Two-connected spanning subgraphs with at most $\frac{10}{7}$OPT edges
Klaus Heeger, Jens Vygen
给出了求解最小两点连通生成子图问题的一个$\frac{10}{7}$-近似算法。
We present a $\frac{10}{7}$-approximation algorithm for the minimum two-vertex-connected spanning subgraph problem.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Packing of Rigid Spanning Subgraphs and Spanning Trees
证明了每个（6 k + 2l，2k）-连通简单图都含有k个刚性l个连通边不交生成子图.这蕴涵了Jackson和Jordán [4]的一个定理和Jordán [6]关于刚性生成子图的填充的一个定理。这两个结果都是Lovász和Yemini [9]的经典结果的推广，即每个6-连通图都是刚性的，我们的方法提供了一个透明的证明。我们的结果还给出了两个改进的图的连通度上界，它们具有有趣的性质：（1）每个8-连通图都有一个生成树和一个2-连通生成子图;（2）每个14-连通图都有一个2-连通定向图.
Distributions of sparse spanning subgraphs in random graphs
本文给出了随机图$\G(n,p)$中生成子图的分布的一般判定方法。特别是，我们确定的某些给定的度序列，这是一个广义的$d$ -因子，生成的三角形的子图，（有向）Hamilton圈和生成子图是同构的顶点不相交（有向）三角形的集合的生成子图的分布。
Convex subgraphs and spanning trees of the square cycles
本文对平方圈的连通生成凸子图进行了分类。证明了$C_n^2$的每一个生成树都包含在$C_n^2$的一个唯一的非平凡连通生成凸子图中.其结果是，我们得到了一个纯粹的组合推导公式的生成树的平方圈的数目。
On strongly spanning $k$-edge-colorable subgraphs
多重图$G$的一个子图$H$称为强生成图，如果$G$的任何一个顶点在$H$中都不是孤立的;如果$H$是真的$k$-边可着色图，并且具有最大的图长，则称它为最大$k$-边可着色图.本文引入了一个图参数$sp(G)$，它与图$G$具有强生成最大$k$ -边可着色子图的最小$k$相一致.我们的第一个结果提供了$sp(G)$的一些替代定义。其次，我们证明了$Δ(G)$是$sp(G)$的一个上界，然后我们刻画了满足$sp(G)=Δ(G)$的图类$G$。最后，我们证明了一些界限$sp(G)$，涉及著名的图论参数。
Spanning rigid subgraph packing and sparse subgraph covering
刚性，在离散几何中出现，是不弯曲的结构的属性。Laman给出了欧氏平面上刚性图的一个组合特征，因此欧氏平面上的刚性图在图论中有应用。给出了刚性生成子图和生成树填充的一个充分划分条件。作为推论，我们证明了一个简单图$G$包含一个由$k$生成刚性子图和$l$生成树构成的包装，如果$G$是$(4k+2l)$ -边连通的，并且对于每个$Z\subset V(G)$，$G-Z$本质上是$(6k+2l - 2k|Z|)$ -边连通的.因此，每个$(4k+2l)$ -连通和本质$(6k+2l)$ -连通图$G$都包含一个由$k$生成刚性子图和$l$生成树构成的填充.利用这一点，我们证明了每一个$6$ -连通和本质$8$ -连通图$G$都包含一个生成树$T$，使得$G-E(T)$是$2$ -连通的.这改进了以前的一些结果。研究了稀疏子图覆盖问题。
Regular spanning subgraphs of bipartite graphs of high minimum degree
设G是一个简单的平衡二部图，其顶点为$2n$，$δ= δ(G)/n$和$ρ={δ+ \sqrt{2 δ-1} \over 2}$ .如果$δ> 1/2$，则它有一个$\lfloor ρn \rfloor$ -正则生成子图。这份声明几乎是严格的。
Sparse highly connected spanning subgraphs in dense directed graphs
Mader证明了每个强$k$ -连通$n$ -顶点有向图都包含一个强$k$ -连通生成子图，该生成子图最多有$2kn - 2k^2$条边，其中等式对完全二部有向图${DK}_{k,n-k}$成立.对于稠密的强$k$连通有向图，这个上界可以得到显著的改进.更精确地说，我们证明了每一个强$k$ -连通$n$ -顶点有向图$D$都包含一个强$k$ -连通生成子图，其中强$k$ -连通生成子图至多有$kn + 800k(k+\overlineΔ(D))$条边，其中$\overlineΔ(D)$表示有向图$D$的基础无向图的补图的最大度.这里，附加项$800k(k+\overlineΔ(D))$紧接着乘法和加法常数。作为推论，这意味着每个强$k$ -连通的$n$ -顶点半完全有向图都包含一个强$k$ -连通的生成子图，该生成子图最多有$kn + 800k^2$条边，这是本质最优的，因为$800k^2$不能约简到小于$k(k-1)/2$ .我们还证明了一个类似的结果，强$k$ -弧连通有向多重图。这两个证明都产生多项式时间算法。
Sparse spanning $k$-connected subgraphs in tournaments
在2009年，Bang-Jensen提出了一个问题：是否存在一个函数$g(k)$，使得每个强$k$ -连通的$n$ -顶点竞赛图都包含一个强$k$ -连通的生成子图，且生成子图中至多包含$kn + g(k)$弧。本文通过证明每个强$k$ -连通$n$ -顶点竞赛图都包含一个强$k$ -连通生成子图，该生成子图至多含有$kn + 750k^2\log(k+1)$弧来回答这个问题.
