Turán's problem and generalized Ramsey numbers
令$n,r,k,s$是正整数，其中$n,k\ge 2$。广义Ramsey数$R(n,r;k,s)$是最小的正整数$p$，使得对于每一个$p$阶的图$G$，要么$G$包含一个由$n$顶点诱导的最多有$r-1$边的子图，要么$G$的补数$\bar G$包含一个由$k$顶点诱导的最多有$s-1$边的子图。本文完全确定了$n\ge 4$和$r\le n-2$的$R(n,n(n-1)/2-r;k,1)$，并给出了Ramsey数的几个证明.
2014-11-05 math.CO
Refined Turán numbers and Ramsey numbers for the loose 3-uniform path of length three
设$P$表示由7个顶点$a,b,c,d,e,f,g$和3条边$\{a,b,c\}, \{c,d,e\},$和$\{e,f,g\}$组成的3-一致超图.已知用于$P$的$r$颜色拉姆齐数是用于$r\le 7$的$R(P;r)=r+6$。这个结果的证明依赖于对$P$的图兰数的仔细分析。在本文中，我们进一步完善这一分析和计算，所有$n$，第三和第四阶图兰数$P$。在前者的帮助下，我们确定了$r\in\{8,9\}$的公式$R(P;r)=r+6$。
2015-10-20 math.CO
One more Turán number and Ramsey number for the loose 3-uniform path of length three
设$P$表示由7个顶点$a,b,c,d,e,f,g$和3条边$\{a,b,c\}, \{c,d,e\},$和$\{e,f,g\}$组成的3-一致超图.已知用于$P$的$r$颜色拉姆齐数是用于$r\le 9$的$R(P;r)=r+6$。这个结果的证明依赖于对$P$的图兰数的仔细分析。在本文中，我们进一步完善这一分析，并计算五阶图兰数为$P$，所有$n$。使用$n=16$的这个数字，我们确认了公式$R(P;10)=16$。
2015-11-29 math.CO
On two problems in Ramsey-Turán theory
Alon，Balogh，Keevash和Sudakov证明了在所有的$n$ -顶点图中，对于所有固定的$k$和$r=2,3$，$(k-1)$ -分图Turán图最大化了不同的$r$ -边着色数，且没有单色的$K_k$.本文对具有次线性独立数的$n$ -顶点图中的$r=2$渐近地确定了这个函数。有些令人惊讶的是，与Alon-Balogh-Keevash-Sudakov的结果不同，Ramsey-Turán理论的极值构造作为一个自然的候选者，即使在2色的情况下，也不会最大化所有具有次线性独立数的图中没有单色团的不同边着色的数量。在第二个问题中，我们渐近地确定了具有$α(G)=o(n)$的$n$ -顶点无$K_k$图$G$中三角形的最大数目.这些极图具有与经典Ramsey-Turán问题的极图类似的结构，即~当边缘的数量最大化时。
2017-04-24 math.CO
Ramsey and Turán numbers of sparse hypergraphs
本文定义超图的骨架退化性，证明其控制超图Turán数和Ramsey数，并给出线性Ramsey数及Turán数上下界，使用依赖随机选择技术。
2023-12-31 math.CO
On the Ramsey-Turán numbers of graphs and hypergraphs
设t是一个整数，f（n）是一个函数，H是一个图.定义H的t-Ramsey-Turán数RT_t（n，H，f（n））为n-顶点无H图G的最大边数，其中f（n）大于G的无$K_t$诱导子图的最大顶点数. Erdégs，Hajnal，Simonovits，Sós和Szemerédi提出了几个关于RT_t（n，K_s，o（n））的开放性问题，其中找到最小s使得$RT_t(n,K_{t+s},o(n)) = Ω(n^2)$，这里很容易看到$RT_t(n,K_{t+1},o(n)) = o(n^2)$。在本文中，我们回答了这个问题，证明了$RT_t(n,K_{t+2},o(n)) = Ω(n^2)$ ;我们的结构也意味着几个结果的Ramsey-Turán数的超图。
2011-09-22 math.CO
An upper bound for the restricted online Ramsey number
受限制的$(m,n;N)$-在线拉姆齐游戏是两个玩家之间的游戏，建设者和画家。游戏从$N$孤立顶点开始。每回合生成器选取一条边进行构建，绘制器选择该边是红色还是蓝色，生成器的目标是在尽可能少的回合中创建红色$K_m$或蓝色$K_n$。限制在线拉姆齐号码$\tilde{r}(m,n;N)$是建造者需要保证她在限制$(m,n;N)$-在线拉姆齐游戏中获胜的最低回合数。我们表明，如果$N=r(n,n)$，\[ \tilde{r}(n,n;N)\le \binom{N}{2} - Ω(N\log N), \]动机的问题所提出的康伦，福克斯，Grinshpun和他。在无限多个顶点上进行的等价博弈被称为在线拉姆齐博弈。由于在线Ramsey游戏中几乎所有已知的Builder策略最终都减少到受限设置，因此我们预计受限在线Ramsey游戏的进一步进展将在一般情况下得到应用。
