Further improving of upper bound on a geometric Ramsey problem
本文考虑如下几何Ramsey问题：求最小维数$n$，使得对完全图的边在点$\{\pm 1\}^n$上的任意2-染色，存在4-顶点共面单色团。Graham和Rothschild首先分析了这个问题，他们给出了一个上界：$n\le F(F(F(F(F(F(F(12)))))))$，其中$F(m) = 2\uparrow^m3$。2014年，Lavrov、Lee和Mackey通过给出上界$n< 2\uparrow\uparrow\uparrow 6 < F(5)$极大地改进了这个结果。在本文中，我们重新审视他们的估计和减少上界的$n< 2\uparrow\uparrow\uparrow 5$
2020-04-12 math.CO
Turán's problem and generalized Ramsey numbers
令$n,r,k,s$是正整数，其中$n,k\ge 2$。广义Ramsey数$R(n,r;k,s)$是最小的正整数$p$，使得对于每一个$p$阶的图$G$，要么$G$包含一个由$n$顶点诱导的最多有$r-1$边的子图，要么$G$的补数$\bar G$包含一个由$k$顶点诱导的最多有$s-1$边的子图。本文完全确定了$n\ge 4$和$r\le n-2$的$R(n,n(n-1)/2-r;k,1)$，并给出了Ramsey数的几个证明.
2014-11-05 math.CO
Refined Turán numbers and Ramsey numbers for the loose 3-uniform path of length three
设$P$表示由7个顶点$a,b,c,d,e,f,g$和3条边$\{a,b,c\}, \{c,d,e\},$和$\{e,f,g\}$组成的3-一致超图.已知用于$P$的$r$颜色拉姆齐数是用于$r\le 7$的$R(P;r)=r+6$。这个结果的证明依赖于对$P$的图兰数的仔细分析。在本文中，我们进一步完善这一分析和计算，所有$n$，第三和第四阶图兰数$P$。在前者的帮助下，我们确定了$r\in\{8,9\}$的公式$R(P;r)=r+6$。
2015-10-20 math.CO
One more Turán number and Ramsey number for the loose 3-uniform path of length three
设$P$表示由7个顶点$a,b,c,d,e,f,g$和3条边$\{a,b,c\}, \{c,d,e\},$和$\{e,f,g\}$组成的3-一致超图.已知用于$P$的$r$颜色拉姆齐数是用于$r\le 9$的$R(P;r)=r+6$。这个结果的证明依赖于对$P$的图兰数的仔细分析。在本文中，我们进一步完善这一分析，并计算五阶图兰数为$P$，所有$n$。使用$n=16$的这个数字，我们确认了公式$R(P;10)=16$。
2015-11-29 math.CO
On two problems in Ramsey-Turán theory
Alon，Balogh，Keevash和Sudakov证明了在所有的$n$ -顶点图中，对于所有固定的$k$和$r=2,3$，$(k-1)$ -分图Turán图最大化了不同的$r$ -边着色数，且没有单色的$K_k$.本文对具有次线性独立数的$n$ -顶点图中的$r=2$渐近地确定了这个函数。有些令人惊讶的是，与Alon-Balogh-Keevash-Sudakov的结果不同，Ramsey-Turán理论的极值构造作为一个自然的候选者，即使在2色的情况下，也不会最大化所有具有次线性独立数的图中没有单色团的不同边着色的数量。在第二个问题中，我们渐近地确定了具有$α(G)=o(n)$的$n$ -顶点无$K_k$图$G$中三角形的最大数目.这些极图具有与经典Ramsey-Turán问题的极图类似的结构，即~当边缘的数量最大化时。
2017-04-24 math.CO
Ramsey and Turán numbers of sparse hypergraphs
本文定义超图的骨架退化性，证明其控制超图Turán数和Ramsey数，并给出线性Ramsey数及Turán数上下界，使用依赖随机选择技术。
2023-12-31 math.CO
On the Ramsey-Turán numbers of graphs and hypergraphs
设t是一个整数，f（n）是一个函数，H是一个图.定义H的t-Ramsey-Turán数RT_t（n，H，f（n））为n-顶点无H图G的最大边数，其中f（n）大于G的无$K_t$诱导子图的最大顶点数. Erdégs，Hajnal，Simonovits，Sós和Szemerédi提出了几个关于RT_t（n，K_s，o（n））的开放性问题，其中找到最小s使得$RT_t(n,K_{t+s},o(n)) = Ω(n^2)$，这里很容易看到$RT_t(n,K_{t+1},o(n)) = o(n^2)$。在本文中，我们回答了这个问题，证明了$RT_t(n,K_{t+2},o(n)) = Ω(n^2)$ ;我们的结构也意味着几个结果的Ramsey-Turán数的超图。
2011-09-22 math.CO
Singular Ramsey and Turán numbers
我们说图$G$的一个子图$F$是奇异的，如果度$d_G(v)$对于顶点$v\in V(F)$都是相等的或都是不同的。奇异Ramsey数Rs $(F)$是最小正整数$n$，使得对每个$m\geq n$，在$K_m$的每个边2-染色中，至少有一个色类包含$F$作为奇异子图.在类似的风格中，奇异图兰数Ts $(n,F)$被定义为$n$阶图中的最大边数，该图不包含$F$作为奇异子图。在本文中，我们开始研究这些极值问题。我们开发的方法来估计Rs $(F)$和Ts $(n,F)$，目前紧渐近界和准确的结果。
2019-01-27 math.CO
On the Geometric Ramsey Number of Outerplanar Graphs
在凸和一般情况下，证明了路宽为2的外平面三角剖分的几何Ramsey数的多项式上界.我们还证明了在凸情形和一般情形下，$2n$顶点上的梯形图的几何Ramsey数分别由$O(n^{3})$和$O(n^{10})$有界.然后，我们应用类似的方法来证明一个$n^{O(\log(n))}$上界的Ramsey数的路径与$n$有序顶点。