The existence of biregular spanning subgraphs in bipartite graphs via spectral radius
本文利用谱半径证明二部图中存在双正则二部生成子图，并进一步研究度数受限生成树与边不相交生成树的存在条件。
Rainbow copies of spanning subgraphs
本文研究了 $n$ 顶点边着色随机图空间 $G_{n,p}^{[κ]}$ 中生成子图 $H$ 的彩虹拷贝存在阈值，提供了概率 $p$ 和颜色数 $κ$ 的下界，以高概率证明此类拷贝的存在性。
Existence of spanning $\mathcal{F}$-free subgraphs with large minimum degree
设$\mathcal{F}$是一族固定图，且$d$足够大.对每一个$d$ -正则图$G$，研究了$G$的最小度大的无生成$\mathcal{F}$子图的存在性.如果$\mathcal{F}$不包含二部图，则很好理解该问题。在这里，我们提供了渐近紧的结果，许多家庭的二部图，如圈或完全二部图。
On the Random Minimum Spanning Subgraph Problem for Hypergraphs
本文研究了超图的随机最小生成子图问题，将完全加权图中最小生成树权重趋于分布相关常数的经典结果推广至超图环境。
Expander spanning subgraphs with large girth
我们猜想具有正Cheeger常数的有限图允许有一个具有正Cheeger常数且围长与直径成正比的生成子图。我们证明了这一猜想的正则扩展图的大扩展。我们的证明依赖于局部引理。
Spanning plane subgraphs of $1$-plane graphs
本文研究 $1$-平面图的生成平面子图，证明每个 $4$-连通 $1$-平面图都有连通生成平面子图，并给出不存在 $2$-连通此类子图的无穷反例，进而分析 $k$ 与 $l$ 的连通性条件。
Packing spanning rigid subgraphs with restricted degrees
设$G$是一个图，$l$是$V(G)$子集上的整数值函数。图$G$被称为$l$ -分区连通的，如果对于$V(G)$的每个分区$P$，$e_G(P)\ge \sum_{A\in P} l(A)-l(V(G))$，其中$e_G(P)$表示连接$P$的不同部分的$G$的边的数量。我们称$G$是$l$ -刚性的，如果它包含一个具有$|E(H)|=\sum_{v\in V(H)} l(v)-l(V(H))$的生成$l$ -划分连通子图$H$.本文研究了图分解为生成划分连通子图和生成刚性子图的问题。因此，我们改进了Gu（2017）的一个最近结果，证明了每个具有$k\ge 2$的$(4kp-2p+2m)$ -连通图$G$都有一个生成子图$H$，该生成子图包含$m$生成树和$p$生成$(2k-1)$ -边连通子图$H_1,\ldots, H_p$的填充，使得对于每个顶点$v$，每个$H_i-v$保持$(k-1)$ -边连通，并且也保持$d_H(v)\le \lceil \frac{d_G(v)}{2}\rceil +2kp-p+m$。从这个结果中，我们完善了一个结果的弧连通的方向图。
Approximation and FPT Algorithms for Finding DM-Irreducible Spanning Subgraphs
本文针对与二分图Dulmage--Mendelsohn分解相关的DM-不可约生成子图推广问题，拓展了原有向图强连通生成子图问题的2-近似算法及固定参数可处理结果。
Weighted enumeration of spanning subgraphs with degree constraints
关于（单变量）匹配多项式的Heilmann-Lieb定理指出多项式$\sum_k m_k(G) y^k$只有实非正零点，其中$m_k(G)$是图$G$的$k$ -边匹配的数目。这个定理有一个更强的多元版本。我们提供了一个通用的方法，通过该方法可以证明各种各样的多项式附着到图$G$的“Heilmann-Lieb型定理”。这些多项式是$G$的生成子图的多元生成函数，并具有一定的权重和约束条件，定理指定了这些多项式为非零的区域。这样的定理有后果的情况下，在某些概率模型的生成子图的$G$的相变。
