大矩阵的协方差矩阵：局部特征值统计的普适性
Random covariance matrices: Universality of local statistics of eigenvalues
AI总结：
本文研究大矩阵协方差矩阵的特征值局部统计性质，提出适用于独立同分布协方差矩阵的四 moment 定理，证明了在弱条件下特征值局部统计的普适性。
摘要：
我们研究了大矩阵 M=M_{n,p}=(ζ_{ij})_{1≤i≤p;1≤j≤n} 的协方差矩阵 1/n M^*M 的特征值，其中 M 的 entries 是均值为零、方差为一且具有有限 C_0 阶矩的独立同分布随机变量。本文的主要结果是为独立同分布协方差矩阵建立了一个四 moment 定理（类似于作者在[Acta Math. (2011) 随机矩阵：局部特征值统计的普适性]中为威格纳矩阵建立的四 moment 定理）。我们可以利用该定理结合已有结果，在弱条件下证明特征值局部统计的普适性。作为论证的副产品，我们还扩展了之前关于随机埃尔米特矩阵的研究结果，将 entries 的条件从指数衰减扩展到具有有限 C_0 阶矩。
英文摘要：
We study the eigenvalues of the covariance matrix $\frac{1}{n}M^*M$ of a large rectangular matrix $M=M_{n,p}=(ζ_{ij})_{1\leq i\leq p;1\leq j\leq n}$ whose entries are i.i.d. random variables of mean zero, variance one, and having finite $C_0$th moment for some sufficiently large constant $C_0$. The main result of this paper is a Four Moment theorem for i.i.d. covariance matrices (analogous to the Four Moment theorem for Wigner matrices established by the authors in [Acta Math. (2011) Random matrices: Universality of local eigenvalue statistics] (see also [Comm. Math. Phys. 298 (2010) 549--572])). We can use this theorem together with existing results to establish universality of local statistics of eigenvalues under mild conditions. As a byproduct of our arguments, we also extend our previous results on random Hermitian matrices to the case in which the entries have finite $C_0$th moment rather than exponential decay.
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