Random covariance matrices: Universality of local statistics of eigenvalues up to the edge
研究了协方差阵$\frac{1}{n}M^* M$的特征值统计量的普适性，其中$M$是满足条件$\bf{C1}$的大$p\times n$矩阵.特别是，作为一个应用程序，我们证明了一个变种的最小奇异值的$M_{p,n}$的普遍性结果。本文是对\cite{tvcovariance}中从频谱大部分到边缘的结果的扩展。
2011-04-26 math.PR
Tracy--Widom limit for the largest eigenvalue of a large class of complex sample covariance matrices
我们考虑了某些样本协方差阵的最大特征值在相应的数据矩阵的两个维度都趋于无穷大的渐近区域中的渐近波动行为。更准确地说，令$X$是一个$n\times p$矩阵，并且令它的行是i.i.d.。均值为0和协方差为$Σ_p$的复正态向量。我们发现，对于一个大类的协方差阵$Σ_p$，$X^*X$的最大特征值是渐近分布（重新定中心和重新缩放后）的Tracy-Widom分布，出现在高斯酉系综的研究。我们给出了明确的公式的中心和缩放序列，很容易实现，只涉及人口协方差谱分布，$n$和$p$。主要定理适用于应用中发现的一些协方差模型。例如，行为良好的Toeplitz矩阵协方差阵，其谱分布是原子的总和（在某些条件下，原子的质量）是该定理可以处理的模型之一。将定理推广到我们的模型的某些尖峰版本，以及a.s.给出了最大特征值的一些结果。我们还讨论了一个简单的推论，该推论不需要数据矩阵项的正态性，以及多元统计应用的一些后果。
2007-07-26 math.PR math.ST stat.TH
Tracy-Widom Distribution for the Largest Eigenvalue of Real Sample Covariance Matrices with General Population
我们考虑样本协方差阵的形式$\mathcal{Q}=(Σ^{1/2}X)(Σ^{1/2} X)^*$，其中的样本$X$是一个$M\times N$随机矩阵，其条目是真正的独立随机变量方差$1/N$和$Σ$是一个$M\times M$正定确定性矩阵。分析了当$M$和$N$都趋于无穷大时，$\mathcal{Q}$的最大重标特征值的渐近涨落，并给出了$N/M\to d\in(0,\infty)$ .对于亚临界区的一类大的总体$Σ$，我们证明了$\mathcal{Q}$的最大重标本征值的分布是由1型Tracy-Widom分布给出的，并且附加了以下假设：（1）$X$的元素是独立同分布的;高斯或（2）$Σ$是对角的，并且$X$的项具有次指数衰减。
2015-06-09 math.PR math.ST stat.TH
The universality principle for spectral distributions of sample covariance matrices
本文导出了样本协方差阵的经验谱分布及其斯蒂尔切斯变换的普适性原理。这一原则规定如下。假设$R^p$中随机向量的二次型$y_p$满足弱大数定律，并且样本量以与$p$相同的速率增长。然后，相应的样本协方差阵的极限谱分布与条件高斯$y_p$的情况相同。这个结果推广到了$m$依赖的鞅差序列和$m$依赖的线性过程.
2014-12-22 math.PR
Universality in the bulk of the spectrum for complex sample covariance matrices
我们考虑复样本协方差阵$M_N=\frac{1}{N}YY^*$，其中$Y$是具有i.i.d.的$N \times p$随机矩阵。条目$Y_{ij}, 1\leq i\leq N, 1\leq j \leq p$与分发$F$。在$F$的某些正则性和衰减性假设下，证明了某些局部特征值统计量在大部分谱中的普适性，其中$N\to \infty$和$\lim_{N \to \infty}p/N =γ$对任意实数$γ\in (0, \infty)$ .
