三角曲面中带洞的三角剖分球面

图的分离指数与堆叠2-球面

Separation index of graphs and stacked 2-spheres

在1987年，卡莱证明，堆叠领域的层面$d\geq 3$的特点是，他们达到平等的事实，巴内特的著名下界定理。此结果未扩展到尺寸$d=2$。在这篇文章中，我们给出了堆叠的$2$ -球的特性，我们称之为{ \em分离指数}。也就是说，我们证明了一个三角形的$2$ -球的分离指数是最大的当且仅当它是堆叠的。此外，我们还证明了在所有的$n$ -顶点三角化的$2$ -球面中，对于$n\geq 6$，分离指数{ \em}被某个$n$ -顶点旗球面最小化.此外，我们应用堆叠的$2$ -球的这一特征来解决Lutz-Sulanke-Swartz猜想的突出的$3$维情况下，“紧邻三角形流形是紧的”。对于维数$d\geq 4$，Effenberger根据Novik和Swartz的一个结果已经证明了这个猜想.

2-球面的Pachner图

The Pachner graph of 2-spheres

众所周知，$n$ -顶点三角化$2$ -球面的Pachner图是连通的，即，每对$n$ -顶点三角形化的$2$ -球体可以通过对每个$n\geq 4$的一系列边缘翻转而彼此转换。本文研究了这类图的各种诱导子图。特别地，我们证明了不同于双锥的$n$ -顶点旗$2$ -球面的子图仍然是连通的.相比之下，我们表明，$n$ -顶点堆叠$2$ -球体的子图至少有尽可能多的连通组件，因为有树的$\lfloor\frac{n-5}{3}\rfloor$节点，最大节点度最多为4。

A family of triangulated 3-spheres constructed from trees

The search for universality in random triangulations of manifolds, like those featuring in (Euclidean) Dynamical Triangulations, is central to the random geometry approach to quantum gravity. In case of the 3-sphere, or any other manifold of dimension greater than two for that matter, the pursuit is held back by serious challenges, including the wide open problem of enumerating triangulations. In an attempt to bypass the toughest challenges we identify a restricted family of triangulations, of which the enumeration appears less daunting. In a nutshell, the family consists of triangulated 3-sph…

三角化曲面的钟定理

Clock theorems for triangulated surfaces

我们调查三角剖分的二维球和环面的脸适当着色的白色和黑色。我们专注于白色三角形和事件顶点之间的匹配。在环面上，我们的对象是完美的配对，而在球面上，这只有在去掉一个三角形及其顶点后才是真的。在后一种情况下，这种匹配（首先研究的Tutte）扩展的概念，国家在考夫曼的正式纽结理论，我们表明，他的时钟定理，在其形式由于吉尔默和Litherland，也延伸：一组匹配自然形成一个分配格。在这里，状态转置的作用是由一个简单的关于黑三角形的局部运算来实现的。相比之下，在环面上，类似的状态转移图通常是不连通的：它的一些组件仍然形成具有全局最大值和最小值的分配格，而其他组件包含有向循环并且没有局部极值。

关于星状球面和组合流形的一个紧性准则

On stellated spheres and a tightness criterion for combinatorial manifolds

我们引入$k$ -星状球面，并考虑三角形$d$ -流形类${\cal W}_k(d)$，其顶点链都是$k$ -星状的，以及它的子类${\cal W}^{\ast}_k(d)$，由${\cal W}_k(d)$的$(k+1)$ -邻域成员组成.我们介绍了任何单纯复形的μ-向量，并表明，在2-neighborly单纯复形的情况下，μ-向量占主导地位的Betti数分量的向量，这两个向量是相等的紧单纯复形。我们能够估计/计算$d\geq 2k$的${\cal W}_k(d)$的任何2-邻域成员的μ向量的分量的某些交替和。作为这一理论的一个结果，我们证明了一个下界定理，这样的三角形流形，以及确定的$d \geq 2k+2$的${\cal W}^{\ast}_k(d)$的成员的积分同调型。作为另一个应用，我们证明了当$d \neq 2k+1$时，${\cal W}^{\ast}_k(d)$的所有成员都是紧的.我们还描述了紧成员的${\cal W}^{\ast}_k(2k + 1)$的$k^{\rm th}$ Betti数。这些结果或多或少地回答了最近的一个问题的Effenberger，也提供了一个统一的和概念上的紧性证明，所有已知的紧三角流形，除了两个。我们还证明了一个下界定理三角形流形中的成员${\cal W}_1(d)$提供平等的情况。这概括了Walkup和Kuehnel的一个结果（$d=…

