Graphs without a 3-connected subgraph are 4-colorable
Édouard Bonnet, Carl Feghali, Tung Nguyen, Alex Scott, Paul Seymour, Stéphan Thomassé, Nicolas Trotignon
本文改进了Mader在1972年的结论，证明了不含3连通子图的图是4可着色的，且该颜色数为最优结果。
1972年，Mader证明了每个不含3连通子图的图是4退化的，因此是5可着色的。我们证明5种颜色可被替换为4，这是最优的。
In 1972, Mader showed that every graph without a 3-connected subgraph is 4-degenerate and thus 5-colorable}. We show that the number 5 of colors can be replaced by 4, which is best possible.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
On strongly spanning $k$-edge-colorable subgraphs
多重图$G$的一个子图$H$称为强生成图，如果$G$的任何一个顶点在$H$中都不是孤立的;如果$H$是真的$k$-边可着色图，并且具有最大的图长，则称它为最大$k$-边可着色图.本文引入了一个图参数$sp(G)$，它与图$G$具有强生成最大$k$ -边可着色子图的最小$k$相一致.我们的第一个结果提供了$sp(G)$的一些替代定义。其次，我们证明了$Δ(G)$是$sp(G)$的一个上界，然后我们刻画了满足$sp(G)=Δ(G)$的图类$G$。最后，我们证明了一些界限$sp(G)$，涉及著名的图论参数。
On maximum $k$-edge-colorable subgraphs of bipartite graphs
如果是$k\geq 0$，则图$G$的$k$边着色是将颜色分配给来自$k$颜色集合的$G$的边，使得相邻的边接收不同的颜色。$G$的一个$k$ -边可着色子图是最大的，如果它是$G$的所有$k$ -边可着色子图中最大的.对于图$G$和$k\geq 0$，设$ν_{k}(G)$是$G$的最大$k$ -边可着色子图的边数。2010年，Mkrtchyan等人证明了如果$G$是三次图，则$ν_2(G)\leq \frac{|V|+2ν_3(G)}{4}$。这个结果意味着，如果三次图$G$包含完美匹配，特别是当它是无桥时，则$ν_2(G)\leq \frac{ν_1(G)+ν_3(G)}{2}$。人们可能想知道是否有其他有趣的图类，其中可以证明$ν_2(G)$和$\frac{ν_1(G)+ν_3(G)}{2}$之间的关系。与此相关，本文证明了对任何二部图$G$，$k\geq 0$和$i=0,1,...,k$，都有$ν_{k}(G) \geq \frac{ν_{k-i}(G) + ν_{k+i}(G)}{2}$.
Maximum Edge-Colorable Subgraph and Strong Triadic Closure Parameterized by Distance to Low-Degree Graphs
给定一个无向图$G$和整数$c$和$k$，最大边可着色子图问题是问我们是否可以删除$G$中至多$k$条边，以得到一个具有至多$c$颜色的适当边着色的图.我们证明了最大边着色子图承认，对于每一个固定的$c$，一个线性大小的问题的核心时，参数化的边缘删除距离$G$的最大程度$c-1$的图。这个参数化测量到实例的距离，由于Vizing的著名定理，这些实例是平凡的yes实例。对于$c\le 4$，我们还提供了一个线性大小的内核相同的参数化多强三元闭包，相关的边着色问题与应用程序在社会网络分析。我们提供了进一步的结果，最大边着色子图参数化的顶点删除距离的图形，每个组件的顺序最多$c$和列表着色版本的两个问题。
Decomposition of class II graphs into two class I graphs
Mkrtchyan和Steffen [J. Graph Theory，70（4），473- 482，2012]证明了每个II类简单图都可以分解为最大$Δ$ -边可着色子图和匹配。他们进一步证明了每一个具有色指数$Δ(G)+k$（$k\geq 1$）的图$G$都可以分解为一个最大$Δ(G)$ -边可着色子图（不一定是I类）和一个$k$ -边可着色子图.本文首先将他们的结果推广到多重图，证明了每一个具有重数$μ$的多重图$G$都可以分解为一个最大$Δ(G)$ -边可着色子图和一个最大度至多为$μ$的子图.然后证明了每一个具有色指数$Δ(G)+k$的图$G$都可以分解为两个I类子图$H_1$和$H_2$，使得$Δ(H_1) = Δ(G)$和$Δ(H_2) = k$，这是他们猜想的一个变化.
