Hamiltonian cycles in tough $(P_2\cup P_3)$-free graphs
设$t>0$为实数，$G$为图.如果对于$G$的每个割集$S$，$|S|$与$G-S$的分量数之比至少为$t$，则我们说$G$是$t$ -tough的。确定任意图的韧性是一个NP-难问题。Chvátal的韧性猜想，即存在一个常数$t_0$使得每个至少有三个顶点的$t_0$ -坚韧图是Hamilton图，在一般情况下仍然是开的.一个图称为$(P_2\cup P_3)$ -free，如果它不包含任何同构于$P_2\cup P_3$的导出子图，$P_2\cup P_3$是两个顶点不相交的2阶和3阶路的并集。本文证明了至少有三个顶点的15-tough无$(P_2\cup P_3)$图是Hamilton图。
2019-01-08 math.CO
Hamiltonian cycles in 7-tough $(P_3\cup 2P_1)$-free graphs
不完全图$G$的韧性是最大实数$t$，使得对于$G$的每个割集$S$，$|S|$与$G-S$的分量数之比至少为$t$，并且完全图的韧性被定义为$\infty$。确定给定图的韧性是NP困难的。Chvátal的韧性猜想，指出存在一个常数$t_0$，使得任何韧性至少为$t_0$的图都是Hamilton的，对于一般图仍然是开放的。一个图称为无$(P_3\cup 2P_1)$的，如果它不包含任何同构于$P_3\cup 2P_1$的导出子图，即$P_3$与两个孤立点的不交并.本文证明了Chvátal关于无$(P_3\cup 2P_1)$图的坚韧性猜想，证明了至少有三个顶点的无7-坚韧$(P_3\cup 2P_1)$图是Hamilton图.
2021-07-18 math.CO
On the chromatic number of some $P_5$-free graphs
让$G$是一个图。我们说$G$是完全可分的，如果对于$G$的每个导出子图$H$，$V(H)$可以划分为$A$和$B$，使得$H[A]$是完全的，$ω(H[B])<ω(H)$。我们使用$P_t$和$C_t$分别表示$t$顶点上的路径和循环。对于两个不交图$F_1$和$F_2$，我们用$F_1\cup F_2$表示顶点集为$V(F_1)\cup V(F_2)$、边集为$E(F_1)\cup E(F_2)$的图，用$F_1+F_2$表示顶点集为$V(F_1)\cup V(F_2)$、边集为$E(F_1)\cup E(F_2)\cup \{xy\;|\; x\in V(F_1)\mbox{ and } y\in V(F_2)\}$的图.本文证明了：（i）$(P_5, C_5, K_{2, 3})$ -free图是完全可分的;（ii）$χ(G)\le 2ω^2(G)-ω(G)-3$是完全可分的，如果$G$是$(P_5, K_{2,3})$ -free的，且具有$ω(G)\ge 2$;（iii）$χ(G)\le {3\over 2}(ω^2(G)-ω(G))$是完全可分的，如果$G$是$(P_5, K_1+2K_2)$ -free的;（iv）$χ(G)\le 3ω(G)+11$是完全可分的，如果$G$是$(P_5, K_1+(K_1\cup K_3))$ -free的.
2022-02-26 math.CO
Some results on the saturation number for unions of cliques
该研究属于组合数学领域，确定了三类团并图的饱和数及部分极图，完善了图饱和问题的相关结论。
2023-10-10 math.CO
On the Distinguishing number of Functigraphs
令$G_{1}$和$G_{2}$是图$G$的不相交副本，并且令$g:V(G_{1})\rightarrow V(G_{2})$是函数。函数图$F_{G}$由顶点集$V(G_{1})\cup V(G_{2})$和边集$E(G_{1})\cup E(G_{2})\cup \{uv:g(u)=v\}$组成。本文将图的可区别数的研究推广到函数图。讨论了$G$到$F_{G}$的可区别数的性质，得到了它的精确下界和上界.我们还讨论了完全图和联图的函数图的可区别数。
2016-12-03 math.CO
On the chromatic number of some ($P_3\cup P_2$)-free graphs
本文研究不含$(P_3\cup P_2)$的图的$\u03c7$-有界性，分别给出不含kite、不含hammer、不含$C_5$的三类该类图的$\u03c7$-绑定函数上界，并探讨不含$K_4$的该类图的相关问题。
2023-08-29 math.CO
A note on hamiltonian cycles in $4$-tough $(P_2\cup kP_1)$-free graphs
设$t>0$为实数，$G$为图.我们说$G$是$t$ -tough的，如果对于$G$的每个割集$S$，$|S|$与$G-S$的分量数之比至少是$t$。Chvátal的韧性猜想，即存在一个常数$t_0$使得每个至少有三个顶点的$t_0$ -坚韧图是Hamilton图，在一般情况下仍然是开放的。对于任意给定的整数$k\ge 1$，如果$G$不包含$P_2$和$k$孤立点的不交并作为导出子图，则图$G$是$(P_2\cup kP_1)$自由的.本文证明了至少有三个顶点的4-坚韧$2k$ -连通无$(P_2\cup kP_1)$图是Hamilton图.这个结果在某种意义上是经典的Chvátal-Erdés定理的“推广”，该定理证明了至少有三个顶点的$\max\{2,k\}$ -连通无$(k+1)P_1$图是Hamilton图.
