An NP-hardness result for the colored constrained maximum 2-edge-colorable subgraph problem in bipartite graphs
本文研究最大$k$-边可着色子图问题，证明了在顶点带有颜色约束的版本中，即使在最大度为三的二分图中该问题也是NP困难的。
2025-10-14 cs.DM math.CO
Parameterized Complexity of Maximum Edge Colorable Subgraph
一个图$H$是{ \em $p$ -edge colorable}，如果存在一个着色$ψ: E(H) \rightarrow \{1,2,\dots,p\}$，使得对于不同的$uv, vw \in E(H)$，我们有$ψ(uv) \neq ψ(vw)$。{ \sc最大边着色子图}问题以图$G$和整数$l$和$p$作为输入，并且目标是找到$G$的子图$H$和$H$的$p$ -边着色，使得$|E(H)| \geq l$。我们从参数化复杂性的角度研究了上述问题。我们获得\FPT \算法参数化时：$(1)$的顶点覆盖数的$G$，通过使用{ \sc线性规划}，和$(2)$ $l$，一个随机算法通过减少到\textsc{Rainbow Matching}，和一个确定性算法通过使用颜色编码，并划分和颜色。相对于参数$p+k$，其中$k$是以下之一：$(1)$的解决方案的大小，$l$，$(2)$的顶点覆盖数的$G$，和$(3)$ $l - {\mm}(G)$，其中${\mm}(G)$是一个最大的匹配在$G$的大小，我们表明，（决策版本的）问题承认一个内核与$\mathcal{O}(k \cdot p)$顶点。此外，我们表明，没有大小为$\mathcal{O}(k^{1-ε} \cdot f(p))$的内核，对于任何$ε> 0$和可计算函数$f$，除非$\NP \subseteq \CONPpoly…
2020-08-18 cs.DM
Inductive $k$-independent graphs and $c$-colorable subgraphs in scheduling: A review
归纳$k$独立图推广了弦图，并且最近在干扰避免无线通信调度的上下文中被提倡。寻找最大权诱导的$c$ -可着色子图的NP-困难问题是寻找最大独立集的推广，自然发生在选择成对非冲突作业的$c$集（建模为图顶点）时。我们研究了这个问题的参数化复杂性的诱导$k$ -独立图。我们证明了即使在2-单纯3-minoes（归纳2-独立图的一个子类）上，独立集问题也是W[1]-困难的.相比之下，我们证明了更一般的最大$c$ -着色子图问题是固定参数听话的簇和弦图，这是2-单纯边的工会。在这两种情况下，参数都是解的大小。除此之外，我们调查其他图形类之间的感应1-感应和感应2-感应图调度中的应用。
2018-07-26 cs.DM cs.DS math.OC
Every toroidal graph without triangles adjacent to $5$-cycles is DP-$4$-colorable
DP-着色，也称为对应着色，是由Dvo{zhi}{á}k和Postle引入的。它是列表着色的一个推广。本文证明了，除非是具有欧拉示性数$ε(G) = 0$的2-连通$4$ -正则图，否则每个与$5$ -圈相邻的不含三角形的连通环面图的最小度至多为3.因此，任何不含与$5$ -圈相邻的三角形的环形图都是DP- $4$ -可着色的。最后证明了不含两个确定子图的可平面图是DP- $4$ -可着色的。作为直接结果，（i）每个没有$3$ -圈邻近$4$ -圈的可平面图是DP- $4$ -可着色的;（ii）每个没有$3$ -圈邻近$5$ -圈的可平面图是DP- $4$ -可着色的;（iii）每个没有$4$ -圈邻近$5$ -圈的可平面图是DP- $4$ -可着色的.
