Around a conjecture of ErdH{o}s on graph Ramsey numbers
对于给定的图G1和G2，Ramsey数R（G1，G2），是使得完全图Kn的每个蓝-红边染色包含G1的一个蓝拷贝或G2的一个红拷贝的最小正整数n。1983年，Erdos证明了对任意m条边且无孤立点的图G，存在一个绝对常数c使得R（G）= R（G，G）<2cpm.最近B.苏达科夫本文利用Sudakovs的思想，推广了他的结果，并给出了一些有趣的推论.
2012-11-27 math.CO
A random coloring process gives improved bounds for the Erdős-Gyárfás problem on generalized Ramsey numbers
Erdens-Gyárfás数$f(n, p, q)$是给完全图$K_n$的边着色所需的最小颜色数，使得它的所有$p$ -团至少跨越$q$颜色。本文对$p, q$和大$n$的许多固定值，改进了$f(n, p, q)$的最佳上界.我们的证明使用了一个随机着色过程，我们分析使用所谓的微分方程方法建立动态浓度。
2023-02-08 math.CO
On a Conjecture of Erd\H os on Size Ramsey Number of Star Forests
给定图$ F_1, F_2$和$G$，我们说$G$是$(F_1,F_2)$的Ramsey，我们写$G\rightarrow(F_1, F_2)$，如果对于$G$的每个边着色为红色和蓝色，则在$G$中要么有$F_1$的红色副本，要么有$F_2$的蓝色副本。定义图的最小Ramsey数$\hat{r}(F_1, F_2)$为图$G$的最小边数，使得$G\rightarrow(F_1, F_2)$。本文给出了多对$(F_1, F_2)$星森林的$\hat{r}(F_1, F_2)$的精确值，部分解决了Burr等人的一个猜想（Ramsey-minimal graphs for multiple copies，Indagationes Mathematicae，81（2）（1978），187-195）.
2021-11-03 math.CO
A Ramsey variant of the Brown-Erdős-Sós conjecture
如果一个$r$ -均匀超图（简称$r$ -图）的每对顶点最多属于一条边，则该超图称为线性的。一个线性$r$ -图是完全的，如果每对顶点恰好在一条边上。著名的Brown-Erdens-Sós猜想指出，对于每个固定的$k$和$r$，每个具有$Ω(n^2)$边的线性$r$ -图包含至多由$(r-2)k+3$点张成的$k$边.作为这个猜想的中间步骤，Conlon和Nenadov最近建议证明它的自然Ramsey松弛。也就是说，对于每个固定的$k$，$r$和$c$，在完全线性$r$ -图的每个$c$ -着色中，可以找到至多由$(r-2)k+3$顶点所跨越的$k$单色边.我们证明，这拉姆齐版本的猜想下，额外的假设，$r \geq r_0(c)$，我们表明，$c=2$，它适用于所有$r\geq 4$。
2021-04-21 math.CO
The Erdős-Gyárfás problem on generalized Ramsey numbers
用$2 \leq q \leq {p \choose 2}$修正正整数$p$和$q$。完全图$K_n$的边着色称为$(p, q)$ -着色，如果每个$K_p$至少接收$q$个不同的颜色.函数$f(n, p, q)$是$K_n$具有$(p,q)$着色所需的最小颜色数。这个函数是由埃尔德什和谢拉在大约40年前提出的，但埃尔德什和贾法斯是第一个系统地研究这个函数的人。他们证明了$f(n, p, p)$是$n$中的多项式，并要求根据$p$确定最大$q$，其中$f(n,p,q)$是$n$中的子多项式。我们证明了答案是$p-1$。
2014-03-02 math.CO
On generalized Ramsey numbers of Erdős and Rogers
扩展拉姆齐数的概念，Erd{ \H o}s和Rogers引入了以下函数。对于给定的整数$2\le s<t$，让$$ f_{s,t}(n)=\min \{\max \{|W| : W\subseteq V(G) {and} G[W] {contains no} K_s\} \}, $$，其中最小值是在所有$K_t$ -自由图$G$的顺序$n$ .本文证明了对于每个$s\ge 3$，存在常数$c_1=c_1(s)$和$c_2=c_2(s)$，使得$f_{s,s+1}(n) \le c_1 (\log n)^{c_2} \sqrt{n}$ .这个结果在多对数因子下是最好的。我们还证明了对于所有的$t-2 \geq s \geq 4$，存在一个常数$c_3$，使得$f_{s,t}(n) \le c_3 \sqrt{n}$。在这样做时，我们部分回答了Erdos的问题，表明$\lim_{n\to \infty} \frac{f_{s+1,s+2}(n)}{f_{s,s+2}(n)}=\infty$的任何$s\ge 4$。