2022-02-13 math.CO
The saturation number for unions of four cliques
本文确定了在特定大小条件下四个团并集的饱和数，推广了已知的三团并集结果。
2024-08-21 math.CO
On Fixing number of Functigraphs
图$G$的固定数是它的顶点集$V(G)$的最小子集$S$的阶，使得$S$在$G$中的稳定子$Γ_{S}(G)$是平凡的.令$G_{1}$和$G_{2}$是图$G$的不相交副本，并且令$g:V(G_{1})\rightarrow V(G_{2})$是函数。函数图$F_{G}$由顶点集$V(G_{1})\cup V(G_{2})$和边集$E(G_{1})\cup E(G_{2})\cup \{uv:v=g(u)\}$组成。本文研究了固定数在从$G$到$F_{G}$的传递过程中的行为，并找到了固定数的精确上下界.我们还研究了一些著名的图族如完全图、树和联图的函数图的固定数。
2016-11-10 math.CO
A note on the saturation number for unions of three cliques
Wuxi University（无锡大学）；Beijing Jiaotong University（北京交通大学）；Tsinghua University（清华大学）
本文针对2≤p≤q<r<p+q且n足够大的情况，确定了三个团K_p、K_q、K_r的并的饱和数及唯一极图，结合已有结果完成了所有足够大n下该类并的饱和数及极图的确定。
2026-08-04 math.CO
Colouring ($P_2\cup P_4$, diamond)-free graphs with $ω$ colours
Hong Kong University of Science and Technology（香港科技大学）
本文研究了($P_2\cup P_4$, diamond)-自由图的着色问题，证明了色数与 clique 数的关系，并改进了现有色数界限。
2026-08-11 math.CO
Forbidden induced subgraphs for perfectness of claw-free graphs of independence number at least 4
对于图$X$，我们考虑一类独立数至少为$4$的不同于奇圈的所有连通无$\{K_{1,3}, X\}$图，证明了该类图是完美图的充要条件是$X$是$P_6$，$K_1 \cup P_5$，$2P_3$，$Z_2$或$K_1 \cup Z_1$的导出子图.此外，对于$X$选择为$2K_1 \cup K_3$，我们列出了所有八个不完美的图属于类，并为每一个其他的选择$X$，我们表明，有无穷多个这样的图。此外，对于被选为$B_{1,2}$的$X$，我们描述了该类中所有不完美图的结构。
2021-09-01 math.CO
On Turán problems for Cartesian products of graphs
令$A,B$是大小为$n$和$m$的不相交集合。令${\mathcal Q}$是四元组族，具有来自$A$的$2$元素和来自$B$的$2$，使得具有$|S|=7$、$|S \cap A| \geq 2$和$|S \cap B| \geq 2$的任何子集$S \subseteq A \cup B$包含四元组中的一个。我们证明了${\mathcal Q}$的最小尺寸是$(1/16 + O(1/n) + O(1/m)) n^2 m^2$作为$n,m\to\infty$。我们还解决了渐近更一般的两部图兰问题的四倍。
2018-12-13 math.CO
Generalized Turán problems for even cycles
给定一个图$H$和一组图$\mathcal F$，令$ex(n,H,\mathcal F)$表示无$\mathcal F$图中$H$在$n$顶点上的最大可能拷贝数.当$H$和$\mathcal F$的成员都是圈时，我们研究了函数$ex(n,H,\mathcal F)$.令$C_k$表示长度为$k$的循环，令$\mathscr C_k=\{C_3,C_4,\ldots,C_k\}$。我们的一些主要结果如下。(i)我们表明，$ex(n, C_{2l}, C_{2k}) = Θ(n^l)$的任何$l, k \ge 2$。证明了无$C_8$的二部图的最大可能$C_6$数为$ex(n,C_4,C_{2k}) = (1+o(1)) \frac{(k-1)(k-2)}{4} n^2$和$C_6$的最大可能数为$n^3 + O(n^{5/2})$ . (ii)Solymosi和Wong证明，如果Erdés的围长猜想成立，那么对于任何$l \ge 3$，我们都有$ex(n,C_{2l},\mathscr C_{2l-1})=Θ(n^{2l/(l-1)})$。我们证明，禁止任何其他甚至循环减少$C_{2l}$的数量显着：对于任何$k > l$，我们有$ex(n,C_{2l},\mathscr C_{2l-1} \cup \{C_{2k}\})=Θ(n^2).$更一般地说，我们表明，对于任何$k > l…