2019-08-14 cs.DM math.CO
Beyond the Shannon's Bound
设$G=(V,E)$是最大度$Δ$的重图.根据香农定理，$G$的边最多可以用$\frac{3}{2}Δ$颜色着色。我们研究了$G$的子图的大小的下界，这些子图可以用$Δ$颜色着色。Shannon定理给出了$\fracΔ{\lfloor\frac{3}{2}Δ\rfloor}|E|$的一个界。然而，对于$Δ=3$，Kamirobski和Kowalik [SWAT'10]表明存在大小至少为$\frac{7}{9}|E|$的3-边可着色子图，除非$G$具有与$K_3+e$同构的连通分支（具有任意边加倍的$K_3$）。在这里，我们扩展这条线的研究表明，$G$有一个$Δ$边着色子图至少有$\fracΔ{\lfloor\frac{3}{2}Δ\rfloor-1}|E|$的边缘，除非$Δ$是偶数和$G$包含$\fracΔ{2}K_3$或$Δ$是奇数和$G$包含$\frac{Δ-1}{2}K_3+e$。此外，子图及其染色可以在多项式时间内找到。我们的结果有应用程序的最大$k$ -边着色子图问题的近似算法，其中给定一个图形$G$（没有任何限制其最大程度或其他限制），一个必须找到一个$k$ -边着色子图的最大边数。特别地，对于每个偶数$k \ge 4$，我们得到一个$\frac{2k+2}{3k+2}$ -近似，对于每个奇数$k\ge 5$，我们得到一个$\frac{2k+1}{3k}$ -近似。当$…
2013-09-24 cs.DM cs.DS math.CO
Maximum list $r$-colorable induced subgraphs in $kP_3$-free graphs
证明了对每个固定的正整数 $r$ 和 $k$，最大权列表 $r$-可着色导出子图问题在 $kP_3$-free 图上有多项式时间算法，并由此推导出关于 $H$-free 图复杂性二分法等三个重要推论。
2025-05-01 cs.DM cs.DS math.CO
Finding large $H$-colorable subgraphs in hereditary graph classes
我们研究了\textsc{Max Partial $H$-Coloring}问题：给定一个图$G$，找到$G$的最大导出子图，它允许一个同态到$H$，其中$H$是一个没有环的固定模式图。请注意，当$H$是$k$顶点上的完全图时，问题简化为寻找最大的诱导$k$可着色子图，对于$k=2$，该子图与\textsc{Odd Cycle Transversal}等价（通过互补）。我们证明了对于每个固定模式图$H$没有循环，\textsc{Max Partial $H$-Coloring}可以解决：$\bullet$在$\{P_5,F\}$ -自由图在多项式时间，只要$F$是一个阈值图; $\bullet$在$\{P_5,\textrm{bull}\}$ -自由图在多项式时间; $\bullet$在$P_5$ -自由图在时间$n^{\mathcal{O}(ω(G))}$ ; $\bullet$在$\{P_6,\textrm{1-subdivided claw}\}$ -自由图在时间$n^{\mathcal{O}(ω(G)^3)}$。这里，$n$是输入图$G$的顶点数，$ω(G)$是~ $G$中团的最大大小。进一步地，将上述的无$P_5$图和无$\{P_6,\textrm{1-subdivided claw}\}$图的算法与一个简单的分支过程相结合，得到了这类图的\textsc{Max Part…
2020-04-21 cs.DM cs.DS
Packing of Rigid Spanning Subgraphs and Spanning Trees
证明了每个（6 k + 2l，2k）-连通简单图都含有k个刚性l个连通边不交生成子图.这蕴涵了Jackson和Jordán [4]的一个定理和Jordán [6]关于刚性生成子图的填充的一个定理。这两个结果都是Lovász和Yemini [9]的经典结果的推广，即每个6-连通图都是刚性的，我们的方法提供了一个透明的证明。我们的结果还给出了两个改进的图的连通度上界，它们具有有趣的性质：（1）每个8-连通图都有一个生成树和一个2-连通生成子图;（2）每个14-连通图都有一个2-连通定向图.
2012-01-18 cs.DM math.CO
5-list-coloring planar graphs with distant precolored vertices
我们积极回答的问题，艾伯森问是否每个可平面图可以$5$列表着色，即使它包含预着色的顶点，只要他们足够远离对方。为了证明这一点，我们也给出了关于5-列表着色临界图的大小的界。特别地，如果G是一个可平面图，H是G的一个连通子图，L是G的顶点的颜色列表的赋值，使得|L（v）|若对V（G）-V（H）中的任意v>= 5且G不是L-可着色的，则G中有一个顶点数为O（|H| ^2）的子图不是L-可着色的.