2013-11-13 cs.DM math.CO
A Ramsey-type result for geometric l-hypergraphs
令n \geq l \geq 2且q \geq 2。我们考虑最小值N，使得每当我们在平面上有N个点在一般位置，并且这些点的l-子集用q种颜色着色时，存在n个点的子集S，其所有l-子集具有相同的颜色，并且S处于凸位置。这结合了两个经典领域的激烈研究在过去的75年：拉姆齐问题的超图和埃尔德\H os-Szekeres定理凸配置在平面上。对于l = 2的特殊情形，我们在最小值N上建立了一个单一的指数界，使得每一个边被q种颜色着色的完全$N$ -顶点几何图，在n个顶点上产生一个单色凸几何图.对于固定的l \geq 2和q \geq 4，我们的结果确定了N作为n的函数的正确的指数塔增长率，类似于通常的超图Ramsey问题，即使我们要求我们的单色集处于凸位置。通过对Erd \H os和Hajnal的逐步逼近引理进行几何变换，我们的结果也适用于l=3和q=2的情形.这与通常的3-均匀超图Ramsey问题的两种颜色的上界和下界在塔中相差一个指数的事实相反。
2014-04-07 math.CO
Turan and Ramsey numbers in linear triple systems
本文研究线性三元系中的Turan数和Ramsey数，定义为任意两个三元系至多相交于一个顶点的$3$ -一致超图. Ruzsa和Szemerédi的一个著名结果是，对于任何固定的$c>0$和足够大的$n$，下面的Turán型定理成立。如果一个在$n$顶点上的线性三元系至少有$cn^2$边，那么它包含一个{ \em三角形}：三个两两相交的三元组，没有一个公共顶点。本文将这一结果从三角形推广到其它三元系，称为{ \em $s$ -构型}.主要的工具是一个推广的诱导匹配引理从$aba$模式更一般的。我们将$s$ -配置稍微推广为{ \em扩展的$s$ -配置}。对于这些，我们不能证明相应的图兰型定理，但我们证明了它们具有较弱的拉姆齐性质：它们可以在任何足够大的斯坦纳三元系的块的任何$t$ -着色中找到。利用这一点，我们证明了，除了可能包含帆$C_{15}$的那些（具有123、345、561和147块的构形）之外，对于任何$t\geq 1$，所有不可避免的至多5块的构形都是$t$-Ramsey。其中最有趣的是{ \em wicket}，$D_4$，由$3\times 3$点矩阵的三行和两列组成。事实上，小门是$1$ -拉姆齐在一个非常强烈的意义：所有施泰纳三元系除了法诺平面必须包含一个小门。
2020-11-27 math.CO
Some Exact Ramsey-Turán Numbers
设r是一个整数，f（n）是一个函数，H是一个图.由Erdés，Hajnal，Sós和Szemerédi引入的H的r-Ramsey-Turán数RT_r（n，H，f（n））定义为n-顶点无H图G的最大边数，其中α_r（G）<= f（n），其中α_r（G）表示G的K_r-独立数.本文利用高维单位球的等周性质，构造了对任意2 <= s <= r，RT_r（n，K_{r+s}，o（n））有下界的图.这些构造对于无限族的r和s对是尖锐的。唯一以前的尖锐建设是由Bollobás和埃尔德\Hos为r = s = 2。
2012-03-24 math.CO
Ordered Ramsey and Turán numbers of alternating paths and their variants
Charles University（查理大学）；University of Birmingham（伯明翰大学）；Universität Passau（帕绍大学）；University of Oxford（牛津大学）
研究确定了交替路径的有序Ramsey数上界，并计算了其精确的有序Turán数，同时探讨了相关有序路径的Ramsey和Turán数。
2026-03-23 math.CO
The Ramsey-Turán problem for cliques
VeraT.索斯要求确定一个给定的整数$t\ge 3$和一个给定的正实数$δ$的渐近极大边密度$f_t(δ)$，一个$n$ -顶点图可以提供它既不包含一个完整的图形$K_t$，也不是一个独立集大小$δn$。基于Fox，Loh和Zhao最近的工作[The critical window for the classical Ramsey-Turán problem，Combinatorica 35（2015），435-476]，我们证明了如果$δ$足够小（在某种意义上取决于$t$），则\[ f_t(δ)= \begin{cases} \frac{3t-10}{3t-4}+δ-δ^2 & \text{ if $t$ is even,} \cr \frac{t-3}{t-1}+δ& \text{ if $t$ is odd.} \end{cases} \]
2018-05-04 math.CO
Multicolor Ramsey numbers and restricted Turán numbers for the loose 3-uniform path of length three
设$P$表示由7个顶点$a,b,c,d,e,f,g$和3条边$\{a,b,c\}, \{c,d,e\},$和$\{e,f,g\}$组成的3-一致超图.已知$P$的$r$着色Ramsey数是$r=2,3$的$R(P;r)=r+6$，以及所有$r\ge3$的$R(P;r)\le 3r$.后一个结果遵循图兰数$ex_3(n;P)$的标准应用，在我们以前的工作中确定为$\binom{n-1}2$。我们还证明了全星是$P$唯一的极值3-图。在本文中，我们进行了一个微妙的分析$P$的图兰数在一些额外的限制。最重要的是，我们确定了一个$n$ -顶点$P$ -自由3-图中的最大边数，它不是星。这些图兰型结果，反过来，使我们能够确认公式$R(P;r)=r+6$为$r\in\{4,5,6,7\}$。
2015-07-15 math.CO
On anti-Ramsey numbers for complete bipartite graphs and the Turan function