An NP-hardness result for the colored constrained maximum 2-edge-colorable subgraph problem in bipartite graphs
本文研究最大$k$-边可着色子图问题，证明了在顶点带有颜色约束的版本中，即使在最大度为三的二分图中该问题也是NP困难的。
Decomposing graphs into interval colorable subgraphs and no-wait multi-stage schedules
一个图$G$称为区间可着色的，如果它有一个用颜色$1,2,3,\dots$的适当边染色，使得关联到$G$的每个顶点的边的颜色形成一个整数区间.不是所有的图都是区间可着色的;事实上，很少有图族被证明是区间可着色的。本文引入并研究了图$G$的区间着色厚度的概念，记为${θ_{\mathrm{int}}}(G)$，它是$G$的并为$G$的区间可着色边不交子图的最小数目.我们的调查是出于紧凑性要求的调度问题，特别是问题的解决方案可能包括几个时间表，但每个时间表必须不包含任何等待期或空闲时间的所有参与方。首先证明了每一个连通的$3$ -边可着色图都是区间可着色的，并且利用这个结果，我们给出了一般图$G$的${θ_{\mathrm{int}}}(G)$的一个上界.我们证明了当$G$是二部的，平面的或完全多部的情况下，这个上界可以得到改进，并考虑了一些应用。
Maximal $k$-Edge-Colorable Subgraphs, Vizing's Theorem, and Tuza's Conjecture
证明了：如果$M$是重图$G$的极大$k$ -边可着色子图，且如果$F = \{v \in V(G) : d_M(v) \leq k-μ(v)\}$，则对所有$v \in F$，有$d_F(v) \leq d_M(v)$. (When $G$是一个单图，集合$F$只是$M$中度小于$k$的顶点的集合。）这意味着Vizing定理以及图扎猜想的一个特殊情况下包装和覆盖的三角形。我们的结果的一个更详细的版本也意味着Vizing的邻接引理的单图。
Tree-colorable maximal planar graphs
极大可平面图的树染色是一个真点$4$ -染色，使得由此染色导出的每个双色子图都是树.一个极大可平面图$G$是树可着色的，如果$G$有树可着色.本文证明了树可着色极大可平面图$G$至少含有四个奇顶点，且其$δ(G)\geq 4$是可着色极大平面图.此外，对于一个最小度为4的树可着色的最大可平面图，如果它恰好包含四个奇顶点，我们证明了由它的四个奇顶点导出的子图不是爪，并且不包含三角形。
Every toroidal graph without triangles adjacent to $5$-cycles is DP-$4$-colorable
DP-着色，也称为对应着色，是由Dvo{zhi}{á}k和Postle引入的。它是列表着色的一个推广。本文证明了，除非是具有欧拉示性数$ε(G) = 0$的2-连通$4$ -正则图，否则每个与$5$ -圈相邻的不含三角形的连通环面图的最小度至多为3.因此，任何不含与$5$ -圈相邻的三角形的环形图都是DP- $4$ -可着色的。最后证明了不含两个确定子图的可平面图是DP- $4$ -可着色的。作为直接结果，（i）每个没有$3$ -圈邻近$4$ -圈的可平面图是DP- $4$ -可着色的;（ii）每个没有$3$ -圈邻近$5$ -圈的可平面图是DP- $4$ -可着色的;（iii）每个没有$4$ -圈邻近$5$ -圈的可平面图是DP- $4$ -可着色的.
Odd Edge Colorings of Graphs with Odd Order
本文证明了所有奇阶4连通简单图都是奇3边着色图，并展示了4连通性是必要的。同时证明了奇阶连通欧拉图存在一条边e，使得G-e是奇2边着色图。
Beyond the Shannon's Bound
设$G=(V,E)$是最大度$Δ$的重图.根据香农定理，$G$的边最多可以用$\frac{3}{2}Δ$颜色着色。我们研究了$G$的子图的大小的下界，这些子图可以用$Δ$颜色着色。Shannon定理给出了$\fracΔ{\lfloor\frac{3}{2}Δ\rfloor}|E|$的一个界。然而，对于$Δ=3$，Kamirobski和Kowalik [SWAT'10]表明存在大小至少为$\frac{7}{9}|E|$的3-边可着色子图，除非$G$具有与$K_3+e$同构的连通分支（具有任意边加倍的$K_3$）。在这里，我们扩展这条线的研究表明，$G$有一个$Δ$边着色子图至少有$\fracΔ{\lfloor\frac{3}{2}Δ\rfloor-1}|E|$的边缘，除非$Δ$是偶数和$G$包含$\fracΔ{2}K_3$或$Δ$是奇数和$G$包含$\frac{Δ-1}{2}K_3+e$。此外，子图及其染色可以在多项式时间内找到。我们的结果有应用程序的最大$k$ -边着色子图问题的近似算法，其中给定一个图形$G$（没有任何限制其最大程度或其他限制），一个必须找到一个$k$ -边着色子图的最大边数。特别地，对于每个偶数$k \ge 4$，我们得到一个$\frac{2k+2}{3k+2}$ -近似，对于每个奇数$k\ge 5$，我们得到一个$\frac{2k+1}{3k}$ -近似。当$…
Maximum list $r$-colorable induced subgraphs in $kP_3$-free graphs
证明了对每个固定的正整数 $r$ 和 $k$，最大权列表 $r$-可着色导出子图问题在 $kP_3$-free 图上有多项式时间算法，并由此推导出关于 $H$-free 图复杂性二分法等三个重要推论。
Perfectly Colorable Graphs
我们定义了图$G$的完美染色为$G$的一个恰当染色，使得$G$的每个连通诱导子图$H$恰好使用$ω(H)$许多颜色，其中$ω(H)$是$H$的团数.一个图是完全可着色的，如果它允许一个完美着色。我们证明了完全可着色图类就是完全无爪图类。因此，完全可着色图可以在线性时间内被识别和着色。
Finding large $k$-colorable induced subgraphs in (bull, chair)-free and (bull,E)-free graphs
针对最大部分k着色问题，研究给出无(bull,chair)诱导子图的n顶点实例可在n^O(kω)时间解决，无(bull,E)诱导子图的实例可在n^O(kωlogn)时间解决，分别推导出k着色在前一类图中多项式时间可解、后一类拟多项式时间可解。
Triangle-free graphs that do not contain an induced subdivision of $K_4$ are 3-colorable
本文证明无三角形且不含 K4 导出细分的图必为 3-可着色，从而解决了 Trotignon 与 Vuskovic 提出的猜想。
Planar graphs without 5-cycles and intersecting triangles are $(1,1,0)$-colorable
$G$的$(c_1,c_2,...,c_k)$ -着色是一个映射$φ:V(G)\mapsto\{1,2,...,k\}$，使得对于每个$i,1 \leq i \leq k$，$G[V_i]$的最大度至多为$c_i$，其中$G[V_i]$表示由着色$i$的顶点所诱导的子图. Borodin和Raspaud猜想：任何不含$5$ -圈和相交三角形的平面图都是$(0,0,0)$ -可着色的.本文证明了这类图是$(1,1,0)$ -可着色的.