2016-02-03 cs.DM math.CO
Two-connected spanning subgraphs with at most $\frac{10}{7}$OPT edges
给出了求解最小两点连通生成子图问题的一个$\frac{10}{7}$-近似算法。
2016-09-01 cs.DM cs.DS math.CO
Sparse highly connected spanning subgraphs in dense directed graphs
Mader证明了每个强$k$ -连通$n$ -顶点有向图都包含一个强$k$ -连通生成子图，该生成子图最多有$2kn - 2k^2$条边，其中等式对完全二部有向图${DK}_{k,n-k}$成立.对于稠密的强$k$连通有向图，这个上界可以得到显著的改进.更精确地说，我们证明了每一个强$k$ -连通$n$ -顶点有向图$D$都包含一个强$k$ -连通生成子图，其中强$k$ -连通生成子图至多有$kn + 800k(k+\overlineΔ(D))$条边，其中$\overlineΔ(D)$表示有向图$D$的基础无向图的补图的最大度.这里，附加项$800k(k+\overlineΔ(D))$紧接着乘法和加法常数。作为推论，这意味着每个强$k$ -连通的$n$ -顶点半完全有向图都包含一个强$k$ -连通的生成子图，该生成子图最多有$kn + 800k^2$条边，这是本质最优的，因为$800k^2$不能约简到小于$k(k-1)/2$ .我们还证明了一个类似的结果，强$k$ -弧连通有向多重图。这两个证明都产生多项式时间算法。
2018-08-12 cs.DM math.CO
Rainbow copies of spanning subgraphs
本文研究了 $n$ 顶点边着色随机图空间 $G_{n,p}^{[κ]}$ 中生成子图 $H$ 的彩虹拷贝存在阈值，提供了概率 $p$ 和颜色数 $κ$ 的下界，以高概率证明此类拷贝的存在性。
2025-08-12 cs.DM math.CO
Improper coloring of toroidal graphs
本文研究环面图在缺陷值不全相等条件下的不当染色问题，证明了环面图满足若干新的缺陷染色结果，并将 $(0,0,0,14)$-可染改进为 $(0,0,0,4)$-可染，同时刻画了 $6$-正则环面图及可嵌入 $N_1$ 的图的可染性。
2025-09-19 cs.DM math.CO
Reconfiguration of Colorable Sets in Classes of Perfect Graphs
一个图的顶点集是c-可染的，如果由它导出的子图有一个正常的c-染色。在本文中，我们研究的问题，找到一个逐步的转换（重构）之间的两个c-着色集在同一个图。该问题推广了已有的独立集重构问题。作为系统地理解这个一般问题的复杂性的第一步，我们研究了完美图类的问题。我们首先集中在区间图，并给出了两个c-可着色集之间的距离的组合特征。这给出了一个线性时间算法，找到一个实际的最短的重新配置序列的间隔图。由于区间图正是图，同时弦和co-comparativity，我们然后补充的积极结果，甚至决定可达性是PSPACE完全弦图和co-comparativity图。弦图的硬度甚至对分裂图也成立。我们还考虑的情况下，c是一个固定的常数，并表明，在这种情况下，可达性问题是多项式时间可解的分裂图，但仍然PSPACE完全的共同可比图。弦图这种情况的复杂性仍然没有解决。作为副产品，我们的积极成果给出了第一个多项式时间可解的情况下（分裂图和区间图）的反馈顶点集重构。
2018-02-19 cs.DM cs.DS math.CO
Beyond the Vizing's bound for at most seven colors
设$G=(V,E)$是最大度$Δ$的简单图.根据Vizing定理，$G$的边最多可以用$Δ+1$颜色着色。我们研究了$G$的子图的大小的下界，这些子图可以用$Δ$颜色着色。Vizing定理给出了$\fracΔ{Δ+1}|E|$的一个界。已知当$Δ$为偶数时，对于团$K_{Δ+1}$这是紧的。然而，对于$Δ=3$，Albertson和Haas将其改进为$26/31|E|$ [Parsimonious edge colorings，Disc. 148，1996]以及后来Rizzi的$6/7|E|$ [Approximating the maximum 3-edge-colorable subgraph problem，Disc. Math.309，2009]。同构于一个边被细分的$K_4$的图$B_3$是紧图。我们改进了以前已知的界限为$Δ\in{3,...,7}$，假设为$Δ=3,4,6$图$G$是不同构的$B_3$，$K_5$和$K_7$，分别。对于$Δ\geq 4$，这些是第一个结果，提高了Vizing的界限。我们还证明了一个新的边界的次三重图不同构$K_3$的一边加倍。在第二部分中，我们给出了最大k-边可着色子图问题的近似算法，其中给定一个图G（没有最大度的任何限制或其他限制），我们必须找到一个具有最大边数的k-边可着色子图。特别地，当G对k= 3，4，5，6，7是单的时，我们…
