(M,\mathcal{L})$的非双曲性.并详细描述了递归点、$ω$ -极限集和吸引子。
2018-06-22 math.AG math.DS
Birkhoff sections in 3-manifold with invariant toric foliation
本文研究不变环面叶状化三维流形中的Birkhoff截面，建立了周期轨道作为其边界轨道的充要条件，并应用于环面域边界和可分离Hamilton系统能量超曲面，给出存在性与不存在性条件。
2025-05-12 math.DS
Data-driven modelling of autonomous and forced dynamical systems
本文提出了一种基于不变叶状结构的数据驱动建模方法，用于建模自主和受迫动力系统，通过分析轨迹和流形特性，实现对长期动态的准确预测。
2025-12-13 cs.LG math.DS physics.data-an
Horospherical dynamics in invariant subvarieties
本文研究平移曲面模空间不变子簇上的球面叶状结构，定义叶片体积形式与球面测度，证明自然测度及 Masur–Veech 测度的唯一性，并刻画全部叶片闭包。
2023-04-25 math.DS
Unique ergodicity for singular holomorphic foliations of $\mathbb{P}^3(\mathbb{C})$ with an invariant plane
本文将平面叶层的唯一遍历性结果推广到带无叶层循环不变平面的三维射影空间奇异全纯叶层，通过改造 Deroin-Kleptsyn 动力学方法并利用 Nguyên 可积性估计完成证明。
2025-01-17 math.CV math.DS
Dynamical systems around the Rauzy gasket and their ergodic properties
80年代初，H.Masur和W.Veech开始研究区间交换变换的通有性质，证明了几乎每一个区间交换变换都是唯一遍历的。大约在同一时间，S.诺维科夫的学校和法国数学家独立地发现了非常有趣的现象类测量叶理表面和各自的Icons。例如，在这些家庭中，极简性是例外的。这个说法的一个精确版本是诺维科夫的一个猜想。法语和俄语的结构非常不同。然而，在最简单的情况下（曲面的亏格3与两个奇点），最近观察到，这两个叶理共享相同类型的属性。例如，最小参数的空间是相同的，称为Rauzy垫片。然而，这两个系列作品之间的确切联系并不清楚。本文的目的是证明这两种理论用不同的语言描述相同的对象。这篇文章提供了两种结构之间的明确字典。
2020-11-30 math.DS
Longitudinal foliation rigidity and Lipschitz-continuous invariant forms for hyperbolic flows
在几种情况下，双曲动力系统的定义不变的结构是光滑的，只有在系统的代数起源（光滑刚性），我们证明了新的结果，这种类型的一类流。对于一个紧凑的黎曼流形和一致拟共形的横向辛Anosov流，我们定义了纵向KAM-上循环，并用它来证明一个刚性结果：联合稳定/不稳定的子丛是Zygmund正则的，更高的正则性意味着纵向KAM-上循环的消失，这反过来又意味着子丛是Lipschitz连续的，实际上流是光滑共轭的代数。为了建立后者，我们证明结果代数Anosov系统，这意味着光滑和特殊结构的任何Lipschitz连续不变1-形式。几个特点的推理是有趣的：使用外部演算的Lipschitz连续形式，参数为测地流和infranilmanifoldautomorphisms是完全不同的，需要混合，而不是遍历在后一种情况下。
2010-06-03 math.DS
On germs of constriction curves in model of overdamped Josephson junction, dynamical isomonodromic foliation and Painlevé 3 equation
本文研究过阻尼约瑟夫森结模型中旋转数水平集的收缩曲线结构，证明其极限点由贝塞尔函数零点给出，并证明由 Painlevé 3 方程控制的动态等单导叶状结构的 Poincaré 映射在相应区域良定义且将相邻极限点依次对应。
2023-08-08 math.DS
Entropy of geometric structures
本文给出了一般几何结构的熵概念，它推广了向量场的拓扑熵和叶理的几何熵的概念，并可应用于奇异对象，如奇异叶理、奇异分布和泊松结构.我们展示了这种熵的一些基本性质，包括\emph{additivity property}，类似于物理学中克劳修斯-玻尔兹曼熵的可加性。在泊松结构的情况下，熵是一个新的动力学性质的不变量，它与辛叶的特征叶理的横向结构有关。
2011-09-24 math.DG math.DS
On asymptotic phase of dynamical system hyperbolic along attracting invariant manifold
