Edge universality of separable covariance matrices
本文证明了$\mathcal Q :=A^{1/2}XBX^*A^{1/2}$形式的可分协方差阵的最大特征值的边普适性。这里$X=(x_{ij})$是具有$x_{ij}=N^{-1/2}q_{ij}$的$n\times N$随机矩阵，其中$q_{ij}$是具有零均值和单位方差的$i.i.d.$随机变量，并且$A$和$B$分别是$n \times n$和$N\times N$确定性非负定对称（或厄米特）矩阵。我们考虑高维情形，即${n}/{N}\to d \in (0, \infty)$为$N\to \infty$。假设$\mathbb E q_{ij}^3=0$和$A$和$B$的一些温和条件，我们证明了只要我们有$\lim_{s \rightarrow \infty}s^4 \mathbb{P}(\vert q_{ij} \vert \geq s)=0$，$\mathcal Q$的最大特征值的极限分布与相应的高斯系综（即$X$是$i.i.d.$高斯矩阵的$\mathcal Q$）的极限分布一致，这是边缘普适性的一个锐矩条件.如果我们采用$B=I$，则$\mathcal Q$成为正态样本协方差矩阵，并且在没有消失的三阶矩条件的情况下，边缘普适性成立。到目前为止，这是具有相关数据（即非对角$A$）和重尾的样本协方差阵的最强边缘普适性结果，它改进了\cite{BPZ1,LS}（假设高矩和…
2019-11-06 math.PR
Phase transition of the largest eigenvalue for non-null complex sample covariance matrices
当样本个数和每个样本中的变量数都变大时，我们计算复高斯样本协方差阵的最大特征值的极限分布。当协方差矩阵的所有特征值都相同时，样本协方差阵的最大特征值的极限分布对协方差阵的那些显著的$r$特征值的依赖性完全由一个无穷序列的新分布函数来表征，该分布函数推广了随机矩阵理论的Tracy-Widom分布。特别是观察到相变现象。我们的结果也适用于最后一个通道渗流模型和排队模型。
2004-10-21 math.PR
Random matrices: Universality of local eigenvalue statistics up to the edge
这是我们早先关于维格纳随机矩阵特征值的普适性的论文的继续。本文的主要新结果是在该文件中的结果从大部分的频谱的边缘的延伸。特别是，我们证明了一个变体的普遍性结果的Soshnikov的最大特征值，假设矩条件，而不是对称条件。主要的新技术观察是，在频谱边缘附近的柯西交织定律中存在显著的偏差，这允许人们继续确保本征向量的离域。
2010-01-11 math.PR
Eigenvectors of Sample Covariance Matrices: Universality of global fluctuations
本文证明了由样本协方差矩阵的特征向量定义的二元随机过程收敛的一个普适性结果。令$V_n=(v_{ij})_{i \leq n,\, j\leq m}$为$n\times m$随机矩阵，其中$(n/m)\to y > 0$为$ n \to \infty$，并令$X_n=(1/m) V_n V^{*}_n $为与$V_n \:$相关联的样本协方差矩阵。考虑由$ U_n D_n U_n^{*}$给出的$X_n$的谱分解，其中$U_n=(u_{ij})_{n\times n}$是$X_n$的特征矩阵。证明了在一定的矩条件下，二元随机过程$<B_{s,t}^{n} = \underset{1\leq j \leq \lfloor nt \rfloor}{\sum_{1\leq i \leq \lfloor ns \rfloor}} <|u_{i,j}|^2 - \frac{1}{n}> >_{(s,t)\in[0,1]^2} $按分布收敛于二元布朗桥。这种类型的结果已经证明了Wishart矩阵（LOE/LUE）和Wigner矩阵。这支持了样本协方差矩阵的特征矩阵以某种方式“渐近Haar分布”的直觉。我们的分析密切关注的Benaych-Georges的维格纳矩阵，本身的启发Silverstein作品的样本协方差阵的特征向量。
2013-06-18 math.PR
The Edge Universality of Correlated Matrices
我们考虑一个高斯随机矩阵的相关项目，有一个幂律衰减的顺序$d>2$和极端特征值的普遍性证明。局部法律证明使用自洽方程结合矩阵的分解。这种局部的规律以及边缘周围特征值的集中，使我们能够得到极端特征值的界。利用Dyson-布朗运动的一个新结果，证明了极值特征值的普适性.