给定两个图$G$和$H$与$H\subseteq G$，我们考虑反拉姆齐函数$AR(G,H)$，这是最大数量的颜色在任何边着色的$G$，使每个副本的$H$接收相同的颜色至少一对边缘。图$G$和图族$\mathcal{F}$的经典Turán函数，写作$ex(G,\mathcal{F})$，定义为不包含$\mathcal{F}$任何成员的$G$的子图的最大边数。我们表明，存在一个常数$c>0$，使$AR(K_n,K_{s,t})-ex(K_n,K_{s,t})<cn$和$c$只依赖于$s$和$t$，这意味着$AR(K_n,K_{s,t})\leq cn^{2-\frac{1}{s}}$，为$s\leq t$的结果K \H ovari，Sós和Turán。
2015-11-18 math.CO
Ramsey-Turán numbers for intersecting odd cliques
给定一个图$H$和一个函数$f:\mathbb{Z}^+ \longrightarrow \mathbb{Z}^+ $，$H$和$f$的Ramsey-Turán数，记为$RT(n, H, f(n))$，是一个图$G$在$n$顶点上所能拥有的最大边数，它不包含作为子图的$H$，也不包含一组$f(n)$独立顶点。令$r$为正整数。1969年，Erdos和Sós证明了$RT(n,K_{2r+1},o(n))=\frac{n^2}{2}(1-\frac{1}{r})+o(n^2)$。设$F_k(2r+1)$表示由完全图$K_{2r+1}$的$k$拷贝恰好共享一个顶点组成的图。在本文中，我们表明，$RT(n,F_k(2r+1),o(n))=\frac{n^2}{2}(1-\frac{1}{r})+o(n^2)$，这是相同的幅度与$RT(n, K_{2r+1}, o(n))$。
2020-09-14 math.CO
Ramsey-Turán Problems with small independence numbers
本文研究了$H=K_s$（$s\leq 13$）时的Ramsey-Turán数，通过应用Szemerédi正则引理和相关随机选择方法，证明了当独立数约束$f(n)$接近非对角Ramsey数逆函数时团存在相变现象。
2023-08-02 math.CO
Ramsey multiplicity and the Turán coloring
本文证明 Turán 染色对无限族图是唯一的极值染色，首次确定了 Burr-Rosta 猜想失效图的 Ramsey 多重性常数，并给出条件性的三色结果。
2023-06-27 math.CO
Bipartite cuts in Ramsey-Turán style
University of Illinois Urbana-Champaign（伊利诺伊大学厄巴纳-香槟分校）；Institute for Basic Science (IBS)（韩国基础科学研究院）；Iowa State University（爱荷华州立大学）
研究无 K5 且独立数次线性的 n 顶点图，证明通过移除至多 n^2(1/18+o(1)) 条边可使其成为二分图，常数 1/18 最优，方法涉及边加权 Turán 定理扩展和旗代数。
2026-06-19 math.CO
Ramsey--Turán Factors of Non-directed Oriented Cycles in Oriented Graphs
School of Mathematics and Statistics, Ningxia University（宁夏大学数学与统计学院）
该研究针对有向图，证明满足最小半度阈值及独立数条件的足够大的有向图包含指定长度的反有向环因子，其最小半度阈值渐近紧，采用了Ramsey-Turán型格吸收引理完成证明。
2026-09-03 math.CO
Turán Colourings in Off-Diagonal Ramsey Multiplicity
本研究将Fox和Wigderson关于由带临界边的连通非3-可着色图加悬挂边构成的图类的Ramsey重数常数由Turán着色达到的结果，推广到涉及两图红、蓝副本加权和最小化的非对角Ramsey重数常数变体。
2024-01-30 math.CO
The critical window for the classical Ramsey-Turán problem
Szemerédi强大的正则性方法的第一个应用是Szemerédi于1972年证明的著名的Ramsey-Turán结果：任何具有独立数o（N）的N个顶点的无K_4图最多有（1/8 + o（1））N^2条边。四年后，Bollobás和Erdés利用高维球面上的等周不等式，给出了一个令人惊讶的尺规作图法：一个具有独立数o（N）和（1/8 - o（1））N^2条边的N个顶点上的K_4-free图。从1976年的Bollobás和Erdás开始，人们提出了几个问题来估计临界窗口中的最小可能独立数，当边缘数约为N^2 / 8时。这些问题已受到相当大的注意，仍然是这一领域的主要未决问题之一。在本文中，我们给出了几乎最好的可能的界限，解决了各种开放的问题，关于这个关键窗口。
2014-09-23 math.CO
On the Ramsey-Turán number with small $s$-independence number
令$s$为整数，$f=f(n)$为函数，$H$为图。定义Ramsey-Turán数$RT_s(n,H, f)$为阶为$n$且具有$α_s(G) < f$的无$H$图$G$中的最大边数，其中$α_s(G)$是$G$的无$K_s$导出子图中的最大顶点数。Ramsey-Turán数吸引了相当多的注意力，并且主要研究$f$并不比$n$小得多。在本文中，我们考虑$RT_s(n,K_t, n^δ)$固定$δ<1$。我们表明，对于一个任意小的$\varepsilon>0$和$1/2<δ< 1$，$RT_s(n,K_{s+1}, n^δ) = Ω(n^{1+δ-\varepsilon})$所有足够大的$s$。这几乎是最优的，因为平凡的上限产生$RT_s(n,K_{s+1}, n^δ) = O(n^{1+δ})$。此外，$δ$的范围尽可能大。我们还考虑更一般的情况下，并找到固定的$r\ge2$上的$RT_s(n,K_{s+r},n^δ)$的界限。最后，我们讨论了$RT_s(n, K_{2s+1}, f)$的相变，推广了Balogh，Hu和Simonovits最近的一些结果.