2019-06-06 math.CO
Singular Ramsey and Turán numbers
我们说图$G$的一个子图$F$是奇异的，如果度$d_G(v)$对于顶点$v\in V(F)$都是相等的或都是不同的。奇异Ramsey数Rs $(F)$是最小正整数$n$，使得对每个$m\geq n$，在$K_m$的每个边2-染色中，至少有一个色类包含$F$作为奇异子图.在类似的风格中，奇异图兰数Ts $(n,F)$被定义为$n$阶图中的最大边数，该图不包含$F$作为奇异子图。在本文中，我们开始研究这些极值问题。我们开发的方法来估计Rs $(F)$和Ts $(n,F)$，目前紧渐近界和准确的结果。
2019-01-27 math.CO
Turan and Ramsey numbers in linear triple systems
本文研究线性三元系中的Turan数和Ramsey数，定义为任意两个三元系至多相交于一个顶点的$3$ -一致超图. Ruzsa和Szemerédi的一个著名结果是，对于任何固定的$c>0$和足够大的$n$，下面的Turán型定理成立。如果一个在$n$顶点上的线性三元系至少有$cn^2$边，那么它包含一个{ \em三角形}：三个两两相交的三元组，没有一个公共顶点。本文将这一结果从三角形推广到其它三元系，称为{ \em $s$ -构型}.主要的工具是一个推广的诱导匹配引理从$aba$模式更一般的。我们将$s$ -配置稍微推广为{ \em扩展的$s$ -配置}。对于这些，我们不能证明相应的图兰型定理，但我们证明了它们具有较弱的拉姆齐性质：它们可以在任何足够大的斯坦纳三元系的块的任何$t$ -着色中找到。利用这一点，我们证明了，除了可能包含帆$C_{15}$的那些（具有123、345、561和147块的构形）之外，对于任何$t\geq 1$，所有不可避免的至多5块的构形都是$t$-Ramsey。其中最有趣的是{ \em wicket}，$D_4$，由$3\times 3$点矩阵的三行和两列组成。事实上，小门是$1$ -拉姆齐在一个非常强烈的意义：所有施泰纳三元系除了法诺平面必须包含一个小门。
2020-11-27 math.CO
Ordered Ramsey and Turán numbers of alternating paths and their variants
Charles University（查理大学）；University of Birmingham（伯明翰大学）；Universität Passau（帕绍大学）；University of Oxford（牛津大学）
研究确定了交替路径的有序Ramsey数上界，并计算了其精确的有序Turán数，同时探讨了相关有序路径的Ramsey和Turán数。
2026-03-23 math.CO
The Ramsey-Turán problem for cliques
VeraT.索斯要求确定一个给定的整数$t\ge 3$和一个给定的正实数$δ$的渐近极大边密度$f_t(δ)$，一个$n$ -顶点图可以提供它既不包含一个完整的图形$K_t$，也不是一个独立集大小$δn$。基于Fox，Loh和Zhao最近的工作[The critical window for the classical Ramsey-Turán problem，Combinatorica 35（2015），435-476]，我们证明了如果$δ$足够小（在某种意义上取决于$t$），则\[ f_t(δ)= \begin{cases} \frac{3t-10}{3t-4}+δ-δ^2 & \text{ if $t$ is even,} \cr \frac{t-3}{t-1}+δ& \text{ if $t$ is odd.} \end{cases} \]
2018-05-04 math.CO
The Ramsey theory of the universal homogeneous triangle-free graph Part II: Exact big Ramsey degrees
建立在作者以前的工作，对于每一个有限的无三角形图$\mathbf{G}$，我们确定的等价关系的副本$\mathbf{G}$内的通用齐次无三角形图，$\mathcal{H}_3$，具有最小数量的等价类，使每一类坚持在每个同构的子副本$\mathcal{H}_3$。这是$\mathcal{H}_3$的精确大Ramsey度的特征。由此得出无三角形的Henson图是一个大的Ramsey结构。
2020-09-04 math.CO math.LO
Multicolor Ramsey numbers and restricted Turán numbers for the loose 3-uniform path of length three