2018-01-22 math.PR
On eigenvalue distributions of large auto-covariance matrices
本文建立了一类自协方差阵特征值的极限分布。对于这些自协方差阵的正则化版本，在文献中也发现了相同的分布。原始的非正则化自协方差阵是不可逆的，这给通过Girko的Hermitization方案研究其特征值带来了额外的困难。本文的关键结果是一个新的多项式下界的预解矩阵的最小奇异值的秩亏损二次函数的随机矩阵的独立和相同的分布元素。本文的另一个改进是自协方差阵的滞后可以随着矩阵维数的增加而无穷大。
2021-03-22 math.PR
Eigenvalue variance bounds for covariance matrices
本文研究了随机协方差阵的个体特征值的方差的有限值域。在前一篇论文中，作者建立了Wigner矩阵的类似结果，并陈述了协方差阵的结果。本文证明了它们。依赖于LUE的例子，这需要首先进行调查，主要的边界扩展到复杂的协方差阵的陶，Vu和王四矩定理和最近的本地化结果由Pillai和尹。实协方差阵的情况下得到的隔行公式。
2013-09-24 math.PR
On the universality of the distribution of the generalized eigenvalues of a pencil of Hankel random matrices
在复离散平稳过程的随机变量的每一个有限集都服从多元球面分布的假设下，证明了在求解该过程的指数插值问题时，随机Hankel矩阵束的广义本征值分布的普适性.导出了广义本征值的凝聚密度的整表示。这个函数的渐近行为只依赖于平稳性，而不依赖于过程的特定分布。
2012-09-28 math.PR
Universality in Complex Wishart ensembles: The 2 cut case
研究了协方差阵具有两个不同特征值的Wishart系综的普适性。我们研究了当两个特征值的个数趋于无穷大时的渐近极限，得到了普适性结果。在这种情况下，极限本征值分布可以支持1或2个不相交的区间。得到了极限分布在2个不相交区间上的参数的充要条件，并计算了极限上的特征值密度。进一步，利用Riemann-Hilbert分析，我们证明了在特征值的适当重标度下，极限相关核分别由谱块和谱边缘的正弦核和艾里核给出.因此，该模型中最大特征值的行为由Tracy-Widom分布描述。
2008-09-26 math.PR
Universality of sample covariance matrices: CLT of the smoothed empirical spectral distribution
建立了样本协方差阵的光滑经验谱分布的中心极限定理。此外，还发展了Marcenko和Pastur定律的光滑分位数的CLT。
2011-11-23 math.PR math.ST stat.TH
On the Central Limit Theorem for the Eigenvalue Counting Function of Wigner and Covariance matrices
本文给出了Wigner矩阵特征值计数函数的若干中心极限定理，其形式是Gustavsson和O 'Rourke关于Gauss矩阵特征值在循环律中的极限行为的结果的适当翻译.然后，由陶和Vu四矩定理将定理推广到大的Wigner矩阵族。对于协方差阵也得到了类似的结果。
2011-02-17 math.PR
Eigenvalue variance bounds for Wigner and covariance random matrices
这项工作是关注有限的范围内的个别特征值的维格纳随机矩阵的方差，在批量和边缘的频谱，以及一些中间特征值。依赖于GUE的例子，这需要首先进行调查，主要的界限扩展到家庭的厄米特维格纳矩阵的陶和Vu四矩定理和最近的本地化结果埃尔德什，丘和尹。实维格纳矩阵的情况下，得到从隔行公式。作为应用，给出了经验谱测度与谱律之间的2-Wasserstein距离的界.对于随机协方差阵也有类似的结果。
2012-07-05 math.PR
A universality result for the smallest eigenvalues of certain sample covariance matrices
经过适当的尺度变换和一些技术假设下，样本协方差矩阵的最小特征值的纵横比有界远离1收敛到Tracy-Widom分布。这补充了最大特征值的结果，由于Soshnikov和Peche。
2009-06-20 math-ph math.MP math.PR
Universality in Complex Wishart ensembles: The 1 cut case
研究了协方差阵具有两个不同特征值且每个特征值的个数在渐近极限下趋于无穷大的Wishart系综的普适性。在这种情况下，极限本征值分布可以支持1或2个不相交的区间。在我们以前的工作的情况下，当支持由2个区间进行了研究。本文补充了我们以前的分析，并研究的情况下，支持由一个单一的区间。利用Riemann-Hilbert分析，我们证明了在特征值的适当重标度下，极限相关核分别由谱块和谱边缘的正弦核和艾里核给出.因此，该模型中最大特征值的行为由Tracy-Widom分布描述。
2008-12-15 math.PR
