arXiv 2409.040422024-09math.CO

迈向 $K_3$ 和 $K_6$ 的 Ramsey-Turán 猜想的一个步骤

A step towards the Ramsey-Turán conjecture for $K_3$ and $K_6$

Shandong University（山东大学）；Fuzhou University（福州大学）

Xinyu Hu, Qizhong Lin

备注：: 32 pages

AI总结：

本文利用Szemerédi正则引理和稳定性论证，证明了对于 $K_3$ 和 $K_6$，Ramsey-Turán函数 $ρ(3,6,δ)$ 的上界为 $\frac{5}{12} + \frac{δ}{2}+ 2.1025δ^2$，为猜想提供了第一步证明。

摘要：

Ramsey-Turán类型问题由Erdős和Sós于1969年提出。给定整数 $p, q\ge2$，若图 $G$ 的红/蓝边着色中不包含红 $K_p$ 或蓝 $K_q$，则称 $G$ 为 $(K_p,K_q)$-free图。对于任何 $δ>0$，Ramsey-Turán数 $RT( {n,p,q,δn)} $ 是一个 $n$-顶点、独立数至多 $δn$ 的 $(K_p,K_q)$-free图的最大边数。令 $ρ(p, q,δ) = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{RT(n,p, q,δn)}{n^2}$。Kim, Kim 和 Liu（2019）通过巧妙的构造证明了 $ρ(3,6,δ)\ge \frac{5}{12}+\fracδ{2}+2δ^2$，并猜想对于足够小的 $δ>0$ 等式成立。利用Szemerédi正则引理和稳定性论证，本文首次向猜想迈进，证明了 $ρ(3,6,δ)$ 的上界为 $\frac{5}{12} + \frac{δ}{2}+ 2.1025δ^2$。

英文摘要：

Ramsey-Turán type problems were initiated by Erdős and Sós in 1969. Given integers $p, q\ge2$, a graph $G$ is $(K_p,K_q)$-free if there exists a red/blue edge coloring of $G$ such that it contains neither a red $K_p$ nor a blue $K_q$. For any $δ>0$, the Ramsey-Turán number $RT( {n,p,q,δn)} $ is the maximum number of edges in an $n$-vertex $(K_p,K_q)$-free graph with independence number at most $δn$. Let $ρ(p, q,δ) = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{RT(n,p, q,δn)}{n^2}$. Kim, Kim and Liu (2019) showed that $ρ(3,6,δ)\ge \frac{5}{12}+\fracδ{2}+2δ^2$ via a skillful construction and conjectured the equality holds for sufficiently small $δ>0$. Using Szemerédi's regularity lemma and a stability argument, we make the first step towards the conjecture by showing that $ρ(3,6,δ)$ is at most $\frac{5}{12} + \frac{δ}{2}+ 2.1025δ^2$.

机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。

AI总结：

摘要：

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