Constructing Near Spanning Trees with Few Local Inspections
构造图的生成树是图论中最基本的任务之一。最近的几个局部图算法的研究的动机，我们考虑这个问题的以下变体。设G是连通有界度图。给定$G$中的一条边$e$，我们想决定$e$是否属于由$(1+ε)n$边组成的连通子图$G'$（对于预先指定的常数$ε>0$），其中对不同边的决定应该与同一子图$G'$一致。仅检查$G$中的{ \em常量}条边是否可以执行此任务？我们的主要结果是：（1）证明了如果$G$的每个$t$ -顶点子图都有扩展$1/(\log t)^{1+o(1)}$，则可以（确定性地）用较少的检查构造出$G$的稀疏生成子图$G'$。为此，我们分析了一个著名的最小重量生成树算法的“本地”版本。(2)我们表明，上述扩展要求是尖锐的，即使允许随机化。为此，我们构造了一族高围长的$3$ -正则图，其中每个$t$ -顶点子图都有扩展$1/(\log t)^{1-o(1)}$ .
Dirac's Condition for Spanning Halin Subgraphs
设$G$是一个具有$n\ge 3$的$n$ -顶点图. Dirac在1952年的一个经典结果断言$G$是哈密顿的，如果$δ(G)\ge n/2$ .狄拉克定理是哈密顿性研究中最有影响力的结果之一，到目前为止，已有许多相关的已知结果，（参见，例如，J. A. Bondy，基本图论：路径和电路，{ \it Handbook of Combinatorics Vol.1}中的第1章）。一个{ \it Halin图}是由两个边不相交的子图组成的平面图：一个至少有4个顶点且没有2度顶点的生成树，以及在生成树的叶子集合上诱导的一个圈。Halin图具有丰富的哈密尔顿性，如哈密尔顿图、哈密尔顿连通图和几乎泛圈图。作为Dirac定理的一个连续推广，本文证明了存在正整数$n_0$，使得任何具有$n\ge n_0$顶点和$δ(G)\ge (n+1)/2$的图$G$都包含一个生成Halin子图.特别地，它包含一个生成Halin子图，这也是泛圈的。
Nearly-uniform degree distributions in spanning subgraphs
证明每个d-正则n顶点图包含一个生成子图，其度分布近似均匀，即每个度数i的顶点数约为n/(d+1)，解决了Alon和Wei关于不规则子图的猜想。
Asymptotic Behavior of Spanning Forests and Connected Spanning Subgraphs on Two-Dimensional Lattices
我们计算指数增长常数$ϕ$和$σ$描述的渐近行为的生成森林和连接生成子图的带状图，具有任意大的长度，几个二维格，包括正方形，三角形，蜂窝，和某些异质多边形阿基米德格。通过研究的限制值的带宽度变大，我们推断这些指数增长常数的上限和下限为各自的无限晶格。由于我们的下限和上限非常接近，我们可以推断出这些指数增长常数的非常精确的近似值，分数不确定性范围从$O(10^{-4})$到$O(10^{-2})$。我们表明，$ϕ$和$σ$，是单调递增的功能，这些格的顶点度。
On Convex Graphs Having Plane Spanning Subgraph of Certain Type
受[17]结果的启发，我们确定了关于具有$|E(F)| \leq n-1\/$的$F\/$的充要条件，其中$K_n - F\/$允许$g$ -成角。对于$|E(F)| \geq n\/$，我们研究了将$F\/$置于$K_n\/$中的可能性，使得对于某些图族$F\/$，$K_n -F\/$允许$g$ -角化。
Characterizing forbidden pairs for spanning $\varTheta$-subgraphs of 2-connected graphs
本文刻画使所有2-连通 $\{R,S\}$-free 图均含生成 $\varTheta$-子图的连通图禁用对，并刻画相应极小反例。
Almost spanning subgraphs of random graphs after adversarial edge removal
设Delta>1为固定整数。我们证明了随机图G（n，p）（p>>（log n/n）^{1/Delta}）在以下意义下对具有最大度Delta和次线性带宽的几乎生成二部图H的包含是鲁棒的：渐近地几乎肯定地，如果对手删除G（n，p）中的任意边，使得每个顶点失去小于一半的邻居，则所得到的图仍然包含所有这样的H的副本。