Efficient Recognition of Subgraphs of Planar Cubic Bridgeless Graphs
从Tait的工作和四色定理出发，证明了平面三次图是3-边可着色的当且仅当它不含桥。我们考虑的问题是，哪些平面图是平面立方无桥图的子图，因此3-边着色。我们提供了一个有效的识别算法，给定一个$n$ -顶点平面图，在$O(n^2)$步骤中将该图增强到平面立方无桥超图，或者决定没有这样的增强是可能的。主要工具包括固定嵌入情形的广义反因子问题和可变嵌入情形的SPQR树。
5-list-coloring planar graphs with distant precolored vertices
我们积极回答的问题，艾伯森问是否每个可平面图可以$5$列表着色，即使它包含预着色的顶点，只要他们足够远离对方。为了证明这一点，我们也给出了关于5-列表着色临界图的大小的界。特别地，如果G是一个可平面图，H是G的一个连通子图，L是G的顶点的颜色列表的赋值，使得|L（v）|若对V（G）-V（H）中的任意v>= 5且G不是L-可着色的，则G中有一个顶点数为O（|H| ^2）的子图不是L-可着色的.
A relaxation of Steinberg's Conjecture
一个图是$(c_1, c_2, ..., c_k)$ -可着色的，如果顶点集可以被划分成$k$集$V_1,V_2, ..., V_k$，使得对于每个$i: 1\leq i\leq k$，子图$G[V_i]$具有最大度至多$c_i$。证明了不含4-圈和5-圈的可平面图是$(1, 1, 0)$ -可着色图和$(3,0,0)$ -可着色图.这是Steinberg猜想的一个放松，即每个不含4-和5-圈的可平面图都是适当的3-可着色的（即，$(0,0,0)$ -可着色）。
Clustered Coloring of Graphs Excluding a Subgraph and a Minor
本文研究排除子图和/或子式的图的聚类着色问题，证明了多类图的有界聚类着色数最优界，改进了奇子式相关猜想的现有界值。
On triangle-free graphs that do not contain a subdivision of the complete graph on four vertices as an induced subgraph
本文证明了一类不包含四点完全图的一个剖分作为诱导子图的无三角形图的分解定理。我们证明了这类图中围长至少为~5的图都是3-可着色的。
Maximum diameter of $3$- and $4$-colorable graphs
P. Erdés，J. Pach，R. Pollack和Z. Tuza [J. Combin. Theory，B 47（1989），279- 285]对不含完全子图$K_{k+1}$的连通图的最大直径进行了研究，这些连通图具有阶$n$和最小度$δ$ .通过将$K_{k+1}$ -free的条件加强为$k$ -colorable，我们用统一的线性规划对偶方法解决了$k=3$和$k=4$的问题. $k=4$的情况是一个实质性的简化的结果的研究。Czabarka，P. Dankelmann，and L. A.塞凯伊[欧洲] J. Comb.，30（2009），1082- 1089]。
Graphs with girth $2\ell+1$ and without longer odd holes are $3$-colorable
对于一个数$\ell\geq 2$，设$\mathcal{G}_{\ell}$表示围长为$2\ell+1$且没有长度大于$2\ell+1$的奇洞的图族. Plummer和Zha证明了$\mathcal{G}_2$中的3-连通和内部4-连通图都是3-可着色的. Wu、Xu和Xu证明了$\bigcup_{\ell\geq2}\mathcal{G}_{\ell}$中的每个图都是3-可着色的。Chudnovsky等人和Wu等人，分别证明了$\mathcal{G}_2$和$\mathcal{G}_3$中的所有图都是3-可着色的。本文证明了$\bigcup_{\ell\geq5}\mathcal{G}_{\ell}$中的所有图都是3-可着色的。
On snarks that are far from being 3-edge colorable
本文构造了两个具有高奇性和低周长的无穷snark族。使用这种结构，我们还给出了一个反例，建议加强Fulkerson的猜想表明，彼得森图是不是唯一的循环4-边连通的三次图，需要至少五个完美匹配，以覆盖其边缘。此外，给出的反例有一个有趣的性质，即没有2-因子可以是循环双覆盖的一部分。
Star Coloring on Some Subclasses of Chordal Graphs
