A note on Turan number T(k+1,k,n)
An-Ping Li
Turán数是有限集合组合学中的重要课题之一，本文给出了Turán数的一个新的上界.
Turán number is one of primary topics in the combinatorics of finite sets,in this paper, we will present a new upper bound for Turán number.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
A note on induced Turán numbers
Loh，Tait，Timmons和Zhou引入了诱导Turán数的概念，定义$\operatorname{ex}(n, \{H, F\text{-ind}\})$为没有$F$的诱导副本和没有$H$的副本的$n$ -顶点图中的最大边数。他们和随后的工作集中在$F$是一个完全二部图。在这个简短的说明中，我们通过渐近确定诱导图兰数来补充这个焦点，只要$H$不是二部图，并且$F$不是独立集，也不是完全二部图。
A note on the Turán number of a Berge odd cycle
本文给出了不含奇长Berge圈的3-一致超图中超边个数的上界。我们改进了Füredi和Özkahya在2017年给出的界。这个结果是由一个更一般的定理得出的.我们还得到了Berge团的一些新结果。
A note on the Turán number of disjoint union of wheels
图$H$的图兰数，即$\text{ex}(n,H)$，是没有$H$作为子图的图在$n$顶点上的最大边数。轮$W_n$是通过将单个顶点连接到循环$C_{n-1}$的所有顶点而形成的$n$ -顶点图。令$mW_{2k+1}$表示$W_{2k+1}$的$m$顶点不相交拷贝。对于足够大的$n$，我们确定了$mW_{2k+1}$的Turán数和所有的极值图。当$n$足够大时，我们还给出了$W^{h}:=\bigcup\limits^m_{i=1}W_{k_i}$的Turán数和所有极值图，其中偶数轮的个数为$h$和$h>0$ .
A Note on Turán Numbers and the Erdős-Stone-Simonovits Theorem
本文围绕极值图论核心课题Turán数展开，既介绍该领域相关知名结果，又以原创方式证明Erdős-Stone-Simonovits定理。
Note on the Turán number of the $3$-linear hypergraph $C_{13}$
设冠$C_{13}$是$9$顶点$\{a,b,c,d,e,f,g,h,i\}$上的线性$3$ -图，边为$$E = \{\{a,b,c\}, \{a, d,e\}, \{b, f, g\}, \{c, h,i\}\}.$$.例如，我们证明了对于任何一个在$n$顶点上的无冠线性$3$ -图$G$，它的边数满足$$\lvert E(G) \rvert \leq \frac{3(n - s)}{2}$$其中$s$是$G$中度至少为$6$的顶点数.这个结果与以前的工作相结合，基本上完成了至多具有$4$边的线性$3$ -图的线性Turán数的确定.
A note on the minimum size of Turán systems
本文研究了 Turán $(n,s,r)$-系统的最小尺寸 $T(n,s,r)$，针对 $O(1)<s-r = O(r/\ln r)$ 这一此前未被覆盖的参数范围，建立了新的上界。
A note on the Turán number for the traces of hypergraphs
设$\mathcal{H}$是$r$ -一致超图，$F$是图.如果存在某个集合$S\subseteq V(\mathcal{H})$使得$\mathcal{H}|_{S}:=\{E\cap S: E\in E(\mathcal{H})\}$包含一个与$F.$同构的子图，则称$\mathcal{H}$包含$F$作为迹。令$ex_r(n,Tr(F))$表示不包含$F$作为迹的$n$ -顶点$r$ -一致超图$\mathcal{H}$的最大边数。本文改进了当$F$是星时$ex_r(n,Tr(F))$的下界，并给出了一些最优情形。我们还改进了当$\mathcal{H}$是$3$ -均匀的和当$t$很小时$F$是$K_{2,t}$的情况下的上界。
A note on the rainbow Turán number of brooms with length 2 handles
本文纠正了关于长度为2的柄的雨伞图的雨伞Turán数的原始证明错误，并为特定同余类的极值构造提供了特征化。
Hypergraph Turán densities can have arbitrarily large algebraic degree
Grosu [论图兰密度集的代数和拓扑结构。\emph{J. Combin. Theory Ser. B} \textbf{118}（2016）137--185]询问是否存在整数$r\ge 3$和$r$ -图的有限族，其图兰密度作为实数具有大于~ $r-1$的（代数）度。本文证明了对所有整数$r\ge 3$和$d$，存在有限族的$r$ -图，其Turán密度的度至少为~ $d$，从而以强形式回答了Grosu的问题.