Sharp thresholds for spanning regular subgraphs
本文证明了 $G(n,p)$ 中出现 Hamilton 圈平方的锐阈值，并求出了与固定 $d$-正则图同构的支撑子图阈值的精确渐近性，证实了相关猜想。
Long Cycles and Spanning Subgraphs of Locally Maximal 1-planar Graphs
一个图是$1$ -平面的，如果它在平面中有一个绘图，使得每条边最多与另一条边相交一次。此外，如果这个图有额外的性质，即对于两个边的每个交叉，这些边的端点诱导出一个完全子图，则该图是局部极大$1$ -平面的。对$3$ -连通局部极大$1$ -可平面图$G$，证明了生成$3$ -连通平面子图的存在性，并证明了当$G$至多有3个$3$ -点割时，$G$是Hamilton图;当$G$至多有4个$3$ -点割时，$G$是可迹图.此外，还得到了无穷多个不可迹的$5$ -连通$1$ -可平面图.
Pairwise Negative Correlation for Uniform Spanning Subgraphs of the Complete Graph
本文研究了完全图的均匀生成子图的配对负相关性性质，证明了在足够大的$n$下，连通生成子图、森林及具有多余边的生成子图的均匀测度满足p-NC性质。
Irregular Subgraphs
本文提出了两个相关的定理来处理图的生成不规则子图的存在性。第一个断言，任何$d$ -正则图上的$n$顶点包含一个生成子图，其中$0$和$d$之间的每个度的顶点数偏离$\frac{n}{d+1}$最多$2$。第二个条件是$n$顶点上的每一个最小度$δ$的图都包含一个生成子图，其中每个度的顶点数不超过$\frac{n}{δ+1}+2$。这两个结构仍然开放，但我们证明了几个渐近松弛的图与大量的顶点$n$。特别地，我们证明了，如果$d^3 \log n \leq o(n)$，那么每个$d$ -正则图与$n$顶点包含一个生成子图，其中$0$和$d$之间的每个度的顶点数是$(1+o(1))\frac{n}{d+1}$。我们还证明了任何具有$n$顶点和最小度$δ$的图都包含一个生成子图，其中没有度重复超过$(1+o(1))\frac{n}{δ+1}+2$次。
Rainbow spanning trees in random subgraphs of dense regular graphs
考虑边着色图的随机模型.在$n$顶点上的图$G$是固定的，并且通过使$G$的每条边以概率$p$保持独立来选择随机子图$G_p$。然后，从集合$[n-1]$中随机均匀地着色$G_p$的每个边缘。Frieze和McKay（Random Structures and Algorithms，1994）的一个结果表明，当$G = K_n$和$p = (2 + ε) \frac{\log n}{n}$对于某个常数$ε> 0$，则$G_p$几乎必然包含彩虹生成树。本文证明了：如果$G$是一个$d$ -正则$Ω(n)$ -边连通图，则当$p = (2 + ε) \frac {\log n}{d}$对某个常数$ε> 0$，$G_p$几乎必然包含一棵彩虹生成树.我们的主要工具是一个新的边缘替换方法的彩虹森林。
Domination game played on trees and spanning subgraphs
图G上的控制对策。顶点由两个玩家Dominator和Staller选择，一次一个。每一个被选中的顶点都必须扩大博弈中G被控制到该点的顶点集。两个玩家都使用一个最优策略--支配者尽可能快地结束游戏，而Staller则尽可能多地持续游戏。G的博弈控制数是Dominator开始博弈时选择的顶点数，而Staller开始博弈时G的Staller-start博弈控制数。在本文中，这两个游戏进行了研究时，树和生成子图。证明了树的博弈控制数的一个下界，并证明了它是渐近紧的。证明了对任意k，存在一棵博弈控制数为k且Staller-start博弈控制数为k+1的树T，且不存在博弈控制数为k且Staller-start博弈控制数为k-1的树T.研究了图与其生成子图的博弈控制数之间的关系。证明了对任意正整数n，存在图G及其生成树T，使得G的博弈控制数至少比T的博弈控制数多n。此外，还存在3-连通图G具有一个生成子图，使得该生成子图的博弈控制数任意小于G的博弈控制数.