研究弦图子类的星着色，给出星3-可着色弦图的结构和禁止诱导子图刻画，以及星4-和星5-可着色分裂图的禁止诱导子图刻画，并设计线性时间认证识别算法。
Every graph with no $\mathcal{K}_9^{-6}$ minor is $8$-colorable
对于正整数$t$和$s$，令$\mathcal{K}_t^{-s}$表示从完全图$K_t$去除$s$边得到的图族。一个图$G$没有$\mathcal{K}_t^{-s}$子图，如果它对于每个$H\in \mathcal{K}_t^{-s}$都没有$H$子图。受著名的Hadwiger猜想的启发，Jakobsen在1971年证明了所有不含$\mathcal{K}_7^{-2}$子图的图都是$6$ -可着色的;最近，作者证明了所有不含$\mathcal{K}_8^{-4}$子图的图都是$7$ -可着色的。在本文中，我们继续我们的工作，并证明了任何没有$\mathcal{K}_9^{-6}$子图的图是$8$ -可着色的。我们的结果意味着Paul Seymour在2017年提出的$H$ -Hadwiger猜想对所有九点图$H$成立，使得$H$是$ \mathcal{K}_9^{-6}$中每个图的子图。
Planar graphs with girth at least 5 are (3,4)-colorable
一个图是$(d_1, \ldots, d_k)$ -可着色的，如果它的顶点集可以被划分为$k$个非空子集，使得由$i$个部分导出的子图的最大度至多为$d_i$，对于每个$i\in\{1, \ldots, k\}$ .已知对于每对$(d_1, d_2)$，存在具有围长$4$的平面图，该平面图不是$(d_1, d_2)$可着色的。这引发了人们对寻找$(d_1, d_2)$对的兴趣，使得周长至少为$5$的可平面图是$(d_1, d_2)$ -可着色的。给定$d_1\leq d_2$，已知围长至少为$5$的可平面图是$(d_1, d_2)$ -可着色的，如果$d_1\geq 2$和$d_1+d_2\geq 8$或$d_1=1$和$d_2\geq 10$ .我们通过提供文献中第一对满足$d_1+d_2\leq 7$的$(d_1, d_2)$改进了上述结果，其中围长至少为$5$的可平面图是$(d_1, d_2)$ -可着色的。也就是说，我们证明了围长至少为$5$的可平面图是$(3, 4)$ -可着色的。
On the smallest eigenvalues of $3$-colorable graphs
本文证明3-可着色图的最小特征值在$(-\infty,-\lambda^*)$内稠密，并据此说明球面二距离集研究中无法借助带符号图色数进一步改进禁用子图方法。
Threshold Colorings of Prisms and the Petersen Graph
设$G$是一个图，$r \geq t$是整数，而$N \subseteq E(G)$。$G$相对于$N$的$(r,t)$阈值着色是映射$c: V(G) \rightarrow \{0,\ldots,r-1\}$，使得对于每个$uv \in N$为$|c(u)-c(v)| \leq t$，并且对于每个$uv \in E(G) \setminus N$为$|c(u)-c(v)|>t$。一个图是全阈值可着色的，如果存在整数$r,t$，使得对于每个$N \subseteq E(G)$，$G$允许关于$N$的$(r,t)$阈值着色.我们证明了每个棱柱都是全阈值可着色的，Petersen图也是全阈值可着色的。在这一事实相反，我们表明，莫比乌斯梯不全阈值着色，由此可见，没有表征的是全阈值着色的一组有限的禁止子图。
A sufficient condition for planar graphs with maximum degree eight to be totally 9-colorable
针对最大度为8的平面图的全着色问题，证明了不含4-扇子图的此类图全色数为9，给出了平面图全9-可着色的一个充分条件。
A note on the locally irregular edge colorings of cacti
一个图是局部不规则的，如果每一条边的端点的度是不同的。图G的一个边染色是局部不规则的，如果每一种颜色都导出G的一个局部不规则子图。可着色图G是允许局部不规则边着色的图。可着色图G的局部不规则边染色所需的最小颜色数是G的局部不规则色数X 'irr（G）。局部不规则猜想认为所有可着色图的局部不规则边最多需要3种颜色。最近，人们发现这个猜想对蝴蝶结图B不成立，因为B是可着色的，并且需要至少4种颜色才能使局部不规则边着色。由于B是一个仙人掌图，所有不可着色的图也是仙人掌，这似乎是一个相关的一类图的局部不规则性猜想。本文证明了对所有可着色仙人掌图，X 'irr（G）<= 4.