2015-11-14 math.CO
Lower bounds on geometric Ramsey functions
我们继续最近的工作序列研究拉姆齐函数的半代数谓词$\mathbb{R}^d$。$k$上的$k$元半代数谓词$Φ(x_1,\ldots,x_k)$是$k$点$x_1,\ldots,x_k\in\mathbb{R}^d$的$kd$坐标中的多项式方程和不等式的布尔组合。$\mathbb{R}^d$中的点序列$P=(p_1,\ldots,p_n)$称为$Φ$ -齐次，如果$Φ(p_{i_1}, \ldots,p_{i_k})$对所有选择$1\le i_1 < \cdots < i_k\le n$都成立，或者不对任何选择成立。Ramsey函数$R_Φ(n)$是最小的$N$，使得每个长度为$N$的点序列包含长度为$n$的$Φ$ -齐性子序列。Conlon、Fox、Pach、Sudakov和Suk构建了第一个半代数谓词的例子，其中Ramsey函数从下到上被一个任意高度的塔函数所限制：对于每个$k\ge 4$，它们在维度$2^{k-4}$上表现出一个$k$元$Φ$，其中$R_Φ$从下到上被一个高度为$k-1$的塔所限制。我们减少了在他们的建设，获得一个$k$ -ary半代数谓词$Φ$ $\mathbb{R}^{k-3}$与$R_Φ$有界的高度$k-1$塔以下。我们还提供了一个自然的几何拉姆齐型定理与一个大的拉姆齐函数。我们称$\mathbb{R}^d$中的点序列$P$为序型齐次的，如果$P$中的所…
2014-01-07 math.CO
A generalised Ramsey--Turán problem for matchings
本文证明了关于匹配的广义 Ramsey--Turán 定理，通过显式构造和基于 Gallai--Edmonds 分解的复杂压缩算法，确定了在特定边着色条件下图中完全子图的最大数量。
2025-09-12 math.CO
Andrásfai and Vega graphs in Ramsey-Turán theory
给定正整数$n\ge s$，我们用${\mathrm{ex}}(n,s)$表示无三角形图$G$中$n$顶点上的最大边数，其中$α(G)\le s$为$α(G)\le s$ .在六十年代初Andrásfai阐明，$n/3<s<n/2$的功能${\mathrm{ex}}(n, s)$是分段二次临界值在$s/n={k}/({3k-1})$。我们证实，这确实是这种情况下，只要$s/n$是略大于一个临界值，从而确定${\mathrm{ex}}(n,s)$的所有$n$和$s$，使$s/n\in [{k}/({3k-1}), {k}/({3k-1})+γ_k]$，其中$γ_k=Θ(k^{-6})$。
2021-02-26 math.CO
On a Ramsey--Turán variant of Roth's theorem
该研究围绕有限域上齐次线性方程的无解方程集问题，结合Erdős与Sárközy提出的结构化集合概念，证明了Roth定理的Ramsey--Turán变体，给出了两类命题等价的结论，丰富了加法组合领域的相关理论。
2025-07-30 math.CO
Generalized Ramsey--Turán density for cliques
本文研究广义Ramsey--Turán函数，通过组合方法解决所有s≥3的一般情形，证明极值图具有简单有界结构，并否定一个相关猜想。
2024-03-19 math.CO
Ramsey Goodness and Beyond
在1983年的一篇开创性论文中，Burr和Erdos开始系统地研究团与大型稀疏图的Ramsey数，提出了一些问题。在本文中，我们开发了一种新的方法，这样的拉姆齐问题使用混合的Szemeredi正则引理，嵌入稀疏图，图兰型稳定性，和其他结构的结果。我们给确切的拉姆齐数的各类图，解决所有，但一个Burr-Erdos问题。
2007-06-25 math.CO
Ramsey numbers for partially-ordered sets
通过考虑顶点具有偏序的图，我们给出了Ramsey数的一个改进.这是有序Ramsey数的自然扩张。我们形式化的情况下，我们可以使用任意家庭的偏序集，以形成主图的拉姆齐问题。我们探讨连接到研究图兰型问题的偏序集，特别是那些在布尔格。当图的偏序具有大的反链时，我们发现了布尔格上的Ramsey数与有序Ramsey数之间的一个很大的区别.