On supersaturation and stability for generalized Turán problems
修复图形$F$和$H$。设$\mathrm{ex}(n,H,F)$表示无$n$ -点$F$-图中图$H$的最大副本数.本文给出了$\mathrm{ex}(n,H,F)$在$χ(H) < χ(F)$时的一个新的一般过饱和结果，并给出了$\mathrm{ex}(n,K_r,F)$的一个稳定性定理的新证明.
A note on the Higher order Turán inequalities for $k$-regular partitions
Nicolas和DeSalvo和Pak证明了配分函数$p(n)$对于$n \geq 25$是对数凹的。Chen，Jia和Wang证明了$p(n)$满足三阶Turán不等式，并证明了相应的3次Jensen多项式对$n \geq 94$是双曲的.最近，Griffin，Ono，Rolen和Zagier更一般地证明了对于所有$d$，与$p(n)$相关的次数$d$ Jensen多项式对于足够大的$n$是双曲的。在本文中，我们证明了同样的结果适用于$k$ -正则配分函数$p_k(n)$为$k \geq 2$。特别地，对于任何正整数$d$和$k$，对于足够大的$n$，阶$d$图兰不等式对$p_k(n)$成立。当$d = k = 2$证明了Neil Sloane的猜想$p_2(n)$是对数凹的情况。
A note on hypergraph extensions of Mantel's theorem
该注记针对超图Turán问题，在Il'kovič和Yan的研究基础上，给出了大幅简化的熵证明，得到k一致帐篷族Turán密度在该框架下的最优界，推进了Mantel定理的超图扩展研究。
A note on a very abstract chromatic number and extremal problems
本文探讨了抽象色数在确定Turán数渐近性中的作用，并扩展了其他极值函数的分析方法。
A note on vertex Turán problems in the Kneser cube
本文研究 Kneser 立方体中生成无固定图 G 子图的最大顶点数，证明了其二部图与非二部图情况下的渐近值，并探讨了误差阶及与禁止子偏序集问题的联系。
Rainbow Turán Methods for Trees
彩虹图兰数是传统图兰数的自然扩张，由Keevash、Mubayi、Sudakov和Verstraëte在2007年提出。图$H$的彩虹Turán数，$ex^{*}(n,H)$，是$n$顶点图$G$的最大边数，它可以被适当地边着色而没有彩虹$H$子图.我们探索减少方法找到彩虹图兰数的上界，并使用此通知结果的彩虹图兰数的双星，毛毛虫，和完美的二叉树。此外，我们还定义了$k$ -唯一着色和相关的$k$ -唯一图兰数.我们提供了这个新的变种上的经典问题的初步结果。
Rainbow Turán number of clique subdivisions
证明了对任意整数$t\geq 2$，$n$顶点上的每一个正确边着色的图都含有$K_t$的彩虹细分，且该图的边数大于$n^{1+o(1)}$.请注意，边缘数量上的这个界限一直到$o(1)$误差项都是尖锐的。这是一个彩虹类似的一些经典结果团细分和推广的一些结果彩虹图兰数。我们的方法依赖于Sudakov和Tomon[2020]引入的框架，我们调整该框架以在彩色设置中找到鲁棒的扩展器。
Turán and Ramsey numbers for $3$-uniform minimal paths of length $4$
我们确定了长度为4的3-一致极小路族\emph{for all $n$}的图兰数.我们还建立了二阶和三阶Turán数，并使用它们来计算最多四种颜色的相应Ramsey数。