设$P$表示由7个顶点$a,b,c,d,e,f,g$和3条边$\{a,b,c\}, \{c,d,e\},$和$\{e,f,g\}$组成的3-一致超图.已知$P$的$r$着色Ramsey数是$r=2,3$的$R(P;r)=r+6$，以及所有$r\ge3$的$R(P;r)\le 3r$.后一个结果遵循图兰数$ex_3(n;P)$的标准应用，在我们以前的工作中确定为$\binom{n-1}2$。我们还证明了全星是$P$唯一的极值3-图。在本文中，我们进行了一个微妙的分析$P$的图兰数在一些额外的限制。最重要的是，我们确定了一个$n$ -顶点$P$ -自由3-图中的最大边数，它不是星。这些图兰型结果，反过来，使我们能够确认公式$R(P;r)=r+6$为$r\in\{4,5,6,7\}$。
2015-07-15 math.CO
On anti-Ramsey numbers for complete bipartite graphs and the Turan function
给定两个图$G$和$H$与$H\subseteq G$，我们考虑反拉姆齐函数$AR(G,H)$，这是最大数量的颜色在任何边着色的$G$，使每个副本的$H$接收相同的颜色至少一对边缘。图$G$和图族$\mathcal{F}$的经典Turán函数，写作$ex(G,\mathcal{F})$，定义为不包含$\mathcal{F}$任何成员的$G$的子图的最大边数。我们表明，存在一个常数$c>0$，使$AR(K_n,K_{s,t})-ex(K_n,K_{s,t})<cn$和$c$只依赖于$s$和$t$，这意味着$AR(K_n,K_{s,t})\leq cn^{2-\frac{1}{s}}$，为$s\leq t$的结果K \H ovari，Sós和Turán。
2015-11-18 math.CO
Ramsey-Turán numbers for intersecting odd cliques
给定一个图$H$和一个函数$f:\mathbb{Z}^+ \longrightarrow \mathbb{Z}^+ $，$H$和$f$的Ramsey-Turán数，记为$RT(n, H, f(n))$，是一个图$G$在$n$顶点上所能拥有的最大边数，它不包含作为子图的$H$，也不包含一组$f(n)$独立顶点。令$r$为正整数。1969年，Erdos和Sós证明了$RT(n,K_{2r+1},o(n))=\frac{n^2}{2}(1-\frac{1}{r})+o(n^2)$。设$F_k(2r+1)$表示由完全图$K_{2r+1}$的$k$拷贝恰好共享一个顶点组成的图。在本文中，我们表明，$RT(n,F_k(2r+1),o(n))=\frac{n^2}{2}(1-\frac{1}{r})+o(n^2)$，这是相同的幅度与$RT(n, K_{2r+1}, o(n))$。
2020-09-14 math.CO
Ramsey-Turán Problems with small independence numbers
本文研究了$H=K_s$（$s\leq 13$）时的Ramsey-Turán数，通过应用Szemerédi正则引理和相关随机选择方法，证明了当独立数约束$f(n)$接近非对角Ramsey数逆函数时团存在相变现象。
2023-08-02 math.CO
Ramsey multiplicity and the Turán coloring
本文证明 Turán 染色对无限族图是唯一的极值染色，首次确定了 Burr-Rosta 猜想失效图的 Ramsey 多重性常数，并给出条件性的三色结果。
2023-06-27 math.CO
Bipartite cuts in Ramsey-Turán style
University of Illinois Urbana-Champaign（伊利诺伊大学厄巴纳-香槟分校）；Institute for Basic Science (IBS)（韩国基础科学研究院）；Iowa State University（爱荷华州立大学）
研究无 K5 且独立数次线性的 n 顶点图，证明通过移除至多 n^2(1/18+o(1)) 条边可使其成为二分图，常数 1/18 最优，方法涉及边加权 Turán 定理扩展和旗代数。
2026-06-19 math.CO
Online Ramsey turnaround numbers
研究在线拉姆齐转折游戏，定义并分析了转折数f(n,H)和f(H)，探讨其与极值图论中多项概念的关系。
2025-12-08 math.CO
Ramsey--Turán Factors of Non-directed Oriented Cycles in Oriented Graphs
School of Mathematics and Statistics, Ningxia University（宁夏大学数学与统计学院）
该研究针对有向图，证明满足最小半度阈值及独立数条件的足够大的有向图包含指定长度的反有向环因子，其最小半度阈值渐近紧，采用了Ramsey-Turán型格吸收引理完成证明。
2026-09-03 math.CO
Turán Colourings in Off-Diagonal Ramsey Multiplicity