2014-03-02 cs.DM cs.DS math.CO
Subgraph Polytopes and Independence Polytopes of Count Matroids
给定一个无向图，非空子图多面体是图对（F，S）的特征向量的凸包，其中S是节点的非空子集，F是S中两个端点都在S中的边的子集.我们得到了非空子图多面体与生成森林多面体之间的一个强关系。我们进一步表明，这些多面体提供多项式大小的计数拟阵的独立多面体的扩展配方，这推广了最近的结果岩田等人。指的是稀疏拟阵。作为一个副产品，我们得到了新的下界的扩张复杂性的生成森林多面体的独立多面体的扩张复杂性，这些拟阵。
2015-02-16 cs.DM math.CO
Clustered Variants of Hajós' Conjecture
Hajós证明了每个不包含完全图$K_{s+1}$的细分的图都是正确的$K_{s+1}$-可着色的。这个猜想被卡特林推翻了。事实上，此类图的最大色数是$Ω(s^2/\log s)$。我们证明，$O(s)$颜色是足够的削弱这个猜想，只需要每个单色组件有界的大小（所谓的聚类着色）。我们的方法带来更多的结果。称一个图是图$H$的几乎$(\leq 1)$ -细分，如果它可以通过细分边从$H$获得，其中至多一条边被细分多次。请注意，每个没有$H$ -细分的图都不包含$H$的几乎$(\leq 1)$ -细分。本文证明了（其中$s \geq 2$）：（1）树宽有界且$K_{s+1}$不具有几乎$(\leq 1)$ -剖分的图是有界聚簇的$s$ -可选图. (2)对图$H$，如果没有$H$ -minor，也没有$K_{s+1}$的几乎$(\leq 1)$ -细分，则图是有界聚$(s+1)$ -可着色的. (3)对于每个最大度至多为$d$的图$H$，没有$H$ -细分和没有几乎$(\leq 1)$ -细分的$K_{s+1}$的图是$\max\{s+3d-5,2\}$ -可着色的，具有有界聚类。(4)对于每个最大度为$d$的图$H$，没有$K_{s,t}$子图和没有$H$ -剖分的图是有界聚类的$\max\{s+3d-4,2\}$ -可着色图. (5)没有$K_{s+1}$ -细分的图是有界聚类的$(…
2021-09-07 cs.DM math.CO
Reducing Linear Hadwiger's Conjecture to Coloring Small Graphs
本文建立不含 K_t 子式图的色数界 O(t log log t)，并通过小图密度归约证明线性 Hadwiger 猜想只需验证小规模图，还推出固定 K_r-free 情形成立。
2024-03-05 cs.DM math.CO
Small (2,s)-colorable graphs without 1-obstacle representations
图G的障碍表示是平面上的一组点以及确定与G同构的可见性图的一组多边形障碍。G的障碍数是指在G的所有障碍表示中障碍的最小数目。Alpert，Koch和Laison给出了一个12点二部图，并证明了它的障碍数为2.我们证明了这个图的一个10-顶点诱导子图的障碍数为2。Alpert等人还构造了顶点集由团和独立集组成的极大图，以证明障碍数是一个无界参数。我们定义了一个顶点集由一个团和一个独立集组成的70-顶点图，并证明了它的障碍数大于1。这是我们即将付印的文章的附属文件。我们的结论表明，一个10-顶点图的顶点集由两个团组成的障碍数大于1，改进其中的结果。
2011-04-24 cs.CG cs.DM math.CO
Random subgraphs make identification affordable
一个图的标识码是一个控制集，它通过所有顶点在码内的邻域唯一地确定所有顶点。而具有大的最小度的图具有小的控制数，这不是识别码数（最小识别码的大小）的情况，它甚至不是图包含的单调参数。我们证明了对于某个常数$c>0$，每个顶点数为$n$，最大度为$Δ=ω(1)$，最小度为$δ\geq c\logΔ$的图$G$都包含一个大生成子图，该图允许一个识别码的大小为$O\left(\frac{n\logΔ}δ\right)$ .特别地，如果$δ=Θ(n)$，则$G$具有带有标识码$O\left(\log n\right)$的稠密生成子图，即具有渐近最优大小。我们构建的子图是使用概率方法创建的，我们使用各种随机方法的相互作用来分析它。此外，我们表明，无论是在删除边的数量和识别码的大小方面，结果基本上是最好的。
