Modular Forms and $k$-colored Generalized Frobenius Partitions
设$k$和$n$为正整数。设$cϕ_{k}(n)$表示$n$的$k$着色广义Frobenius划分的个数，$\mathrm{C}Φ_k(q)$表示$cϕ_{k}(n)$的生成函数.本文利用模形式理论对$\mathrm{C}Φ_k(q)$进行了研究，发现了$\mathrm{C}Φ_k(q)$新的令人惊讶的性质。
2021-06-01 math.CO math.NT
Generalized Frobenius partitions, Motzkin paths, and Jacobi forms
我们展示了如何安德鲁斯的生成函数的广义Frobenius分区可以理解的理论Eichler和Zagier作为特定系数的某些Jacobi形式。这种重新导致一个递归的过程，产生明确的公式广义Frobenius分区生成函数的无限$q$产品。特别是，我们表明，我们的结果的具体例子很容易重新建立以前已知的公式，我们描述了新的同余式，无论是authorical和证明，在其他情况下。Jacobi形式的模结构表明，形式的系数的\emph{all}是感兴趣的。我们给出了这些“同伴系列”的组合定义，并通过Motzkin路径的计数来探索它们的组合学。
2022-03-29 math.CO math.NT
An Extreme Family of Generalized Frobenius Numbers
我们研究了一个推广的\emph{Frobenius problem}：给定$k$正相对素数，什么是最大的整数$g_0$，不能表示为一个非负整数线性组合这些参数？更一般地说，恰好具有$s$这种表示的最大整数$g_s$是多少？我们说明了一个家庭的参数，Tripathi，其广义Frobenius数$g_0, \ g_1, \ g_2, ...$表现出不自然的跳跃，即$g_0, \ g_1, \ g_k, \ g_{\binom{k+1}{k-1}}, \ g_{\binom{k+2}{k-1}}, ...$形成一个等差数列，任何整数大于$g_{\binom{k+j}{k-1}}$至少有$\binom{k+j+1}{k-}$表示。在此过程中，我们引入了一个广义Frobenius数的变化，并证明了它的一些基本结果。
2011-01-27 math.CO math.NT
Proof of a Conjecture on 6-colored Generalized Frobenius Partitions
设$cϕ_{k}(n)$是$k$ -着色的广义Frobenius配分函数。利用Hirschhorn给出的$cϕ_{6}(3n+1)$的生成函数，证明了$cϕ_{6}(27n+16)\equiv 0$（mod 243）.这证实了E.X.W.夏我们还发现了一个同余关系$cϕ_{6}(81n+61) \equiv 3 cϕ_{6}(9n+7)$（mod 243）。此外，我们还证明了$cϕ_{6}(81n+61) \equiv 0$（mod 81）、$cϕ_{6}(243n+142) \equiv 0$（mod 243）和$cϕ_{6}(729n+ 547) \equiv 0$（mod 243）。我们进一步推测，对于$n\ge 0$，$cϕ_{6}(243n+142) \equiv 0$（mod 729）。
2015-07-11 math.CO math.NT
Congruences Modulo Powers of 3 for 3- and 9-Colored Generalized Frobenius Partitions
令$cϕ_{k}(n)$是$n$的$k$ -着色广义Frobenius划分的数目。我们建立了$cϕ_{3}(n)$和$cϕ_{9}(n)$模3的任意幂的同余的无限族，改进了Kolitsch的结果.以$k\ge 3$和$n\ge 0$为例，我们证明了\[cϕ_{3}\Big(3^{2k}n+\frac{7\cdot 3^{2k}+1}{8}\Big) \equiv 0 \pmod{3^{4k+5}}.\].我们对$cϕ_{9}(n)$满足的同余式给出了两种不同的证明.其中一个证明使用了Kolitsch提出的$cϕ_{9}(n)$和$cϕ_{3}(n)$之间的关系，本文对此给出了一个新的证明.