Central limit theorem for mesoscopic eigenvalue statistics of deformed Wigner matrices and sample covariance matrices
我们考虑$N$由$N$变形的Wigner随机矩阵的形式$X_N=H_N+A_N$，其中$H_N$是一个真正的对称或复杂的Hermitian Wigner矩阵和$A_N$是一个确定性的实有界对角矩阵。我们证明了一个通用的中心极限定理的线性本征值统计的$X_N$的所有介观尺度都在光谱体积和在正规的边缘，其中的全球特征值密度为零的平方根。该方法依赖于[47]中的特征函数方法，[3，46，51]中$X_N$的格林函数的局部定律和自由加法卷积的分析从属性质[24，41]。对于高维样本协方差阵，我们也证明了类似的结果。
2020-09-18 math.PR
Asymptotic Joint Distribution of Extreme Eigenvalues of the Sample Covariance Matrix in the Spiked Population Model
在本文中，我们考虑一个数据矩阵$X\in\mathbb{C}^{N\times M}$，其中所有的列是i.i.d.样本是平均值为零和协方差为$Σ\in\mathbb{C}^{N\times N}$的$N$维复高斯。这里的总体矩阵$Σ$是单位矩阵的有限秩扰动。这是Johnstone在\cite{21}中首次提出的“峰值种群模型”。作为$M, N\to\infty$而不是$M/N = γ\in(1, \infty)$，本文首先建立了样本协方差阵$S:= XX^*/M$的最小特征值的渐近分布。它还表现出\cite{1}提出的相变现象--局域涨落将是本文定义的广义Tracy-Widom或广义Gauss。证明了最大和最小特征值作为$M, N\to\infty$是渐近独立的。
2012-07-18 math.PR
Central limit theorems for eigenvalues of deformations of Wigner matrices
本文解释了变形维格纳模型的最大本征值的涨落与微扰矩阵的本征向量的依赖关系。我们展示了相当普遍的情况，这些情况将引起波动的普适性或非普适性。
2011-09-15 math.PR
Universality for eigenvalue algorithms on sample covariance matrices
Courant Institute of Mathematical Sciences, New York University（纽约大学库朗数学科学研究所）；Department of Mathematics, University of California, Irvine（加州大学欧文分校数学系）
研究随机正定样本协方差矩阵上幂/逆幂方法和QR特征值算法的迭代次数，证明其收敛性及计算极值特征值的复杂度估计。
2017-01-07 cs.NA math.NA math.PR
Large deviations for the largest eigenvalue of generalized sample covariance matrices
我们建立了广义样本协方差矩阵的最大特征值的大偏差原理，广义样本协方差矩阵是指与$Z^T ΓZ$成比例的矩阵，其中$Z$具有i.i.d.实数或复数项，并且$Γ$不一定是恒等式。当$Z$是高斯和$Γ$是正定的经典情况下，我们治疗，但我们也涵盖了两个正交扩展：要么条目的$Z$，而不是尖锐的亚高斯，一类包括Rademacher和均匀分布，我们发现相同的速率函数的高斯模型;或$Γ$可以有负的特征值，如果$Z$仍然是高斯。后一种情况证实了物理学文献中的Maillard公式。我们还将我们的技术应用于变形的维格纳矩阵的最大特征值，实数或复数，在那里我们将以前的大偏差估计升级为完整的大偏差原则。最后，我们删除了一些技术假设，目前在以前的相关工作。
2023-02-06 math.PR
Universality for the conjugate gradient and MINRES algorithms on sample covariance matrices
给出了求解线性系的两种Krylov子空间方法的概率分析。我们证明了一个中心极限定理的范数的残差向量的共轭梯度和MINRES算法时，适用于广泛的一类样本协方差阵满足一些标准的时刻条件。证明涉及建立一个四矩定理的所谓的谱测度，这意味着，特别是，普遍性的矩阵所产生的Lanczos迭代。中心极限定理则意味着一个几乎确定的迭代计数的迭代法的问题。
2020-07-01 cs.NA math.NA math.PR
Central limit theorem for eigenvalue statistics of sample covariance matrix with random population
考虑样本协方差阵$$Σ^{1/2}XX^TΣ^{1/2}$$，其中$X$是具有独立元素的$M\times N$随机矩阵，$Σ$是$M\times M$对角矩阵。已知如果$Σ$是确定性的，则$$\sum_if(λ_i)$$的波动在分布上收敛于高斯分布。这里$\{λ_i\}$是$Σ^{1/2}XX^TΣ^{1/2}$的特征值，$f$是一个足够好的测试函数。在本文中，我们考虑的情况下，$Σ$是随机的，并表明$$\frac{1}{\sqrt N}\sum_if(λ_i)$$的波动收敛于分布的高斯分布。这种现象意味着$Σ$的随机性降低了$\{λ_i\}$之间的相关性。