Reconfiguration of Colorable Sets in Classes of Perfect Graphs
一个图的顶点集是c-可染的，如果由它导出的子图有一个正常的c-染色。在本文中，我们研究的问题，找到一个逐步的转换（重构）之间的两个c-着色集在同一个图。该问题推广了已有的独立集重构问题。作为系统地理解这个一般问题的复杂性的第一步，我们研究了完美图类的问题。我们首先集中在区间图，并给出了两个c-可着色集之间的距离的组合特征。这给出了一个线性时间算法，找到一个实际的最短的重新配置序列的间隔图。由于区间图正是图，同时弦和co-comparativity，我们然后补充的积极结果，甚至决定可达性是PSPACE完全弦图和co-comparativity图。弦图的硬度甚至对分裂图也成立。我们还考虑的情况下，c是一个固定的常数，并表明，在这种情况下，可达性问题是多项式时间可解的分裂图，但仍然PSPACE完全的共同可比图。弦图这种情况的复杂性仍然没有解决。作为副产品，我们的积极成果给出了第一个多项式时间可解的情况下（分裂图和区间图）的反馈顶点集重构。
Improper coloring of toroidal graphs
本文研究环面图在缺陷值不全相等条件下的不当染色问题，证明了环面图满足若干新的缺陷染色结果，并将 $(0,0,0,14)$-可染改进为 $(0,0,0,4)$-可染，同时刻画了 $6$-正则环面图及可嵌入 $N_1$ 的图的可染性。
Local Irregularity Conjecture vs. cacti
一个图是局部不规则的，如果每一条边的端点的度是不同的。图G的一个边染色是局部不规则的，如果每一种颜色都导出G的一个局部不规则子图。可着色图G是允许局部不规则边着色的图。可着色图G的局部不规则边染色所需的最小颜色数是G的局部不规则色数X 'irr（G）。局部不规则猜想认为所有可着色图的局部不规则边最多需要3种颜色。最近，人们发现该猜想对蝴蝶结图B不成立[7]。仙人掌是这个猜想的重要图类，因为B和所有不可着色图都是仙人掌。在本文中，我们证明了，对于每个可着色仙人掌图G！B成立，X 'irr（G）<= 3。这使我们相信B是唯一一个X 'irr（B）> 3的可着色图，因此B是局部无规则猜想的唯一反例。
Beyond the Vizing's bound for at most seven colors
设$G=(V,E)$是最大度$Δ$的简单图.根据Vizing定理，$G$的边最多可以用$Δ+1$颜色着色。我们研究了$G$的子图的大小的下界，这些子图可以用$Δ$颜色着色。Vizing定理给出了$\fracΔ{Δ+1}|E|$的一个界。已知当$Δ$为偶数时，对于团$K_{Δ+1}$这是紧的。然而，对于$Δ=3$，Albertson和Haas将其改进为$26/31|E|$ [Parsimonious edge colorings，Disc. 148，1996]以及后来Rizzi的$6/7|E|$ [Approximating the maximum 3-edge-colorable subgraph problem，Disc. Math.309，2009]。同构于一个边被细分的$K_4$的图$B_3$是紧图。我们改进了以前已知的界限为$Δ\in{3,...,7}$，假设为$Δ=3,4,6$图$G$是不同构的$B_3$，$K_5$和$K_7$，分别。对于$Δ\geq 4$，这些是第一个结果，提高了Vizing的界限。我们还证明了一个新的边界的次三重图不同构$K_3$的一边加倍。在第二部分中，我们给出了最大k-边可着色子图问题的近似算法，其中给定一个图G（没有最大度的任何限制或其他限制），我们必须找到一个具有最大边数的k-边可着色子图。特别地，当G对k= 3，4，5，6，7是单的时，我们…
Coloring Drawings of Graphs
我们考虑平面图的图的胞腔着色。给定一个多重图$G$和一个平面上的图$Γ(G)$，图中只有100个交叉点，我们定义一个$Γ(G)$的单元$k$ -着色为图的最大连通区域的着色，这些单元具有$k$颜色，使得相邻单元具有不同的颜色。根据$4$ -着色定理，无桥图的每一幅图都有一个胞腔$4$ -着色.一个图的绘制是单元格$2$ -可着色的当且仅当底层图是欧拉图。我们证明了每一个不含1度顶点的图都有一个胞元$3$ -可着色图.这就引出了一个自然的问题，即抽象图的每个图形都有一个单元格$3$ -着色。我们说这样的图是普遍的细胞$3$着色。我们证明了任何$4$ -边连通图和任何允许无零$3$ -流的图都是泛胞$3$ -可着色的.我们还讨论了普遍的细胞$3$的可着色性的情况下，保证存在一个无处为零的$3$流。在消极的一面，我们提出了一个无限族的普遍细胞$3$ -可着色图没有无处零$3$ -流。在积极的一面，我们制定了一个猜想，它有一个令人惊讶的关系，著名的公开问题Tutte称为$3$流猜想。我们证明了我们的猜想为次立方和$K_{3,3}$ -minor自由图。
Minimum degree conditions for containing an $r$-regular $r$-connected subgraph
研究了当$n$ -顶点图$G$包含一个$r$ -正则$r$ -连通子图时的最优最小度条件.我们证明了$r$固定和$n$大的条件是$δ(G) \ge \frac{n+r-2}{2}$时，$nr \equiv 0 \pmod 2$。这回答了M的一个问题。克里塞尔
Packing of Rigid Spanning Subgraphs and Spanning Trees
证明了每个（6 k + 2l，2k）-连通简单图都含有k个刚性l个连通边不交生成子图.这蕴涵了Jackson和Jordán [4]的一个定理和Jordán [6]关于刚性生成子图的填充的一个定理。这两个结果都是Lovász和Yemini [9]的经典结果的推广，即每个6-连通图都是刚性的，我们的方法提供了一个透明的证明。我们的结果还给出了两个改进的图的连通度上界，它们具有有趣的性质：（1）每个8-连通图都有一个生成树和一个2-连通生成子图;（2）每个14-连通图都有一个2-连通定向图.