A note on the Kővári--Sós--Turán theorem for stable hypergraphs
本文证明了划分式k-稳定r-超图的Kővári-Sós-Turán定理的更强版本，其中指数改进量η不依赖于t，证明采用伪有限方法。
On the Turan number of forests
图H的Turan数，ex（n，H），是指n阶图中不含H的子图的最大边数。我们确定的图兰数，并找到唯一的极值图的森林组成的路径时，n是足够大的。这推广了Bushmann和Kettle [ Combinatorics，Probability and Computing 20：837- 853，2011]的结果。我们还确定了由任意阶恒星组成的森林的Turan数和极值图。
Turán numbers of vertex-disjoint cliques in $r$-partite graphs
对于两个图$G$和$H$，图兰数$ex(G,H)$是不包含$H$的副本的$G$的子图中的最大边数。Chen、Li和Tu确定了所有$k\geq 1$的图兰数$ex(K_{m,n},kK_2)$ [7]。在本文中，我们将确定所有$r\geq 3$和$k\geq 1$的图兰数$ex(K_{a_1,\ldots,a_r},kK_r)$。
Generalized Outerplanar Turán numbers and maximum number of k-vertex subtrees
本文证明了给定阶二叉树中k-顶点子树的最大数目的一个渐近结果。这个问题等价于确定n-顶点外平面图中k+2-圈的最大个数，从而确定了所有圈的广义外平面Turán数.我们还确定了路的广义外平面Turán数Pk作为k的函数的指数增长性，这意味着任意树的广义外平面Turán数的数量级。边界与Catalan数序列密切相关。
Regular Turán numbers and some Gan-Loh-Sudakov-type problems
出于Gan-Loh-Sudakov型问题的动机，我们引入了正则图兰数，这是经典图兰数的自然变化，要求宿主图是正则的。在其他结果中，我们证明了一个惊人的过饱和版本的曼特尔定理的情况下，一个经常主机图的奇数阶。我们还研究了图的正则图兰数行为的经典或其他。
On a Relation between Schreier-type Sets and a Modification of Turán Graphs
最近，Schreier型集和Turán图之间的关系被发现。本文给出了一个组合证明，并得到了该关系的一个推广。具体地说，对于$p, q\ge 1$，让$$\mathcal{A}_q := \{F\subset\mathbb{N}: |F| = 1 \mbox{ or }F\mbox{ is an arithmetic progression with difference } q\}$$和$$Sr(n, p, q)\ :=\ \#\{F\subset \{1, \ldots, n\}\,:\, p\min F\ge |F|\mbox{ and }F\in \mathcal{A}_q\}.$$我们表明，$$Sr(n, p, q) \ =\ T(n+1, pq+1, q),$$其中$T(\cdot, \cdot, \cdot)$是一个$n$ -顶点图，是图兰图的修改的边数。我们还证明了$Sr(n,p,q)$是某些序列的部分和。
Outerplanar Turán numbers of cycles and paths
一个图是外平面的，如果它可以嵌入到一个平面中，使得所有的顶点都位于它的外面。给定图$H$的外平面Turán数，记为${\rm ex}_{\mathcal{OP}}(n,H)$，是指在$H$的顶点上不包含$H$拷贝的所有外平面图上的边的最大个数.本文完全确定了圈和路的外平面Turán数。