本研究将Fox和Wigderson关于由带临界边的连通非3-可着色图加悬挂边构成的图类的Ramsey重数常数由Turán着色达到的结果，推广到涉及两图红、蓝副本加权和最小化的非对角Ramsey重数常数变体。
2024-01-30 math.CO
The critical window for the classical Ramsey-Turán problem
Szemerédi强大的正则性方法的第一个应用是Szemerédi于1972年证明的著名的Ramsey-Turán结果：任何具有独立数o（N）的N个顶点的无K_4图最多有（1/8 + o（1））N^2条边。四年后，Bollobás和Erdés利用高维球面上的等周不等式，给出了一个令人惊讶的尺规作图法：一个具有独立数o（N）和（1/8 - o（1））N^2条边的N个顶点上的K_4-free图。从1976年的Bollobás和Erdás开始，人们提出了几个问题来估计临界窗口中的最小可能独立数，当边缘数约为N^2 / 8时。这些问题已受到相当大的注意，仍然是这一领域的主要未决问题之一。在本文中，我们给出了几乎最好的可能的界限，解决了各种开放的问题，关于这个关键窗口。
2014-09-23 math.CO
On the Ramsey-Turán number with small $s$-independence number
令$s$为整数，$f=f(n)$为函数，$H$为图。定义Ramsey-Turán数$RT_s(n,H, f)$为阶为$n$且具有$α_s(G) < f$的无$H$图$G$中的最大边数，其中$α_s(G)$是$G$的无$K_s$导出子图中的最大顶点数。Ramsey-Turán数吸引了相当多的注意力，并且主要研究$f$并不比$n$小得多。在本文中，我们考虑$RT_s(n,K_t, n^δ)$固定$δ<1$。我们表明，对于一个任意小的$\varepsilon>0$和$1/2<δ< 1$，$RT_s(n,K_{s+1}, n^δ) = Ω(n^{1+δ-\varepsilon})$所有足够大的$s$。这几乎是最优的，因为平凡的上限产生$RT_s(n,K_{s+1}, n^δ) = O(n^{1+δ})$。此外，$δ$的范围尽可能大。我们还考虑更一般的情况下，并找到固定的$r\ge2$上的$RT_s(n,K_{s+r},n^δ)$的界限。最后，我们讨论了$RT_s(n, K_{2s+1}, f)$的相变，推广了Balogh，Hu和Simonovits最近的一些结果.
2015-11-14 math.CO
Anti-Ramsey numbers of paths and cycles in hypergraphs
反Ramsey问题是由Erdens，Simonovits和Sós在20世纪70年代提出的。超图$\mathcal{H}$的反Ramsey数$ar(n,s, \mathcal{H})$是最小的整数$c$，使得在$n$顶点上的$s$ -均匀完全超图的边的任意着色中，都存在一个边具有不同颜色的$\mathcal{H}$的副本.本文对足够大的$n$确定了超图中线性路和松散路的反Ramsey数，并给出了Berge路的反Ramsey数的界。类似的精确的反拉姆齐数得到线性/松散的循环，并获得边界的Berge循环。我们的主要工具是路径扩张技术和超图Turán问题的稳定性结果。
2019-11-12 math.CO
Exact Ramsey numbers of odd cycles via nonlinear optimisation
对于图$G$，$k$ -色拉姆齐数$R_k(G)$是最小整数$N$，使得完全图$K_N$的边的每个$k$ -色包含$G$的单色副本.令$C_n$表示$n$顶点上的圈。我们表明，固定$k\geq2$和$n$奇数和足够大，\[ R_k(C_n)=2^{k-1}(n-1)+1. \]这解决了一个猜想的邦迪和Erdabins [J. Combin。日Ser. B \textbf{14}（1973），46- 54]。证明是分析的性质，其中的第一步是使用规律性的方法，将这个问题在拉姆齐理论的一个非线性优化。这使我们能够证明一个稳定型的概括上述和建立一个令人惊讶的对应极端$k$ -着色这个问题和完美匹配的$k$ -维超立方体$Q_k$。
2016-08-19 math.CO
Book Ramsey numbers I
一本大小为q的书是q个三角形的并集，它们共享一条公共边。当p<q/6-o（q）时，我们找到了大小为q的书与大小为p的书的精确拉姆齐数。
2004-05-07 math.CO
A generalised Ramsey--Turán problem for matchings
本文证明了关于匹配的广义 Ramsey--Turán 定理，通过显式构造和基于 Gallai--Edmonds 分解的复杂压缩算法，确定了在特定边着色条件下图中完全子图的最大数量。
2025-09-12 math.CO
Andrásfai and Vega graphs in Ramsey-Turán theory