2016-11-28 math.CO
Turán and Ramsey Properties of Subcube Intersection Graphs
离散立方体$\{0,1\}^d$是一种基本的组合结构。$\{0,1\}^d$的子立方体是通过固定$k$坐标并允许其余的$d-k$自由变化而形成的其点的$2^k$的子集。离散立方体的子立方体结构非常复杂，有许多与之相关的问题尚未解决。沿着这条线的两个示例问题如下：给定一个子立方体族，其中没有$r+1$有非空交集，我们可以有多少个成对交集？如果其中没有具有非空交集的$k$，也没有成对不相交的$l$，那么我们可以有多少个子立方体？这些问题自然地表示为子立方体的交图中的Turán和Ramsey型问题，其中集合族的交图对于该族中的每个集合具有一个顶点，如果对应的子集相交，则两个顶点相邻。Turán和Ramsey型问题是极值组合学的核心，因此这些问题在数学上是自然的。然而，第二个动机是与社会选择理论中的一些问题的联系，这些问题是由社会中的一个简单的协议模型引起的。具体地说，如果我们必须对每个$n$单独的问题进行二元选择，那么可以合理地假设，个人可以接受的选择集将由子立方体表示。因此，一个子立方体家庭中的交叉模式将对社会中的协议水平产生影响。我们提出了一些与Turán和Ramsey问题直接相关的问题和解答，并为子立方体交图的研究提出了一些进一步的方向.
2011-10-19 math.CO
Mean Ramsey-Turán numbers
图的$ρ$ -平均染色是图的边的染色，使得与每个顶点关联的颜色的平均数至多为$ρ$。对于图$H$和$ρ\geq 1$，{ \em mean Ramsey-Turán number} $RT(n,H,ρ-mean)$是在没有$H$的单色副本的条件下，具有$n$顶点的$ρ$ -平均着色图可以具有的最大边数。证明了在不存在$H$的单色副本的条件下，一个具有$n$顶点的$k$边着色图所能拥有的最大边数为$RT(n,K_m,2-mean)=RT(n,K_m,2)$，其中$RT(n,H,k)$.证明了该猜想对$K_3$成立.我们还证明了$RT(n,H,ρ-mean) \leq RT(n,K_{χ(H)},ρ-mean)+o(n^2)$ .这个结果对于团数等于其色数的图$H$是紧的。特别地，我们得到，如果$H$是一个3-色图有一个三角形，那么$RT(n,H,2-mean) = RT(n,K_3,2-mean)+o(n^2)=RT(n,K_3,2)+o(n^2)=0.4n^2(1+o(1))$。
2004-08-09 math.CO
Explicit geometric construction of Ramsey graphs
Faculty of Mathematics and Physics, University of Ljubljana（卢布尔雅那大学数学与物理学院）
本文提出无k团且独立数有界的参数化图族的显式几何构造，推广相关拉姆齐图，给出独立数上界的新组合证明，建立下界与参数约束，提供线性时间近似算法，对无三角形图构造获R(3,t)的Ω(t^(3/2))下界。
2025-11-17 math.CO
Two conjectures in Ramsey-Turán theory
给定图$H_1,\ldots, H_k$，如果存在一个$k$ -边着色$ϕ:E(G)\rightarrow [k]$，且没有$H_i$的单色副本，且每个$i\in[k]$的边都是彩色$i$，则图$G$是$(H_1,\ldots, H_k)$ -free的.给定一个函数$f(n)$，Ramsey-Turán函数$\textrm{RT}(n,H_1,\ldots,H_k,f(n))$是独立数至多为$f(n)$的无$n$ -顶点$(H_1,\ldots,H_k)$图的最大边数.我们确定$\textrm{RT}(n,K_3,K_s,δn)$的$s\in\{3,4,5\}$和足够小的$δ$，证实了一个猜想的Erdés和Sós从1979年。已知$\textrm{RT}(n,K_8,f(n))$在$f(n)=Θ(\sqrt{n\log n})$具有相变。然而，$\textrm{RT}(n,K_8, o(\sqrt{n\log n}))$的值未知。我们确定了这个价值证明$\textrm{RT}(n,K_8,o(\sqrt{n\log n}))=\frac{n^2}{4}+o(n^2)$，回答一个问题的Balogh，胡和Simonovits。证明利用，除其他外，依赖随机选择和结果从图包装。
2018-03-13 math.CO
Planar anti-Ramsey numbers for paths and cycles
受Erdés，Simonovits和Sós在1975年引入的反Ramsey数的启发，本文研究了主图为平面三角剖分时的反Ramsey问题.给定一个正整数$n$和一个平面图$H$，设$\mathcal{T}_n(H)$是$n$顶点上的所有平面三角剖分$T$的族，使得$T$包含一个与$H$同构的子图. $H$的平面反拉姆齐数，记为$ar_{_\mathcal{P}}(n, H)$，是平面三角剖分$T\in \mathcal{T}_n(H)$的边着色中的最大颜色数，使得$T$不包含$H$的彩虹副本。类似于反Ramsey数和Turán数，平面反Ramsey数与平面Turán数密切相关，其中$H$的平面Turán数是不包含$H$作为子图的平面图在$n$顶点上的最大边数。$ar_{_\mathcal{P}}(n, H)$（以彩虹数的名义）的研究由Hortencies ák，Jendrol $'$，Schiermeyer和Soták发起[J Graph Theory 78（2015）248- 257]。本文研究了路和圈的平面反Ramsey数。我们首先建立下限为$ar_{_\mathcal{P}}(n, P_k)$时$n\ge k\ge8$。当$k\geq 5$和$n\geq k^2-k$时，我们改进了现有的$ar_{_\mathcal{P}}(n, C_k)$的下界。最后，利用上述论文中的主要思想…
2017-12-06 math.CO
Turán's problem and Ramsey numbers for trees
令$T_n^1=(V,E_1)$和$T_n^2=(V,E_2)$是$n$顶点上的树，其中$V=\{v_0,v_1,\ldots,v_{n-1}\}$、$E_1=\{v_0v_1,\ldots,v_0v_{n-3},v_{n-4}v_{n-2},v_{n-3}v_{n-1}\}$和$E_2=\{v_0v_1,\ldots,$ $v_0v_{n-3},v_{n-3}v_{n-2}, v_{n-3}v_{n-1}\}$。本文给出了$p\ge n\ge 5$的$\ex(p;T_n^1)$和$\ex(p;T_n^2)$的显式公式，其中$\ex(p;L)$表示不含$L$的$p$阶图的最大边数.令$r(G\sb 1, G\sb 2)$是两个图$G_1$和$G_2$的Ramsey数。本文还给出了$r(T_m,T_n^i)$的一些显式公式，其中$i\in\{1,2\}$和$T_m$是$m$顶点上的树，且树的顶点具有$Δ(T_m)\le m-3$ .