On hypergraph Turán problems with bounded matching number
针对匹配数有界的超图场景，本文开展类似Turán问题的研究，得到若干精确结果，拓展了Alon、Frankl与Gerbner在普通图领域的相关研究。
The Turán number for the edge blow-up of trees: the missing case
一个图的边爆破是指用一个大小相同的团来代替它的每一条边而得到的图，其中这些团的新顶点都是不同的。Wang，Hou，Liu和Ma确定了树的边爆破的Turán数，除了一个特例。通过解决他们提出的一个问题，我们确定了这种特殊情况下的图兰数。
Regular Turán numbers
图$F$的正则Turán数，记为rex $(n,F)$，是$n$阶正则图$G$中使得$G$不包含与$F$同构的子图的最大边数。给出了Gerbner等人[arXiv：1909.04980]最近提出的一个问题的部分答案，我们证明了当$F$的色数至少为4时，rex $(n,F)$渐近等于（经典）Turán数;但对于某些3色图$F$，如果$n$是奇数，则rex渐近等于（经典）Turán数。
Turán numbers of extensions
$r$ -一致超图$G$的扩张是通过对$G$的每一对未被$G$中的边覆盖的顶点添加包含这对顶点和$r-2$新顶点的额外边而得到的. Keevash和Sidorenko~之前已经确定了两族超图扩张的Turán密度。我们确定这些家庭的图兰数，使用经典的稳定性技术和新的工具，在我们以前的文件。
The Turán number of the triangular pyramid of 4-layers
本文证实了四层三棱锥的Turán数为1/4n²+Θ(n^{4/3})
Exact generalized Turán number of vertex-disjoint paths of length two
研究确定长度为二的顶点不相交路径的广义图兰数及极值图，核心方法是结合克鲁斯卡尔 - 卡托纳定理的洛瓦兹形式与离散凸性论证。
The Turan Number of Disjoint Copies of Paths
图$H$的图兰数，即$ex(n,H)$，是不包含$H$作为子图的$n$阶单图的最大边数。令$k\cdot P_3$表示路径在$3$顶点上的不相交副本$k$。本文确定了极图的值$ex(n, k\cdot P_3)$，并刻画了所有极图.这推广了Bushmann和Kettle [N. Bushmann和N. Kettle，Turán多重和等分森林的数量，Combin.可能吧计算：20（2011）837-853.]，解决了Gorgol在[I.戈尔戈尔图的不相交副本的图兰数。{ \it图形组合}，27（2011）661-667.]。
On the Turán number of the $G_{3\times 3}$ in linear hypergraphs
针对线性超图中 $G_{3\ imes 3}$ 的 Turán 数问题，本文构造不含 $3\ imes 3$ 网格的稠密 3-一致线性超图，从而改进其下界。
Planar Turán number of disjoint union of $C_3$ and $C_4$
$H$的{ \em平面图兰数}，记为$ex_{\mathcal{P}}(n,H)$，是无$H$平面图中边的最大个数. $k\geq 3$顶点不交圈并的平面Turán数是平凡值$3n-6$ . Lan、Shi和Song确定了$ex_{\mathcal{P}}(n,2C_3)$的精确值。本文继续研究了顶点不交并圈的平面Turán数，得到了$ex_{\mathcal{P}}(n,H)$的精确值，其中$H$是$C_3$和$C_4$的顶点不交并.最后给出了极图的特征。当$k$足够大时，我们还改进了$ex_{\mathcal{P}}(n,2C_k)$的下界.