Two-edge-connected (not necessarily spanning) subgraphs and polyhedra
研究两边连通子图多面体 TECSP(G)，用线性不等式刻画其格点并给出最大权子图 ILP 算法，同时分析面定义条件及实际效率。
Unbalanced spanning subgraphs in edge labeled complete graphs
设$K$是阶为$n$的完全图。对于$d\in (0,1)$，令$c$是$K$的$\pm 1$ -边标记，使得存在具有标记$+1$的$d{n\choose 2}$边，并且令$G$是$K$的最大度至多为$Δ$的生成子图。我们证明了存在一个同构的副本$G'$的$G$在$K$，使边缘的数量与标签$+1$在$G'$至少是$\left(c_{d,Δ}-O\left(\frac{1}{n}\right)\right)m(G)$，其中$c_{d,Δ}=d+Ω\left(\frac{1}Δ\right)$固定的$d$，也就是说，这个数字明显偏离其预期值时，考虑一个均匀随机副本的$G$在$K$。对于$d=\frac{1}{2}$和$Δ\leq 2$，我们提供了更详细的结果。
On the number of forests and connected spanning subgraphs
令$F(G)$是图$G$的森林数。类似地，令$C(G)$是连通图$G$的连通生成子图的数目。我们对正则图和平均度固定的图给出了$F(G)$和$C(G)$的界.在许多其他事情中，我们研究$f_d=\sup_{G\in \mathcal{G}_d}F(G)^{1/v(G)}$，其中$\mathcal{G}_d$是$d$ -正则图族，$v(G)$表示图$G$的顶点数。本文证明了$f_3=2^{3/2}$，如果$(G_n)_n$是$3$ -正则图的序列，且最短圈的长度趋于无穷大，则有$\lim_{n\to \infty}F(G_n)^{1/v(G_n)}=2^{3/2}$ .我们还改进了以前的最佳界限$f_d$为$4\leq d\leq 9$。
Enumeration of spanning subgraphs with degree constraints
对于有限无向多重图G=（V，E）和函数f，g：V--> \NN，设N_f^g（G，j）表示G中恰好有j条边的（f，g）-因子的个数. Heilmann-Lieb定理意味着\sum_j N_0 ^1（G，j）t^j是一个只有实（负）零点的多项式，因此序列{N_0 ^1（G，j）}是严格代数凹的。Ruelle和作者分别得到了这个定理的推广。利用Grace-Szegö-Walsh重合定理统一、简化和推广了这些结果.