2023-02-24 math.PR
On Universality of Smoothed Eigenvalue Density of Large Random Matrices
我们描述了严格研究埃尔米特矩阵谱的介观区域的预解式方法。我们给出了反映大型随机矩阵特征值分布的光滑密度的普遍行为的结果
1999-05-20 math.PR math.SP
On asymptotic expansion and CLT of linear eigenvalue statistics for sample covariance matrices when $N/M\rightarrow0$
本文研究了重正化实样本协方差矩阵$H=X^TX/\sqrt{MN}-\sqrt{M/N}$，其中$N/M\rightarrow0$为$N, M\rightarrow \infty$.我们总是假设$M=M(N)$。这里的$X=[X_{jk}]_{M\times N}$是一个$M\times N$实随机矩阵，其元素是独立同分布的，我们假设$\mathbb{E}|X_{11}|^{5+δ}<\infty$有一些小的正$δ$。考虑了Stieltjes变换$m_N(z)=N^{-1}Tr(H-z)^{-1}$和$H$的线性特征值统计。本文主要研究$\mathbb{E}\{m_N(z)\}$的渐近展开。然后，对某些精细的检验函数，建立了$H$的线性特征值统计量的中心极限定理。我们表明，方差的限制正态分布符合一个真正的维格纳矩阵的高斯条目的情况下。
2011-11-15 math.PR
No eigenvalues outside the limiting support of the spectral distribution of general sample covariance matrices
本文研究了一般总体下样本协方差阵的谱性质。考虑一类矩阵的形式$\mathbf S_n=\frac1n\mathbf B_n\mathbf X_n\mathbf X_n^*\mathbf B_n^*$，其中$\mathbf B_n$是一个$p\times m$非随机矩阵和$\mathbf X_n$是一个$m\times n$矩阵组成的i.i.d标准复杂的项目。$p/n\to c\in (0,\infty)$为$n\to \infty$，而$m$可以是任意的。我们证明了，在一些温和的假设下，概率为1，将有没有特征值在任何封闭的区间包含在一个开放的区间以外的极限分布$F_{c_n,H_n}$的支持，所有足够大的$n$。同时也得到了白音定律的一个推广。
2018-01-10 math.PR
On the convergence of the extremal eigenvalues of empirical covariance matrices with dependence
考虑具有单位协方差阵的中心随机向量的样本。我们证明了在一定的正则性假设下，当维数和样本量都趋于无穷大时，经验协方差阵的最小和最大特征值收敛到Marchenko-Pastur分布的左右边缘.这些假设与正交投影范数的尾部有关。它们涵盖了各向同性对数凹随机向量以及独立同分布的随机向量。几乎是最优的力矩条件。该方法是一个完善的秩一更新方法使用的Srivastava和Vershynin产生非渐近定量估计。换句话说，我们提供了一个新的证明白和尹定理使用的基本工具，从概率论和线性代数，连同这个定理的一个新的扩展到随机矩阵的依赖项。
2015-09-08 math.PR
The eigenvalues of the sample covariance matrix of a multivariate heavy-tailed stochastic volatility model
考虑了一个多变量重尾随机波动率模型，分析了其样本协方差阵的大样本行为。我们研究了它的条目在无限方差的情况下的极限行为，并得出结果的有序特征值和相应的特征向量。从本质上讲，我们考虑两种不同的情况下，尾部行为要么源于i.i.d.。创新的过程或从其挥发序列。在这两种情况下，我们利用一个大偏差技术，定期变化的时间序列，以获得多元$α$ -稳定的极限分布的样本协方差阵。虽然我们表明，在重尾创新的情况下的限制行为类似于完全独立的观察，我们还得出，在重尾波动率序列的情况下，可能的限制行为是更多样化的，即允许依赖性的限制分布，这是由潜在的波动率序列的结构。
2016-05-09 math.PR
Asymptotic Normality of the Largest Eigenvalue for Noncentral Sample Covariance Matrices
本文研究非中心样本协方差矩阵最大特征值的渐近分布，利用von Mises迭代法证明其渐近正态性，并给出期望与方差的精确表达式。
2024-10-22 math.PR
Local Correlation and Gap Statistics under Dyson Brownian Motion for Covariance Matrices