Improper coloring of graphs on surfaces
一个图$G$是$(d_1,\ldots,d_k)$ -可着色的，如果它的顶点集可以划分成$k$集$V_1,\ldots,V_k$，使得对于每个$i\in\{1, \ldots, k\}$，由$V_i$诱导的$G$的子图在至多$d_i$处具有最大度.四色定理指出每个平面图都是$(0,0,0,0)$ -可着色的，Cowen，Cowen，和Woodall的一个经典结果表明每个平面图都是$(2,2,2)$ -可着色的.在本文中，我们将这两个结果推广到曲面上的图。也就是说，我们证明了每一个可嵌入到欧拉亏格$g>0$的曲面上的图都是$(0,0,0,9g-4)$ -可着色的和$(2,2,9g-4)$ -可着色的。此外，这些图也是$(0,0,O(\sqrt{g}),O(\sqrt{g}))$ -可着色的和$(2,O(\sqrt{g}),O(\sqrt{g}))$ -可着色的。我们还证明了每一个可嵌入到Euler亏格$g$曲面上的无三角形图都是$(0, 0, O(g))$ -可着色的。这是Grötzsch定理的一个扩展，该定理指出无三角形平面图是$(0, 0, 0)$ -可着色的。最后证明了任意围长至少为7的可嵌入到Euler亏格$g$曲面上的图都是$(0,O(\sqrt{g}))$ -可着色的.所有这些结果在几个方面都是最好的，因为围长条件是尖锐的，恒定的最大程度不能得到改善，并且取决于$g$的最…
Recognition Complexity of Subgraphs of k-Connected Planar Cubic Graphs
本文研究了k=1,2,3时k-连通平面三次图子图的识别复杂性，提出了识别1-和2-连通平面三次图子图的多项式时间算法，并证明了在可变嵌入设置下识别3-连通平面三次图子图是NP困难的。
Connected equitably $Δ$-colorable realizations with $k$-factors
本文通过三个定理证明对于所有k，任意具有k-因子的连通图G的非递增度序列均存在具有k-因子的连通均衡Δ(G)-可着色实现，从而支持了Chen-Lih-Wu猜想。
Sparse highly connected spanning subgraphs in dense directed graphs
Mader证明了每个强$k$ -连通$n$ -顶点有向图都包含一个强$k$ -连通生成子图，该生成子图最多有$2kn - 2k^2$条边，其中等式对完全二部有向图${DK}_{k,n-k}$成立.对于稠密的强$k$连通有向图，这个上界可以得到显著的改进.更精确地说，我们证明了每一个强$k$ -连通$n$ -顶点有向图$D$都包含一个强$k$ -连通生成子图，其中强$k$ -连通生成子图至多有$kn + 800k(k+\overlineΔ(D))$条边，其中$\overlineΔ(D)$表示有向图$D$的基础无向图的补图的最大度.这里，附加项$800k(k+\overlineΔ(D))$紧接着乘法和加法常数。作为推论，这意味着每个强$k$ -连通的$n$ -顶点半完全有向图都包含一个强$k$ -连通的生成子图，该生成子图最多有$kn + 800k^2$条边，这是本质最优的，因为$800k^2$不能约简到小于$k(k-1)/2$ .我们还证明了一个类似的结果，强$k$ -弧连通有向多重图。这两个证明都产生多项式时间算法。
On wheel-free graphs
轮是由一个无弦圈和一个顶点组成的图，该顶点在圈中至少有三个邻居。证明了不含轮的3-连通图实际上是极小3-连通的。本文给出了一个新的证明，证明了Dahassen和Toft的一个定理：任何不含轮的子图都是3-可着色的。
A relaxation of the strong Bordeaux Conjecture
令$c_1, c_2, \cdots, c_k$为$k$非负整数.一个图$G$是$(c_1, c_2, \cdots, c_k)$ -可着色的，如果它的顶点集可以划分成$k$集$V_1,V_2, \ldots, V_k$，使得由$V_i$导出的子图$G[V_i]$对于$i=1, 2, \ldots, k$具有最大度至多$c_i$.设$\mathcal{F}$表示既不含相邻3-圈也不含$5$ -圈的平面图族. Borodin和Raspaud（2003）证明了$\mathcal{F}$中的每个图都是$(0,0,0)$ -可着色的。本文证明了$\mathcal{F}$中的每个图都是$(1, 1, 0)$ -可着色的，改进了Xu（2009）和Liu-Li-Yu（2014+）的结果.