2018-12-17 math.CO
Optimal chromatic bound for ($P_2\cup P_4$, HVN)-free graphs
Hong Kong University of Science and Technology（香港科技大学）
本文确定了当团数不小于4时，($P_2\bigcup P_4$, HVN)-无图的色数上界为团数的4/3向上取整，证明该界最优并统一了若干图类的χ-绑定函数结果。
2025-11-18 math.CO
Hamiltonicity of $1$-tough $(P_2\cup kP_1)$-free graphs
给定一个图$H$，如果$G$不包含作为导出子图的$H$，则图$G$是无$H$的.对于正实数$t$，称一个非完全图$G$是$t$ -tough的，如果对$G$的每个点割$S$，$|S|$与$G-S$的分支数之比至少为$t$ .一个完整的图被称为$t$ -tough，对于任何$t>0$都是如此。Chvátal的坚韧性猜想，指出存在一个常数$t_0$使得每个至少有三个顶点的$t_0$ -坚韧图是Hamilton的，一般来说仍然是开放的。Chvátal和Erdös \cite{CE}证明了，对任意整数$k\ge 1$，每个至少有三个顶点的$\max\{2,k\}$ -连通无$(k+1)P_1$图是Hamilton图.根据Chvátal-Erdös定理，Shi和Shan证明了对任意整数$k\ge 4$，每个至少有三个顶点的$4$ -tough $2k$ -connected $(P_2\cup kP_1)$ -free图都是Hamilton图，并提出了对任意整数$k\ge 1$，任意$1$ -tough $2k$ -connected $(P_2\cup kP_1)$ -free图都是Hamilton图的猜想.在本文中，我们证实了这个猜想，并进一步证明，如果$k\ge 3$，那么条件“$2k$ -连通”可以减弱为“$2(k-1)$ -连通”。作为直接结果，对于任何整数$k\ge 3$，每个$…
2023-03-20 math.CO
A generalization of a theorem of Erné
设$X$是一个有限集，$Z \subseteq X$和$y \notin X$。Marcel Erné在1981年证明了$X$上包含$Z$作为反链的偏序集的个数等于$X \cup \{ y \}$上的偏序集$R$的个数，其中$Z \cup \{ y \}$的点恰好是$R$的极大点。证明了如下推广：对于每个带有载体$Z$的偏序集$Q$，$X$上包含$Q$作为诱导子偏序集的偏序集的个数等于$X \cup \{ y \}$上包含$Q^d + A_y$作为诱导子偏序集的偏序集$R$的个数，其中$Q^d + A_y$的极大点恰是$R$的极大点.这里，$Q^d$是$Q$的对偶，$A_y$是$y$上的单偶偏序集，而$Q^d + A_y$表示$Q^d$和$A_y$的直和。
2021-05-03 math.CO
A generalization of the Kővári-Sós-Turán theorem
本文给出了一个新的证明，证明了$ex(n, K_{s,t}) = O(n^{2-1/t})$对于$s, t \geq 2$ .新的证明是初等的，避免了凸性的使用。对于任何$d$ -一致超图$H$，令$ex_d(n,H)$是无$H$的$d$ -一致超图中$n$顶点上的最大可能边数.设$K_{H, t}$是由$H$通过添加$t$新顶点$v_1, \dots, v_t$和用$E(K_{H, t})$中的$t$边$e \cup \left\{v_1\right\},\dots, e \cup \left\{v_t\right\}$替换$E(H)$中的每条边$e$而得到的$(d+1)$ -均匀超图.若$H$是$s$上的$1$ -一致超图，则有$K_{H, t} = K_{s, t}$ .本文证明了对任何至少有两条边的$d$ -一致超图$H$，有$ex_{d+1}(n,K_{H,t}) = O(ex_d(n, H)^{1/t} n^{d+1-d/t} + t n^d)$，使得$ex_d(n, H) = o(n^d)$ .因此$ex_{d+1}(n,K_{H,t}) = O(n^{d+1-1/t})$对于任何$d$ -一致超图$H$，至少有两条边使得$ex_d(n, H) = O(n^{d-1})$，这意味着在$d = 1$情况下的Komvári-Sós-Turán定理。这也意味着当$H$是至少…
2020-02-17 cs.DM math.CO