本文是作者本科毕业论文的第三章。本文研究了Dyson布朗运动下线性化协方差阵的局部整体统计量的收敛性。我们考虑确定性的初始数据$V$近似Dyson布朗运动的线性协方差阵的Wigner流。利用Wigner流的普适性结果，我们推导出线性化协方差阵的普适性。我们推导出了双正则二部图和诚实协方差阵的平均体相关函数的体普适性。我们还推出了线性化协方差阵的Dyson布朗运动的弱水平排斥估计。
2017-04-29 math.PR math.ST stat.TH
Universality for the Toda algorithm to compute the largest eigenvalue of a random matrix
研究Toda算法计算随机矩阵最大特征值时停机时间波动的普遍性，利用随机矩阵谱统计结果证明其鲁棒性。
2017-02-02 cs.NA math.NA math.PR
Quantitative Universality for the Largest Eigenvalue of Sample Covariance Matrices
证明了不可积样本协方差阵的最大特征值的波动收敛到Tracy-Widom分布的第一个显式速度。我们的主要重点是矩阵类型$ X^*X $和证明如下的Erdös-Schlein-Yau动力学方法。我们使用最近的方法来分析戴森布朗运动从[5]，以获得定量的误差估计的局部弛豫流的边缘。再加上定量版本的格林函数比较定理，这给出了收敛速率。结合Lee-Schnelli [26]的结果，对于一般对角总体$ Σ$的更一般的可分样本协方差阵$ X^* ΣX $，一些定量估计也成立。
2019-12-11 math.PR math.ST stat.TH
Universality results for largest eigenvalues of some sample covariance matrix ensembles
对于具有亚高斯尾的iid元的样本协方差阵，当样本个数和变量个数都变大且比值趋于1时，这是A. Soshnikov证明了最大特征值的极限分布与高斯样本的极限分布相同.在本文中，我们将这个结果推广到两种情况。第一种情况是当比率接近任意有限值时。第二种情况是当比率变为无穷大或任意小时。
2007-06-21 math.PR math.ST stat.TH
Limit theorems for linear eigenvalue statistics of overlapping matrices
本文证明了重叠Wigner阵和样本协方差阵的线性特征值统计量的几个极限定理。通过选择第一类切比雪夫多项式作为检验函数空间的基，证明了极限多元高斯分布的协方差对角化.对于足够高次的切比雪夫多项式，线性统计量的协方差只依赖于矩阵元素的前两个矩。证明是基于一个图形理论解释的切比雪夫线性统计的总和非回溯循环路径
2015-11-07 math.PR
Spectral Universality for Matrices with Non-Linear Correlated Entries
本文针对元素为独立同分布随机场非线性函数的矩阵，在指数衰减条件下建立了其谱与高斯矩阵及自由模型的非渐近谱比较，并给出了非交换Khintchine型界，适用于因果线性过程、Volterra过程和神经网络等场景。
2026-10-01 math.PR
Moment approach for singular values distribution of a large auto-covariance matrix
设$(\varepsilon_{t})_{t>0}$是$p$ -维独立实随机向量序列，$X_T= \sum_{t=s+1}^{s+T}\varepsilon_t\varepsilon^T_{t-s}/T$是$\varepsilon_t$的滞后$s$（$s$是一个固定的正整数）自协方差阵.由于$X_T$是不对称的，我们考虑它的奇异值，这是$X_TX^T_T$的特征值的平方根。因此，本文的目的是从两个方面研究$X_TX^T_T$特征值的极限行为。首先，我们证明了它的特征值的经验谱分布收敛到一个非随机极限$F$。其次，我们建立了它的最大特征值到$F$右边缘的收敛性。这两个结果都是使用矩量法得出的。
2014-10-14 math.PR
The largest eigenvalues of sample covariance matrices for a spiked population: diagonal case
我们考虑大复杂的随机样本协方差矩阵获得的“尖峰人口”，即当真正的协方差矩阵是对角的，但许多特征值等于一。我们研究了当总体和样本容量都变大时最大特征值的极限行为。在样本分布的矩满足一定条件的情况下，证明了最大特征值的渐近涨落与具有相同真协方差的复高斯样本的渐近涨落相同。也考虑了真实的设置。
2008-12-12 math-ph math.MP math.PR
Universality of covariance matrices