2013-09-18 math.CO
Ramsey Goodness and Beyond
在1983年的一篇开创性论文中，Burr和Erdos开始系统地研究团与大型稀疏图的Ramsey数，提出了一些问题。在本文中，我们开发了一种新的方法，这样的拉姆齐问题使用混合的Szemeredi正则引理，嵌入稀疏图，图兰型稳定性，和其他结构的结果。我们给确切的拉姆齐数的各类图，解决所有，但一个Burr-Erdos问题。
2007-06-25 math.CO
Anti-Ramsey numbers for paths
我们确定路径的反拉姆齐数。这证实了Erdós，Simonovits和Sós在20世纪70年代提出的一个猜想。
2021-02-09 math.CO
On a question of Erdos and Faudree on the size Ramsey numbers
对于给定的简单图$G_1$和$G_2$，Ramsey数$\hat{R}(G_1,G_2)$是最小的正整数$m$，其中存在一个图$G$，它的$m$边使得在$G$的任意边着色中，红色和蓝色都是$G_1$的红色副本或$G_2$的蓝色副本。1981年，Erdans和Faudree研究了大小Ramsey数$\hat{R}(K_n,tK_2)$，其中$K_n$是$n$顶点上的完全图，而$tK_2$是大小$t$的匹配.当$n\geq 4t-1$和$t=2$时，他们得到了$\hat{R}(K_n,tK_2)$的值，并询问了当$ t $比$ n $大得多时这些数字的行为。在这方面，他们提出了以下有趣的问题：对于每一个正整数$n$，是真的，$$\lim_{t\to \infty} \frac{\hat{R}(K_n,tK_2)} {t\, \hat{R}(K_n,K_2)} = \min\left\{\dfrac{\binom{n+2t-2}{2}} {t\binom{n}{2}}\mid t\in \mathbb{N}\right\} ? $$在本文中，我们得到的确切值$ \hat{R}(K_n,tK_2) $的每一个正整数$ n,t $和作为副产品，我们给一个肯定的答案的问题Erdés和Faudree。
2017-02-04 math.CO
Erdos-Szekeres-type statements: Ramsey function and decidability in dimension 1
一个经典且广泛使用的Erdos和Szekeres引理断言，对于每个n，存在N使得每个实数的N项序列a包含一个n项递增子序列或一个n项非递减子序列;定量地说，具有此性质的最小N等于（n-1）^2+1。在本文的背景下，我们把这个引理表示为谓词集Phi={x_1<x_2，x_1 \ge x_2}$是Erdos-Szekeres，其中Ramsey函数ES_Phi（n）=（n-1）^2+1.一般来说，我们考虑任意有限集Phi={Phi_1，.，Phi_m}，意味着每个Phi_j=Phi_j（x_1，.，x_k）是多项式方程和不等式的布尔组合，其中有k个实变量。我们将Phi定义为Erdos-Szekeres，如果对于每个n存在N，使得每个实数的N项序列a具有n项子序列b，使得Phi_j中的至少一个在b上处处成立，这意味着Phi_j（b_{i_1}，.，b_{i_k}）对于索引i_1，i_2，.，i_k，1<=i_1<i_2<. <i_k<= n.对于具有上述性质的最小N，我们将ES_Phi（n）写成。我们证明了两个主要结果。首先，在这种情况下，拉姆齐函数至多是双指数的（有时它们确实是双指数的）：对于每个Erdens-Szekeres的Φ，存在一个常数C，使得ES_Phi（n）< exp（exp（Cn））。第二，有一个算法，给定φ，决定它是否是埃尔多斯-塞凯雷斯;因此，一维埃尔多斯-塞凯雷斯式定…
2013-11-21 math.CO
Ramsey problems for monotone paths in graphs and hypergraphs
本文研究图与超图中单调路径的有序Ramsey数，证明了Mubayi和Suk的两个猜想，改进了Balko等人的界，并给出Erdős-Rado典型Ramsey定理的颜色单调版本。
2023-08-08 math.CO
A step forwards on the Erdős-Sós problem concerning the Ramsey numbers $R(3,k)$
设$Δ_s=R(K_3,K_s)-R(K_3,K_{s-1})$，其中$R(G,H)$是图$G$和$H$的Ramsey数，定义为最小$n$，使得具有两种颜色的$K_n$的任何边染色包含第一种颜色的$G$或第二种颜色的$H$。1980年，Erdos和Sós对$Δ_s$的发展提出了一些问题。$Δ_s$上最著名的具体界限是$3 \le Δ_s \le s$，自从问题提出以来，它们没有得到改进。在本文中，我们提出了一些建设，这意味着特别是$R(K_3,K_s) \ge R(K_3,K_{s-1}-e) + 4$。这并没有改善$Δ_s$上的3的下限，但我们仍然认为这是朝着理解其增长迈出的一步。本文讨论了有关的问题，并提出了两个涉及$Δ_s$的定理，包括：对某些常数$d$和所有$s$，$Δ_s - Δ_{s+1} \leq d$成立.我们还证明，如果后者是真的，那么$\lim_{s \rightarrow \infty} Δ_s/s=0$。