2018-01-24 math.CO math.NT
Positive semigroups and generalized Frobenius numbers over totally real number fields
Frobenius问题及其许多推广在数学的许多领域都得到了广泛的研究。我们研究半群的全正代数整数在全实数域，定义类似的Frobenius数在这种情况下。我们使用的几何框架最近推出的阿利耶夫，德Loera和Louveaux产生上界这些Frobenius数在一定的高度函数。我们讨论了这个函数的一些性质，将它与绝对Weil高度联系起来，并得到了满足某些特殊条件的代数向量的Lehmer猜想的一个下界。我们还使用Borosh和Treybig的结果，以获得在这样的正半群的全实代数整数的表示的大小和有界高度的元素的数量的界限。
2019-11-19 math.CO math.NT
Congruences modulo powers of $3$ for generalized Frobenius partitions $CΨ_{6,0}$
Shanghai University（上海大学）
本文研究了$(6,0)$彩色弗罗贝尼乌斯划分函数$cψ_{6,0}(n)$，通过阿特金-勒文纳逆运算建立生成函数关系，并证明其对3的幂次的同余式。
2026-04-16 math.CO math.NT
Integer Knapsacks: Average Behavior of the Frobenius Numbers
本文的主要结果表明，平均Frobenius数的渐近增长明显慢于最大Frobenius数的增长。
2008-10-01 math.NT math.OC
Proof of a Conjecture of Cui, Gu and Tang on 18-Colored Generalized Frobenius Partitions
B. Borooah College (Autonomous)（博鲁阿学院（自治））；University of Florida（佛罗里达大学）；Assam Skill University（阿萨姆技能大学）
本文研究k着色广义Frobenius分拆数的同余性质，证明了Cui等人关于cφ₁₈(3n+2)模2187为0的猜想，同时得到cφ₁₆(n)和cφ₁₈(n)的其他同余结果。
2026-09-07 math.CO math.NT
Congruences for modular forms and generalized Frobenius partitions
已知分拆函数具有美丽的同余，这些同余经常使用模形式理论来证明。在本文中，我们研究在何种程度上这些同余结果适用于广义Frobenius划分定义的安德鲁斯。特别是，我们证明了有无穷多个同余$cϕ_k(n)$模$\ell,$的$\gcd(\ell,6k)=1,$，我们也证明了结果的奇偶性$cϕ_k(n).$沿着这条路，我们证明了结果的奇偶性系数的弱全纯模形式推广工作的小野。
2018-09-03 math.NT
On the distribution of traces of Frobenius for families of elliptic curves and the Lang-Trotter conjecture on average
我们得到分布结果的轨迹Frobenius的各种家庭的椭圆曲线的朗-特罗特猜想，极值素数，和中心极限定理。这包括一些概括和界限有关的工作沙-Shparlinski平均朗-特罗特猜想单参数家庭的椭圆曲线和工作的各个作者的跟踪Frobenius素数的同余类。对于模形式也得到了一些结果。
2021-09-13 math.NT
Distribution of the trace of Frobenius on average for rank 2 Drinfeld modules
设$q$是奇素数幂，$a \in \mathbb{F}_q[T]$和$u \in \mathbb{F}_q^*$。在给定$q \geq 17$的条件下，我们计算了秩为2的Drinfeld $ \mathbb{F}_q[T]$ -模族上Frobenius在$p$上的特征多项式为$X^2 - aX + up$的素数$p$的平均个数.我们的结果给出了在$x$ -极限下的渐近公式。
2016-03-27 math.NT
The Frobenius number for sequences of triangular numbers associated with number of solutions
著名的线性丢番图问题的弗罗贝纽斯是问题，以确定最大的整数（弗罗贝纽斯数），其表示的数量方面的$a_1,\dots,a_k$是最多为零，这是不可表示的。换句话说，所有大于大于这个数的整数都可以用至少一种方式表示。这个问题的自然推广之一是找到最大的整数（广义Frobenius数），其表示数至多是给定的非负整数$p$。在两个变量的情况下，很容易找到这个数的显式形式。然而，即使在三个变量的任何特殊情况下，也没有明确的形式。本文成功地给出了三角数三元组的广义Frobenius数的显式表示。当$p=0$时，他们的弗罗贝纽斯数由Robles-Pérez和Rosales在2018年给出。