考虑沿吸引不变流形$M$具有双曲结构的动力系统。问题是在$M$的邻域中开始的每个运动是否具有渐近相位，即最终接近$M$上的特定运动。早些时候，在流形上的解的衰减速率超过流形内的解的衰减速率的条件下，得到了该问题的正解。我们证明，在我们的情况下，上述条件是不必要的。为了证明$M$的一个邻域充满了运动，其中每个运动都存在一个渐近相位，我们应用布劳威尔不动点定理。讨论了出现在$M$邻域内的不变叶理结构。
2018-09-29 math.DS
Small noise approximation of center manifolds for stochastic dynamical systems
本文给出了欧几里得空间中一类随机动力系统的局部随机中心流形的小噪声近似。最后给出了一个算例。
2013-03-11 math.DS
A random dynamical systems perspective on stochastic resonance
从随机动力系统的角度研究了随机Duffing振子在过阻尼近似下的随机共振。我们分析这个问题的一般框架中的随机动力系统的非自治强迫。我们证明了唯一的全局吸引随机周期轨道和平稳周期测度的存在性。我们使用平稳周期测度来定义随机共振的指标。
2015-10-23 math.DS
Discovering mean residence time and escape probability from data of stochastic dynamical systems
提出了一种从随机微分方程建模的数据中学习平均停留时间和逃逸概率的方法。这种方法是从数据中进行机器学习（提取随机微分方程作为模型）和随机动力学（用确定性工具量化动力学行为）的组合。目标是学习和理解基于数据的随机动态。该方法适用于从复杂系统中采集的采样路径数据，只要这些系统可以建模为随机微分方程。
2019-09-03 math.DS
Une invitation aux surfaces de dilatation
这本书介绍了膨胀曲面。我们试图揭示一些几何和动力学方面的问题：模空间，定向叶理和Teichmüller流。
2019-01-25 math.DS math.GT
Geometric Methods for Stochastic Dynamical Systems
噪声波动在复杂系统中普遍存在。它们在基因调控、信号转导、生化反应等系统的动态演化中起着至关重要或微妙的作用。因此，考虑噪声对动力系统的影响是十分必要的。如何更好地理解噪声对复杂系统动力学行为的影响一直是一个具有挑战性的课题。
2018-11-02 math.DS
Random conformal dynamical systems
我们考虑随机动力系统，如群的共形变换与概率测度，或transversally共形叶理与拉普拉斯算子沿叶，在这种情况下，我们考虑holonomy伪群。我们证明，要么存在一个测量不变下的所有元素的组（或伪组），或几乎肯定是一个长的组合地图指数合同球。我们推出了一些关于唯一遍历性的结果。
2005-06-10 math.DS math.PR
Dynamical Inference for Transitions in Stochastic Systems with $α-$stable Lévy Noise
资料同化的目标之一是利用现有观测资料推断随机动力学行为。研究了具有（非高斯）$α-$稳定Lévy噪声的随机系统亚稳态之间的跃迁现象.无论是离散时间或连续时间的观察，我们推断这样的过渡计算相应的非本地Zakai方程（及其离散时间对应），并检查状态系统的最可能的轨道。最后给出了一些例子来说明这种方法。
2015-12-02 math.DS
Escape Probability for Stochastic Dynamical Systems with Jumps
逃逸概率是一个确定性的概念，它量化了随机动力学的某些方面。这个问题以前已经研究了由高斯布朗运动驱动的动力系统。本文研究了由非高斯Lévy运动，特别是对称$α$ -稳定Lévy运动驱动的动力系统的逃逸概率.逃逸概率被刻画为一类偏微分-积分方程的Balayage-狄利克雷问题的解.逃逸概率之间的差异，高斯和非高斯噪声驱动的动力系统突出。在某些特殊情况下，给出了逃逸概率的解析结果。
2012-05-13 math.DS
Random Attractors of Stochastic Lattice Dynamical Systems Driven by Fractional Brownian Motions and its Erratum
研究了Hurst参数大于$1/2$的分数布朗运动驱动的随机格点动力系统。在通常的耗散条件下，这些SLDS被证明产生一个随机动力系统的存在性和唯一性的随机吸引子建立。此外，随机吸引子实际上是单例集随机吸引子。其次，我们给出了一个错误，因为误用的理论。
2014-08-28 math.DS
Sufficient Criteria for Existence of Pullback Attractors for Stochastic Lattice Dynamical Systems with Deterministic Non-autonomous Terms
研究了由具有非自治确定性项的随机格微分方程生成的非自治动力系统的拉回吸引子。首先建立了具有非自治确定性和随机强迫项的格点动力系统存在拉回吸引子的充分条件。作为抽象理论的应用，我们证明了具有确定性非自治强迫项和乘性白噪声的一阶格点动力系统存在唯一的拉回吸引子.我们的结果恢复了已有的关于具有自治项或白噪声的格点动力系统的拉回吸引子存在性的结果。
