Integer Knapsacks: Average Behavior of the Frobenius Numbers
Iskander Aliev, Martin Henk
本文的主要结果表明，平均Frobenius数的渐近增长明显慢于最大Frobenius数的增长。
The main result of the paper shows that the asymptotic growth of the Frobenius number in average is significantly slower than the growth of the maximum Frobenius number.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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On Feasibility of Integer Knapsacks
给定一个满足某些正则性假设的整数mxn矩阵A，我们考虑所有整数向量b的集合F（A），使得相关的背包多面体P（A，b）={x：Ax=b，x>=0}包含一个整数点.当m=1时，已知集合F（A）包含所有大于与A相关的Frobenius数的连续整数。本文引入了对角Frobenius数g（A），它以类似的方式反映了问题的可行性性质和一般情况下F（A）的结构。给出了g（A）的最优上界，并估计了对角Frobenius数的平均渐近增长性.
LLL-reduction for Integer Knapsacks
给定一个整数mxn矩阵A满足一定的正则性假设，一个著名的整数规划问题要求在相关的背包多面体P（A，b）={x：Ax = b，x>=0}中找到一个整数点或确定不存在这样的点。我们得到了一个基于LLL的多项式时间算法，它解决了向量b的位置受到约束的问题。
Integer Points in Knapsack Polytopes and s-covering Radius
给定一个满足一定正则性假设的整数矩阵A，考虑对于一个正整数s，所有整数向量b的集合Fs（A）使得相应的背包多面体P（A，b）={x：Ax=b，x非负}至少包含s个整数点.本文利用S-覆盖半径的概念研究了集合F_s（A）的结构。特别地，在一个特殊的情况下，我们证明了一个最佳的下界的s-Frobenius数。
Unbounded knapsack problem and double partitions
本文将无界背包问题视为双重划分问题的特例，探讨了Sylvester和Cayley基于消元的方法的几何解释及其在背包问题中的应用。
Frobenius templates in certain $2 \times 2$ matrix rings
经典的Frobenius问题是使用非负整数系数来寻找最大整数，该最大整数不能被写为给定的一组互质正整数的线性组合。先前的工作已经将经典的Frobenius问题从整数推广到其他环中的Frobenius问题。研究了具有常对角的（上）三角$2 \times 2$矩阵环上的Frobenius问题.
Evaluating the Sharpness and Limitations of Bounds on the Frobenius Number
本文针对 Frobenius 数，结合理论分析与 Monte Carlo 模拟比较多种上界，并证明不存在最坏情形指数严格低于二次的一般上界。
A Knapsack-Like Code Using Recurrence Sequence Representations
我们最近证明了，当数字串满足一定的限制条件时，每个正整数都可以用递归序列唯一地表示。我们提出的细节，这样的表示可以用来建立一个背包般的公开密钥密码系统。我们还提出了新的伪装方法，并提供参数的安全代码对已知的攻击方法。
Frobenius Coin-Exchange Generating Functions
我们研究变种的\emph{Frobenius coin-exchange problem}：鉴于$n$积极互素参数，什么是最大的整数，不能表示为一个非负整数线性组合的给定整数？这个问题和它的兄弟可以通过根据整数是否可表示来生成具有0/1系数的函数来理解。在2参数的情况下，这个生成函数有一个优雅的封闭形式，从它可以得出许多推论，包括弗罗贝纽斯问题的公式。我们建立了一个类似的封闭形式的生成函数，表明所有的整数正好$k$表示，具有类似的广泛的推论。
On the Frobenius number for three variables
本文解决了三个变量弗罗贝尼乌斯数公式中的不一致问题，提供了更准确的计算方法。
Frobenius numbers of Pythagorean triples
给定互素整数$a_1, \dotsc, a_n$，Frobenius数$g(a_1, \dotsc, a_n)$定义为不能表示为$x_1 a_1 + \dotsb + x_n a_n$且$x_i$为非负整数的最大整数.本文给出了本原毕达哥拉斯三元组的Frobenius数。即，\[ g(m^2-n^2, 2mn, m^2+n^2) = (m-1)(m^2-n^2) + (m-1)(2mn) - (m^2 + n^2). \]
An estimate for Frobenius' diophantine problem in three dimensions
本文给出了不可表示为三个给定整数的正线性组合的最大整数的上、下界，证明了Beck，Einstein和Zacks提出的一个上界的错误.