2022-07-01 math.CO math.NT
Average liar count for degree-2 Frobenius pseudoprimes
在本文中，我们得到了下和上界的平均数说谎的Grantham的二次Frobenius伪素数测试，推广的论点Erdés和Pomerance，和Monier。这些界限都提供了Jacobi符号加和减的情况下，提供证据的存在，几个挑战伪素数。
2020-04-03 math.NT
Frobenius nonclassicality of generalized Fermat curves with respect to conics
本文研究广义费马曲线相对于圆锥的弗罗贝尼乌斯非经典性，推导出其有理点数量的界和公式，基于Stöhr-Voloch理论。
2026-09-04 math.AG math.NT
Correspondence among congruence families for generalized Frobenius partitions via modular permutations
Shanghai Normal University（上海师范大学）；East China Normal University（华东师范大学）
本文通过构造向量值模形式，揭示了广义弗罗贝尼乌斯划分同余族之间的对应关系，并利用模变换证明了3色弗罗贝尼乌斯划分的同余关系。
2026-02-08 math.CO math.NT math.RT
Weighted averages of $p$-adic hypergeometric functions and traces of Frobenius of elliptic curves
Indian Institute of Technology Bhubaneswar（印度技术学院布巴内斯瓦尔分校）
研究一类一参数椭圆曲线的弗罗贝尼乌斯迹及其与p-进超几何函数的关系，通过加权平均特殊值和特殊值表达，推导出p-进超几何函数的求和恒等式和p-进欧拉-普夫夫变换。
2026-05-08 math.NT
Generalized Frobenius Number of Three Variables
本文针对满足特定条件的三元正整数，给出了广义 Frobenius 数的计算公式，该数定义为至多具有 $s$ 种非负整数表示的最大整数。
2024-12-18 math.NT
Partition-theoretic Frobenius-type limit formulas
本研究利用分拆生成函数技术，证明了推广复幂级数Abel收敛定理的Frobenius公式的q级数类似形式，明确了序列平均值存在时对应q级数极限与序列平均值的等价关系。
2024-04-13 math.CO math.NT
The generalized Frobenius problem via restricted partition functions
本文利用受限分拆函数的水平集与拟多项式渐近结构，研究广义 Frobenius 数及可表示整数计数，给出大 $k$ 时的公式、完整渐近性并恢复若干特例结果。
2023-08-17 math.CO math.NT
Average Frobenius distribution for the degree two primes of a number field
设$K$为数字字段，$r$为整数。给定定义在$K$上的椭圆曲线$E$，考虑Frobenius迹等于$r$的$K$的二次素理想的个数问题.在$K$的某些限制下，我们证明了“平均”这样的素理想的范数小于或等于$x$的数量满足一个渐近恒等式，这是按照标准的代数。这项工作涉及到经典的Lang-Trotter猜想，并扩展了几位作者的工作。
2013-07-05 math.NT
Arithmetic properties of generalized Frobenius partitions
本文研究了广义m色Frobenius分拆函数cϕ_m在m为5、7、11时的同余性质，结合模形式理论与计算证明了仅有六个类似Ramanujan的同余式存在。
2025-09-15 math.NT
Analytic Geometry and Hodge-Frobenius Structure
本文研究高维p进解析几何中的Frobenius结构及相关p进泛函分析，依托既有研究纲领与方法探究广义p进Hodge结构形变，为相关上同调、岩泽理论及非交换玉河数猜想研究奠基。
2024-05-26 math.AG math.NT