The Turán Number of Surfaces
证明了存在一个常数$c$，使得任何具有$n$顶点和至少有$cn^{5/2}$边的3-一致超图$\mathcal H$包含一个实射影平面的三角剖分作为子图.这解决了Kupavskii，Polyanskii，Tomon和Zakharov的猜想。此外，我们的工作，结合先前的结果，渐近确定所有曲面的Turán数。
Exact Turán numbers of two vertex-disjoint paths
本文确定了阶至少为4的两条顶点不相交奇数阶路径的精确Turán数，从而完全解决两条顶点不相交路径的Turán数问题，并证实了Yuan和Zhang在2021年提出猜想的$k=2$情形。
On the cover Turán number of Berge hypergraphs
对于一个固定的正整数集合$R$，如果每条边的基数都属于$R$，则称$\mathcal{H}$是$R$ -一致超图或$R$ -图.对于一个图$G=(V,E)$，如果存在一个双射$f: E(G) \to E(\mathcal{H})$使得对于每个$e \in E(G)$，有$e \subseteq f(e)$，则称一个超图$\mathcal{H}$为Berge- $G$，记为$BG$.本文定义了超图中Turán数的一个变体，即覆盖Turán数，记作$\hat{ex}_R(n, G)$，它是指无Berge- $G$的$R$ -图在$n$顶点上的最大边数.当主超图的一致性等于$3$时，给出了图的覆盖Turán数的一般上界，并确定了所有图的覆盖Turán密度.
Turán-type results for intersection graphs of boxes
在这个简短的说明中，我们证明了下面的类似的Kovári-Sós-Turán定理的交图的盒子。如果$G$是$\mathbb{R}^{d}$中$n$轴平行盒的交图，使得$G$不包含$K_{t,t}$的副本，则$G$最多有$ctn(\log n)^{2d+3}$边，其中$c=c(d)>0$仅依赖于$d$。我们的证明是基于探索盒性，分离维数和偏序集维数之间的联系。使用这种方法，我们还表明，建设Basit等人。$K_{2,2}$ -免费的关联图的点和矩形在平面上可以用来反驳一个猜想的阿隆等人。我们表明，存在图的分离维数4具有超线性数的边缘。
Some exact results of the generalized Turán numbers for paths
对于色数为$χ(F)=k$的图$H$和$F$，当$n$足够大时，若图$T_{k-1}(n)$是$n$顶点上唯一的$F$ -free图，且$H$的拷贝数最多，则称$H$为严格$F$ -Turán-good（或$(H, F)$严格Turán-good）.设$F$是一个具有色数$χ(F)\geq 3$和色临界边的图，$P_\ell$是一条具有$\ell$顶点的路. Gerbner和Palmer（2020，arXiv：2006.03756）证明了如果$χ(H)\ge 4$，则$(P_3, F)$是严格的Turán好的，并且他们证明了（a）当$χ(F)=3$时，这个结果是真的，而且，（b）对于每对整数$\ell$和$k$，$(P_\ell, K_k)$是Turán好的。本文证明了当$H$是一个二部图且匹配数为$ν(H)=\lfloor \frac{|V(H)|}{2}\rfloor$和$χ(F)= 3$时，$(H, F)$是严格Turán-好的，作为推论，这个结果证实了猜想（a）;我们还证明了$(P_\ell, F)$对于$2\le\ell\leq 6$和$χ(F)\ge 4$是严格Turán-好的，这也证实了猜想（b）对于$2\le\ell\leq 6$和$k\ge 4$是严格Turán-好的.
The Turán number of $k_1P_{2l}\cup k_2S_{2l-1}$
图$H$的图兰数，记为$ex(n, H)$，是指在$n$顶点上不包含$H$作为子图的任何图中的最大边数。令$P_k$表示$k$顶点上的路径，$S_k$表示$k+1$顶点上的星，并且$k_1P_{2l}\cup k_2S_{2l-1}$表示具有$P_{2l}s$的$k_1$拷贝和$S_{2l-1}s$的$k_2$拷贝的不相交并集的路径-星森林。2019年，Lan等人确定了$kS_l$和$k_1P_4\cup k_2S_3$的图兰数。2022年，Zhang等人确定了$k_1P_6\cup k_2S_5$的Turán数，并提出了$k_1P_{2l}\cup k_2S_{2l-1}$的Turán数猜想，其中$k_1\geqslant 1$和$l\geqslant 2$。本文研究了这一假设，并在$n$充分大的情况下确定了$k_1P_{2l}\cup k_2S_{2l-1}$的Turán数.