Determinantal random subgraphs
本文定义了有限连通图上两类行列式随机生成子图，推广了均匀生成树与两类经典多项式，证明其拟阵性质及对偶关系，为相关研究提供了新的框架。
Blockers for non-crossing spanning trees in complete geometric graphs
在本文中，我们提出了一个完整的特征的最小集，阻止所有的简单生成树（SST）在一个完整的几何图。我们还表明，如果一个子图是一个blocker的所有SST的直径最多为4，那么它必须阻止所有简单的生成子图，特别是，所有的SST。对于凸几何图，我们得到了一个更强的结果：对于所有直径不超过3的SST，成为阻塞者已经足以阻塞所有简单的生成子图。
Subgraph Polytopes and Independence Polytopes of Count Matroids
给定一个无向图，非空子图多面体是图对（F，S）的特征向量的凸包，其中S是节点的非空子集，F是S中两个端点都在S中的边的子集.我们得到了非空子图多面体与生成森林多面体之间的一个强关系。我们进一步表明，这些多面体提供多项式大小的计数拟阵的独立多面体的扩展配方，这推广了最近的结果岩田等人。指的是稀疏拟阵。作为一个副产品，我们得到了新的下界的扩张复杂性的生成森林多面体的独立多面体的扩张复杂性，这些拟阵。
Efficient constructions of convex combinations for 2-edge-connected subgraphs on fundamental classes
求解2-边连通生成多重图问题（2 EC）的LP松弛问题的精确完整性间隙$α$与求解度量旅行商问题（TSP）的Held-Karp松弛问题密切相关.虽然前一个问题似乎比后者更容易，因为它的约束较少，目前这两个问题各自的完整性差距的上限是相同的。证明这两个问题的完整性缺口的方法是考虑极值点的基本类。对于2 EC，更好的界限上的完整性差距是已知的某些重要的特殊情况下，这些基本点。例如，对于半整数方形点，完整性间隙介于$\frac{6}{5}$和$\frac{4}{3}$之间。我们的主要结果是提高近似因子为$\frac{9}{7}$为2 EC为这些点。我们的方法是基于构造凸组合和我们的关键工具是自上而下的着色框架树增强，其灵活性，我们采用利用有益的性质，在初始生成树和输入图。我们还展示了如何这些工具可以定制的紧密相关的问题，统一覆盖的最知名的界限的证明不产生多项式时间算法。另一个关键要素是使用彩虹生成树分解，它允许我们获得具有特定属性的生成树的凸组合
Embedding spanning subgraphs in uniformly dense and inseparable graphs
对任意小的$μ>0$，我们考虑了具有最小度$μn$的$n$ -顶点图$G$中Hamilton圈的$k$ -次幂存在的充分条件.大约20年前，Komlós，Sarközy和Szemerédi解决了Pósa和Seymour的问题，并通过证明$μ=\frac{k}{k+1}$对于大的$n$是足够的，获得了这个问题的最优最小度条件。对于较小的$μ$值，给定的图$G$必须满足附加的假设。我们表明，诱导子图的密度$d>0$的线性顶点子集，是不可分割的，在这个意义上说，每一个削减密度至少$μ>0$，是足够的假设这个问题，事实上，一个变种的带宽定理。这概括了Staden和Treglown最近的结果。
The cavity method for counting spanning subgraphs subject to local constraints
利用测度的负结合理论和稀疏图的随机弱极限的概念，建立了计算渐近树型图中受局部约束的生成子图的空洞方法的有效性.具体地说，相应的自由熵密度收敛沿任何序列的图，其随机弱极限是一棵树，和限制直接表示的唯一解决方案的限制腔方程。在Galton-Watson树上，后者简化为一个递归分布方程，可以显式求解。作为例子，我们给出了平均度固定且大小发散的Erdens-Rényi随机图的$b-$匹配数的一个显式极限公式，对于任意$b\in\mathbb N$ .
An Improved Approximation Algorithm for the Minimum $k$-Edge Connected Multi-Subgraph Problem
给出了求解最小$k$ -边连通生成多子图问题的随机$1+\frac{5.06}{\sqrt{k}}$ -近似算法$k$ -ECSM.