Commutative algebra and the linear diophantine problem of Frobenius
设$A$是互素正整数的有限集合，$S(A)$是$A$中元素的所有非负整数线性组合的集合.集合$S(A)$是一个包含所有充分大整数的半群。不在$S(A)$中的最大整数是$A$的Frobenius数，不在$S(A)$中的正整数的个数是$A$的亏格。Sharp和Sylvester在1884年证明了集合$A = \{a,b\}$的Frobenius数是$ab-a-b$，而$A$的亏格是$(a-1)(b-1)/2$。利用分次环和Hilbert合冲定理的一个简单形式给出了这个结果的一个交换代数证明。
An extension of the Frobenius coin-exchange problem
给定正整数$a_1,...,a_n$与$\gcd(a_1,...,a_n) = 1$，我们称一个整数t可表示，如果存在非负整数$m_1,...,m_n$使得$t = m_1 a_1 + ... + m_n a_n$。本文讨论Frobenius的线性丢番图问题：即求最大不可表示整数。我们称这个最大的整数为Frobenius数$g(a_1,...,a_n)$。我们扩展这个问题，要求最小的整数$g_k(a_1,...,a_d)$，超过每个整数表示超过k次。我们集中在d=2的情况下，证明有关$g_k(a,b)$的声明类似的精神，经典的结果已知的g（a，b）。
Considering a Classical Upper Bound on the Frobenius Number
本文指出经典 Frobenius 数一个已知上界论证中的细微错误，给出修正结果，并通过形式证明与 Monte Carlo 模拟比较其紧致性。
On a Generalization of the Frobenius Number
我们考虑一个推广的Frobenius问题，其中感兴趣的对象是最大的整数，它具有确切的$j$表示的正互素整数的集合。我们证明了一个类似的一个定理的布劳尔和肖克利，并显示它可以用于计算。
Frobenius Problem and dead ends in integers
设a和b是正的、互素的整数。我们证明了以下等价性：（i）d是Z关于a和b的（对称）Cayley图中的死端，（ii）d是关于a和b的Frobenius值（它不能写成a和b的非负或非正整数线性组合），并且d是关于这个性质的极大值（在Cayley图中）.此外，对于给定的整数a和b，我们明确地描述了Z中所有这样的元素。最后，我们证明了Z关于任何有限的对称生成集只有2000个死端。在附录中，我们证明了每个有限生成群都有一个生成集，关于这个生成集存在死胡同。
Generalized Frobenius Number of Three Variables
本文针对满足特定条件的三元正整数，给出了广义 Frobenius 数的计算公式，该数定义为至多具有 $s$ 种非负整数表示的最大整数。
The Frobenius number for sequences of triangular numbers associated with number of solutions
著名的线性丢番图问题的弗罗贝纽斯是问题，以确定最大的整数（弗罗贝纽斯数），其表示的数量方面的$a_1,\dots,a_k$是最多为零，这是不可表示的。换句话说，所有大于大于这个数的整数都可以用至少一种方式表示。这个问题的自然推广之一是找到最大的整数（广义Frobenius数），其表示数至多是给定的非负整数$p$。在两个变量的情况下，很容易找到这个数的显式形式。然而，即使在三个变量的任何特殊情况下，也没有明确的形式。本文成功地给出了三角数三元组的广义Frobenius数的显式表示。当$p=0$时，他们的弗罗贝纽斯数由Robles-Pérez和Rosales在2018年给出。
An Optimal Lower Bound for the Frobenius Problem
给定$N$正整数$a_1, ..., a_N$与$\gcd(a_1, ..., a_N)=1$，令$f_N$表示不是$a_1, ..., a_N$的正整数组合的最大自然数。本文根据标准$(N-1)$ -单纯形的绝对非齐次极小值给出了$f_N$的最优下界。
The Frobenius problem for Numerical Semigroups generated by binomial coefficients
本文研究由二项式系数生成的数值半群的Frobenius问题，给出其求解结果，同时得到二项式系数的非平凡恒等式，并将结论与整数的$(s,s+1,s+p)$-core分拆理论建立关联。