给定正整数$n\ge s$，我们用${\mathrm{ex}}(n,s)$表示无三角形图$G$中$n$顶点上的最大边数，其中$α(G)\le s$为$α(G)\le s$ .在六十年代初Andrásfai阐明，$n/3<s<n/2$的功能${\mathrm{ex}}(n, s)$是分段二次临界值在$s/n={k}/({3k-1})$。我们证实，这确实是这种情况下，只要$s/n$是略大于一个临界值，从而确定${\mathrm{ex}}(n,s)$的所有$n$和$s$，使$s/n\in [{k}/({3k-1}), {k}/({3k-1})+γ_k]$，其中$γ_k=Θ(k^{-6})$。
2021-02-26 math.CO
On a Ramsey--Turán variant of Roth's theorem
该研究围绕有限域上齐次线性方程的无解方程集问题，结合Erdős与Sárközy提出的结构化集合概念，证明了Roth定理的Ramsey--Turán变体，给出了两类命题等价的结论，丰富了加法组合领域的相关理论。
2025-07-30 math.CO
Generalized Ramsey--Turán density for cliques
本文研究广义Ramsey--Turán函数，通过组合方法解决所有s≥3的一般情形，证明极值图具有简单有界结构，并否定一个相关猜想。
2024-03-19 math.CO
On the anti-Ramsey number of forests
我们称边着色图的一个子图为彩虹子图，如果它的所有边都有不同的颜色。完全图$K_{n}$中的图$G$的反Ramsey数，记为$ar(K_{n}, G)$，是$K_{n}$的边染色中的最大颜色数，其中没有$G$的彩虹子图副本。本文给出了星形森林的反Ramsey数的精确值和线性森林的反Ramsey数的近似值。此外，我们计算了$n\ge 8$的$ar(K_{n}, 2P_{4})$和大$n$的$ar(K_{n}, S_{p,q})$的精确值，其中$S_{p,q}$是具有$p+q$叶的双星。
2019-08-12 math.CO
Ramsey Goodness and Beyond
在1983年的一篇开创性论文中，Burr和Erdos开始系统地研究团与大型稀疏图的Ramsey数，提出了一些问题。在本文中，我们开发了一种新的方法，这样的拉姆齐问题使用混合的Szemeredi正则引理，嵌入稀疏图，图兰型稳定性，和其他结构的结果。我们给确切的拉姆齐数的各类图，解决所有，但一个Burr-Erdos问题。
2007-06-25 math.CO
Ramsey numbers for partially-ordered sets
通过考虑顶点具有偏序的图，我们给出了Ramsey数的一个改进.这是有序Ramsey数的自然扩张。我们形式化的情况下，我们可以使用任意家庭的偏序集，以形成主图的拉姆齐问题。我们探讨连接到研究图兰型问题的偏序集，特别是那些在布尔格。当图的偏序具有大的反链时，我们发现了布尔格上的Ramsey数与有序Ramsey数之间的一个很大的区别.
2016-11-28 math.CO
Large chromatic number and Ramsey graphs
设Q（n，c）表示n-顶点图的色数为c时所能拥有的最小团大小。使用Ramsey图，我们给出了一个精确的，虽然隐含的，公式的情况下c至少是（n+3）/2。
2012-04-10 math.CO
The Ramsey number of a long even cycle versus a star
当$\ell$和$n=O(\ell^{10/9})$较大时，我们找到了Ramsey数$R(C_{2\ell},K_{1,n})$的精确值。我们的结果与Turán数$ex(N, C_{2\ell})$的行为密切相关，对于偶数圈，其长度随$N$快速增长。
2020-10-20 math.CO
Turán and Ramsey Properties of Subcube Intersection Graphs
离散立方体$\{0,1\}^d$是一种基本的组合结构。$\{0,1\}^d$的子立方体是通过固定$k$坐标并允许其余的$d-k$自由变化而形成的其点的$2^k$的子集。离散立方体的子立方体结构非常复杂，有许多与之相关的问题尚未解决。沿着这条线的两个示例问题如下：给定一个子立方体族，其中没有$r+1$有非空交集，我们可以有多少个成对交集？如果其中没有具有非空交集的$k$，也没有成对不相交的$l$，那么我们可以有多少个子立方体？这些问题自然地表示为子立方体的交图中的Turán和Ramsey型问题，其中集合族的交图对于该族中的每个集合具有一个顶点，如果对应的子集相交，则两个顶点相邻。Turán和Ramsey型问题是极值组合学的核心，因此这些问题在数学上是自然的。然而，第二个动机是与社会选择理论中的一些问题的联系，这些问题是由社会中的一个简单的协议模型引起的。具体地说，如果我们必须对每个$n$单独的问题进行二元选择，那么可以合理地假设，个人可以接受的选择集将由子立方体表示。因此，一个子立方体家庭中的交叉模式将对社会中的协议水平产生影响。我们提出了一些与Turán和Ramsey问题直接相关的问题和解答，并为子立方体交图的研究提出了一些进一步的方向.