2015-07-04 math.CO
Ramsey graphs induce subgraphs of many different sizes
一个$n$顶点上的图称为\emph{$C$-Ramsey}，如果图的每个团或独立集的大小至多为$C \log n$。唯一已知的Ramsey图的构造在本质上是概率性的，并且通常认为这样的图具有许多与稠密随机图相同的性质。在这里，我们证明了这样一个性质：对于任何固定的$C>0$，每个$C$ -拉姆齐图上的$n$顶点诱导至少$n^{2-o(1)}$不同大小的子图。这个接近最优的结果与两个未解决的问题密切相关，第一个是由Erdés和McKay提出的，第二个是由Erdés、Faudree和Sós提出的，都是1992年的。
2017-09-07 math.CO
Constructions in Ramsey theory
我们为拉姆齐理论中的问题提供了几种构造。首先，我们证明了经典的4-一致Ramsey数$r_4(5,n)$的一个超指数下界，以及$k$ -一致版本$r_k(k+1,n)$的重对数的超指数下界.这是第一次改善原来的指数下限$r_4(5,n)$隐含在工作的Erd \H os和Hajnal从1972年，也提高了目前最知名的界限较大的$k$由于作者。其次，我们证明了超图Erd \H os-Rogers函数$f^k_{k+1, k+2}(N)$是$N$中的迭代$(k-13)$ -倍对数的一个上界.这改善了以前的上限，只有对数和解决问题的杜德克和第一作者重申了康伦，福克斯和Sudakov。第三，将Erd \H os和Hajnal关于$K_4$减去一条边对一个团的3-一致Ramsey数的结果推广到$k$ -一致超图.
2018-01-09 math.CO
Recursive upper bounds for the vertex online Ramsey game with applications to hypergraph Ramsey numbers
Emory University（埃默里大学）
本文研究了超图Ramsey数的递归上界，提出改进的递推关系并应用于超图Ramsey数的上界优化。
2026-05-15 math.CO
Anticoncentration in Ramsey graphs and a proof of the Erdős-McKay conjecture
本文研究了Ramsey图的边统计量，通过度序列的加性结构二分法结合多种数学工具，精确控制了随机顶点子集中的边数分布，并以此证明了Erdős-McKay猜想。
2024-05-30 math.CO math.PR
On a maximal anti-Ramsey conjecture of Burr, Erdős, Graham, and Sós
University of Vienna（维也纳大学）；Princeton University（普林斯顿大学）；University of Science and Technology of China（中国科学技术大学）；Tsinghua University（清华大学）
本文证实了对于奇数环C_{2k+1}（k≥4），最大反Ramsey函数的猜想，并给出了其渐近公式。
2026-03-19 math.CO
Ramsey-type problems for generalised Sidon sets
受Erdős等学者相关问题启发，研究者证明了具备额外Ramsey型性质的广义Sidon集是存在的，推进了相关组合数论问题的研究。
2025-01-14 math.CO math.NT
Two remarks on the Burr-Erdos conjecture
图H的Ramsey数r（H）是使得完全图KN的N个顶点上的边的每一个二染色都包含H的单色副本的最小正整数N。一个图H是d-退化的，如果H的每个子图的最小度至多为d。1975年Burr和Erdens证明了对任意正整数d，存在一个常数c_d，使得对任意n阶d-退化图H，r（H）\leq c_dn.我们证明了对于这样的图r（H）\leq 2^{c_d \sqrt{\log n} }n，改进了Kostochka和Sudakov的一个较早的界.我们还研究了随机图的Ramsey数，证明了当d固定时，几乎必然随机图G（n，d/n）的Ramsey数在n中是线性的.对于随机二部图，我们的证明给出了几乎紧的界。
2008-03-12 math.CO
Saturation problems in the Ramsey theory of graphs, posets and point sets