2013-06-04 cs.DM math.CO
Reconfiguring spanning and induced subgraphs
子图重构是一类关注解空间的可达性的问题，其中可行解是子图，表示为顶点集或边集，满足规定的图结构属性。虽然以前的工作可以归类为子图重构，但大多数相关结果都出现在所考虑的属性的名称下;例如，独立集，团和匹配。本文从图的结构性质出发，系统地阐明了子图重构的复杂性状况。
2018-03-16 cs.CC cs.DM cs.DS
Toward a 6/5 Bound for the Minimum Cost 2-Edge Connected Spanning Subgraph Problem
给定一个具有非负边代价$c\in {\mathbb R}^{E}$的完全图$K_{n}=(V, E)$，$2EC$问题是寻找$K_{n}$的最小代价的2-边连通生成多子图的问题. $2EC$的线性规划松弛$\text{2EC}^{\text{LP}}$的完整性间隙$α\text{2EC}$已被证明是$\frac{6}{5}$，尽管目前我们只知道$\frac{6}{5}\leqα\text{2EC}\leq\frac{3}{2}$。本文利用$\text{2EC}^{\text{LP}}$的解的结构和凸组合的概念，得到了$α\text{2EC}$的改进的上界.我们把我们的努力集中在家庭$J$的半整数解决方案，似乎给最大的完整性差距$\text{2EC}^{\text{LP}}$。我们成功地证明了猜想$α\text{2EC} = \frac{6}{5}$对任何由某些$x^{*}\in J$优化的代价函数都是成立的。
2016-02-01 cs.DM
Improved SDP Coloring of 3-Colorable Graphs from Recursive Gaussian Certificates
Georgia Institute of Technology, School of Computer Science（佐治亚理工学院计算机学院）；Princeton University, Operations Research and Financial Engineering（普林斯顿大学运筹与金融工程学系）
本文提出一种随机多项式时间算法，利用递归高斯证书分析高层邻域，将3-可着色图的着色数改进至O(n^{0.17506+ε})，优于此前最优界。
2026-09-29 cs.DM cs.DS
On Computing Optimal Temporal Branchings and Spanning Subgraphs
本文将有向生成树推广到时间图，定义五类最优时间出/入分支，给出三类的存在性刻画与对数线性算法，并证明其余两类及最小弧支撑时间子图问题的 NP 困难性。
2023-12-18 cs.DM cs.DS
Lower-Stretch Spanning Trees
我们证明了每个赋权图都包含一个平均拉伸度为O（（log n log log n）^2）的生成树子图.最后，我们给出了一个时间复杂度为O（m log^2 n）的树。
2005-05-13 cs.DM cs.DS
On finding highly connected spanning subgraphs
在可生存网络设计问题（SNDP）中，输入是边加权（di）图$G$和每对顶点$u,v\in V(G)$的整数$r_{uv}$。目的是构造一个最小权的子图$H$，它包含$r_{uv}$边不交（或节点不交）的$u$ - $v$路.这是组合优化中的一个基本问题，它捕获了图论和图算法中许多研究得很好的问题。在本文中，我们考虑的版本的问题，我们给了一个$λ$ -边连接（DI）图$G$与一个非负的权重函数$w$的边缘和一个整数$k$，和目标是找到一个最小的重量生成子图$H$，也是$λ$ -边连接，并有至少$k$少的边缘比$G$。换句话说，我们被要求计算基数高达$k$的边的最大权重子集，其可以安全地从$G$中删除。基于这个问题，我们研究了$λ$ -边连通（di）图的连通性，并得到了算法上有意义的结构结果。我们证明了我们的结构结果的重要性，提出了一个算法运行的时间$2^{O(k \log k)} |V(G)|^{O(1)}$为$λ$ -ECS，从而证明了其固定参数的易处理性。在此基础上，我们得到了无权图上$λ$ -ECS的{ \em第一多项式压缩}.因此，我们还获得了第一个固定参数易于处理的算法，以及经典Mininum等价图问题的参数化版本的多项式核。我们相信，我们的结构的结果是独立的利益，并将发挥至关重要的作用，在设计算法的连通性约束的问题，特别是在SNDP问题。
2017-01-11 cs.DM cs.DS