On the Frobenius Problem for Some Generalized Fibonacci Subsequences -- II
本文研究了任意起始项与偶数步长下的广义Fibonacci子列集合，确定了其Frobenius数和亏格的计算问题。
2025-07-01 math.NT
Congruences for Generalized Frobenius Partitions with an Arbitrarily Large Number of Colors
在1984年的AMS Memoir中，George Andrews定义了$k$ --着色广义Frobenius分拆函数。这些由$cϕ_k(n)$表示，其中$k\geq 1$是所讨论的颜色的数量。在这本回忆录中，安德鲁斯证明了（除其他事项外），对于所有的$n\geq 0,$ $cϕ_2(5n+3) \equiv 0\pmod{5}.$不久之后，许多作者证明了各种$k$ -有色广义Frobenius分拆函数的同余性质，通常具有少量的颜色。工作拉马努金-一样的同余属性满足的职能$cϕ_k(n)$继续进行，最近的作品完成巴鲁阿和Sarmah以及作者。不幸的是，在所有情况下，作者限制他们的注意力小值的$k.$这往往是由于难以找到一个“好”的表示生成函数的$cϕ_k(n)$为大$k.$因为这一点，没有拉马努金-一样的同余式是已知的地方$k$大。本文证明了$cϕ_k(n)$的几个无穷族同余，其中允许$k$任意增长，从而纠正了这种情况.证明是真正的小学，依赖于生成函数表示出现在安德鲁斯的回忆录，但已经相对忽视。
2013-05-26 math.NT
On the determination of $p$-Frobenius and related numbers using the $p$-Apéry set
本文利用p-Apéry集给出p-Frobenius数及相关值的显式公式，并推广加权和公式，从而系统化地求解广义Frobenius问题。
2024-01-13 math.CO math.NT
An Unexpected Congruence Modulo 5 for 4--Colored Generalized Frobenius Partitions
本文基于前人结果与Ramanujan的工作，用初等方法证明了4色广义Frobenius分拆函数$cϕ_4$满足一个模5的意外同余性质，补充了该函数的同余结论。
2013-02-22 math.NT
Average Frobenius distribution for elliptic curves defined over finite Galois extensions of the rationals
设$K$是一个固定的数域，假设是$\mathbb Q$上的伽罗瓦。设$r$和$f$是固定整数，其中$f$为正。给定定义在$K$上的椭圆曲线$E$，考虑了Frobenius迹等于$r$的$K$的$f$素理想的次数的计数问题.除了在$f=2$的情况下，我们表明，“平均”的数量，这样的素理想的范数小于或等于$x$满足一个渐近恒等式，是按照标准的数学。这项工作涉及到经典的Lang-Trotter猜想，并扩展了几位作者的工作。
2012-10-17 math.NT
Formulas for the Generalized Frobenius Number of Triangular Numbers
本文研究数论中的广义Frobenius数问题，推导得出三个连续三角数的广义Frobenius数的通用公式，并完成了Komatsu猜想的证明。
2025-01-15 math.NT
Old Meets New: Connecting Two Infinite Families of Congruences Modulo Powers of 5 for Generalized Frobenius Partition Functions
本文在与层级 20 模曲线相关的两类广义 Frobenius 分拆函数同余族之间建立模函数环同构，并借助 Atkin–Lehner 对合提出研究复合层级同余的新策略。
2024-07-30 math.NT
On the Frobenius Problem for Some Generalized Fibonacci Subsequences -- I
本文研究广义斐波那契子序列构成的集合的 Frobenius 数与亏格，针对任意起始项及奇数或等于2的间隔参数，给出计算方法。
2024-11-07 math.NT
Frobenius templates in certain $2 \times 2$ matrix rings
经典的Frobenius问题是使用非负整数系数来寻找最大整数，该最大整数不能被写为给定的一组互质正整数的线性组合。先前的工作已经将经典的Frobenius问题从整数推广到其他环中的Frobenius问题。研究了具有常对角的（上）三角$2 \times 2$矩阵环上的Frobenius问题.