2015-05-04 math.CO
Phase transitions in the Ramsey-Turán theory
设$f(n)$是一个函数，$L$是一个图。用$RT(n,L,f(n))$表示无$L$图中$n$点上独立数小于$f(n)$的最大边数. Erd \H os和Sós询问是否$RT\left(n, K_5, c\sqrt{n}\right) = o(n^2)$为一些恒定的$c$。我们通过证明更强的$RT\left(n, K_5, o\left(\sqrt{n\log n}\right)\right) = o(n^2)$来回答这个问题。已知$RT \left(n, K_5, c \sqrt{n\log n} \right) = n^2/4+o(n^2)$为$c>1$，因此可以说$K_5$在$c\sqrt{n\log n}$处具有Ramsey-Turán相变。我们将这个结果推广到其他几个$K_s$和函数$f(n)$，确定更多的相变。我们将制定几个开放的问题，特别是，是否存在的变体的Bollobás-Erd \H os图给好的下界$RT\left(n, K_s, f(n)\right)$的各种对$s$和$f(n)$。其中，我们使用Szemerédi的正则性引理和超图依赖随机选择引理。我们还给出了一个简短的证明，证明了具有小独立数的无$K_s$图是稀疏的。
2015-04-07 math.CO
On a Ramsey-Turán variant of the Hajnal-Szemerédi theorem
Hajnal和Szemerédi的一个开创性的结果指出，如果一个图$G$与$n$顶点有最小度$δ(G) \ge (r-1)n/r$为某个整数$r \ge 2$，那么$G$包含一个$K_r$ -因子，假设$r$整除$n$。极端的例子表明$δ(G)$上的界的最优性是非常结构化的，特别是，包含大的独立集。类似于拉姆齐-图兰理论，Balogh，Molla和Sharifzadeh开始研究缺乏这样大的独立集如何影响足够的最小度。我们证明了以下两个相关的结果：$\bullet$对于任何$r > \ell \ge 2$，如果$G$是一个满足$δ(G) \ge (r - \ell)n/(r - \ell + 1) +Ω(n)$和$α_\ell(G)=o(n)$的图，即最大的无$K_\ell$的导出子图有最多个$o(n)$顶点，则$G$包含一个$K_r$ -因子。这对于$\ell = r - 1$是最优的，并且扩展了Balogh、Molla和Sharifzadeh考虑$r = 3$情况的结果。如果图$\bullet$满足$δ(G) =Ω(n)$和$α_r^*(G) =o(n)$，即$G$的每个导出的无$K_r$的$r$ -部子图至少有一个顶点类的大小为$o(n)$，则它包含一个$K_r$ -因子.对于一般图$H$证明了类似的陈述。
2018-06-19 math.CO
Generalized Ramsey-Turán Numbers
本文研究广义Ramsey-Turán问题，即计数无$K_p$且独立数为$o(n)$的$n$顶点图中$K_q$的最大拷贝数，确定了$K_4$、$K_5$及$p≥5q$情形的渐近结果，并给出反驳已有猜想的反例族。
2024-05-13 math.CO
Anti-Ramsey numbers of paths and cycles in hypergraphs
反Ramsey问题是由Erdens，Simonovits和Sós在20世纪70年代提出的。超图$\mathcal{H}$的反Ramsey数$ar(n,s, \mathcal{H})$是最小的整数$c$，使得在$n$顶点上的$s$ -均匀完全超图的边的任意着色中，都存在一个边具有不同颜色的$\mathcal{H}$的副本.本文对足够大的$n$确定了超图中线性路和松散路的反Ramsey数，并给出了Berge路的反Ramsey数的界。类似的精确的反拉姆齐数得到线性/松散的循环，并获得边界的Berge循环。我们的主要工具是路径扩张技术和超图Turán问题的稳定性结果。
2019-11-12 math.CO
On the Ramsey-Turán density of triangles
现代图论中最古老的结果之一，由于Mantel，断言每个$n$顶点上的无三角形图最多有$\lfloor n^2/4\rfloor$边。大约半个世纪后，Andrásfai研究了稠密无三角形图，并证明了$n$顶点上的最大无三角形图不具有大小为$αn$的独立集，其中$2/5\le α< 1/2$是五边形的爆破。自Andrásfai的工作以来，又过去了50多年。在这篇文章中，我们朝着理解没有大独立集的稠密无三角形图的结构迈出了下一步。值得注意的是，我们用$α(G)\ge 3n/8$确定了$n$顶点上的无三角形图$G$的最大尺寸，并用$α(G) > n/3$提出了关于无三角形图$G$的结构的一个猜想.我们注意到，情况下$α(G) \le n/3$的行为不同，但由于工作的勃兰特这种情况是相当好的理解。
2020-12-17 math.CO
Canonical theorems in geometric Ramsey theory
Eötvös Loránd University（罗兰大学）；KIT（卡尔斯鲁厄理工学院）；Alfréd Rényi Institute of Mathematics（阿尔弗雷德·雷尼数学研究所）