本文证明了$H_{N\times N}={X}^{\dagger}X$形式的协方差阵的普适性，其中$X$是具有独立实值元素的${M\times N}$矩形矩阵，$x_{ij}$满足$\mathbb{E}x_{ij}=0$和$\mathbb{E}x^2_{ij}={\frac{1}{M}}$，$N$，$M\to \infty$ .此外，假设这些条目具有次指数尾或足够高的矩数。我们将研究$N/M=d_N\in(0,\infty),\lim_{N\to\infty}d_N\neq0,\infty$方案的渐近性。我们的主要结果是边缘的普遍性的样本协方差矩阵在两个边缘的频谱。在$\lim_{N\to\infty}d_N=1$的情况下，我们只关注最大的特征值。我们的证明是基于一个新版本的格林函数比较定理的数据矩阵与相关的条目。在途中证明边缘的普遍性，我们建立的Stieltjes变换的经验本征值分布的$H$是由Marcenko-Pastur法律一致的边缘的频谱与错误的顺序$(Nη)^{-1}$其中$η$是虚部的频谱参数在Stieltjes变换。结合这些结果与现有的技术，我们还显示了批量的协方差阵的普遍性。我们的所有结果都适用于实值和复值项。
2014-04-28 math.PR math.ST stat.TH
Asymptotic Joint Distribution of Extreme Sample Eigenvalues and Eigenvectors in the Spiked Population Model
在本文中，我们考虑一个数据矩阵$X_N\in\mathbb{R}^{N\times p}$，其中所有的行是i.i. d。$\mathbb{R}^p$中的样本的均值零和协方差矩阵$Σ\in\mathbb{R}^{p\times p}$。这里的总体矩阵$Σ$是单位矩阵的有限秩扰动。这就是约翰斯通首先提出的“尖峰种群模型”。作为$N, p\to\infty$而不是$N/p \to γ\in(1, \infty)$，对于样本协方差阵$S_N := X_NX_N^T/N$，我们建立了最大和最小少数特征值包的联合分布。在每个包内，它们的行为将与从相应大小的高斯矩阵中提取的特征值相同。在不同的包中，我们还计算高斯矩阵项之间的协方差。作为推论，如果数据矩阵的所有行都是高斯的，那么这些包将是渐进独立的。同时，得到了样本特征向量的渐近性质。它们的局部波动也是高斯的，协方差是明确计算的。
2013-05-03 math.PR
On the overestimation of the largest eigenvalue of a covariance matrix
本文用一种新的方法证明了正态分布向量的样本协方差阵的最大特征值在维数为无穷大时以概率1大于真最大特征值。我们证明了一个类似的结果的最小特征值。
2017-08-11 math.PR math.ST q-fin.MF
Edge rigidity and universality of random regular graphs of intermediate degree
对于随机$d$ -正则图，在$N$顶点上的局部特征值分布具有$1 \ll d \ll N^{2/3}$，我们给出了关于Kesten-McKay定律的局部特征值分布的$d^{-1/2}$展开式，直到$d^{-3}$阶.该结果直到谱的边缘都是有效的。这意味着这类随机正则图的特征值比平均度相同的Erdens-Rényi图的特征值更刚性。作为第一个应用程序，$1 \ll d \ll N^{2/3}$，我们表明，所有的非平凡的邻接矩阵的特征值是有界的绝对值$(2 + o(1)) \sqrt{d - 1}$的概率非常高。作为第二个应用，对于$N^{2/9} \ll d \ll N^{1/3}$，我们证明了极值特征值集中在尺度$N^{-2/3}$上，并且它们的波动受Tracy-Widom统计量的支配。因此，在同一制度的$d$，$52\%$的所有$d$ -正则图有第二大特征值严格小于$2 \sqrt{d - 1}$。
2020-06-11 math.PR
Extreme Eigenvalues of Large Dimensional Quaternion Sample Covariance Matrix
本文研究了四元数样本协方差阵的最大和最小特征值的几乎必然极限。假设$\mathbf X_n$是一个$p\times n$矩阵，其元素是均值为零、方差为1且四阶矩一致有界的独立四元数变量。表示为$\mathbf S_n=\frac{1}{n}\mathbf X_n\mathbf X_n^*$。在本文中，我们将证明$s_{\max}\left(\mathbf S_n\right)=s_{p}\left(\mathbf S_n\right)\to\left(1+\sqrt y\right)^2, a.s.$和$s_{\min}\left(\mathbf S_n\right)\to\left(1-\sqrt y\right)^2,a.s.$作为$n\to\infty$，其中$y=\lim p/n$，$s_1\left(\mathbf S_n\right)\le\cdots\le s_{p}\left(\mathbf S_n\right)$是$\mathbf{S}_n$的特征值，当$p>n$时是$s_{\min}\left(\mathbf S_n\right)=s_{p-n+1}\left(\mathbf S_n\right)$，当$p\le n$时是$s_{\min}\left(\mathbf S_n\right)=s_1\left(\mathbf S_n\right)$。证明了当$\ma…
2013-12-17 math.PR
Universality and the circular law for sparse random matrices