2021-12-29 math.NT
Kloosterman sums over finite Frobenius rings
该研究在有限交换Frobenius环上推广Kloosterman和，证明了若干扭曲Kloosterman和的恒等式，主要贡献是围绕矩计算建立相关理论。
2019-10-01 math.NT math.RA
Analytic Geometry and Hodge-Frobenius Structure Continued
这是我们以前工作的续集相应的广义Frobenius模在一些大的多元Robba环。我们将超越我们以前的讨论，我们集中在相应的解析函数上的多圆盘和polyannuli在严格仿射的情况下，和一般的Hodge-Frobenius结构，这是允许在相应的上下文中，在我们以前的工作。
2021-01-11 math.AG math.NT
On the Parity of the Generalized Frobenius Partition Functions $ϕ_k(n)$
本文证明了对所有正整数 $\ell$、素数 $p\geq 5$ 及满足 $24r+1$ 为模 $p$ 二次非剩余的 $r$，广义 Frobenius 分拆函数 $\phi_{p\ell-1}(pn+r)$ 恒为偶数，给出无限族 $k$ 的奇偶性结果，证明基于初等生成函数操作。
2022-01-01 math.CO math.NT
Frobenius structures on hypergeometric equations
我们给出了一个阐述Dwork的建设Frobenius结构相关联的广义超几何方程通过解释后者由于Gelfand-Kapranov-Zelevinsky在语言的A-超几何系统。作为结果，我们提取了一些明确的公式退化在0的Morita p-adic Γ函数。
2021-12-10 math.AG math.NT
Counting Frobenius Pseudoprimes
本研究将Frobenius伪素数计数从一、二次情形推广到任意次数，给出Grantham Frobenius素性检验的伪证数计数公式，以及Frobenius伪素数平均数量的条件渐近上下界。
2025-03-21 math.NT
Congruences like Atkin's for generalized Frobenius partitions
本文研究了$m$色广义Frobenius分拆函数$cϕ_m(n)$，证明了对于所有不依赖于$m$的显式有限集合中的素数$\ell$，存在类似Atkin的同余，核心方法是构造半整权尖点形式并结合Shimura提升与模Galois表示理论。
2025-04-04 math.NT
Generalized Frobenius Partitions Modulo Powers of $2$
Ahmedabad University（艾哈迈达巴德大学）
本文证明广义Frobenius分拆数模$2$的幂的同余式，完全确定$c\phi_{18}(2n+1)$模$16$和$c\phi_{10}(2n+1)$模$8$的值，并证明Das等人猜想。
2026-09-11 math.CO math.NT
The $p$-Frobenius and $p$-Sylvester numbers for Fibonacci and Lucas triplets
本文研究了一类广义线性丢番图的Frobenius问题。设$a_1,a_2,\dots,a_l$是正整数，使得它们的最大公因数为1。对于非负整数$p$，用$g_p(a_1,a_2,\dots,a_l)$表示$p$ -Frobenius数，它是最大的整数，可以用$a_1,a_2,\dots,a_l$的非负整数系数的线性组合来表示。当$p=0$时，$0$ -Frobenius数是经典Frobenius数.当$l=2$，$p$ -Frobenius数显式给出时.然而，当$l=3$甚至更大时，即使在特殊情况下，也不容易明确地给出Frobenius数，当$p>0$时就更困难了，并且还没有已知的具体例子。然而，最近，我们已经成功地给出明确的公式的情况下，序列是三角形数或代表的情况下，$l=3$。本文给出了当$p>0$ .此外，我们还给出了$p$ -Sylvester数的一个显式公式，即能用至多$p$方式表示的非负整数的总数。此外，给出了关于卢卡斯三元组的显式公式.
2022-12-04 math.CO math.NT
Distribution of Farey Fractions in Residue Classes and Lang--Trotter Conjectures on Average
证明了$T$阶Farey分数的集合，即集合$\{α/β\in \Q : \gcd(α, β) = 1, 1 \le α, β\le T\}$，对于任何固定的$\eps>0$，在$T \ge p^{1/2 +\eps}$提供的素数$p$模的剩余类中是均匀分布的.我们应用此获得的上界的郎-特罗特曲率的Frobenius迹和Frobenius字段“平均”的一个参数的家庭的椭圆曲线。
2007-05-25 math.NT
$p$-numerical semigroup of generalized Fibonacci triples
本文针对非负整数 $p$，给出了涉及 Jacobsthal 多项式（包含 Fibonacci 数）的广义 Fibonacci 数值半群的 $p$-Frobenius 数和 $p$-亏格显式公式，并探讨了其在 $p$-Hilbert 级数上的应用。