完美平面近三角剖分的一个局部特征

A local characterization for perfect plane near-triangulations

本文给出了平面近三角剖分图是完美图的一个局部判据。证明了一个平面近三角化图是完美图当且仅当它不包含顶点、边或邻域以奇洞为边界的三角形。该特征导致了一个$O(n^2)$算法来检查平面近三角剖分的完美性。

流形三角剖分中诱导子复形的平均贝蒂数

Average Betti numbers of induced subcomplexes in triangulations of manifolds

我们研究了Bagchi和Datta的$σ$ -向量的一个单纯复形$C$，其条目被定义为加权平均数的贝蒂数诱导子复合物的$C$的变化。我们表明，这些不变量满足亚历山大-德恩-萨默维尔型身份，并表现良好的自然操作下三角形流形和领域，如连接的总和和bistellar翻转。在交换代数的语言中，不变量是$C$的Stanley-Reisner环的分次贝蒂数的加权和。这种解释意味着，由Adiprasito的结果，Billera-Lee球最大化这些不变量之间的三角形领域与一个给定的$f$ -向量。对于$σ$的第一个元素，我们将这个界推广到强连通纯复形类。作为一个应用，我们展示了如何上界$σ$可以用来获得的$4$ -流形上的$f$ -向量的下界的三角形与传递对称的顶点和指定的矢量的贝蒂数。

某些四维流形的紧三角剖分

Tight triangulations of some 4-manifolds

Walkup的类${\cal K}(d)$由$d$维单纯复形组成，所有复形的顶点链都是堆叠的$(d-1)$ -球面.根据Walkup的一个结果，任何具有Euler特征$χ$的三角剖分4-流形$X$的面向量满足$f_1 \geq 5f_0 - 15/2 χ$，且仅对$X \in {\cal K}(4)$相等. Kühnel观察到这意味着$f_0(f_0 - 11) \geq -15χ$，只有${\cal K}(4)$的2-邻元是相等的。对于$n = 6, 11$和15，存在具有$f_0=n$和$f_0(f_0 - 11) = -15χ$的三角化4-流形。本文给出了满足$f_0(f_0 - 11) = -15χ$的$f_0 = 21, 26$和41的三角化4-流形。所有这些三角流形都是紧的和强极小的。

三角曲面上欧拉Tonnetz的推广

Generalisations of Euler's Tonnetz on triangulated surfaces

该研究将欧拉1739年提出的tonnetz推广至三角曲面，提出更通用的标记方式，构建了与晶体学反射群相关的环面实例、异域A型实例及球面大九和弦编码实例，发现了朗兰兹对偶与大小调对偶的奇妙关联。

10点组合3-流形

Combinatorial 3-manifolds with 10 vertices

我们给出了所有10顶点组合3-流形的一个完整的计数：精确地有247882个10顶点三角化3-球面，以及518个顶点极小的球面积$S^2\times S^1$三角化和615个扭曲球面积$S^2_\times_S^1$三角化。所有顶点不超过10个的3-球都是可壳的，但有29个顶点极小的9个顶点的3-球是不可壳的。

关于Walkup类${\cal K}(d)$和$(S^3 \times \rotatebox{90}{\ltimes} S^1)^{\#3}$的极小三角剖分

On Walkup's class ${\cal K}(d)$ and a minimal triangulation of $(S^3 \times \rotatebox{90}{\ltimes} S^1)^{\#3}$