普适性现象是指独立同分布随机矩阵的特征值的分布。零均值、单位方差项不依赖于随机项的基础结构。例如，一个随机符号矩阵的特征值图，其中每个元素是+1或-1的概率相等，看起来与一个随机矩阵的特征值图相同，其中每个元素是具有零均值和单位方差的复高斯。本文证明了稀疏随机n × n矩阵的一个普适性结果，其中每个元素以概率$1/n^{1-α}$为非零，其中$0<α\le1$为任意常数.稀疏普适性原理的一个结果是，只要元素具有零均值和单位方差，循环定律就适用于稀疏随机矩阵，这是迄今为止稀疏随机矩阵的最一般结果。
2012-10-10 math.PR
Relative perturbation bounds with applications to empirical covariance operators
本文的目标是建立相对扰动界，经验协方差算子量身定制。我们的主要结果是经验特征值和谱投影的扩展，导致浓度不等式和极限定理。其中一个关键成分是一个特定的分离措施的人口特征值，我们称之为相对排名，从而产生了一个尖锐的不变原理方面的极限定理，浓度不等式和不一致的结果。我们的框架是非常通用的，只需要$p > 4$时刻，并允许各种各样的依赖结构。
2022-03-01 math.PR
Local Law and Outlier Eigenvalues of Spiked Separable Covariance Matrices
Qiuzhen College, Tsinghua University（清华大学邱氏书院）；Department of Probability and Statistics, School of Mathematical Sciences, Peking University（北京大学数学科学学院概率统计系）
本文针对加核可分离协方差矩阵的预解式证明局部律，无需先前必要的三阶矩为零假设，并将其应用于推导加核可分离协方差矩阵离群特征值的渐近分布，扩展了相关已有结果。
2026-09-01 math.PR
Local law and Tracy-Widom limit for sparse sample covariance matrices
研究了二分Erdens-Rényi图模型中包含双邻接矩阵的稀疏样本协方差阵的谱性质。我们证明了一个本地法律的特征值密度的上谱边缘。在适当的稀疏性条件下，我们还证明了由GOE Tracy-Widom定律给出的重标度，移位极值特征值的极限分布与谱边缘的确定性移位的明确公式。对于具有两个大小相当的顶点集$M$和$N$的Erdens-Rényi图的双邻接矩阵，当连接概率$p$远大于$N^{-2/3}$时，这建立了第二大特征值的Tracy-Widom波动，具有确定性的阶移位$(Np)^{-1}$。
2018-08-03 math.PR
Eigenvalues of Large Sample Covariance Matrices of Spiked Population Models
考虑了Johnstone提出的一类尖峰种群模型，其种群特征值除少数固定特征值外均为单位。问题是当样本量和总体规模都变大时，样本特征值如何依赖于非单位总体特征值。本文完全确定了一般样本的几乎必然极限。
2004-08-12 math.PR math.ST stat.TH
Local universality for real roots of random trigonometric polynomials
考虑一个随机三角多项式$X_n: \mathbb R \to \mathbb R$，其形式为$$ X_n(t) = \sum_{k=1}^n \left( ξ_k \sin (kt) + η_k \cos (kt)\right), $$，其中$(ξ_1,η_1),(ξ_2,η_2),\ldots$是具有零均值和单位协方差矩阵的独立同分布二元实随机向量。设$(s_n)_{n\in\mathbb N}$为任意实数序列。我们证明了作为$n\to\infty$，$X_n$在区间$[s_n+a/n, s_n+ b/n]$中的实零点个数在分布上收敛于具有相关函数$(\sin t)/t$的平稳零均值高斯过程在区间$[a,b]$中的零点个数.我们还建立了类似的本地普遍性结果为中心的随机向量$(ξ_k,η_k)$具有任意协方差矩阵或属于域的吸引力的二维$α$稳定的法律。
2016-05-14 math.PR
Limit distributions of sample covariance matrices are compound free Poisson
我们表明，经验分布的样本协方差阵的特征值的某些随机向量（不一定是独立的条目）与有界的边缘$L^{4}$规范弱收敛到一个复合自由泊松分布。
2015-10-31 math.PR
Fluctuations for linear eigenvalue statistics of sample covariance matrices
本文证明了样本协方差阵$\widetilde{W}$及其子阵$W$的线性特征值统计量之差的中心极限定理。我们发现，这种差异的波动是远远小于那些个人的线性统计，作为一个后果之间的强相关性的特征值的$\widetilde{W}$和$W$。我们的结果确定了Dumitru和Paquette最近的论文中的近似高斯场的空间导数的波动。与Wigner矩阵的类似结果不同，对于样本协方差阵，波动可能完全消失。
2021-11-22 math-ph math.MP math.PR