2011-01-04 math.PR
A universality result for the smallest eigenvalues of certain sample covariance matrices
经过适当的尺度变换和一些技术假设下，样本协方差矩阵的最小特征值的纵横比有界远离1收敛到Tracy-Widom分布。这补充了最大特征值的结果，由于Soshnikov和Peche。
2009-06-20 math-ph math.MP math.PR
Asymptotic Distributions of Largest Pearson Correlation Coefficients under Dependent Structures
本文研究 Toeplitz 依赖结构下样本相关矩阵最大非对角元的渐近分布，揭示自回归参数导致的 Gumbel 型相变，并推广至一般超高维与非高斯情形及协方差检验。
2023-04-25 math.PR math.ST stat.TH
Universality for eigenvalue algorithms on sample covariance matrices
Courant Institute of Mathematical Sciences, New York University（纽约大学库朗数学科学研究所）；Department of Mathematics, University of California, Irvine（加州大学欧文分校数学系）
研究随机正定样本协方差矩阵上幂/逆幂方法和QR特征值算法的迭代次数，证明其收敛性及计算极值特征值的复杂度估计。
2017-01-07 cs.NA math.NA math.PR
Universality for the conjugate gradient and MINRES algorithms on sample covariance matrices
给出了求解线性系的两种Krylov子空间方法的概率分析。我们证明了一个中心极限定理的范数的残差向量的共轭梯度和MINRES算法时，适用于广泛的一类样本协方差阵满足一些标准的时刻条件。证明涉及建立一个四矩定理的所谓的谱测度，这意味着，特别是，普遍性的矩阵所产生的Lanczos迭代。中心极限定理则意味着一个几乎确定的迭代计数的迭代法的问题。
2020-07-01 cs.NA math.NA math.PR
Limit Theory for the largest eigenvalues of sample covariance matrices with heavy-tails
研究了基于大$p\times n$矩阵$X$的$p\times p$样本协方差矩阵$XX^\T$的最大特征值的联合极限分布. $X$的行由线性过程$X_{it}=\sum_j c_j Z_{i,t-j}$的独立副本给出，该过程具有带尾部索引$α\in(0,4)$的规则变化噪声$(Z_{it})$。证明了基于$XX^\T$特征值的点过程以适当的速度收敛于强度测度依赖于$α$和$\sum c_j^2$的Poisson分布点过程，收敛于$n\to\infty$和$p\to\infty$.这一结果被扩展到随机系数模型的线性过程$(X_{it})$的系数由$c_j(θ_i)$给出，对于一些遍历序列$(θ_i)$，因此在每一行的$X$不同。作为我们的技术的一个副产品，我们得到了相应的结果的证明，在$p/n$为零或无穷大和$α\in(0,2)$的情况下，矩阵与iid条目。
2012-10-29 math.PR math.ST stat.TH
Universality for the Toda algorithm to compute the largest eigenvalue of a random matrix
研究Toda算法计算随机矩阵最大特征值时停机时间波动的普遍性，利用随机矩阵谱统计结果证明其鲁棒性。
2017-02-02 cs.NA math.NA math.PR
Local Laws and Edge Universality for Noncentral Sample Covariance Matrices
Northeast Normal University（东北师范大学）
本文研究非中心样本协方差矩阵，在不要求可交换性下证明最优尺度局部定律、特征值刚性、离域性及边缘普适性，通过矩阵Dyson方程的稳定性分析实现。
2026-09-15 math.PR math.ST stat.TH
Universality for the largest eigenvalue of sample covariance matrices with general population