Every graph with no $\mathcal{K}_8^{-4}$ minor is $7$-colorable
Hadwiger猜想在1943年提出，任何没有$K_{t}$子图的图都是$(t-1)$ -可着色的;它对所有的$t\ge 7$都是开放的。对于正整数$t$和$s$，令$\mathcal{K}_t^{-s}$表示从完全图$K_t$去除$s$边得到的图族。我们说一个图$G$没有$\mathcal{K}_t^{-s}$子图，如果它对每个$H\in \mathcal{K}_t^{-s}$都没有$H$子图。Jakobsen在1971年证明了没有$\mathcal{K}_7^{-2}$子图的图是$6$ -可着色的。在本文中，我们考虑下一步，并证明了每一个没有$\mathcal{K}_8^{-4}$子图是$7$ -着色。我们的结果意味着Paul Seymour在2017年提出的$H$ -Hadwiger猜想对于每个八个顶点的图$H$都成立，使得$H$的补最大度至少为四、完美匹配、三角形和长度为四的循环。我们的证明利用本文中得到的$\mathcal{K}_8^{-4}$未成年人的极值函数，Rolek和第二作者的压缩临界图的广义Kempe链，以及Kawarabayashi和Toft从三个不同的$K_5$子图中找到$K_7$未成年人的方法;该方法首先由Robertson，Seymour和Thomas在1993年开发，以证明$t=6$的Hadwiger猜想。
$K_{4}$-Minor-Free Induced Subgraphs of Sparse Connected Graphs
我们证明了每一个具有$m$边的连通图$G$包含至多$\frac{3}{16}(m + 1)$顶点的集合$X$，使得$G-X$没有$K_4$子图，或者等价地，至多$2$有树宽.这个界限是最好的。连通性是必不可少的：如果$G$未连接，则只能保证$\frac{1}{5}m$的一个界限。
$H$-free subgraphs of dense graphs maximizing the number of cliques and their blow-ups
本文研究了最小度高的图的无$H$子图的结构。我们证明了对于每个$k>m$都存在一个$ε:=ε(k,m)>0$，使得下列成立。对于每个具有色数$k$的图$H$，从图$H$中可以删除边并减少色数，并且对于每个在$n>n_0(H)$顶点上的图$G$，其中所有度至少为$(1-ε)n$，$G$的任何子图是$H$ -free的，并且包含完全图$K_m$的最大拷贝数是$(k-1)$ -可着色的.我们还考虑了几个扩展的情况下，一个一般的禁止图$H$的一个给定的色数，并为子图最大化的副本数量的平衡爆破的完全图。
$F$-WORM colorings: Results for 2-connected graphs
给定两个图$F$和$G$，$G$的$F$-WORM着色是将颜色分配给其顶点，使得$G$的$F$ -子图都不是单色或彩虹的。如果$G$至少有一种这样的颜色，那么它被称为$F$ -WORM可着色的，并且$W^-(G,F)$表示颜色的最小可能数量。本文研究了固定2-连通图$F$的$F$-WORM染色问题，证明了以下三个主要结果：（1）对于每个自然数$k$，存在一个$F$ -WORM可染色且$W^-(G,F)=k$可染色的图$F$：（2）判定一个图是否$F$-WORM可染色是NP-完全的;（3）对于每个$k \ge |V(F)|-1$，判定图$G$是否满足$W^-(G,F) \le k$是NP-完全的。这对有界最大度的$F$-WORM可着色图类仍然有效.对于具有$n \ge 3$的完全图$F=K_n$，我们还证明了：（4）对于每个$n \ge 3$，存在一个图$G$和整数$r$，$s$，使得$s \ge r+2$，$G$具有恰好具有$r$的$K_n$-WORM染色，也具有恰好具有$s$的$K_n$-WORM染色，但不允许具有恰好具有$r+1, \dots, s-1$色的$K_n$-WORM染色.此外，差异$s-r$可以任意大。
Characterization of 4-critical triangle-free toroidal graphs
我们给出了一个精确的表征的3-着色的三角形自由图画在环面中，在186个“模板”（图与某些面填充任意四边形）的形式，使这一类的图是不是3-着色的当且仅当它包含一个子图匹配的模板之一。因此，我们证明了每一个边宽度至少为6的环面上的无三角形图都是3-可着色的，这是一个用于无三角形环面图的有效3-可着色算法的关键属性。
Three-edge-coloring projective planar cubic graphs: A generalization of the Four Color Theorem
本文证明射影平面上除彼得森图外所有循环4边连通三次图均可3边着色，推广四色定理，并得出着色-流对偶及加强的Tutte 4流猜想结论。
Odd edge-colorings of subdivisions of odd graphs
奇图是指所有顶点都是奇数度的有限图。给定的图$G$可分解为$k$奇子图，如果它的边集可划分为$k$子集，每个子集导出$G$的奇子图. $G$的这种分解存在的$k$的最小值是由Pyber（1991）引入的奇色指数$χ_{o}'(G)$。对于每一个$k\geqχ_{o}'(G)$，图$G$被称为是奇$k$ -边可着色的。除了两个特殊的例外，分别是奇$5$ -和奇$6$ -边可着色，其余的连接无环图是奇$4$ -边可着色的，而且其中一个颜色类可以减少到大小$\leq2$。此外，它已被证实，一个奇怪的$4$ -边着色的颜色类的大小最多$1$总是可以实现的。Atanasov等人（2016）根据值$χ_{o}'(G)\leq4$来表征次三次图类。在本文中，我们将他们的结果推广到奇图的所有细分的奇色指数的值的一个特征。这个更大的类$\mathcal{S}$是一个特别感兴趣的，因为它收集了所有的“最少的实例”的非奇图。作为我们的主要结果的前奏，我们表明，每一个连通图$G\in \mathcal{S}$需要最大数量的四种颜色，成为奇数$3$ -边着色后，删除一定的边缘。因此，我们提供了支持所提到的猜想证明它的所有细分的奇图。本文最后提出了一些问题，为可能的进一步工作。
