On Tomaszewski's Cube Vertices Problem
下面这个论断相当于B. Tomaszewski：设$C$是$n$维单位立方体，$H$是厚度为$1$的木板，两者都以原点为中心，则无论如何将立方体旋转，$C\cap H$至少包含立方体的$2^n$顶点的一半。得到了$C\cap H$中$C$顶点数的下界.
2023-02-27 math.CO
On a theorem of Erdős and Simonovits on graphs not containing the cube
立方体Q是通常的具有12条边的8-顶点图。本文给出了关于立方体的Turán数的Erdés和Simonovits定理的一个新证明。也就是说，证明了e（G）< n^{8/5}+（2n）^{3/2}对任意n-顶点无立方图G成立.我们的目的是提供一个独立的阐述。我们还指出了最有名的结果，并提供二分版本。
2013-07-03 math.CO
Enumerating Magic Distinct Labellings of the Cube
我们发现，通过应用麦克马洪的分区分析，所有的魔术标号的立方体是八种类型，每一个产生的六个基本元素。这一事实的组合证明。因此，立方体的幻标号的数目被重新获得为次数为$5$的幻和的多项式。然后，我们列举魔术不同的标号，其数量原来是一个拟多项式的周期720720。我们还发现，对称群可以用来显着简化计算。
2021-07-12 math.CO
$n \times n \times n$ Rubik's Cubes and God's Number
魔方是世界上最受欢迎的益智游戏。它的两个研究方面是上帝的号码，最低数量的回合必须解决任何状态，和第一定律的立方，一个可解性标准。我们修改以前的声明的第一定律的立方$n \times n \times n$魔方，并证明必要和充分的可解性条件。我们计算了魔方群的阶和$n \times n \times n$魔方的不同构型的数目。最后，我们利用群论结果和计数论证导出了上帝数的一个下界。
2021-12-16 math.CO
Critical subgraphs of Schrijver graphs for the fractional chromatic number
Schrijver图是具有相同色数的Kneser图的顶点色临界子图。它们也共享分数色数的值，但Schrijver图对此并不重要。在这里，我们提出了一个诱导子图的每一个Schrijver图是顶点临界的分数色数。这些子图与某些圆完全图同构。我们还刻画了这个子图中的临界边。
2022-12-19 math.CO
Probabilistic estimates of the diameters of the Rubik's Cube groups
本文利用概率论中修改版优惠券收集者问题估计魔方群直径，验证了2×2×2和3×3×3魔方在四分之一转度量下的已知直径，并预测4×4×4和5×5×5魔方的直径分别为48（41）和68（58），同时给出直径的近似公式。
2024-10-01 cs.DM cs.DS math.CO
Two conjectured strengthenings of Turán's theorem
该研究提出两个强化Turán定理的两个谱图论猜想，在多类图上证明猜想成立并给出实验证据，相关猜想被列为谱图论重要未解决问题。
2023-12-20 math.CO
On the Chromatic Thresholds of Hypergraphs
设F是一类r-一致超图。F的色阈值是所有非负实c的下确界，使得由最小度至少为$c \binom{|V(H)|}{r-1}$的超图H构成的F的子族有界色数.这个参数对于图（r=2）来说有着悠久的历史，在本文中，我们开始对超图进行系统的研究。最近，Rumuczak和Rumassé证明了所谓的近二部图的色阈值为零，我们的主要贡献是将这一结果推广到r-一致超图.对于这类超图，我们还证明了完全（r+1）-部超图具有几乎相等的部分大小，可以唯一地获得精确的Turán数。这是一个非常少的无限家庭的非退化超图的图兰数是确定的。为了推广Kassen关于无三角形图的色阈值为1/3的结果，我们证明了不含{abc，abd，cde}的3-一致超图族，即所谓的广义三角形的色阈值的界.为了证明上界，我们引入了纤维丛的概念，它可以被认为是一个超图类似的有向图。这导致了纤维丛维数的概念，这是基于超图中的Vapnik-Chervonenkis维数的概念的纤维丛的结构性质。我们的下界遵循明确的建设，其中许多使用超图类似的Kneser图。利用极值集合论的方法证明了这类Kneser超图的色数是无界的。这推广了Szemerédi关于图的一个结果，可能是独立的兴趣。许多悬而未决的问题仍然存在。
2013-10-14 math.CO