1964年，Erdés、Hajnal和Moon在极值图论中引入了图兰经典定理的饱和版本。特别是，他们确定了一个无$K_r$ $K_r$的$n$顶点图中的最小边数，该图具有增加任何进一步的边都会产生$K_r$的副本的性质。我们认为类似的这个问题在其他设置。证明了Erdens-Szekeres单调连续性定理的一个饱和形式，以及图上的Ramsey型定理和偏序集上的Dille-type定理的一个饱和形式.我们还考虑半饱和问题，其中我们允许家庭有禁止的配置，但坚持认为，任何除了家庭产生一个新的副本的禁止配置。在这种情况下，我们证明了一个半饱和版本的凸$k$ -凸的Erdens-Szekeres定理，以及多个半饱和定理的序列和偏序集。
2020-05-04 math.CO
The Erdős--Hajnal hypergraph Ramsey problem for $r_4(6,n)$
School of Mathematics, Shandong University（山东大学数学学院）；Data Science Institute, Shandong University（山东大学数据科学研究院）
本文证明了 $r_4(6,n)\ge 2^{2^{cn}}$，改进了先前界，从而确认了所有固定 $k\ge4$ 时 $r_k(k+2,n)$ 的 Erdős--Hajnal 猜想。
2026-09-23 math.CO
The Erdős-Hajnal hypergraph Ramsey problem
给定整数$2\le t \le k+1 \le n$，令$g_k(t,n)$为最小$N$，使得$\{1, \ldots, N\}$的$k$ -子集的每个红/蓝着色产生包含$t$红色$k$ -子集的$(k+1)$ -集，或产生其所有$k$ -子集为蓝色的$n$ -集。1972年，Erdens和Hajnal证明了对于固定的$2\le t \le k$，存在正的常数$c_1$和$c_2$，使得$$ 2^{c_1 n} < g_k(t, n) < twr_{t-1} (n^{c_2}),$$，其中$twr_{t-1}$是高度为2的塔$t-2$。他们证明了塔增长率在上界是正确的。尽管许多研究人员对这个问题的密切相关和特殊情况进行了数十年的工作，但$2<t<k$的下限没有任何改进。在这里，我们解决了Erdens-Hajnal猜想在几乎所有情况下，在一个强的形式，通过确定正确的塔的增长率，并在一半的情况下，我们还确定正确的权力PDMATHAMT塔内。具体来说，我们证明，如果$2<t<k-1$和$k - t$是偶数，那么$$g_k(t, n) = twr_{t-1} (n^{k-t+1 + o(1)}).$$类似的结果证明$k - t$奇数。
2016-02-28 math.CO
A Resolution of Erdős Problem 550 on Tree versus Complete Multipartite Ramsey Numbers
Trinity College, University of Cambridge（剑桥大学三一学院）
本文解决了 Erdős 问题 550，证明了对固定整数 k≥2 和 1≤m1≤...≤mk，对任意足够大的 n 和任意 n 顶点树 T，有 R(T,K_{m1,...,mk}) ≤ (k-1)(R(T,K_{m1,m2})-1)+m1。
2026-08-04 math.CO
On Ramsey size-linear graphs and related questions
本文证明了关于固定图$H$和大图$F$，特别是$F = K_n$的Ramsey数$R(H,F)$的几个结果.这些结果扩展了Erdés，Faudree，Rousseau和Schelp以及Balister，Schelp和Simonovits关于所谓Ramsey尺寸线性图的早期工作。其中，我们表明，如果$H$是一个细分的$K_4$与至少$6$顶点，然后$R(H,F) = O(v(F) + e(F))$的每一个图$F$。我们还猜想，如果$H$是一个有$e(H) - v(H) \leq \binom{k+1}{2} - 2$的连通图，则有$R(H,K_n) = O(n^k)$ . $k=2$的例子是由Erdens、Faudree、Rousseau和Schelp证明的。我们证明了$k=3$的情况。
2023-03-10 math.CO
A coding perspective on the lower bound for diagonal Ramsey numbers
我们给出了一个编码为基础的角度来看，结果Erdós，上的一个下界的对角线拉姆齐数。
2021-05-01 math.CO
New Upper Bounds for the Erdős-Gyárfás Problem on Generalized Ramsey Numbers
图$G$的$(p,q)$ -染色是$G$的边染色，它至少为每个$p$ -团分配$q$颜色。确定完全图$K_n$的$(p,q)$ -着色所需的最小颜色数$f(n,p,q)$的问题是确定对角Ramsey数$r_k(p)$的著名问题的自然推广。$f(n,p,q)$最著名的一般上界是由Erdens和Gyárfás在1997年使用概率论证给出的。从那时起，在$p=q$的情况下，已得到改进的界限仅为$p\in\{4,5\}$，其中每一个证明了给出一个确定性的结构相结合的$(p,p-1)$ -着色使用几种颜色与代数着色。在本文中，我们提供了一个框架，证明新的上界$f(n,p,p)$的风格，这些早期的建设。我们用$p-1$颜色描述了$p$ -团的所有着色，这些颜色可以出现在我们修改后的$(p,p-1)$ -Conlon、Fox、Lee和Sudakov着色中。这使我们能够大大减少识别$(p,p)$ -着色所需的案例检查量，否则这将使这个问题对于大的$p$值变得棘手。此外，我们推广了我们的代数着色从$p=5$设置，并使用这给改进的上界$f(n,6,6)$和$f(n,8,8)$。