Teaching perspectives of the Frobenius coin problem of two denominators
本文以初等方法刻画两个互素正整数经非负整数系数线性组合所能表示的全部正整数，并探讨该方法在Frobenius硬币问题教学中的应用价值。
On the Frobenius Problem for Some Generalized Fibonacci Subsequences -- II
本文研究了任意起始项与偶数步长下的广义Fibonacci子列集合，确定了其Frobenius数和亏格的计算问题。
Minimal relations and the Diophantine Frobenius Problem in embedding dimension three
本文给出了由三个两两互质正整数极小生成的数值半群的极小关系和Frobenius数的一个公式。
Bounds on generalized Frobenius numbers
令$N \geq 2$和$1 < a_1 < ... < a_N$是互素整数。该$N$元组的Frobenius数被定义为没有$\sum_{i=1}^N a_i x_i$表示的最大正整数，其中$x_1,...,x_N$是非负整数。更一般地说，$s$ -Frobenius数被定义为最大的正整数，它具有精确的$s$不同的表示。我们使用的技术，从数的几何号码给上界和下界的$s$ -Frobenius数的任何非负整数$s$。
On Frobenius problem with restrictions on common divisors of coefficients
令$m,s,t$是正整数，其中$t\leq s-2$和$a_1,a_2,\ldots,a_s$是正整数，使得$(a_1,a_2,\ldots,a_{s-1})=1$。本文证明了每一个足够大的正整数都可以写成$a_1μ_1+a_2μ_2+\ldots+a_sμ_m$的形式，其中正整数$μ_1,μ_2,\ldots,μ_s$没有大于$1$的正整数的$m$次幂的公约数，但$μ_1,μ_2,\ldots,μ_n$的值的每一个$t$都有大于$1$的正整数的$m$次幂的公约数.此外，我们表明，每一个足够大的正整数可以写为一个正整数$μ_1,μ_2,\ldots,μ_n$的总和，没有公约数是$m$ -次幂的正整数大于$1$，但每个$s-1$的值的$μ_1,μ_2,\ldots,μ_s$有一个公约数是$m$ -次幂的正整数大于$1$。
Weighted Sylvester sums on the Frobenius set
设$a$和$b$是互素正整数。本文给出了加权和$\sum_{n\in{\rm NR}(a,b)}λ^{n-1}n^m$的显式表达式或用Apostol-Bernoulli数表示的表达式，其中$m$非负整数，${\rm NR}(a,b)$表示不能用$a$和$b$表示的正整数集合.
Unbounded discrepancy in Frobenius numbers
令g_j表示最大整数，该最大整数精确地表示为{ x_1，..的非负整数线性组合j次。，x_n。我们证明，对于任何k > 0且n = 5，量g_0 - g_k是无界的。此外，我们提供了g_0 > g_k（n >= 6）和g_0 > g_1（n >= 4）的例子。
The $p$-Frobenius and $p$-Sylvester numbers for Fibonacci and Lucas triplets
本文研究了一类广义线性丢番图的Frobenius问题。设$a_1,a_2,\dots,a_l$是正整数，使得它们的最大公因数为1。对于非负整数$p$，用$g_p(a_1,a_2,\dots,a_l)$表示$p$ -Frobenius数，它是最大的整数，可以用$a_1,a_2,\dots,a_l$的非负整数系数的线性组合来表示。当$p=0$时，$0$ -Frobenius数是经典Frobenius数.当$l=2$，$p$ -Frobenius数显式给出时.然而，当$l=3$甚至更大时，即使在特殊情况下，也不容易明确地给出Frobenius数，当$p>0$时就更困难了，并且还没有已知的具体例子。然而，最近，我们已经成功地给出明确的公式的情况下，序列是三角形数或代表的情况下，$l=3$。本文给出了当$p>0$ .此外，我们还给出了$p$ -Sylvester数的一个显式公式，即能用至多$p$方式表示的非负整数的总数。此外，给出了关于卢卡斯三元组的显式公式.