2011-10-19 math.CO
Ramsey and Gallai-Ramsey number for wheels
给定一个图$G$和一个正整数$k$，定义\emph{Gallai-Ramsey number}为$n$的最小顶点数，使得$K_n$的任何$k$ -边着色包含彩虹（所有不同颜色）三角形或$G$的单色副本。与图中的Ramsey数非常相似，Gallai-Ramsey数通常被认为很难计算。到目前为止，人们所知道的精确结果仍然很少。本文给出了轮的Gallai-Ramsey数的界以及轮在$5$顶点上的精确值.
2019-05-28 math.CO
Mean Ramsey-Turán numbers
图的$ρ$ -平均染色是图的边的染色，使得与每个顶点关联的颜色的平均数至多为$ρ$。对于图$H$和$ρ\geq 1$，{ \em mean Ramsey-Turán number} $RT(n,H,ρ-mean)$是在没有$H$的单色副本的条件下，具有$n$顶点的$ρ$ -平均着色图可以具有的最大边数。证明了在不存在$H$的单色副本的条件下，一个具有$n$顶点的$k$边着色图所能拥有的最大边数为$RT(n,K_m,2-mean)=RT(n,K_m,2)$，其中$RT(n,H,k)$.证明了该猜想对$K_3$成立.我们还证明了$RT(n,H,ρ-mean) \leq RT(n,K_{χ(H)},ρ-mean)+o(n^2)$ .这个结果对于团数等于其色数的图$H$是紧的。特别地，我们得到，如果$H$是一个3-色图有一个三角形，那么$RT(n,H,2-mean) = RT(n,K_3,2-mean)+o(n^2)=RT(n,K_3,2)+o(n^2)=0.4n^2(1+o(1))$。
2004-08-09 math.CO
Mixed, Multi-color, and Bipartite Ramsey Numbers Involving Trees of Small Diameter
在本文中，我们研究了直径为3的树（双星）与，分别是直径为2的树（星）、完全图和多个完全图。在双星与许多完全图的情况下，我们确定这个数字作为一个函数的拉姆齐数的完全图。我们还确定了双星的二分$k$色Ramsey数的增长顺序。
2014-04-06 math.CO
Two conjectures in Ramsey-Turán theory
给定图$H_1,\ldots, H_k$，如果存在一个$k$ -边着色$ϕ:E(G)\rightarrow [k]$，且没有$H_i$的单色副本，且每个$i\in[k]$的边都是彩色$i$，则图$G$是$(H_1,\ldots, H_k)$ -free的.给定一个函数$f(n)$，Ramsey-Turán函数$\textrm{RT}(n,H_1,\ldots,H_k,f(n))$是独立数至多为$f(n)$的无$n$ -顶点$(H_1,\ldots,H_k)$图的最大边数.我们确定$\textrm{RT}(n,K_3,K_s,δn)$的$s\in\{3,4,5\}$和足够小的$δ$，证实了一个猜想的Erdés和Sós从1979年。已知$\textrm{RT}(n,K_8,f(n))$在$f(n)=Θ(\sqrt{n\log n})$具有相变。然而，$\textrm{RT}(n,K_8, o(\sqrt{n\log n}))$的值未知。我们确定了这个价值证明$\textrm{RT}(n,K_8,o(\sqrt{n\log n}))=\frac{n^2}{4}+o(n^2)$，回答一个问题的Balogh，胡和Simonovits。证明利用，除其他外，依赖随机选择和结果从图包装。
2018-03-13 math.CO
Semidefinite Programming and Ramsey Numbers
寻找精确的拉姆齐数是一个通常局限于相对较小的图的问题。旗代数方法是为求极大图的渐近结果而发展起来的，因此该方法似乎不适合于求小的Ramsey数。但这种直觉是错误的，我们将在本文中开发一种技术来做到这一点。我们发现了许多小图和超图Ramsey数的新的上界。结果，我们证明了精确值$R(K_4^-,K_4^-,K_4^-)=28$、$R(K_8,C_5)= 29$、$R(K_9,C_6)= 41$、$R(Q_3,Q_3)=13$、$R(K_{3,5},K_{1,6})=17$、$R(C_3, C_5, C_5)= 17$和$R(K_4^-,K_5^-;3)= 12$。我们希望，这种技术将适用于解决其他问题的较小的图形与标志代数方法。
2020-09-11 math.CO
Planar anti-Ramsey numbers for paths and cycles