2020-06-19 math.CO
The Cycle-Complete graph Ramsey numbers
当圈的阶数至少是完全图的阶数的4倍时，我们得到了圈与完全图的Ramsey数.这部分证实了Erdés、Faudree、Rousseau和Schelp在1978年提出的一个猜想。
2004-04-27 math.CO
Canonical Ramsey numbers of sparse graphs
本文研究了稀疏图的Erdős-Rado数及受限拉姆齐数问题，证明了度数有界的二部图该数为多项式级，一般图为指数级，并给出了树与路径的受限拉姆齐数近乎最优的上界。
2024-10-11 math.CO
On the maximal anti-Ramsey problem of Burr, Erdős, Graham, and Sós for $P_4$
School of Mathematics, Northwest University（西北大学数学学院）
研究Burr、Erdős、Graham和Sós关于P₄的最大反拉姆齐问题，Li等人对0<ε<1/2给出否定答案，本文证明在ε≥1/2时存在二次下界χS(n,⌊n²⌋ - ⌊n²⁻ε⌋,P₄)>c n² 。
2026-07-08 math.CO
A note on lower bounds for hypergraph Ramsey numbers
本文改进了三色超图Ramsey数的下界，证明了在3-一致的情况下，\[r_3 (l,l,l) \geq 2^{l^{c \log \log l}}.\]. Erdens和Hajnal的旧界是\[r_3 (l,l,l) \geq 2^{c l^2 \log^2 l}.\]
2007-11-30 math.CO
Ramsey numbers and the size of graphs
对于两个图H和G，Ramsey数r（H，G）是使完全图K_n的n个顶点上的每一个红-蓝边染色都包含H的红拷贝或G的蓝拷贝的最小正整数n.受Erdos和Harary问题的启发，本文研究了图G的Ramsey数r（K_s，G）如何依赖于图G的大小.对于s \geq 3，我们证明了：对于任意m条边的G，r（K_s，G）\geq c（m/ \log m）^{ \frac{s+1}{s+3} }对某个只依赖于s的正常数c.这个下界改进了Erdos、Faudree、Rousseau和Schelp的一个较早的结果，并且当s=3时紧到一个多对数因子。我们还研究了r（K_s，G）作为m的函数的最大值。
2007-06-27 math.CO
A natural generalisation in graph Ramsey theory
本文研究了图$G_r$的一个性质：$E(G_r)$的每一个用$r+1$着色的图都允许一个用至多$r$颜色的图$H$的拷贝.对于$1\le r\le e(H)$，这种图自然出现在合成$2$ -彩色Ramsey图$G_1\longrightarrow H$的中间步骤. (The Ramsey型数的概念是由Erdös，Hajnal和Rado在1965年提出的，随后由Erdös和Szemerédi在1972年研究）。对于$H=K_n$，我们证明了从一个$G_{r+1}$构造一个$G_{r}$的结果，并建立了Ramsey-无穷性。从结构的角度来看，我们将类的最小的$G_r$的情况下，当$H$是放松的图形属性包含一个周期，然后我们用它来实现建设性的描述，证明减少和扩展定理。
2017-10-19 math.CO
Cycle-complete Ramsey numbers
拉姆齐数$r(C_{\ell},K_n)$是最小的自然数$N$，使得$N$阶的团的每个红/蓝边着色包含长度为$\ell$的红色循环或$n$阶的蓝色团。1978年，Erdés、Faudree、Rousseau和Schelp提出，用于$\ell \geq n\geq 3$的$r(C_{\ell},K_n) = (\ell-1)(n-1)+1$提供了$(\ell,n) \neq (3,3)$。我们证明，对于一些绝对常数$C\ge 1$，我们有$r(C_{\ell},K_n) = (\ell-1)(n-1)+1$提供$\ell \geq C\frac {\log n}{\log \log n}$。直到$C$的值为止，这是紧的，因为我们还表明，对于任何$\varepsilon >0$和$n> n_0(\varepsilon )$，我们对所有$3 \leq \ell \leq (1-\varepsilon )\frac {\log n}{\log \log n}$都有$r(C_{\ell }, K_n) \gg (\ell -1)(n-1)+1$。这证明了猜想的埃尔德什，Faudree，卢梭和Schelp为大$\ell $，一个更强的形式的猜想由于尼基福罗夫，并回答（乘法常数）两个进一步的问题埃尔德什，Faudree，卢梭和Schelp。