Turán and Ramsey Properties of Subcube Intersection Graphs
离散立方体$\{0,1\}^d$是一种基本的组合结构。$\{0,1\}^d$的子立方体是通过固定$k$坐标并允许其余的$d-k$自由变化而形成的其点的$2^k$的子集。离散立方体的子立方体结构非常复杂，有许多与之相关的问题尚未解决。沿着这条线的两个示例问题如下：给定一个子立方体族，其中没有$r+1$有非空交集，我们可以有多少个成对交集？如果其中没有具有非空交集的$k$，也没有成对不相交的$l$，那么我们可以有多少个子立方体？这些问题自然地表示为子立方体的交图中的Turán和Ramsey型问题，其中集合族的交图对于该族中的每个集合具有一个顶点，如果对应的子集相交，则两个顶点相邻。Turán和Ramsey型问题是极值组合学的核心，因此这些问题在数学上是自然的。然而，第二个动机是与社会选择理论中的一些问题的联系，这些问题是由社会中的一个简单的协议模型引起的。具体地说，如果我们必须对每个$n$单独的问题进行二元选择，那么可以合理地假设，个人可以接受的选择集将由子立方体表示。因此，一个子立方体家庭中的交叉模式将对社会中的协议水平产生影响。我们提出了一些与Turán和Ramsey问题直接相关的问题和解答，并为子立方体交图的研究提出了一些进一步的方向.
2011-10-19 math.CO
Cup Stacking in Graphs
本文提出图上的杯子堆叠博弈，给出图可堆叠性的刻画，证明多类图的可堆叠性，设计出判定直径2图可堆叠性的多项式算法，并提出相关猜想与开放问题。
2024-04-15 math.CO
Braid graphs in simply-laced triangle-free Coxeter systems are partial cubes
Northern Arizona University（北亚利桑那大学）；University of California Santa Cruz（加州大学圣克鲁兹分校）
该研究针对单系Coxeter系统的辫子图结构，提出既约表达式的链唯一分解方法，借此证明无3-环Coxeter系统的辫子图为可等距嵌入超立方体的部分立方体，还证明Fibonacci链对应的辫子图是Fibonacci立方体。
2024-09-05 math.CO math.GR
Cube Height, Cube Width and Related Extremal Problems for Posets
该研究针对偏序集的包含表示，定义立方高度与立方宽度概念，证明立方宽度不超过偏序集基集大小并刻画取等情形，同时延伸得到更具独立价值的相关极值问题结果。
2025-10-01 cs.DM math.CO
On The Chromatic Number of Matching Graphs
在早期的论文中，本作者（2013）引入了图的交替数，并使用Tucker引理，Borsuk-Ulam定理的等价组合版本，证明交替数是色数的下界。一个匹配图以图的给定大小的所有匹配的集合为顶点集，如果对应的匹配是边不交的，则两个顶点相邻。已知Kneser图、Schrijver图和置换图都可以用匹配图表示。作为Schrijver关于Schrijver图的色数的著名结果的推广，本文通过确定匹配图的交替数来确定匹配图的色数.特别地，我们根据匹配的广义Turan数确定了这些匹配图的色数。
2015-07-30 math.CO
Forbidden minors for graphs with no first obstruction to parametric Feynman integration
本文给出了3-连通图禁立方体图、禁八面体图和禁$H$子图的一个刻画，其中$H$是与禁立方体图和禁八面体图各有一个$Δ-Y$的图.其次，我们说一个图是Feynman 5-分裂的，如果没有选择边的排序给参数Feynman积分在第五步的障碍。3-连通费曼5-分裂图恰好是上面描述的那些图。最后，我们得到了完整的列表中的禁止子费曼5-分裂图的任何连通性。
2014-10-02 math.CO
On homomorphisms from the Hamming cube to {\bf Z}
对于从$\{0,1\}^d$到${\bf Z}$的同态的集合，将$\underline{0}$设为0（将${\cal F}$的成员视为$\{0,1\}^d$的标签，其中相邻字符串的标签恰好相差1），并将${\cal F}_i$用于那些恰好具有$i$值的成员。给出了$|{\cal F}|$和$|{\cal F}_i|$的渐近公式。特别是，我们表明，一个统一选择的成员${\bf f}$的${\cal F}$采取超过五个值的概率趋于0的$d \rightarrow \infty$。这就解决了J. Kahn的一个猜想。之前，Kahn已经证明存在恒定的$b$，使得${\bf f}$ a.s.最多取$b$值。这反过来证实了我的一个猜想。Benjamini { \em等}，对于每个$t > 0$，${\bf f}$ a.s.最多取$td$值。确定$|{\cal F}|$既等同于对布尔格$2^{[d]}$上的秩函数（对于所有$A \in 2^{[d]}$和$x \in [d]$，满足$f(\emptyset)=0$和$f(A) \leq f(A \cup x) \leq f(A)+1$的函数$f \colon 2^{[d]} \longrightarrow {\bf N}$）的数目进行计数，又等同于对离散立方体的适当3-着色的数目进行计数（即，从$\{0,1\}^d$到$K_3$的同态数，3个顶点…