2023-04-02 math.CO math.GR math.NT
The Frobenius number for shifted geometric sequences associated with the number of solutions
本文给出了移位几何序列$\{a b^n-c\}_n$的$p$-Frobenius数的闭式公式，涵盖几何、Thabit和Mersenne序列及其变体，解决了$p>0$时广义Frobenius数公式缺失的问题。
2024-02-09 math.CO math.NT
Chebyshev's bias in dihedral and generalized quaternion Galois groups
研究了具有二面体$D_{2n}$或二次幂阶（广义）四元数$\mathbb H_{2n}$的伽罗瓦群的有理数的伽罗瓦扩张中Frobenius元的分布不等式.在Fiorilli和Jouve arXiv：2001.05428最近的工作的精神，我们研究，在自然假设下，这样的扩展，在水平方面，在那里的程度是固定的，并在垂直方面，在那里的程度走向无穷大的一些家庭。我们的主要贡献揭示了家庭的扩展的现象，吴给出了数值证据：真正的零的阿廷L-功能有时有一个根本的影响Frobenius元素的分布。
2021-06-09 math.NT
Frobenius distribution for quotients of Fermat curves of prime exponent
设C表示Q上素指数为l的Fermat曲线。C的Jacobian Jac（C）在Q上分裂为Jacobian Jac（C_k）的乘积，0< k < l-1，其中C_k是由C的自同构的某些子群作为C的同积而得到的曲线。众所周知，Jac（C_k）是绝对单交换阿贝尔簇B_k的具有复乘的幂.我们称B_k具有退化CM型的对（l，k）为退化的。对于非退化对（l，k），我们计算了Jac（C_k）的Sato-Tate群，证明了它的广义Sato-Tate猜想，并给出了计算有关分布的矩和测度的显式方法.无论（l，k）是退化的还是非退化的，我们也得到了l阶分圆域中一定剩余度素数的Frobenius等分布结果.我们的结果的关键是一个详细的研究某些广义Demjanenko矩阵的秩。
2015-11-08 math.NT
A Note on Generalized Repunit Numerical Semigroups
本文研究广义循环单位数值半群的Frobenius问题，在特定条件下给出Frobenius数和亏格的公式，并简化了循环单位、梅森和塔比特等特殊情形。
2023-06-19 math.CO math.NT
Generalized Number Derivatives
我们推广了数导数的概念，并研究了有限域元素的变形数导数的一个特殊例子。我们发现，衍生物是线性的变形时，是一个Frobenius映射，并继续检查它的一些基本性质。
2005-08-19 math.NT
Hypergeometric Properties of Genus 3 Generalized Legendre Curves
受Manin的一个结果的启发，研究了亏格为3的广义Legendre曲线的Frobenius迹与某些周期积分的关系.我们表明，这两个属性可以计算的“匹配”的经典和有限域超几何函数，这种现象也被观察到在椭圆曲线和许多高维品种。
2017-05-05 math.NT
Algébricité modulo p, séries hypergéométriques et structures de Frobenius forte
本文主要研究Siegel G-函数的模p代数性质。我们的目标是强调强Frobenius结构的概念的相关性，经典的研究理论中的p-adic微分方程，Adamczewski-Delaygue的猜想的研究有关的程度代数模p的G-函数。为此，我们首先明确了Christol的一个结果：如果$f$是一个G-函数，它是一个阶为$n$的微分算子$L$在$ \mathbb{Q}(z)[d/dz]$中的解，对于素数$p$，它具有周期为$h$的强Frobenius结构，并且$f(z)$属于$\mathbb{Z}_{(p)}[[z]]$，则$f$模$ p $的约简是在$\mathbb F_p(z)$上的代数约简，并且其代数性度以$p^{n^2h}$为界。通过推广Salinier提出的方法，证明了：如果$L$是Fuchsian算子，其系数在$\mathbb{Q}(z)$中，且其单值群是刚性的，其指数是有理数，则对几乎每一个素数$p$，$L$都有一个强Frobenius周期结构$h$，其中$h$显式有界且不依赖于$p$ .这个结果的一个稍微不同的版本最近已经证明了船员以下不同的方法的基础上$p$ -adic上同调。在广义超几何级数的情形下，我们利用这两个结果解决了上述猜想。
2021-05-04 math.NT
On Feasibility of Integer Knapsacks
给定一个满足某些正则性假设的整数mxn矩阵A，我们考虑所有整数向量b的集合F（A），使得相关的背包多面体P（A，b）={x：Ax=b，x>=0}包含一个整数点.当m=1时，已知集合F（A）包含所有大于与A相关的Frobenius数的连续整数。本文引入了对角Frobenius数g（A），它以类似的方式反映了问题的可行性性质和一般情况下F（A）的结构。给出了g（A）的最优上界，并估计了对角Frobenius数的平均渐近增长性.
2009-11-21 math.NT math.OC