2018-07-17 math.CO
The $χ$-Ramsey problem for triangle-free graphs
1967年，Erdés提出了在所有无三角形的$n$ -顶点图中求最大色数$f(n)$的问题。Erdés和Hajnal的观察以及Shearer对非对角Ramsey数$R(3, t)$的经典上界表明，$f(n)$至多是$(2 \sqrt{2} + o(1)) \sqrt{n/\log n}$。我们通过一个因子$\sqrt{2}$改进了这个界，并得到了一个紧到常数因子的列表色数上的类似界。一个边界的数量方面的边缘，这是同样紧如下，这些结果证实了一个猜想的Cames范巴滕堡，德Joannis德Verneburg，康，和Pirot。
2022-01-28 math.CO
On the Erdős-Sós conjecture for trees with bounded degree
我们证明了Erd \H os-Sós猜想的树有界的最大程度和大的密集主机图。作为推论，我们得到了最大度为常数的大树的多色Ramsey数的一个上界。
2020-08-12 math.CO
Ramsey number of 1-subdivisions of transitive tournaments
关于图的细分问题的研究在极值组合学中有着丰富的历史。Alon在1994年证明了Burr和Erdés的一个猜想，即细分图具有线性Ramsey数。后来，阿隆，Krivelevich和Sudakov表明，每一个$n$ -顶点图至少有$\varepsilon n^2$边包含一个$1$ -细分的完全图的$c_{\varepsilon}\sqrt{n}$顶点，解决了另一个古老的猜想Erdogs。在本文中，我们考虑这些问题的有向模拟，并证明了至少$(2+o(1))k^2$顶点上的每个竞赛图包含$k$顶点上的传递竞赛图的1-细分。这是最佳的乘法因子为4，并证实了一个猜想的吉朗，Popielarz和斯奈德。
2021-12-12 math.CO
Erd\H os--Hajnal problem for $H$-free hypergraphs
本文讨论了色数大于$r$的无$H$图的边数的最小值$m_H(r)$.我们展示了Ramsey数和Turán数的界如何隐含$m_H(r)$的界。
2022-07-20 math.CO
Some Exact Ramsey-Turán Numbers
设r是一个整数，f（n）是一个函数，H是一个图.由Erdés，Hajnal，Sós和Szemerédi引入的H的r-Ramsey-Turán数RT_r（n，H，f（n））定义为n-顶点无H图G的最大边数，其中α_r（G）<= f（n），其中α_r（G）表示G的K_r-独立数.本文利用高维单位球的等周性质，构造了对任意2 <= s <= r，RT_r（n，K_{r+s}，o（n））有下界的图.这些构造对于无限族的r和s对是尖锐的。唯一以前的尖锐建设是由Bollobás和埃尔德\Hos为r = s = 2。
2012-03-24 math.CO
Tight Ramsey bounds for multiple copies of a graph
图$G$的Ramsey数$r(G)$是最小整数$n$，使得$n$顶点上的团的边的任何$2$着色包含$G$的单色副本。确定$G$的Ramsey数是Ramsey理论的一个中心问题，有着悠久而辉煌的历史。尽管如此，有珍贵的几类图$G$的值$r(G)$是确切知道的。其中一类是由固定图$H$的大的顶点不交并组成的图，我们用$nH$表示这样的图，它由$H$的$n$拷贝组成。这个经典结果由Burr，Erdibs和Spencer在1975年证明，他们证明了对于某些$c=c(H)$，只要$n$足够大，就有$r(nH)=(2|H|-α(H))n+c$。由于这并不符合他们的论点，伯尔、埃尔德什和斯宾塞进一步要求确定我们需要复制的数量，以便看到这种长期行为和$c$的价值。多年以前，Burr给出了一种确定$30$的方法，该方法仅适用于当$n$的拷贝数在$|H|$中是三倍指数时。在本文中，我们给出了一个基本上紧回答这个非常古老的问题的伯尔，Erdwords和斯宾塞表明，长期的行为已经发生时，数量的副本是单指数。
2023-02-01 math.CO
Hypergraph Ramsey numbers
Ramsey数r_k（s，n）是最小的N，使得N元集合的k元组的每个红-蓝着色包含大小为s的红色集合或大小为n的蓝色集合，其中如果来自该集合的所有k元组都是红色（蓝色），则该集合被称为红色（蓝色）。本文给出了几个基本超图Ramsey问题的新估计。当k \geq = 3且s固定时，我们给出了r_k（s，n）的一个新的上界.特别是，我们证明了r_3（s，n）\leq 2^{n^{s-2} \log n}，这提高了一个因子n^{s-2}/ polylog n的指数，以前的上界的鄂尔多斯和雷达从1952年。我们还得到了这些数的一个新的下界，证明了存在常数c_1，c_2>0，使得对于所有4个\leq s \leq c_2 n，r_3（s，n）\geq 2^{c_1 snPDMATHABMO（n/s）}.当s为常数时，它给出了r_3（s，n）的第一个超指数下界，回答了Erdos和Hajnal在1972年提出的一个公开问题.其次，我们考虑了三色Ramsey数r_3（n，n，n），它是使得一个N元集合的三元组的每一个三色都包含一个大小为n的单色集合的最小N。改进了Erdos和Hajnal的另一个结果，证明了r_3（n，n，n）\geq 2^{n^{c \log n}}.最后，我们在超图Ramsey型问题上取得了一些进展。