Uniform generation of spanning regular subgraphs of a dense graph
设$H_n$是$n$顶点上的图，$\ber{H_n}$表示$H_n$的补图.假设$Δ= Δ(n)$是$\ber{H_n}$的最大度。分析了$H_n$的$d$ -正则子图（$d$ -因子）的三种采样算法.这等价于均匀采样$d$ -正则图，避免了一组$E(\ber{H_n})$禁止边。这里，$d=d(n)$是可以取决于$n$的正整数。这些算法中的两个在预期运行时间内产生$H_n$的均匀随机$d$因子，其在$n$中是线性的，并且在$d$和$Δ$中是低次多项式。当$(d+Δ)dΔ= o(n)$。这对第一作者的早期算法进行了改进，该算法需要恒定的$d$，并且在$\ber{H_n}$中最多需要线性数量的边。第二个算法适用于$H_n$是定期和$d^2+Δ^2 = o(n)$，适应第一作者与Wormald一起开发的方法。第三种算法是第二种算法的简化，并且产生时间上近似均匀的$H_n$的$d$ -因子$O(dn)$。这里，输出分布在总变化距离上不同于$o(1)$的均匀分布，条件是$d^2+Δ^2 = o(n)$。
Decomposition of Augmented Cubes into Regular Connected Pancyclic Subgraphs
本文考虑了将增广立方体$AQ_n$分解为两个生成的正则连通泛圈子图的问题。我们证明了对于$ n \geq 4$和$ 2n - 1 = n_1 + n_2 $与$ n_1, n_2 \geq 2,$的增广立方体$ AQ_n$可以分解为两个生成子图$ H_1$和$ H_2$，使得每个$ H_i$是$n_i$ -正则的和$n_i$ -连通的。此外，如果$ n_i \geq 3.$
From finding a spanning subgraph $H$ to an $H$-factor
本文提出由生成副本阈值推导 $H$-因子最小度阈值上界的方法，并证明任意定向环 $C_\ell$ 的因子阈值结果，改进已有结论。
Extremal graphs with no subgraph admitting $k+1$ edge-disjoint spanning trees
本文研究 $\tau_k$-极大图，证明其边数不超过 $(k+1)(n-1)-1$，并构造达到该上界的图族，最后猜想所有 $\tau_k$-极大图均达到该上界并验证 $k=1$ 情形。
Approximating Minimum-Cost k-Node Connected Subgraphs via Independence-Free Graphs
对于最小代价$k$ -结点连通生成子图问题，在结点数至少为$k^3(k-1)+k$的条件下，给出了一个6-近似算法.我们应用组合预处理，基于Frank-Tardos算法的$k$ -outconnectivity，将任何输入转换为一个实例，这样的迭代舍入方法给出了2-近似保证。这是第一个常数因子近似算法，即使在渐近设置的问题，也就是说，限制的情况下，节点的数量是下界的函数$k$。
Geometric bijections between spanning subgraphs and orientations of a graph
该研究将Backman等人提出的图生成树与定向间的几何双射拓展至子图-定向对应，给出纯组合证明及相关几何证明，且结论适用于正则拟阵。
Spanning trees in directed square cycles
本文研究了有向平方环中的生成树结构，推导了其数量公式，并揭示了其与雅各布斯数的关系。
Nearly Spanning Regular Subgraphs
本文肯定回答了Alon和Mubayi关于正则图包含近生成正则子图的猜想，对一般k和r给出ε=O_k(r^{-1/2})的结果，并证明k=2时ε=1/(r^2-3)为最优。
Identifying a 3-vertex strongly biconnected directed subgraph with minimum number of edges
一个强连通图是强双连通的，如果在忽略它的边的方向之后，我们有一个没有关节点的无向图。一个3-顶点强双连通图是一个强双连通有向图，它具有删除任意两个顶点后得到一个强双连通子图的性质。Jaberi [11]给出了最小基数2-顶点强双连通有向子图问题的近似算法。我们将集中在本文的多项式时间算法，我们已经实现了生产的生成子图是3-顶点强双连通。
Spanning tree-connected subgraphs with small degrees
本文研究了生成树连通子图的度数约束问题，提出了基于图连通性参数的充分条件，并证明了在特定边连通性和树连通性假设下，图存在具有小最大度的生成m-树连通子图。
Packing spanning partition-connected subgraphs with small degrees