本文证明了在欧几里得空间中，任何锐角三角形或m维单位超立方体在任何着色下必然存在单色或彩虹副本。
2025-06-10 math.CO
Chromatic Ramsey numbers and two-color Turán densities
Karlsruhe Institute of Technology（卡尔斯鲁厄理工学院）
研究图的双色图兰密度，证明对任意k色图G，色数拉姆齐数R_χ(G)可取Ω(k)个不同值，揭示了双色图兰密度的可能取值。
2026-10-26 math.CO
A step towards the Ramsey-Turán conjecture for $K_3$ and $K_6$
Shandong University（山东大学）；Fuzhou University（福州大学）
本文利用Szemerédi正则引理和稳定性论证，证明了对于 $K_3$ 和 $K_6$，Ramsey-Turán函数 $ρ(3,6,δ)$ 的上界为 $\frac{5}{12} + \frac{δ}{2}+ 2.1025δ^2$，为猜想提供了第一步证明。
2026-04-27 math.CO
On powers of Hamilton cycles in Ramsey-Turán Theory
本文在 Ramsey-Turán 理论中证明，只要 n 顶点图的最小度略高于 (1-1/r)n 且独立数线性有界，就必含 Hamilton 圈的 r 次幂，并证明最小度条件在 r=2,3 时渐近最优。
2023-05-27 math.CO
Turán numbers and anti-Ramsey numbers for short cycles in complete $3$-partite graphs
我们称$K_{n_{1}, n_{2}, n_{3}}$中的$4$ -圈为$C_{4}^{\text{multi}}$，如果它在$K_{n_{1}, n_{2}, n_{3}}$的每个部分中至少包含一个顶点.图兰数$\text{ex}(K_{n_{1},n_{2},n_{3}}, C_{4}^{\text{multi}})$分别为$\bigg($，$\text{ex}(K_{n_{1},n_{2},n_{3}},\{C_{3}, C_{4}^{\text{multi}}\})$ $\bigg)$是图$G\subseteq K_{n_{1},n_{2},n_{3}}$中的最大边数，使得$G$分别不包含$C_{4}^{\text{multi}}$ $\bigg($，$G$既不包含$C_{3}$也不包含$C_{4}^{\text{multi}}$ $\bigg)$。如果$C^{multi}_4$的四个边都有不同的颜色，我们称之为彩虹。蚂蚁拉姆齐数$\text{ar}(K_{n_{1},n_{2},n_{3}}, C_{4}^{\text{multi}})$是边缘着色的$K_{n_{1},n_{2},n_{3}}$中没有彩虹$C_{4}^{\text{multi}}$的最大颜色数。本文确定了$\text{ex}(K_{n_{1},n_{2},n_{3}}, C_{4}^{\text{mul…
2020-11-27 math.CO
Linear Turan numbers of r-uniform linear cycles and related Ramsey numbers
$r$ -一致超图称为$r$ -图.一个超图是线性的，如果每两条边至多相交于一个顶点。给定一个线性$r$ -图$H$和一个正整数$n$，线性图兰数$ex_L(n,H)$是不包含$H$作为子图的线性$r$ -图$G$中的最大边数。对于每个$\ell\geq 3$，令$C^r_\ell$表示$r$ -长度为$\ell$的均匀线性圈，它是具有边$e_1,\ldots, e_\ell$的$r$ -图，使得对于所有其他对$\{i,j\}, i\neq j$，有$\forall i\in [\ell-1]$，$|e_i\cap e_{i+1}|=1$，$|e_\ell\cap e_1|=1$和$e_i\cap e_j=\emptyset$.对于所有的$r\geq 3$和$\ell\geq 3$，我们证明了存在正的常数$c_{m,r}$和$c'_{m,r}$，仅依赖于$m$和$r$，使得$ex_L(n,C^r_{2m})\leq c_{m,r} n^{1+\frac{1}{m}}$和$ex_L(n,C^r_{2m+1})\leq c'_{m,r} n^{1+\frac{1}{m}}$。这回答了科斯托奇卡、穆巴伊和韦斯特拉埃特的一个问题。对于偶圈，我们的结果将Bondy和Simonovits关于偶圈的Turán数的结果推广到了线性超图.利用我们关于线性Turán数的结果，我们也得到了圈完全超图Ra…
2014-04-22 math.CO
Online Ramsey numbers of ordered graphs
本文研究有序图的在线 Ramsey 数，利用最大左右度给出新的下界证明，并在圈对完全二部图、树对团两种情形下给出上界。
2024-09-03 math.CO
Density version of the Ramsey problem and the directed Ramsey problem