One more Turán number and Ramsey number for the loose 3-uniform path of length three
设$P$表示由7个顶点$a,b,c,d,e,f,g$和3条边$\{a,b,c\}, \{c,d,e\},$和$\{e,f,g\}$组成的3-一致超图.已知用于$P$的$r$颜色拉姆齐数是用于$r\le 9$的$R(P;r)=r+6$。这个结果的证明依赖于对$P$的图兰数的仔细分析。在本文中，我们进一步完善这一分析，并计算五阶图兰数为$P$，所有$n$。使用$n=16$的这个数字，我们确认了公式$R(P;10)=16$。
The Turán number and probabilistic combinatorics
在这篇简短的文章中，我们描述了一种称为概率方法的数学工具，并通过证明一些众所周知的结果来说明它的优雅和美丽。特别地，我们给出了关于Turán数$T(n,k,l)$的一个经典定理的非传统概率证明.令人惊讶的是，在现有的文献中找不到这种证明。
On the Turán number of the directed path
研究\(n\)个顶点无长度为\(k\)有向路径的有向图最大弧数，通过确定相关数量改进周和李定理，其原定理对\(n\)有超指数阈值，现对\(n \geq 50k^6\)得出结果。
Asymptotics for Turán numbers of cycles in 3-uniform linear hypergraphs
设$\mathcal{F}$是一族$3$ -一致线性超图. $\mathcal F$的线性Turán数是指不包含$\mathcal{F}$成员的$3$ -一致线性超图在$n$顶点上的最大可能边数.本文证明了五圈$C_5$（Berge意义下）的线性Turán数是渐近的$\frac{1}{3 \sqrt3}n^{3/2}$.我们还证明了四圈$C_4$和$\{C_3, C_4\}$的线性Turán数是渐近相等的，这是对Lazebnik和Verstraëte定理的加强.建立了长为$2k+1$的线性圈的线性Turán数与围长大于$2k-2$的图的边的极值数之间的联系.结合我们的结果和Collier-Cartaino，Graber和Jiang的一个定理，我们得到了长度为$2k+1$的线性圈的线性Turán数为$Θ(n^{1+\frac{1}{k}})$，其中$k = 2, 3, 4, 6$ .
Refined Turán numbers and Ramsey numbers for the loose 3-uniform path of length three
设$P$表示由7个顶点$a,b,c,d,e,f,g$和3条边$\{a,b,c\}, \{c,d,e\},$和$\{e,f,g\}$组成的3-一致超图.已知用于$P$的$r$颜色拉姆齐数是用于$r\le 7$的$R(P;r)=r+6$。这个结果的证明依赖于对$P$的图兰数的仔细分析。在本文中，我们进一步完善这一分析和计算，所有$n$，第三和第四阶图兰数$P$。在前者的帮助下，我们确定了$r\in\{8,9\}$的公式$R(P;r)=r+6$。
Inverse Turán numbers
对于给定的图$G$和$F$，Turán数$ex(G,F)$被定义为$G$的无$F$子图中的最大边数. Foucaud，Krivelevich和Perarnau，后来独立布里格斯和考克斯介绍了这个问题的双重版本，其中对于给定的$k$数，一个最大化的主机图$G$的边缘数，其中$ex(G,H) < k$。解决问题的布里格斯和考克斯，我们确定的路径长度$4$和$5$的反图兰数的渐近值，并提供了一个改进的下界为所有路径的偶数长度。此外，我们还得到了偶数圈的逆Turán数的界，从而改进了$C_4$情形下的前导系数的界。最后，我们给出了关于$C_4$和$P_{\ell}$的逆Turán数的渐近值的多个定理，表明在后一个问题中，渐近行为在很大程度上依赖于$\ell$的奇偶性.