受Erdés，Simonovits和Sós在1975年引入的反Ramsey数的启发，本文研究了主图为平面三角剖分时的反Ramsey问题.给定一个正整数$n$和一个平面图$H$，设$\mathcal{T}_n(H)$是$n$顶点上的所有平面三角剖分$T$的族，使得$T$包含一个与$H$同构的子图. $H$的平面反拉姆齐数，记为$ar_{_\mathcal{P}}(n, H)$，是平面三角剖分$T\in \mathcal{T}_n(H)$的边着色中的最大颜色数，使得$T$不包含$H$的彩虹副本。类似于反Ramsey数和Turán数，平面反Ramsey数与平面Turán数密切相关，其中$H$的平面Turán数是不包含$H$作为子图的平面图在$n$顶点上的最大边数。$ar_{_\mathcal{P}}(n, H)$（以彩虹数的名义）的研究由Hortencies ák，Jendrol $'$，Schiermeyer和Soták发起[J Graph Theory 78（2015）248- 257]。本文研究了路和圈的平面反Ramsey数。我们首先建立下限为$ar_{_\mathcal{P}}(n, P_k)$时$n\ge k\ge8$。当$k\geq 5$和$n\geq k^2-k$时，我们改进了现有的$ar_{_\mathcal{P}}(n, C_k)$的下界。最后，利用上述论文中的主要思想…
2017-12-06 math.CO
On the anti-Ramsey numbers of linear forests
对于固定图$F$，$\textit{anti-Ramsey number}$，$AR(n,F)$是不包含$F$的彩虹副本的$K_n$的边着色中的最大颜色数。本文确定了充分大的$n$线性森林的反Ramsey数的精确值，并给出了极边有色图.这就回答了方、吉、鲁、孝的一个问题。
2020-03-17 math.CO
Turán's problem and Ramsey numbers for trees
令$T_n^1=(V,E_1)$和$T_n^2=(V,E_2)$是$n$顶点上的树，其中$V=\{v_0,v_1,\ldots,v_{n-1}\}$、$E_1=\{v_0v_1,\ldots,v_0v_{n-3},v_{n-4}v_{n-2},v_{n-3}v_{n-1}\}$和$E_2=\{v_0v_1,\ldots,$ $v_0v_{n-3},v_{n-3}v_{n-2}, v_{n-3}v_{n-1}\}$。本文给出了$p\ge n\ge 5$的$\ex(p;T_n^1)$和$\ex(p;T_n^2)$的显式公式，其中$\ex(p;L)$表示不含$L$的$p$阶图的最大边数.令$r(G\sb 1, G\sb 2)$是两个图$G_1$和$G_2$的Ramsey数。本文还给出了$r(T_m,T_n^i)$的一些显式公式，其中$i\in\{1,2\}$和$T_m$是$m$顶点上的树，且树的顶点具有$Δ(T_m)\le m-3$ .
2015-05-04 math.CO
Anti-Ramsey problems in the generalized Petersen graphs for cycles
反拉姆齐数$Ar(G,H)$是在没有$H$的彩虹拷贝的情况下，$G$的边着色中的最大颜色数。本文确定了广义Petersen图$P_{n,k}$中的反Ramsey数，其中$C_d$是圈，$1\leq k\leq \lfloor \frac{n-1}{2} \rfloor$和$5\le d \le 6$ .给出了求反Ramsey数的上界或下界的算法。
2021-10-05 math.CO
An improved lower bound for multicolor Ramsey numbers and the half-multiplicity Ramsey number problem
对于每对自然数$\ell$和$t$，Ramsey数问题要求一个没有大小为$t$的单色团的完全图的最大$\ell$ -染色。Conlon-Ferber和Wigderson最近的工作改进了这个问题长期存在的下界。我们做了进一步的改进，取代显式图出现在他们的建设由一个随机图。对于这种构造有用的图正是那些与没有大集团和几个大独立集的图上的Erdos问题相关的图。我们也对这个问题做了一些基本的观察。
2021-11-22 math.CO
Geometric constructions for Ramsey-Turán theory
本文通过构造与p=2情形截然不同的渐近极值结构反驳了Ramsey-Turán理论中关于周期性行为的猜想，并利用高维复球面构造了具有所有有理密度的Bollobás-Erdős型图，同时给出了匹配上界。
2025-08-18 math.CO
Phase transitions in the Ramsey-Turán theory
设$f(n)$是一个函数，$L$是一个图。用$RT(n,L,f(n))$表示无$L$图中$n$点上独立数小于$f(n)$的最大边数. Erd \H os和Sós询问是否$RT\left(n, K_5, c\sqrt{n}\right) = o(n^2)$为一些恒定的$c$。我们通过证明更强的$RT\left(n, K_5, o\left(\sqrt{n\log n}\right)\right) = o(n^2)$来回答这个问题。已知$RT \left(n, K_5, c \sqrt{n\log n} \right) = n^2/4+o(n^2)$为$c>1$，因此可以说$K_5$在$c\sqrt{n\log n}$处具有Ramsey-Turán相变。我们将这个结果推广到其他几个$K_s$和函数$f(n)$，确定更多的相变。我们将制定几个开放的问题，特别是，是否存在的变体的Bollobás-Erd \H os图给好的下界$RT\left(n, K_s, f(n)\right)$的各种对$s$和$f(n)$。其中，我们使用Szemerédi的正则性引理和超图依赖随机选择引理。我们还给出了一个简短的证明，证明了具有小独立数的无$K_s$图是稀疏的。