本文主要研究一类具有$\mathcal{W}_N=Σ^{1/2}XX^*Σ^{1/2}$形式的高维实或复样本协方差阵的最大特征值的普适性。这里，$X=(x_{ij})_{M,N}$是具有独立条目$x_{ij},1\leq i\leq M,1\leq j\leq N$的$M\times N$随机矩阵，使得$\mathbb{E}x_{ij}=0$，$\mathbb{E}|x_{ij}|^2=1/N$。在维度上，我们假设$M=M(N)$和$N/M\rightarrow d\in(0,\infty)$为$N\rightarrow\infty$。对于一类一般的确定正定$M\times M$矩阵$Σ$，在对$x_{ij}$的分布作一些附加假设的情况下，利用[Probab. Theory Related Fields 154（2012）341-407，Adv.Math.229（2012）1435-1515]，由Erdens，Yau和Yin针对维格纳矩阵，并由Pillai和Yin [Ann. Appl. Probab. 24（2014）935-1001]中描述的方法，以在空值情况下对样本协方差阵进行采样（$Σ=I$）。因此，在标准的复杂情况下（$\mathbb{E}x_{ij}^2=0$），结合这种普适性和已知的结果高斯矩阵获得的El Karoui在[Ann. Probab. 35（2007）66…
2015-03-05 math.PR math.ST stat.TH
A necessary and sufficient condition for edge universality at the largest singular values of covariance matrices
本文证明了一般总体下样本协方差阵的边普适性的一个充要条件。我们考虑样本协方差阵的形式$\mathcal Q = TX(TX)^{*}$，其中样本$X$是一个$M_2\times N$随机矩阵与$i.i.d.$项目的均值为零和方差$N^{-1}$，和$T$是一个$M_1 \times M_2$确定性矩阵满足$T^* T$是对角线。利用$\lim_{N \to \infty} {N}/{M}=d \in (0, \infty)$研究了当$M:=\min\{M_1,M_2\}$和$N$趋于无穷大时$\mathcal Q$的最大特征值的渐近行为.在$T$的适当假设下，证明了Tracy-Widom定律对$\mathcal Q$的最大特征值成立的充要条件是$\lim_{s \rightarrow \infty}s^4 \mathbb{P}(| \sqrt{N} x_{ij}| \geq s)=0$ .这个条件首先由Lee和Yin针对Wigner矩阵提出。
2017-01-17 math.PR
Edge universality of separable covariance matrices
本文证明了$\mathcal Q :=A^{1/2}XBX^*A^{1/2}$形式的可分协方差阵的最大特征值的边普适性。这里$X=(x_{ij})$是具有$x_{ij}=N^{-1/2}q_{ij}$的$n\times N$随机矩阵，其中$q_{ij}$是具有零均值和单位方差的$i.i.d.$随机变量，并且$A$和$B$分别是$n \times n$和$N\times N$确定性非负定对称（或厄米特）矩阵。我们考虑高维情形，即${n}/{N}\to d \in (0, \infty)$为$N\to \infty$。假设$\mathbb E q_{ij}^3=0$和$A$和$B$的一些温和条件，我们证明了只要我们有$\lim_{s \rightarrow \infty}s^4 \mathbb{P}(\vert q_{ij} \vert \geq s)=0$，$\mathcal Q$的最大特征值的极限分布与相应的高斯系综（即$X$是$i.i.d.$高斯矩阵的$\mathcal Q$）的极限分布一致，这是边缘普适性的一个锐矩条件.如果我们采用$B=I$，则$\mathcal Q$成为正态样本协方差矩阵，并且在没有消失的三阶矩条件的情况下，边缘普适性成立。到目前为止，这是具有相关数据（即非对角$A$）和重尾的样本协方差阵的最强边缘普适性结果，它改进了\cite{BPZ1,LS}（假设高矩和…
2019-11-06 math.PR
Phase transition of the largest eigenvalue for non-null complex sample covariance matrices
当样本个数和每个样本中的变量数都变大时，我们计算复高斯样本协方差阵的最大特征值的极限分布。当协方差矩阵的所有特征值都相同时，样本协方差阵的最大特征值的极限分布对协方差阵的那些显著的$r$特征值的依赖性完全由一个无穷序列的新分布函数来表征，该分布函数推广了随机矩阵理论的Tracy-Widom分布。特别是观察到相变现象。我们的结果也适用于最后一个通道渗流模型和排队模型。
2004-10-21 math.PR
Eigenvectors of Sample Covariance Matrices: Universality of global fluctuations