On Turán-good graphs
对于图$H$和$F$，广义图兰数$ex(n,H,F)$是无$F$图中$n$顶点上$H$的最大拷贝数。如果$ex(n,H,F)$是$(χ(F)-1)$ -particular Turán图中的拷贝数，并且$n$足够大，我们称$H$是$F$ -Turán-good的.本文给出了当$F$有一条边的缺失使其色数减少时的一般定理。特别地，如果$n$足够大，则这精确地确定$ex(n,P_k,C_{2\ell+1})$和$ex(n,C_{2k},C_{2\ell+1})$。我们还研究了当$F$有一个顶点的删除减少了色数的情况。
A construction for bipatite Turán numbers
我们详细考虑了著名的家庭的图形$G(q,t)$，建立一个渐近的图兰数的下界$\mathrm{ex}(n,K_{2,t+1})$。我们证明了$G(q,t)$对某些特定的$q$和$t$也给出了$K_{3,3}$和某些更高的完全二部图的渐近界。我们证明的渐近界是由著名的Norm-图所提供的相同。
On the Rainbow Turán number of paths
设$F$是一个固定图. $F$的彩虹图兰数定义为在$n$顶点上具有正确边着色且没有$F$的彩虹副本的图中的最大边数（其中$F$的彩虹副本意味着$F$的所有边都具有不同颜色的副本）。对这些问题的系统研究由Keevash、Mubayi、Sudakov和Verstraëte发起。本文证明了具有$k+1$边的路径的彩虹Turán数小于$\left(\frac{9k}{7}+2\right) n$，改进了Johnston，Palmer和Sarkar的一个较早的估计.
On Turán problems with bounded matching number
针对匹配数至多为s的n顶点无F图的最大边数这一由Alon和Frankl新近提出的Turán型问题，本文在固定F和s的条件下确定了其相差常数加项的数值，并得到若干精确结论。
Some Exact Ramsey-Turán Numbers
设r是一个整数，f（n）是一个函数，H是一个图.由Erdés，Hajnal，Sós和Szemerédi引入的H的r-Ramsey-Turán数RT_r（n，H，f（n））定义为n-顶点无H图G的最大边数，其中α_r（G）<= f（n），其中α_r（G）表示G的K_r-独立数.本文利用高维单位球的等周性质，构造了对任意2 <= s <= r，RT_r（n，K_{r+s}，o（n））有下界的图.这些构造对于无限族的r和s对是尖锐的。唯一以前的尖锐建设是由Bollobás和埃尔德\Hos为r = s = 2。
The Turán Number of the Triangular Pyramid of $3$-Layers
图$H$的图兰数，记为$\text{ex}(n, H)$，是没有$H$作为子图的$n$ -顶点图中的最大边数。令$TP_k$为$k$层的三棱锥。本文确定了$\text{ex}(n,TP_3)= \frac{1}{4}n^2+n+o(n)$，并对$\text{ex}(n,TP_4)$提出了一个猜想.
Positive co-degree Turán number for $C_5$ and $C_5^{-}$
非空$r$ -图$H$的\emph{minimum positive co-degree} $δ^{+}_{r-1}(H)$是最大$k$，使得如果$S$是包含在$H$的超边中的$(r-1)$ -集，则$S$至少包含在$H$的$k$超边中。对于任何$r$ -图$F$，\emph{positive degree Turán number} $\mathrm{co}^{+}\mathrm{ex}(n,F)$被定义为在所有$n$ -顶点$F$ -自由的非空$r$ -图$H$上的$δ^{+}_{r-1}(H)$的最大值.本文确定了$C_5$和$C_5^{-}$的正度Turán数.