Random covariance matrices: Universality of local statistics of eigenvalues
UCLA（加州大学洛杉矶分校）；Rutgers University（罗格斯大学）
本文研究大矩阵协方差矩阵的特征值局部统计性质，提出适用于独立同分布协方差矩阵的四 moment 定理，证明了在弱条件下特征值局部统计的普适性。
2026-06-30 math.PR math.SP
CLT for linear eigenvalue statistics for a tensor product version of sample covariance matrices
对于$k,m,n\in \mathbb{N}$，我们考虑形式为$$ \mathcal{M}_{n,m,k}(\mathbf{y})=\sum_{α=1}^mτ_α{Y_α}Y_α^T,\quad Y_α=\mathbf{y}_α^{(1)}\otimes...\otimes\mathbf{y}_α^{(k)}, $$的$n^k\times n^k$随机矩阵，其中$τ_{α}$、$α\in[m]$是实数，$\mathbf{y}_α^{(j)}$、$α\in[m]$、$j\in[k]$是i.i.d.归一化各向同性随机向量$\mathbf{y}\in \mathbb{R}^n$的拷贝。对于每个固定的$k\ge 1$，如果$\{τ_{α}\}_α$的归一化计数测度弱收敛为$m,n\rightarrow \infty$，$m/n^k\rightarrow c\in \lbrack 0,\infty )$，并且$\mathbf{y}$是定义1.1意义下的好向量，则$\mathcal{M}_{n,m,k}(\mathbf{y})$的特征值的归一化计数测度概率弱收敛到[15]中找到的非随机极限。对于$k=2$，我们定义了一个好向量$\mathbf{y}$的子类，对于该子类，中心线性特征值统计量$n^{-1/2}\text{Tr} \,φ(\mathcal{M}_{n,m,2}(\mathbf{y}…
2017-01-26 math.PR
Eigenvalue distribution of the Hadamard product of sample covariance matrices in a quadratic regime
本文研究两个独立 i.i.d. 样本协方差矩阵的 Hadamard 乘积，证明在 $n/(dp)$ 与 $p/d$ 均收敛的二次维度区域内，其经验谱分布收敛到形状参数为 $γ$ 的 Marchenko–Pastur 分布。
2025-02-17 math.PR
Universality of extremal eigenvalues of large random matrices
University of Rome Tor Vergata（罗马托尔维加塔大学）；IST Austria（奥地利科学与技术学院）；AMSS, CAS（中国科学院数学与系统科学研究院）
该研究证明了大随机矩阵的极值特征值遵循 Gumbel 分布，并建立了首个关于极值谱统计量的普遍性结果。
2026-02-13 math-ph math.MP math.PR
Joint CLT for top eigenvalues of sample covariance matrices of separable high dimensional long memory processes
对于$N,n\in\mathbb N$，考虑来自数据集$X=C_N^{1/2}ZT_n^{1/2}$的样本协方差矩阵$$S_N(T)=\frac{1}{N}XX^*$$，其中$Z=(Z_{i,j})$是具有i.i.d.平均值为零且方差为1的项和$C_N, T_n$分别是维数为$N$和$n$的确定性半正定厄米特矩阵。我们假设$(C_N)_N$是有界的谱范数，$T_n$是一个Toeplitz矩阵，其最大特征值发散到无穷大。矩阵$X$可以看作是具有可分离依赖结构的$N$维长记忆平稳过程的数据集。作为$N,n\to \infty$和$Nn^{-1} \to r\in (0,\infty)$，我们建立了$(λ_1(S_N(T)),\cdots, λ_m(S_N(T))^\top$的渐近性和联合CLT，其中$λ_j(S_N(T))$表示$S_N(T)$的第$j$个最大特征值，$m$是一个固定的整数。对于CLT，我们首先研究$Z$的条目是高斯的情况，然后我们将结果推广到一些更一般的情况。该结果基本上扩展了Merlevède等人2019年的先前结果，其中我们在$m=1$和$X=ZT_n^{1/2}$以及$Z$具有高斯项的情况下研究了$λ_1(S_N(T))$。为了建立这个CLT，我们被引导来研究一些确定性Toeplitz矩阵的最大特征值和相关特征向量的一阶渐近性。我们特别感兴趣的是长记忆平稳过程的…
2020-05-30 math.PR
Bulk universality for complex eigenvalues of real non-symmetric random matrices with i.i.d. entries
本文研究了具有独立同分布实元素的非 Hermitian 矩阵系综，证明其在远离实轴的体中的 $k$ 点相关函数收敛于一个 universal 极限。
2024-04-26 math-ph math.MP math.PR