2014-04-02 math.DS
A criterion for density of the isoperiodic leaves in rank 1 affine invariant suborbifolds
我们定义在任何仿射不变orbifold M的叶理FM，推广层的平移表面的模空间的等周期叶理和研究的动力学的叶子在秩1的情况下。我们建立了一个标准，确保密度的叶子，并提供了两个应用程序的这个标准。第一个是FM叶的动力学行为的分类时，M是Prym特征形轨迹在属3和第二个提供了第一个例子，致密的等周期叶层H（2，1，1）。
2022-11-09 math.DG math.DS
Stochastic Bifurcation of Pathwise Random Almost Periodic and Almost Automorphic Solutions for Random Dynamical Systems
本文引入了由非自治随机方程生成的动力系统的路径随机概周期解和概自守解的概念。这些解是确定性动力系统的路径随机模拟。研究了一类带乘性噪声的一维随机方程的随机周期解（随机概周期解、随机概自守解）的存在性与分支。
2014-05-24 math.DS math.PR
Random dynamical systems generated by coalescing stochastic flows on $\mathbb{R}$
证明了一类聚结随机流在$\mathbb{R}$上的随机动力系统的存在性。建立了新的聚并流状态空间。作为特例，考虑了随机微分方程解在相遇时间前独立的聚并流和聚并Harris流。
2017-05-15 math.DS math.PR
Generation of random dynamical systems from fractional stochastic delay differential equations
本文证明了满足自然正则性条件的分数阶随机时滞微分方程在可分的Hölder空间的子空间上生成连续随机动力系统.
2014-01-23 math.DS math.PR
A dynamical approximation for stochastic partial differential equations
随机不变流形常常为理解随机动力学提供几何结构。本文通过证明随机不变流形几乎必然渐近完备，得到了一类随机偏微分方程的动力学逼近估计.在适当的条件下，系统的渐近动力学行为可以用随机不变流形上的随机常微分系统来描述。作为一个应用，考虑了一个随机偏微分方程的定态（不变测度）。
2007-10-07 math.AP math.DS
Mean exit time for stochastic dynamical systems driven by tempered stable Lévy fluctuations
我们利用平均退出时间来量化由回火Lévy涨落驱动的随机动力系统的宏观动力学行为，这些随机动力系统是非局部椭圆型方程的解。首先，我们构造了一个新的数值格式来计算和求解一维随机系统的平均退出时间。其次，我们将解析和数值结果推广到二维情况：水平-垂直各向同性情况。最后，我们通过几个算例验证了所提出格式的有效性。
2019-10-21 math.DS math.PR
Invariant manifold reduction for stochastic dynamical systems
不变流形有助于理解非线性随机动力学。例如，当一个不变流形近似地用一个图来表示时，整个随机动力系统可以被简化或限制到这个流形上。这种简化系统可以为原系统提供有价值的动力学信息。作者导出了Stratonovich或Ito随机微分方程系统的不变流形约化或约束原理。考虑了不变流形的两个不变性概念。第一个不变性概念是在上循环的框架中--一个不变流形是一个随机集。通过研究随机中心流形实现了动力约简。第二个不变性概念是在几乎必然的意义上的--一个不变流形是一个确定的集合，它不一定是吸引的。原随机系统在这个确定性局部不变流形上的约束仍然是一个降维的随机系统。
2006-07-15 math.DS math.PR
Derivation of Fokker-Planck equations for stochastic dynamical systems under excitation of multiplicative non-Gaussian white noise
Fokker-Planck方程描述了随机动力系统概率密度随时间的演化，在量化不确定性的传播和演化方面起着重要作用。虽然Fokker-Planck方程可以显式地表示为高斯白噪声激励的非线性动力系统，但它们一般不适用于乘性非高斯白噪声激励的非线性动力系统。Marcus随机微分方程是工程和物理中研究受非高斯白噪声激励的随机动力系统的理想模型。本文导出了在乘性非高斯白噪声作用下，由Marcus随机微分方程模型化的一维系统的Fokker-Planck方程的显式表达式。作为例子，本文分别用导出的公式得到了在$α$稳定白噪声和高斯-泊松组合白噪声激励下的非线性动力系统的Fokker-Plank方程.