A Graphical Approach to the Frobenius Number Problem in Three Variables
本文提出一种图形化方法，通过分析与直线ax+by=ab及其平移相关的格点来求解三变量Frobenius数，将算术问题转化为定位格点并求值的简单任务，并推导出比已知结果更简洁的一般公式。
Weighted Sylvester sums on the Frobenius set in more variables
令$a_1,a_2,\dots,a_k$是正整数，其中$\gcd(a_1,a_2,\dots,a_k)=1$。令${\rm NR}={\rm NR}(a_1,a_2,\dots,a_k)$表示不能用$a_1,a_2,\dots,a_k$表示的正整数集合。最大不可表示整数$\max{\rm NR}$、不可表示正整数个数$\sum_{n\in{\rm NR}}1$、不可表示正整数和$\sum_{n\in{\rm NR}}n$与著名的Frobenius问题有关，长期以来一直被广泛研究.本文利用欧拉数给出了加权和$\sum_{n\in{\rm NR}}λ^{n}n^μ$的计算公式，其中$μ$非负整数，$λ$是复数.我们还研究了不可表示数的幂和三个变量的一些公式。几个例子说明和支持我们的结果。
Denominators in the Farey Sequence, the Stern Sequence, and the Frobenius Problem with Relatively Prime Multipliers
该研究针对带系数互素限制的弗罗贝尼乌斯开放问题，证明此类问题仍存在无法表示的最大整数，并探究其与斯特恩序列等的关联及相关性质。
The Parametric Frobenius Problem
给定互素的正整数a_1，.，a_n，Frobenius数是不能写成a_i的非负整数组合的最大整数。我们研究这个问题的参数版本：给定a_i=a_i（t）作为t的函数，计算作为t的函数的Frobenius数。一个函数f是拟多项式，如果存在一个周期m和多项式f_0，.，f_{m-1}使得对于所有正整数t，f（t）= f_{t mod m}（t）。我们猜想，如果a_i（t）是关于t的多项式（或拟多项式），那么对于足够大的t，Frobenius数与拟多项式一致。我们在a_i（t）是线性函数的情况下证明了这一点，并且在n（生成元个数）至多为3的情况下也证明了这一点。
An Extreme Family of Generalized Frobenius Numbers
我们研究了一个推广的\emph{Frobenius problem}：给定$k$正相对素数，什么是最大的整数$g_0$，不能表示为一个非负整数线性组合这些参数？更一般地说，恰好具有$s$这种表示的最大整数$g_s$是多少？我们说明了一个家庭的参数，Tripathi，其广义Frobenius数$g_0, \ g_1, \ g_2, ...$表现出不自然的跳跃，即$g_0, \ g_1, \ g_k, \ g_{\binom{k+1}{k-1}}, \ g_{\binom{k+2}{k-1}}, ...$形成一个等差数列，任何整数大于$g_{\binom{k+j}{k-1}}$至少有$\binom{k+j+1}{k-}$表示。在此过程中，我们引入了一个广义Frobenius数的变化，并证明了它的一些基本结果。
The Frobenius problem for shifted square sequences
本文解决了以4的倍数开头的移位平方序列的Frobenius问题，即找到不属于该数值半群的最大整数。
On the Frobenius Problem for Some Generalized Fibonacci Subsequences -- I
本文研究广义斐波那契子序列构成的集合的 Frobenius 数与亏格，针对任意起始项及奇数或等于2的间隔参数，给出计算方法。
Some experimental results on the Frobenius problem
研究Frobenius问题：给定互素正整数$a_1,...,a_d$，求t（Frobenius数）的最大值，使得$\sum_{k=1}^d m_k a_k = t$在非负整数$m_1,...,m_d$中无解.基于经验数据，我们猜想，除某些特殊情况外，Frobenius数可以由$\sqrt{a_1 a_2 a_3}^{5/4} - a_1 - a_2 - a_3$从上有界.