我们讨论的一个变种的拉姆齐和有向拉姆齐问题。首先，考虑一个完全图的$n$顶点和一个双染色的边缘，使得每一个边缘是着色与至少一种颜色和双着色的边缘$|E_{RB}|$的数量是给定的。我们的目标是找到一个单色集团的最大尺寸$f$，这是保证这样的着色。类似地，在第二个问题中，我们考虑$n$顶点上的半完全有向图，使得双向边数$|E_{bi}|$已给定。我们的目标是限制的大小$F$的最大传递子锦标赛，保证这样的有向图。应用概率和分析工具和建设性的方法，我们表明，如果$|E_{RB}|=|E_{bi}| = p{n\choose 2}$，（$p\in [0,1)$），那么$f, F < C_p\log(n)$，其中$C_p$只依赖于$p$，而如果$m={n \choose 2} - |E_{RB}| <n^{3/2}$，那么$f= Θ(\frac{n^2}{m+n})$。后一种情况与Turán型极值图论密切相关。
2016-01-21 math.CO
Online Ramsey Numbers and the Subgraph Query Problem
该$(m,n)$ -在线拉姆齐游戏是一个组合游戏之间的两名球员，建设者和画家。从一组无限的孤立顶点开始，Builder在每个转弯处绘制一条边，Painter立即将其绘制为红色或蓝色。Builder的目标是迫使Painter使用尽可能少的旋转次数创建红色$K_m$或蓝色$K_n$。在线Ramsey数$\tilde{r}(m,n)$是生成器确保在$(m,n)$ -在线Ramsey游戏中获胜所需的最小边数。通过分析Painter随机博弈的特殊情形，得到了对角在线Ramsey数下界的指数改进\[ \tilde{r}(n,n) \ge 2^{(2-\sqrt{2})n + O(1)} \]，以及非对角情形下相应的改进\[ \tilde{r}(m,n) \ge n^{(2-\sqrt{2})m + O(1)} \]，其中$m\ge 3$是固定的，而$n\rightarrow\infty$ .使用不同的随机画家策略，我们证明了$\tilde{r}(3,n)=\tildeΘ(n^3)$，确定这个函数的多对数因子。我们还改进了非对角情况下的上界$m \geq 4$。在与在线拉姆齐游戏与随机画家，我们研究的问题，找到一个副本的目标图$H$在一个足够大的未知Erdens-Rényi随机图$G(N,p)$使用尽可能少的查询，其中每个查询揭示了是否有一个特定的一对顶点相邻。我们称这个问题为子图查询问题。我们…
2018-11-04 math.CO
Ramsey, Paper, Scissors
我们介绍一个图形拉姆齐游戏称为拉姆齐，纸，剪刀。这个游戏有两个参与者，提议者和决定者。从$n$顶点上的空图开始，在每一轮中，Proposer提出一条潜在的边，而Decider同时决定（不知道Proposer的选择）是否将其添加到图中。Proposer不能提出一个会在图形中创建三角形的边。当提议者没有剩余的合法移动时，游戏结束，并且如果最终图具有至少$s$的独立数，则提议者获胜。我们证明了一个阈值现象存在这个游戏展示随机策略的两个球员是最佳的常数。也就是说，存在常数$0<A<B$，使得（在最佳游戏下）如果是$s<A\sqrt{n}\log{n}$，则提议者以高概率获胜，而如果是$s>B\sqrt{n}\log{n}$，则决定者以高概率获胜。这是$Θ(\sqrt{\log{n}})$的因子，大于来自非对角Ramsey数$r(3,s)$的下界。
2020-06-22 math.CO
Independent sets in hypergraphs and Ramsey properties of graphs and the integers
组合学和其他相关领域中的许多重要问题都可以用超图中的独立集语言来表述。最近Balogh，莫里斯和Samotij，并独立萨克斯顿和Mrsason开发了非常一般的容器定理的独立集超图;这两个已经看到了许多应用到广泛的问题。本文利用容器方法对（超）图和整数的Ramsey（和Turán）性质的一些结果给出了较简短的初等证明.特别是：（一）我们推广随机拉姆齐定理的Rödl和Rucibrski通过提供一个弹性模拟。我们的结果统一和概括了该地区的几个基本结果，包括随机版本的图兰定理由于康伦和Gowers和沙赫特。(ii)上述结果也解决了Kohayakawa和Kreuter的非对称随机Ramsey猜想的一般子情形。(iii)所有上述结果实际上对一致超图都成立。(iv)对于一个（超）图$H$，我们确定，直到指数中的一个误差项，$n$ -顶点（超）图$G$的数目，这些图具有关于$H$的Ramsey性质（即，只要$G$是$r$ -着色的，在$G$中就有$H$的单色副本）. (v)我们通过证明结果的弹性版本来加强Friedgut，Rödl和Schacht的随机Rado定理。(vi)对于分区定期矩阵$A$，我们确定，直到一个错误项的指数，子集的数量$\{1,\dots,n\}$，存在一个$r$着色，其中不包含单色解决方案，$Ax=0$。一路上提出了一些开放的问题。
2018-11-27 math.CO
Two Ramsey-Turán numbers involving triangles
本文解决了Ramsey-Turán密度领域三十年无进展的问题，确定了ρ(3,6)=5/12和ρ(3,7)=7/16，并证明对应渐近极值结构的弱稳定性，验证了相关猜想的两个特例。
2023-06-14 math.CO