2012-06-14 math.CO
Small dense subgraphs of a graph
给定一个图族${\cal F}$和一个正整数$n$，${\cal F}$的图兰数$ex(n,{\cal F})$是不包含${\cal F}$的任何成员作为子图的$n$ -顶点图中的最大边数.图的阶是图中顶点的个数，本文研究了有界阶高平均度图族的Turán数。对于每个实$d\geq 2$和正整数$m\geq 2$，令${\cal F}_{d,m}$表示在至多$m$顶点上具有至少$d$的平均度的图族。从Erdens-Rényi界可以得出，对于某个正的常数$c$，有$ex(n,{\cal F}_{d,m})=Ω(n^{2-\frac{2}{d}+\frac{c}{dm}})$。Verstraëte问，如果它是真的，对于每个固定的$d$存在一个功能$ε_d(m)$，往往$0$作为$m\to \infty$，使$ex(n,{\cal F}_{d,m})=O(n^{2-\frac{2}{d}+ε_d(m)})$。只要$d$是整数，我们就肯定地回答Verstraëte的问题。我们还证明了立方定理关于立方$Q_3$的Turán数的一个推广，部分回答了Pinchasi和Sharir的一个问题.
2015-02-11 math.CO
Classification of toric manifolds over an $n$-cube with one vertex cut
我们说一个完备的非奇异环面簇（本文称为环面流形）是在$P$上的，如果它与紧环面的商同胚于作为角点流形的$P$。Bott流形（或Bott塔）是$n$ -立方体$I^n$上的环面流形，在不动点将它们吹胀会产生$\mathrm{vc}(I^n)$上的环面流形，其中$n$ -立方体具有一个顶点切割。它们都是投射的。另一方面，Oda的$3$ -fold，最简单的非投射环面流形，在$\mathrm{vc}(I^n)$上。本文将$\mathrm{vc}(I^n)$ $(n\ge 3)$上的环面流形分类为簇和光滑流形。结果表明：（1）$\mathrm{vc}(I^n)$上存在许多非投射环面流形，但它们都是复纯的;（2）$\mathrm{vc}(I^n)$上的环面流形在某些类中由它们的上同调环作为环面流形的簇所决定.
2017-05-22 math.AG math.AT math.CO
Octopuses in the Boolean cube: families with pairwise small intersections, part II
本文研究布尔立方体中多个集族两两交集大小受限时集族规模乘积的极值问题，在前期渐近结果基础上，进一步给出了极值集族的强结构性刻画。
2023-09-19 math.CO
A cube dismantling problem related to bootstrap percolation
Monash University（莫纳什大学）
本文研究了立方体拆解问题，提出贪心算法用于检测解，并证明完美解对应拉丁超立方。在三维中，发现至少n个完美解，并构造了无限族非完美解。结果解决了Barát等人提出的猜想。
2026-03-25 math.CO
Turan Problems and Shadows III: expansions of graphs
图$G$的扩展$G^+$是由$G$通过用与$V(G)$不相交的新顶点扩大$G$的每条边使得不同的边被不同的顶点扩大而得到的$3$-均匀超图.设$ex_3(n,F)$表示$3$-一致超图中$n$顶点不包含$3$-一致超图$F$的任何副本的最大边数.对$ex_3(n,G^+)$的研究包括一些已被深入研究的问题，包括$F$由$k$不相交边组成、$G$是三角形、$G$是路径或圈、$G$是树的情况。在本文中，我们发起了一个更广泛的研究行为的$ex_3(n,G^+)$。具体而言，我们显示\[ ex_3(n,K_{s,t}^+) = Θ(n^{3 - 3/s})\]时，$t > (s - 1)!$和$s \geq 3$。其中一个主要的开放问题是确定哪些图$G$的数量$ex_3(n,G^+)$是二次在$n$。我们表明，这发生在$G$是任何二部图与图兰数$o(n^φ)$，其中$φ= \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$，特别是，这表明$ex_3(n,Q^+) = Θ(n^2)$，其中$Q$是三维立方体图。