2008-08-27 math.CO
Ramsey numbers of degenerate graphs
一个图是$d$ -退化的，如果它的所有子图都有一个度至多为$d$的顶点.本文证明了存在一个常数$c$，使得对所有自然数$d$和$r$，每个色数$r$与$|V(H)| \ge 2^{d^22^{cr}}$的$d$ -退化图$H$最多有$2^{d2^{cr}} |V(H)|$ .这解决了Burr和Erdens在1973年提出的一个猜想。
2016-12-01 math.CO
On the Ramsey multiplicity of complete graphs
我们证明了，对于$n$大，必须存在至少\[\frac{n^t}{C^{(1+o(1))t^2}}\]单色$K_t$ s在任何两个着色的边缘的$K_n$，其中$C \approx 2.18$是一个明确定义的常数。旧下界，由于Erdos的\cite{E62}，并基于拉姆齐定理的标准界限，是\[\frac{n^t}{4^{(1+o(1))t^2}}.\]
2007-11-30 math.CO
New upper bound for multicolor Ramsey number of odd cycles
令$r_k(C_{2m+1})$为长度为$2m+1$的奇数圈$C_{2m+1}$的$k$ -色拉姆齐数.它表明，对于每个固定的$m\ge2$，\[r_k(C_{2m+1})<c^{k}\sqrt{k!}\]的所有足够大的$k$，其中$c=c(m)>0$是一个常数。这改进了Bondy和Erdwords的一个旧结果（Ramsey numbers for cycles in graphs，J. Combin.理论系列B 14（1973）46-54）。
2018-10-24 math.CO
Recent Progress in Ramsey Theory
本文提出基于伪随机图的新方法，证明了 $r(4,t)$ 的下界 $Ω(t^3/(\log t)^4)$，解决了 Erdős 的猜想，并展示了该方法在多种拉姆齐问题中的广泛应用。
2025-03-31 math.CO
An improved lower bound for multicolor Ramsey numbers and the half-multiplicity Ramsey number problem
对于每对自然数$\ell$和$t$，Ramsey数问题要求一个没有大小为$t$的单色团的完全图的最大$\ell$ -染色。Conlon-Ferber和Wigderson最近的工作改进了这个问题长期存在的下界。我们做了进一步的改进，取代显式图出现在他们的建设由一个随机图。对于这种构造有用的图正是那些与没有大集团和几个大独立集的图上的Erdos问题相关的图。我们也对这个问题做了一些基本的观察。
2021-11-22 math.CO
The (t-1)-chromatic Ramsey number for paths
确定一个固定图的Ramsey数的经典问题的以下放松已经首先由Erdos，Hajnal和Rado在50多年前提出。给定一个图$G$和一个整数$t \geq 2$，确定最小数目$N$，使得在$N$顶点上的任何$t$着色的完全图中，存在一个仅使用某些$t-1$颜色的边的$G$的副本.当$G$是路径时，我们精确地确定答案。
2021-06-26 math.CO
The critical window for the classical Ramsey-Turán problem
Szemerédi强大的正则性方法的第一个应用是Szemerédi于1972年证明的著名的Ramsey-Turán结果：任何具有独立数o（N）的N个顶点的无K_4图最多有（1/8 + o（1））N^2条边。四年后，Bollobás和Erdés利用高维球面上的等周不等式，给出了一个令人惊讶的尺规作图法：一个具有独立数o（N）和（1/8 - o（1））N^2条边的N个顶点上的K_4-free图。从1976年的Bollobás和Erdás开始，人们提出了几个问题来估计临界窗口中的最小可能独立数，当边缘数约为N^2 / 8时。这些问题已受到相当大的注意，仍然是这一领域的主要未决问题之一。在本文中，我们给出了几乎最好的可能的界限，解决了各种开放的问题，关于这个关键窗口。
2014-09-23 math.CO
A lower bound for set-colouring Ramsey numbers