The Frobenius problem for Generalized Thabit numerical semigroups
不属于$S$的最大整数是$S$的弗罗贝纽斯数，用$F(S)$表示。解决Frobenius问题意味着寻找$F(S)$的研究。Frobenius问题已经稳定地处理了很长一段时间。本文引入了广义Thabit数值半群的Frobenius问题，它是由Thabit数值半群的Frobenius问题所引起的.
The Frobenius number for shifted geometric sequences associated with the number of solutions
本文给出了移位几何序列$\{a b^n-c\}_n$的$p$-Frobenius数的闭式公式，涵盖几何、Thabit和Mersenne序列及其变体，解决了$p>0$时广义Frobenius数公式缺失的问题。
On a conjecture of Wilf about the Frobenius number
给定互质正整数$a_1 < ...< a_d$，Frobenius数$F$是不能表示为$a_i$的非负整数组合的最大整数.令$g$表示所有不可表示的正整数的个数：Wilf证明了$d \geq \frac{F+1}{F+1-g}$。我们证明，对于每一个固定值的$\lceil \frac{a_1}{d} \rceil$的猜想成立的所有值的$a_1$是足够大的，是不是整除由一个有限的素数集。我们还提出了一个推广的上下文中的一维局部环和一个问题的平等$d = \frac{F+1}{F+1-g}$。
The Frobenius problem for four numerical semigroups
不属于数值半群$S$的最大整数称为$S$的Frobenius数，找到Frobenius数称为Frobenius问题。本文引入了由Thabit数基b生成的数值半群的Frobenius问题和由Thabit数半群的Frobenius问题所激发的第二类基b的Thabit数.同时，我们还介绍了由Cunningham数和费马数基$b$生成的数值半群的Frobenius问题
The Frobenius problem, rational polytopes, and Fourier-Dedekind Sums
本文研究了有理多胞形$P = (x_1,...,x_n) \in \R_{\geq 0}^n : \sum_{k=1}^n x_k a_k \leq 1$的整数扩张中的格点数，其中$a_1,...,a_n$为正整数.这个多面体与弗罗贝纽斯的线性丢番图问题密切相关：给定互素正整数$a_1,...,a_n$，找到t（弗罗贝纽斯数）的最大值，使得$m_1 a_1 + ... + m_n a_n = t$在正整数$m_1,...,m_n$中没有解。这等同于找到最大扩张tP使得小平面$\sum_{k=1}^n x_k a_k = t$不包含晶格点的问题。本文给出了计算P的Ehrhart拟多项式的两种方法，即计算扩张多胞形及其内部的整数点。在计算中，出现了类似戴德金的有限傅立叶和。我们得到了这些款项的倒易律，推广了Gessel定理。作为我们的公式的推论，我们重新推导Zagier的高维Dedekind和的互易定律。最后，我们找到了Fourier-Dedekind和的界，并利用它们给出了Frobenius数的新界。
Frobenius problem and the covering radius of a lattice
令$N \geq2$和$1 < a_1 < ... < a_N$是互素整数。该$N$元组的Frobenius数被定义为不能表示为$\sum_{i=1}^N a_i x_i$的最大正整数，其中$x_1,...,x_N$是非负整数。$gcd(a_1,...,a_N)=1$表示该数存在的条件。在给定$N$和$a_1,...,a_N$的情况下，确定Frobenius数的一般问题是NP困难的，但是不同的作者对Frobenius数给出了许多不同的界限。我们使用的技术，从数的几何数字，以产生一个新的界限，有关Frobenius数的覆盖半径的零格的$N$元组。我们的界限是特别有趣的情况下，当这个格有相等的连续极小值，这，正如我们证明，发生无限频繁。