2016-03-16 math.DS math.PR
Stochastic Properties of Dynamical Systems Arising from (quantum) Spaces and Actions of Groups
我们回顾了新的结果，研究了群和半群在（量子）空间上的作用和变换，给出了由这些空间、作用和变换产生的动力系统和zeta函数，讨论了它们的随机性质。
2013-03-31 math.AG math.DS math.NT
Characterization of the Most Probable Transition Paths of Stochastic Dynamical Systems with Stable Lévy Noise
本文研究了由对称$α$ -稳定Lévy运动（$0<α<1$）或布朗运动驱动的随机动力系统的最可几跃迁路径.对于具有布朗运动的随机动力系统，最小化作用泛函是确定其最可几转移路径的一种常用方法，本文提出了一种基于路径积分的方法，得到了具有对称$α$ -稳定Lévy运动或布朗运动的随机动力系统的最可几转移路径，并且该最可几转移路径可以用确定性动力系统来刻画.
2019-04-06 math-ph math.DS math.MP
Phase space geometry for constrained Lagrangian systems
本文研究了退化拉格朗日量的有限维动力系统的相空间几何。拉格朗日和哈密顿约束形式主义被视为不同的本地坐标图片相同的不变程序。不变的描述给出的几何对象相空间上的叶理结构。
1998-06-27 hep-th math-ph math.DS
Reservoir Computing with Error Correction: Long-term Behaviors of Stochastic Dynamical Systems
提出结合 Reservoir Computing 与 Normalizing Flow 的数据驱动框架，通过误差建模提升传统方法性能，成功预测随机动力系统的长期演化并复现其动力学行为。
2023-07-30 math.DS nlin.CD stat.ML
Hamiltonian Floer theory on surfaces
本文利用有限能量叶状结构思想，发展了曲面上哈密顿同痕动力学与链级 Floer 理论的联系，提出生成正向横截叶状结构的 Floer 理论方法，并基于 Floer 链的拓扑刻画定义了新型谱不变量。
2024-05-31 math.DG math.DS math.SG
Bifurcation in mean phase portraits for stochastic dynamical systems with multiplicative Gaussian noise
通过研究平均相位图的定性变化，研究了带有乘性高斯噪声的随机系统的分岔现象。从求解过程的密度函数的Fokker-Planck方程出发，计算了平均轨道和平均平衡态。当参数变化时，数目或稳定性类型的变化指示随机分叉。具体地说，我们研究了三个原型动力系统（即，鞍结，跨临界，和干草叉系统）乘性高斯噪声下，并发现了一些有趣的现象，与相应的确定性同行。
2018-11-02 math.DS math.PR nlin.CD
Algebraic Entropy of Birational Maps with Invariant Curves
双有理离散时间动力系统的研究中的代数熵的相关性突出了需要将其与这些系统的其他特性。在这封信中，给出了两个补充的证明，空间的不变曲线的叶理意味着代数熵为零。
1999-12-08 chao-dyn math-ph math.AG