对于$d \geq 2$，Walkup的类${\cal K}(d)$由$d$维单纯复形组成，其顶点链接都是堆叠的$(d-1)$球。Kalai证明，对于$d \geq 4$，${\cal K}(d)$的所有连接成员都是通过添加许多基本句柄从堆叠的$d$ -球体获得的。根据Walkup的一个结果，任何具有Euler特征$χ$的三角剖分4-流形$X$的面向量满足$f_1 \geq 5f_0 - {15/2} χ$，且仅对$X \in {\cal K}(4)$相等. Kühnel观察到，这意味着$f_0(f_0 - 11) \geq -15χ$，只有${\cal K}(4)$的2-邻元相等。Kühnel还问是否有一个三角形的4-流形与$f_0 = 15$，$χ= -4$（达到平等的下界）。在本文中，Kalai定理的指导下，我们证明了确实存在这样的三角剖分。它对扭曲球面乘积$S^3 \times {-2.8mm}_{-} S^1$的三个副本的连接和进行三角剖分。由于Kühnel不等式，这个流形的三角剖分是顶点极小三角剖分。根据Effenberger最近的结果，这里构建的三角测量是紧密的。除了相邻的2-流形和$(2d+ 3)$ -顶点球面积$S^{d-1} \times S^1$（对$d$奇扭曲）的无限族，迄今为止只有14个紧三角流形被已知。目前的结构产生了这个零星家庭的一个新成员。我们也给出…

流形的紧三角剖分的无限族

An infinite family of tight triangulations of manifolds

给出了$d\geq 2$的$d$-流形的点传递紧三角剖分的一个显式构造。更明确地说，对于每个$d\geq 2$，我们构造了两个$(d^2+5d+5)$-顶点相邻三角剖分的$d$-流形，其顶点链接是堆叠的球。目前已知的此类紧三角化流形的唯一其他非平凡系列是Kühnel构造的具有$2d+3$顶点的非单连通三角化$d$-流形系列。我们构造的流形是强极小的。对于$d\geq 3$，它们也是Lutz、Sulanke和Swartz定义的紧密相邻关系。像屈内尔复形一样，我们的流形在偶数维是可定向的，在奇数维是不可定向的。

颜色或封面

Color or cover

如果一个三角化球面上除两个顶点外的所有顶点都具有可被$k$整除的度数，则例外顶点不相邻。利用染色单值性证明了$k=2$的这一定理。对于$k = 3, 4, 5$，必须使用柏拉图立体顶点的着色。与着色单值性，人们可以联想到一个分支覆盖。这推广到两个三角曲面之间的空间芽。我们还讨论了Belyi曲面和锥度量的常曲率的关系。

与三角形曲面相关的带电势的箭图.第IV部分：去除边界假设

Quivers with potentials associated to triangulated surfaces, part IV: Removing boundary assumptions

我们证明了与三角形的表面标记点，可能是空的边界，与潜在的颤动，是非退化的，提供的基础表面标记点是不是一个封闭的球体，正好5穿孔。这是通过明确定义对应于标记三角形的QP，并证明每当两个标记三角形通过翻转相关时，它们的相关QP通过相应的QP突变相关来完成的。作为一个副产品，（任意穿孔）表面与非空边界，我们得到了相关的QP的非退化性的证明，这是独立于作者在该系列的第一篇论文中给出的证明。用来证明翻转和QP突变之间的上述兼容性的主要工具是我们称为\emph{Popping Theorem}的工具，粗略地说，它说，由自折叠三角形的理想三角剖分产生的势中明显缺乏对称性，可以通过适当的右等价来修复。

$g_2\leq 5$的同调4-流形的结构定理

A structure theorem for homology 4-manifolds with $g_2\leq 5$

该研究针对$g_2\leq 5$的同调4-流形开展组合刻画，证明其均为三角剖分球面，可由$g_2\leq 2$的三角化4-球面经指定操作得到，且该$g_2$上界为最优，无法推广至$g_2=6$。

圆丛的极小三角剖分

Minimal triangulations of circle bundles

本文针对经典单纯复形情形的圆丛三角剖分问题，给出一类无穷多已三角剖分球面的精确解答，并提出一般情形下三角剖分存在的充分判据，可直接推导部分极小性结果。