On the limit distribution of Frobenius numbers
具有正互质系数的整数向量a的Frobenius数g（a）被定义为不具有作为a的系数的非负整数线性组合的表示的最大整数。根据Marklof最近的一个结果，如果a在扩展的d维区域D中是随机的，那么g（a）（适当地重新标度）具有极限分布。在本文中，我们证明了这个极限分布的（代数）尾部行为的渐近公式。我们还证明了Frobenius数大的概率的相应上界关于区域D的扩张因子一致成立。最后，我们证明了，对于大的d，极限分布几乎所有的质量集中在一个相当短的时间间隔。所涉及的技术证明来自数的几何，特别是我们使用施密特的结果分布的子格Z^m，和界限罗杰斯和施密特的格覆盖空间的凸体。
A characterization of the Frobenius problem and its application to arithmetic progressions
在Frobenius问题中，我们给出了一组互质的正整数$a_1, a_2,...,a_k$，并且对没有用非负整数$x_1, x_2,...,x_k$的线性型$\sum_i a_ix_i$表示的正数NR的集合感兴趣。我们给出了一个函数关系，完全特征的集合NR，并将其应用到的情况下，当数字是在一个等差数列。
The polynomial part of a restricted partition function related to the Frobenius problem
给定一组正整数A = {a_1，.，a_n}，研究了方程组的非负整数解（m_1，.，m_n）到m_1a_1 + ... m_n a_n = t.我们导出了p_A的多项式部分的一个显式公式。
Formulas for the Generalized Frobenius Number of Triangular Numbers
本文研究数论中的广义Frobenius数问题，推导得出三个连续三角数的广义Frobenius数的通用公式，并完成了Komatsu猜想的证明。
2-Variable Frobenius Problem in Z[\sqrt M]
假设m是一个正整数，而不是一个完满平方。本文给出了Z[ \sqrt m]中“第一类”二元Frobenius问题的一个公式解（[3]）.
Sylvester power and weighted sums on the Frobenius set in arithmetic progression
令$a_1,a_2,\dots,a_k$是正整数，其中$\gcd(a_1,a_2,\dots,a_k)=1$。Frobenius数是不能用$a_1,a_2,\dots,a_k$表示的最大正整数。当$k\ge 3$时，一般没有显式公式，但对于特殊序列$a_1,a_2,\dots,a_k$，可能存在一些公式，包括形成等差数列及其修改的公式。本文给出了不可表示的正整数的幂和加权和的计算公式。作为应用，我们显示了明确的表达式，这些总和$a_1,a_2,\dots,a_k$形成等差数列。
Refined upper bounds for the linear Diophantine problem of Frobenius
我们研究Frobenius问题：给定互素正整数a_1，.，a_d，找到t的最大值（Frobenius数g（a_1，...，a_d）），使得m_1a_1 +. m_d a_d = t在非负整数m_1，.，m_d。我们介绍了一种方法来计算g（a_1，a_2，a_3）的上界，它的增长速度似乎比以前已知的界慢得多.我们的计算是基于一个公式的限制分拆函数，其中涉及Dedekind-Rademacher总和，和这些总和的互易定律。
$p$-adic vanishing cycles as Frobenius-fixed points
给定混合特征拟完美域的整数环上的光滑形式概形，利用de Rham-Witt复形和$q$ -de Rham复形研究了它的$p$ -adic消失环.
