Erdős--Hajnal 超图 Ramsey 问题：$r_4(6,n)$
The Erdős--Hajnal hypergraph Ramsey problem for $r_4(6,n)$
- School of Mathematics, Shandong University（山东大学数学学院）
- Data Science Institute, Shandong University（山东大学数据科学研究院）
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AI总结：
本文证明了 $r_4(6,n)\ge 2^{2^{cn}}$，改进了先前界，从而确认了所有固定 $k\ge4$ 时 $r_k(k+2,n)$ 的 Erdős--Hajnal 猜想。
AI中文摘要：
Ramsey 数 $r_k(s,n)$ 是使得每个 $N$ 顶点 $k$-图要么包含 $K_s^{(k)}$ 的副本，要么包含大小为 $n$ 的独立集的最小整数 $N$。Erdős 和 Hajnal 猜想：对于每个固定的 $s>k\ge 4$，有 $r_k(s,n)\ge \operatorname{twr}_{k-1}(\Omega(n))$。该猜想由 Mubayi 和 Suk，以及 Conlon、Fox 和 Sudakov 独立验证，适用于 $k\ge4$ 且 $s\ge k+3$ 的情形。在本文中，我们证明对于某个绝对常数 $c>0$，$r_4(6,n)\ge 2^{2^{cn}}$，改进了我们之前的界。因此，我们确认了对于所有固定的 $k\ge4$，$r_k(k+2,n)$ 的 Erdős--Hajnal 猜想。
英文摘要：
The Ramsey number $r_k(s,n)$ is the smallest integer $N$ such that every $N$-vertex $k$-graph contains either a copy of $K_s^{(k)}$ or an independent set of size $n$. Erdős and Hajnal conjectured that for every fixed $s>k\ge 4$, one has $r_k(s,n)\ge \operatorname{twr}_{k-1}(Ω(n))$. This conjecture was independently verified by Mubayi and Suk, and by Conlon, Fox and Sudakov, for $k\ge4$ and $s\ge k+3$. In this paper, we prove that $r_4(6,n)\ge 2^{2^{cn}}$ for some absolute constant $c>0$, improving upon our previous bound. Consequently, we confirm the Erdős--Hajnal conjecture for $r_k(k+2,n)$ for all fixed $k\ge4$.