设$G$是具有$X\subseteq V(G)$的图，$l$是$V(G)$子集上的交超模次可加整值函数.图$G$被称为$l$ -分区连通的，如果对于$V(G)$的每个分区$P$，$e_G(P)\ge \sum_{A\in P} l(A)-l(V(G))$，其中$e_G(P)$表示连接$P$的不同部分的$G$的边的数量。令$λ\in [0,1]$为实数，令$η$为$X$上的实函数。本文证明了：若$G$是$l$ -划分连通的，且对所有$S\subseteq X$，$$Θ_l(G \setminus S) \le \sum_{v\in S} (η(v) -2l(v))+l(V(G))+l(S)-λ(e_G(S))+l(S)),$$，$G$有一个$l$ -划分连通的生成子图$H$，使得对每个顶点$v\in X$，$d_H(v)\le \lceil η(v) -λl(v) \rceil $，其中$e_G(S)$表示$G$的两端都在$S$中的边数，$Θ_l(G \setminus S)$表示在$V(G)\setminus S$的所有划分$P$上所有$\sum_{A\in P} l(A)-e_{G\setminus S}(P)$的最大数.最后，我们证明了如果$H$是$(l_1+\cdots +l_m)$ -划分连通图，那么它可以被分解成$m$边不相交的生成子图$H_1,\ldots, H_m$，…
Minimum degree and sparse connected spanning subgraphs
本文证明了在最小度至少为 n-k 的 n 顶点图中，当 n 足够大时必包含任意最大度有界且边数至多 n(1+ε) 的连通图作为生成子图，推广了 Erdős 等人的结果。
Color-avoiding connected spanning subgraphs with minimum number of edges
本文研究避色连通图的最大可移除边数问题，证明其为NP难问题，提出多项式时间近似算法，确定了给定参数下避色连通图的最小边数，并将边避色连通性推广至拟阵。
Triangulated spheres with holes in triangulated surfaces
该研究探讨曲面三角剖分中含带洞三角球面生成子图的条件，给出环面相关定理的短证明，推导高面宽带柄曲面的存在性结论，并构造了反例，成果可应用于平面刚性问题。
Large matchings and nearly spanning, nearly regular subgraphs of random subgraphs
本文研究了随机子图$G_p$的性质，证明了对于$d$-regular图，当$p\ge \frac{C}{d}$时存在覆盖几乎全部顶点的匹配，且对广泛图族（含超立方体），当$p\ge \frac{\log^5d}{d}$时包含度数集中于$dp$的导出子图。
Tutte polynomial, subgraphs, orientations and sandpile model: new connections via embeddings
对于任意n边图G，G的生成子图和方向都由它的Tutte多项式的赋值T_G（2，2）=2^n来计数.我们定义了一个双射$Φ$之间的生成子图和方向，并探讨其枚举后果Tutte多项式。双射$Φ$是密切相关的Tutte多项式依赖于图G的组合嵌入，也就是说，在每个顶点周围的边的循环顺序的选择最近的特征。在其他结果中，我们获得了Tutte多项式的每个评估T_G（i，j），0 \leq i，j \leq 2的方向的组合解释。我们的方法的优势在于通过以各种方式专门化双射$Φ$来导出所有这些解释。例如，我们得到了G的连通子图（以T_G（1，2）计数）与根连通方向之间的一个双射。我们还得到了森林（以T_G（2，1）计）与出度序列之间的一个双射，该双射具体化为生成树（以T_G（1，1）计）与根连通出度序列之间的一个双射。我们还定义了一个双射之间的生成树和沙堆模型的经常性配置。结合我们的结果，我们得到了一个双射之间的经常配置和根连接的出度序列，离开配置在0级不变。
Bijective proofs of proper coloring theorems
色多项式及其推广的色对称函数是两个重要的图不变量。著名的Birkhoff、Whitney和Stanley定理表明了这两个对象可以用三种不同的方式来表示：所有生成子图上的和，没有断开回路的生成子图上的和，以及具有相容着色的非循环方向。我们用双射的方法建立这六个表达式。事实上，我们只用两个双射就可以做到这一点，因为在对称函数设置中的证明是使用与多项式情况相同的双射获得的，并且对于断开电路的双射只是对于所有生成子图的双射的限制。
Shorter Tours by Nicer Ears: 7/5-approximation for graphic TSP, 3/2 for the path version, and 4/3 for two-edge-connected subgraphs
我们证明了新的结果近似的图形TSP和一些相关的问题。我们得到改进的近似保证多项式时间算法。对于图形TSP本身，我们将近似比提高到7/5。对于一个推广，连接- $T$ -连接问题，我们得到了第一个非平凡的近似算法，比例为3/2。其中包含图形$s$ - $t$ -path-TSP作为特例。我们改进了求最小2-边连通生成子图的近似保证为4/3。我们所有算法的关键新成分是一种特殊的耳朵分解优化使用森林超图表示。同样的方法也提供了我们用来推导近似比的下界（由LP松弛引起）。
Spanning Structures in Multipartite Graph Traversals
该论文确定多部图遍历中保证存在哈密顿遍历的临界密度随部数增大趋于1/2，解决了相关猜想，还得到了几类图的遍历F-因子子图的渐近临界密度，证明用了吸收法。
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