集合着色Ramsey数$R_{r,s}(k)$被定义为最小$n$，使得如果完全图$K_n$的每条边被分配来自$\{1,\ldots,r\}$的一组$s$颜色，则其中一种颜色包含大小为$k$的单色团。格$s = 1$是通常的$r$ -色拉姆齐数，而格$s = r - 1$是由埃尔德什、哈伊纳尔和拉多在1965年研究的，埃尔德什和塞梅雷迪在1972年研究的。关于一般$s$的第一个有意义的结果是最近才由Conlon、Fox、He、Mubayi、Suk和Verstraëte获得的，他们表明如果$s/r$与$0$和$1$有界，则$R_{r,s}(k) = 2^{Θ(kr)}$。然而，在范围$s = r - o(r)$中，它们的上界和下界显著偏离。在本说明中，我们引入了一个新的（随机）着色，并使用它来确定$R_{r,s}(k)$的指数，基本上所有的$r$，$s$和$k$的多对数因子。
2023-01-17 math.CO
Ramsey and Turán numbers of sparse hypergraphs
本文定义超图的骨架退化性，证明其控制超图Turán数和Ramsey数，并给出线性Ramsey数及Turán数上下界，使用依赖随机选择技术。
2023-12-31 math.CO
Off-diagonal hypergraph Ramsey numbers
拉姆齐数$r_k(s,n)$是最小的$N$，使得$\{1, \ldots, N\}$的$k$ -子集的每个红-蓝着色包含大小为$s$的红色集合或大小为$n$的蓝色集合，其中如果集合的所有$k$ -子集都是红色（蓝色），则集合是红色（蓝色）。由$P_{s}$表示的大小为$s$的$k$ -均匀\emph{tight path}是$\mathbb{Z}$中的$s$顶点$v_1 < \cdots < v_{s}$和形式为$\{v_j,v_{j+1},\ldots, v_{j + k -1}\}$的所有$s-k+1$边的集合。令$r_k(P_s, n)$为最小$N$，使得$\{1, \ldots, N\}$的$k$ -子集的每个红-蓝着色导致红色$P_{s}$或大小为$n$的蓝色集合。估计$k=2$的$r_k(s,n)$和$r_k(P_s, n)$的问题可以追溯到1935年Erdos和Szekeres的开创性工作，而$k\ge 3$的情况是由Erdos和Rado在1952年首次研究的。在本文中，我们推导出一个定量关系之间的$r_k(P_s, n)$和$r_k(n, n)$的双变异。这产生几个结果，包括以下：（1）我们确定正确的塔增长率为$r_k(s,n)$和$r_k(P_s, n)$为$s \ge k+3$。Erdos和Hajnal在1972年提出了确定所有$s \ge k+1$的$r_k(…
2015-05-29 math.CO
Infinitely many minimally non-Ramsey size-linear graphs
本文证明了存在无穷多个极小非Ramsey尺寸线性图，肯定回答了Erdős等人提出的相关问题。
2025-05-05 math.CO
Induced Ramsey-type theorems
给出了一种统一的方法来证明具有禁止诱导子图的图的Ramsey型定理，该方法可以用来推广和改进Rodl，Erdos-Hajnal，Promel-Rodl，Nikiforov，Chung-Graham和Luczak-Rodl的早期结果.证明是基于一个简单的引理（推广一个由格雷厄姆，Rodl和Rucinski），可以作为一个替代Szemeredi的正则性引理，从而给更好的界限。同样的方法也可以用来证明伪随机图具有强诱导Ramsey性质。这导致明确的建设上界各种诱导拉姆齐数。
2007-12-27 math.CO
Ramsey number of a cycle versus a graph of a given size
KU Leuven Campus Kulak-Kortrijk（荷语鲁汶大学库拉-科特赖克校区）；HUN-REN, Alfréd Rényi Institute of Mathematics（匈牙利研究与教育网络，阿尔弗雷德·雷尼数学研究所）；ETH Zürich（苏黎世联邦理工学院）；Institute of Science and Technology Austria (ISTA)（奥地利科学技术研究所）；University College London（伦敦大学学院）
本文证明了cycle与给定大小的图的Ramsey数上限，解决了Erdős等人提出的问题。
2026-01-15 math.CO
Ramsey graphs induce subgraphs of quadratically many sizes
一个n-顶点图称为C-Ramsey，如果它没有大小为Clog n的团或独立集.所有已知的Ramsey图的构造都以一种基本的方式涉及随机性，并且正在进行的研究表明，事实上所有Ramsey图都必须服从随机图的某些“丰富性”特性。最近Narayanan，Sahasrabudhe和Tomon受Erdés和McKay的一个老问题的启发，证明了对任意固定的C，每个n-顶点C-Ramsey图都导出不同大小的子图$Θ(n^2)$.本文证明了这一猜想。
2021-09-07 math.CO