Generalization of a Result of Sylvester Regarding the Frobenius Coin Problem and an Elementary Proof of Eisenstein's Lemma for Jacobi Symbols
在最近的工作中，作者推广了Gauss关于二次互易的一个基本结果，并证明了Gauss的上述结果等价于Sylvester关于Frobenius硬币问题的一个著名结果的一个特例.在本文中，我们使用这种等价性来证明高斯结果的上述推广自然导致西尔维斯特结果的有趣推广。精确地说，对于给定的互质正整数$a$和$b$，以及$k$在区间$0 \leq k < (a-1)(b-1)$中的一族值，我们求出非负整数$\leq k$的个数，对于非负整数$x$和$y$，这些非负整数可以表示为$ax+by$。我们还给出了一个初等证明的爱森斯坦引理的雅可比符号使用地板功能和。我们的证明提供了一个自然的简单推广的高斯-爱森斯坦证明的法律的二次互易雅可比符号。
On the determination of $p$-Frobenius and related numbers using the $p$-Apéry set
本文利用p-Apéry集给出p-Frobenius数及相关值的显式公式，并推广加权和公式，从而系统化地求解广义Frobenius问题。
Frobenius numbers associated with Diophantine triples of $x^2+y^2=z^r$ (extended version)
本研究推导了与丢番图方程$x^2+y^2=z^r$相关三元组的$p$-Frobenius数显式公式，明确了其定义，补充了$r=2$时该数已有结论的背景，拓展了相关数论问题的研究结果。
Sylvester sums on the Frobenius set in arithmetic progression with initial gaps
本文针对具有初始间隙的等差数列，给出了不可表示正整数之和（Sylvester和）、Frobenius数及不可表示正整数个数的显式公式。
The Square Frobenius Number
设$S=\left\langle s_1,\ldots,s_n\right\rangle$是由互质正整数$s_1,\ldots,s_n$生成的数值半群.令$k\geqslant 2$为整数。本文考虑$S$的Frobenius数的下列$k$ -幂变式定义为$${}^{k\!}r\!\left(S\right):= \text{ the largest } k \text{-power integer not belonging to } S.$$。给出了由{ \em算术级数}生成的无限半群族$S_A$的${}^{2\!}r\!\left(S_A\right)$的一个上界.在某些条件下，后者是${}^{2\!}r\!\left(\left\langle s_1,s_2\right\rangle\right)$的精确值。当$d=3,4$和$5$时，给出了${}^{2\!}r\!\left(\left\langle s_1,s_1+d \right\rangle\right)$的精确公式，研究了${}^{2\!}r\!\left(\left\langle s_1,s_1+1 \right\rangle\right)$和${}^{2\!}r\!\left(\left\langle s_1,s_1+2 \right\rangle\right)$，并给出了两个相应的公式。最后讨论了相关问题。
Frobenius difference equations and algebraic independence of zeta values in positive equal characteristic
类似于正整数上的黎曼ζ函数，对于每个特征p固定的有限域F_p^r，我们考虑正整数n上的Carlitz zeta值zeta_r（n）。我们的定理断言在{zeta_r（1），zeta_r（2），zeta_r（3），. | r = 1，2，3，...}，所有的代数关系都是在每个单独的族{zeta_r（1），zeta_r（2），zeta_r（3），.}内的那些代数关系。这些是来自Euler-Carlitz关系和Frobenius关系的代数关系。为了证明这一点，提出了一种从Frobenius差分方程组中提取代数独立性结果的方法。
Positive semigroups and generalized Frobenius numbers over totally real number fields
Frobenius问题及其许多推广在数学的许多领域都得到了广泛的研究。我们研究半群的全正代数整数在全实数域，定义类似的Frobenius数在这种情况下。我们使用的几何框架最近推出的阿利耶夫，德Loera和Louveaux产生上界这些Frobenius数在一定的高度函数。我们讨论了这个函数的一些性质，将它与绝对Weil高度联系起来，并得到了满足某些特殊条件的代数向量的Lehmer猜想的一个下界。我们还使用Borosh和Treybig的结果，以获得在这样的正半群的全实代数整数的表示的大小和有界高度的元素的数量的界限。
The generalized Frobenius problem via restricted partition functions
本文利用受限分拆函数的水平集与拟多项式渐近结构，研究广义 Frobenius 数及可表示整数计数，给出大 $k$ 时的公式、完整渐近性并恢复若干特例结果。
Sufficient conditions for solvability of linear Diophantine equations, and Frobenius numbers
本文研究了线性丢番图方程可解性的充分条件，并提出了新的递推方法来计算弗罗贝尼乌斯数。
Frobenius Numbers and Automatic Sequences
具有$\gcd 1$的非负整数集合$S$的Frobenius数$g(S)$是不能表示为$S$的元素的线性组合的最大整数。给定序列${\bf s} = (s_i)_{i \geq 0}$，我们可以定义相关序列$G_{\bf s} (i) = g(\{ s_i,s_{i+1},\ldots \})$。在本文中，我们计算$G_{\bf s} (i)$的一些经典的自动序列：邪恶的号码，可憎的号码，和上下Wythoff序列。与通常的方法相比，我们的证明主要是基于自动机理论和逻辑。
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