2014-07-09 math.CO
Lower bounds for the Turán densities of daisies
对于整数$r \geq 3$和$t \geq 2$，$r$ -uniform $t$ -daisy $\mathcal{D}^t_r$是一个$\binom{2t}{t}$ $r$ -元素集合族，其形式为$$\{S \cup T \ : T\subset U, \ |T|=t \}$$，对于某些集合$S,U$，$|S|=r-t$，$|U|=2t$和$S \cap U = \emptyset$ . Bollobás、Leader和Malvenuto（以及独立的Bukh）推测，$t$ -雏菊的Turán密度满足所有$t \geq 2$的$\lim\limits_{r \to \infty} π(\mathcal{D}_r^t) = 0$;这已成为一个众所周知的问题，并且它仍然对$t$的所有值开放。本文给出了$r$ -一致$t$ -雏菊图的Turán密度的下界.为此，我们引入（并取得一些进展）以下自然问题的加法组合：整数$m \geq 2t \geq 4$，什么是最大基数$g(m,t)$的子集$R$的$\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$，使任何$x \in \mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$和任何$2t$ -元素子集$X$的$\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$，有$t$不同的元素$X$的总和是不是在翻译$x+R$？这是一个切片模拟极值希尔伯特立方体问题考…
2023-03-24 math.CO
On Turán exponents of bipartite graphs
本文证明了Erdős-Simonovits猜想对形如$2-2/(2k+1)$的有理数成立，并给出$θ$-图Turán数的上界，从而得到新的有理指数$r=7/5$，推进了相关猜想的研究。
2018-06-07 math.CO
Number of Distinguishing Colorings and Partitions
如果图$G$的非单位自同构不保留它，则图$G$的顶点着色称为可区分的（或对称性破缺），并且由$D(G)$表示的可区分数是这种着色所需的最小颜色数。本文研究了具有$k$颜色的图的非等价可区别染色的计数问题。本文给出了一个参数$Φ_k (G)$，它是图$G$的最多含有$k$颜色的非等价可区别染色的个数，它在计算字典积和图的$X$ -联的可区别数中的应用.我们研究这个指数（和其他一些类似的指数），这是一般难以计算。然后，我们证明了，如果一个图$G$，这是最小的颜色数$θ(G)$的区别阈值，使$k\geq θ(G)$，每个$k$ -染色的$G$是可区别的，然后，在某些特殊情况下，计数的数量可区别的颜色与$k$是非常容易的。我们计算$θ(G)$的一些类的图，包括Kneser图$K(n,2)$。然后，我们转向顶点划分，通过研究图$G$的区别染色分区;一个分区的顶点$G$诱导区别染色$G$。在这里，我们引入了$Ψ_k (G)$作为最多有$k$细胞的非等价可区别染色划分的数量，这是其可区别染色对应物的推广。
2020-05-08 math.CO
Encoding labelled $p$-Riordan graphs by words and pattern-avoiding permutations
$p$ -Riordan图的概念推广了Riordan图的概念，而Riordan图又推广了Pascal图和Toeplitz图的概念。本文引入了$p$ -Riordan字的概念，并给出了如何用$p$-Riordan字对$p$-Riordan图进行编码.对于Riordan图（情况$p=2$）和定向Riordan图（情况$p=3$）的特殊重要的情况下，我们提供了替代编码的模式，避免置换和某些平衡的话，分别。作为我们的研究的双产品，我们提供了一个替代的证明，一个已知的枚举结果在立方体中的封闭行走。
2020-09-03 math.CO
Kővári-Sós-Turán theorem for hereditary families
本文系统研究结构限制下Kővári-Sós-Turán定理界限的改善现象，提出关于导出H-free且K_{s,s}-free图边数上界的猜想，并通过树、环等实例验证，同时应用于Erdős-Hajnal猜想等相关问题。
2025-04-29 math.CO