Two-connected spanning subgraphs with at most $\frac{10}{7}$OPT edges
给出了求解最小两点连通生成子图问题的一个$\frac{10}{7}$-近似算法。
Coloring Graphs with Forbidden Minors
Hadwiger在1943年提出的猜想指出，对于每一个整数$t\ge1$，每一个图都可以是$t$着色的，或者有一个子图可以在$t+1$的顶点上收缩为完全图。正如保罗·西摩在他最近对哈德维格猜想的调查中指出的那样，证明没有$K_7$子图的图是$6$ -可着色的是哈德维格猜想的第一个仍然开放的情况。目前还不知道没有$K_7$子图的图是否是$7$可着色的。利用Kempe-链的论证以及在独立数为2的图中，三个顶点上的诱导路是支配路的事实，我们首先给出了Albar和Gonçalves最近的一个结果的一个非常简短且无需计算机的证明，并将其推广到下一步，证明了每个没有$K_t$子图的图都是$(2t-6)$ -可着色的，其中$t\in\{7,8,9\}$ .证明了不含$K_8^-$子图的图是$9$ -可着色的，不含$K_8^=$子图的图是$8$ -可着色的.最后证明了如果$K_p$子图的极值函数的Mader界为真，则不含$K_p$子图的图对所有$p\ge5$都是$(2t-6)$ -可着色的.这意味着我们的第一个结果。我们相信，我们在本文中开发的肯普链方法是独立的利益。
Every connected subcubic graph except the Petersen graph is packing $(1,1,2,2)$-colorable
本文证明了所有连通次立方图除了彼得森图都是可(1,1,2,2)-着色的，解决了相关猜想和开放问题。
On the maximum diameter of $k$-colorable graphs
Erdés，Pach，Pollack and Tuza [J. Combin. Theory，B 47，（1989），279-285]证明了如果$δ$是$(r-1)(3r+2)$的倍数，则对于每个$r\ge 2$，阶$n$和最小度$δ\geq 2$的无$K_{2r}$连通图的直径至多为$\frac{2(r-1)(3r+2)}{(2r^2-1)}\cdot \frac{n}δ + O(1)$.对于每个$r>1$和$δ\ge 2(r-1)$，我们构造了具有最小度$δ$和直径$\frac{(6r-5)n}{(2r-1)δ+2r-3}+O(1)$的无$K_{2r}$图，它们是对每个$r>1$和$δ>2(r-1)(3r+2)(2r-3)$猜想的反例.本文的其余部分在更强的假设下证明了积极的结果，$k$ -可着色性，而不是$K_{k+1}$ -free。本文证明了具有最小度$\geq δ$和阶$n$的连通$k$ -可着色图的直径至多为$\left(3-\frac{1}{k-1}\right)\frac{n}δ+O(1)$，而对于$k=3$，直径至多为$\frac{57n}{23δ}+O\left(1\right)$ .
A relaxation of the Bordeaux Conjecture
$G$的$(c_1,c_2,...,c_k)$ -着色是一个映射$φ:V(G)\mapsto\{1,2,...,k\}$，使得对于每个$i,1 \leq i \leq k$，$G[V_i]$的最大度至多为$c_i$，其中$G[V_i]$表示由着色$i$的顶点所诱导的子图. Borodin和Raspaud猜想：任何不含相交三角形和$5$ -圈的可平面图都是$3$ -可着色的.本文证明了任何不含相交三角形和$5$ -圈的可平面图都是（2，0，0）-可着色的.
Remarks on the Local Irregularity Conjecture
局部不规则图是指每条边的端点具有不同度的图。图G的局部不规则边染色是指图G的任意边染色，使得每种颜色都诱导出图G的一个局部不规则子图。一个图G是可着色的，如果它允许局部不规则边着色。可着色图G的局部不规则边染色所用的最小颜色数，记为CHI'irr（G）.局部不规则猜想认为除了奇长路、奇长圈和某类仙人掌图外，所有图都可以用3种颜色着色。由于该猜想对最小度大的图是有效的，并且所有不可着色图都是顶点不交的仙人掌，因此我们将研究方向转向了稀疏图。本文给出了一个与这个猜想相矛盾的仙人掌图B，即CHI'irr（B）= 4.尽管如此，我们证明了该猜想对于具有顶点不相交圈的单圈图和仙人掌成立。
Edge Lower Bounds for List Critical Graphs, via Discharging
如果$G$不是$(k-1)$ -可着色的，但$G$的每个真子图都是$(k-1)$ -可着色的，则称$G$是$k$ -关键的.一个图$G$是$k$ -可选择的，如果$G$对所有$v$都有一个$L$ -着色，并且$G$的每个真子图都是$(k-1)$ -可选择的，如果$G$不是$(k-1)$-可选择的，则图$G$是\emph{$k$-list-critical}.在一个$k$ -临界图中，边数的边界问题（从下面）已经被广泛研究，从Gallai的工作开始，到Kostochka和Yancey的开创性结果，他们基本上解决了这个问题。本文改进了$k$ -列表-临界图中边数的最佳下界。我们的证明使用放电方法，这使得它更简单，更模块化比以前的工作在这方面。
Uniquely Distinguishing Colorable Graphs
本文定义并研究唯一可区分着色图，提出1型与2型分类，刻画非连通图、树及二部图结构，并据此确定 G∪G 与 G 的可区分色数关系。
Five-coloring graphs on the Klein bottle
我们展示了一个显式的九个图的列表，使得在克莱因瓶中绘制的图是5-可着色的当且仅当它没有子图同构于列表的成员。
扫码添加微信好友，提出您的宝贵建议 👇
💡 备注请填写：网站反馈
发表机构由 AI 从论文文本抽取，如发现错误，欢迎反馈修正建议。