On generalized Turán problems with bounded matching number
本文研究了具有受限匹配数的广义Turán问题，确立了相关的稳定性结果，并利用这些结果给出了当禁用图F为任意非二部图或k顶点路径时广义Turán数的精确值。
Planar Turán number of two adjacent cycles
该研究针对平面图Turán数问题，确定了由一条边连接两个不交环构成的$C_3$-$C_3$与$C_3$-$C_4$两类图的平面图Turán数，补充了相邻环结构的平面图极值边数结果。
Chromatic Number Via Turan Number
图G的Kneser表示KG（H）是超图H的超边到G的顶点的双射赋值，使得G的两个顶点相邻当且仅当对应的超边不相交.本文引入了图的着色图兰数，并利用图的广义图兰数来确定某些图族的色数.特别地，我们确定了每个Kneser多重图KG（H）的色数，这里H的顶点集是多重图G的边集，使得每条边的重数大于1，H中的一个超边对应于G的一个子图，该子图同构于给定的单图族中的某个图.
Turán numbers for 3-uniform linear paths of length 3
本文证实了Füredi，Jiang和Seiver的一个猜想，并确定了长度为3的3-一致线性路$P^3_3$的图兰数$ex_3(n; P_3^3)$的一个精确公式，它对所有的$n$都成立.它与前面Frankl和Füredi对$n\ge 75$以及Csákány和Kahn对所有$n$得到的3-均匀三角形$C^3_3$的类似公式一致。鉴于这种巧合，我们还确定了一个“条件”Turán数，定义为在$P^3_3$ -free的3-均匀超图中，在$n$顶点上的最大边数，它是\emph{not} $C^3_3$ -free的.
Planar Turán number for balanced double stars
本文确定了平衡双星中最后一个未解图 $S_{3,3}$ 的平面 Turán 数精确值，从而完全解决了所有平衡双星的平面 Turán 数问题。
Some results on the Turán number of $k_1P_{\ell}\cup k_2S_{\ell-1}$
图$H$的图兰数，记为$ex(n, H)$，是指在$n$顶点上不包含$H$作为子图的任何图中的最大边数。令$P_{\ell}$表示$\ell$顶点上的路径，$S_{\ell-1}$表示$\ell$顶点上的星，并且$k_1P_{\ell}\cup k_2S_{\ell-1}$表示具有$P_{\ell}$的$k_1$拷贝和$S_{\ell-1}$的$k_2$拷贝的不相交并集的路径-星森林。在2013年，Lidickeland等人首次考虑了足够大的$n$的$k_1P_4\cup k_2S_3$的图兰数。2022年，张和王提出了关于$k_1P_{2\ell}\cup k_2S_{2\ell-1}$的图兰数的猜想。本文确定了$n$适当大时$P_{\ell}\cup kS_{\ell-1}$，$k_1P_{2\ell}\cup k_2S_{2\ell-1}$，$2P_5\cup kS_4$的Turán数，这意味着Zhang和Wang的猜想.相应的极图也被完全刻画。
Turán, involution and shifting
我们提出了一个加强的结论，图兰（3，4）-猜想的代数移位，并表明其类似的图举行。在另一个方向上，我们通过削弱其假设来推广曼特尔-图兰定理：对任意n阶图G及其顶点集上的任意对合，若对任意3-顶点集S，S在G中所张成的边数加上S在对合下的像在G中所张成的边数至少为2，则G中的边数至少为Mantel-Turán界，即通过大小为N/2的两个不相交的集团向上和向下舍入获得的数目。
Many Turan exponents via subdivisions
给定一个图$H$和一个正整数$n$，{ \it Turán数} $\ex(n,H)$是不包含$H$作为子图的$n$ -顶点图中的最大边数。一个实数$r\in(1,2)$称为{ \it Turán指数}，如果存在一个二部图$H$使得$\ex(n,H)=Θ(n^r)$。一个长期存在的猜想Erdens和Simonovits指出，$1+\frac{p}{q}$是图兰指数，所有正整数$p$和$q$与$q> p$。在本文中，我们建立在最近的发展上的猜想，建立一个大家庭的新图兰指数。特别地，从我们的主要结果得出，对于所有正整数$p$和$q$，$1+\frac{p}{q}$是图兰指数，其中$q> p^2$。
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