2015-04-07 math.CO
On a Ramsey-Turán variant of the Hajnal-Szemerédi theorem
Hajnal和Szemerédi的一个开创性的结果指出，如果一个图$G$与$n$顶点有最小度$δ(G) \ge (r-1)n/r$为某个整数$r \ge 2$，那么$G$包含一个$K_r$ -因子，假设$r$整除$n$。极端的例子表明$δ(G)$上的界的最优性是非常结构化的，特别是，包含大的独立集。类似于拉姆齐-图兰理论，Balogh，Molla和Sharifzadeh开始研究缺乏这样大的独立集如何影响足够的最小度。我们证明了以下两个相关的结果：$\bullet$对于任何$r > \ell \ge 2$，如果$G$是一个满足$δ(G) \ge (r - \ell)n/(r - \ell + 1) +Ω(n)$和$α_\ell(G)=o(n)$的图，即最大的无$K_\ell$的导出子图有最多个$o(n)$顶点，则$G$包含一个$K_r$ -因子。这对于$\ell = r - 1$是最优的，并且扩展了Balogh、Molla和Sharifzadeh考虑$r = 3$情况的结果。如果图$\bullet$满足$δ(G) =Ω(n)$和$α_r^*(G) =o(n)$，即$G$的每个导出的无$K_r$的$r$ -部子图至少有一个顶点类的大小为$o(n)$，则它包含一个$K_r$ -因子.对于一般图$H$证明了类似的陈述。
2018-06-19 math.CO
An exact Ramsey number of large bipartite graphs versus odd wheel
Homi Bhabha National Institute (HBNI)（霍米·巴巴国立研究所）
本文确定了大二分图$\mathbb{K}_{2,n}$与奇轮图$W_m$的精确拉姆齐数为$3n+4$，并证明了其$W_m$-goodness。
2026-01-16 math.CO
The bipartite Ramsey number $br(C_{2n}, C_{2m})$
给定二部图$H_1$，\dots，$H_k$，二部Ramsey数$br(H_1,\dots, H_k)$是最小整数$N$，使得完全二部图$K_{N, N}$的任何$k$ -边染色包含一个单色$H_i$，$i$为$1\le i\le k$ .关于圈的二部Ramsey数的渐近值已有相当多的结果。对于精确值，Zhang-Sun \cite{Zhangs}测定$br(C_4, C_{2n})$，Zhang-Sun-Wu \cite{Zhangsw}测定$br(C_6, C_{2n})$，Gholami-Rowshan \cite{GR}测定$br(C_8, C_{2n})$。本文解决了其余所有情形，并给出了所有$n\ge m\ge 5$的$br(C_{2n}, C_{2m})$的精确值，从而回答了Bucić-Letzter-Sudakov \cite{BLS}，Gholami-Rowshan \cite{GR}，Zhang-Sun \cite{Zhangs}，Zhang-Sun-Wu \cite{Zhangsw}所关心的一个问题.
2023-01-30 math.CO
Vertex-minor Ramsey numbers: exact values and extremal structure
JRTI
本文确定了顶点极小Ramsey数Rvm(4)=11，并通过局部补运算对10和11顶点的图进行穷举分类，揭示了极值结构及方法。
2026-04-15 math.CO
Generalized Ramsey-Turán Numbers
本文研究广义Ramsey-Turán问题，即计数无$K_p$且独立数为$o(n)$的$n$顶点图中$K_q$的最大拷贝数，确定了$K_4$、$K_5$及$p≥5q$情形的渐近结果，并给出反驳已有猜想的反例族。
2024-05-13 math.CO
Projective planes and set multipartite Ramsey numbers for $C_4$ versus star
集合多部Ramsey数是在2004年引入的，它是著名的Ramsey数的推广。令$C_4$表示四个圈，令$K_{1,n}$表示$n+1$顶点上的星。本文研究了$C_4-K_{1,n}$集上多部Ramsey数的界.这些数字和经典的$C_4-K_{1,n}$ Ramsey数之间的关系进行了探讨。然后，几个近最优或精确类作为应用程序派生。作为主要目标，极性图从射影平面允许我们找到合适的子图，产生一些最佳的类。
2017-10-17 math.CO