本文证明了由样本协方差矩阵的特征向量定义的二元随机过程收敛的一个普适性结果。令$V_n=(v_{ij})_{i \leq n,\, j\leq m}$为$n\times m$随机矩阵，其中$(n/m)\to y > 0$为$ n \to \infty$，并令$X_n=(1/m) V_n V^{*}_n $为与$V_n \:$相关联的样本协方差矩阵。考虑由$ U_n D_n U_n^{*}$给出的$X_n$的谱分解，其中$U_n=(u_{ij})_{n\times n}$是$X_n$的特征矩阵。证明了在一定的矩条件下，二元随机过程$<B_{s,t}^{n} = \underset{1\leq j \leq \lfloor nt \rfloor}{\sum_{1\leq i \leq \lfloor ns \rfloor}} <|u_{i,j}|^2 - \frac{1}{n}> >_{(s,t)\in[0,1]^2} $按分布收敛于二元布朗桥。这种类型的结果已经证明了Wishart矩阵（LOE/LUE）和Wigner矩阵。这支持了样本协方差矩阵的特征矩阵以某种方式“渐近Haar分布”的直觉。我们的分析密切关注的Benaych-Georges的维格纳矩阵，本身的启发Silverstein作品的样本协方差阵的特征向量。
2013-06-18 math.PR
The largest eigenvalues of sample covariance matrices for a spiked population: diagonal case
我们考虑大复杂的随机样本协方差矩阵获得的“尖峰人口”，即当真正的协方差矩阵是对角的，但许多特征值等于一。我们研究了当总体和样本容量都变大时最大特征值的极限行为。在样本分布的矩满足一定条件的情况下，证明了最大特征值的渐近涨落与具有相同真协方差的复高斯样本的渐近涨落相同。也考虑了真实的设置。
2008-12-12 math-ph math.MP math.PR
Eigenvalues and eigenvectors of heavy-tailed sample covariance matrices with general growth rates: the iid case
本文研究了当$p$和样本量$n$一起收敛到无穷大时，具有iid项的$p$维时间序列样本协方差阵的最大特征值的联合分布收敛性.我们只考虑重尾时间序列，在这个意义上，条目满足一些定期的变化条件，确保他们的四阶矩是无限的。在这种情况下，Soshnikov [31，32]和Auffinger等人[2]证明了样本协方差阵的归一化特征值的点过程向非齐次泊松过程的弱收敛，这反过来意味着最大特征值按分布收敛到Fréchet分布的随机变量。他们在假设$p$和$n$彼此成比例的情况下证明了这些结果。在本文中，我们表明，上述结果仍然有效，如果$p$增长在任何多项式的速度。这些证明与文献[2，31，32]中的证明不同，我们采用了大偏差技术。证明表明，只有样本协方差阵的对角线与最大特征值及其对应的特征向量的渐近行为有关，这些特征值和特征向量接近于标准基向量。我们还讨论了样本自协方差矩阵的结果的扩展。
2016-08-24 math.PR math.ST stat.TH
Extremal eigenvalues of sample covariance matrices with general population
我们考虑$\mathcal{Q}=(Σ^{1/2}X)(Σ^{1/2}X)^*$形式的样本协方差阵的特征值。样本$X$是一个具有实数独立项的$M\times N$矩形随机矩阵，总体协方差矩阵$Σ$是一个独立于$X$的正定对角矩阵。假设$Σ$的极限谱密度在谱的右边缘处呈现凸衰减，在具有$N/M \to d\in(0,\infty)$的极限$M, N \to \infty$中，我们发现一定的阈值$d_+$，使得对于$d>d_+$，$\mathcal{Q}$的极限谱分布在谱的右边缘处也呈现凸衰减。在这种情况下，$\mathcal{Q}$的最大本征值由$Σ$的本征值的顺序统计量确定，并且特别地，$\mathcal{Q}$的最大本征值的极限分布由威布尔分布给出。在$d<d_+$情形下，我们还证明了当$Σ$的元素是独立同分布时，$\caQ$的最大特征值的极限分布是高斯分布.随机变量虽然$Σ$被认为是随机的，但结果也适用于确定性$Σ$，并有一些额外的假设。
2020-09-15 math.PR math.ST stat.TH
Large deviations for the largest eigenvalue of generalized sample covariance matrices
我们建立了广义样本协方差矩阵的最大特征值的大偏差原理，广义样本协方差矩阵是指与$Z^T ΓZ$成比例的矩阵，其中$Z$具有i.i.d.实数或复数项，并且$Γ$不一定是恒等式。当$Z$是高斯和$Γ$是正定的经典情况下，我们治疗，但我们也涵盖了两个正交扩展：要么条目的$Z$，而不是尖锐的亚高斯，一类包括Rademacher和均匀分布，我们发现相同的速率函数的高斯模型;或$Γ$可以有负的特征值，如果$Z$仍然是高斯。后一种情况证实了物理学文献中的Maillard公式。我们还将我们的技术应用于变形的维格纳矩阵的最大特征值，实数或复数，在那里我们将以前的大偏差估计升级为完整的大偏差原则。最后，我们删除了一些技术假设，目前在以前的相关工作。
2023-02-06 math.PR
Random covariance matrices: Universality of local statistics of eigenvalues
UCLA（加州大学洛杉矶分校）；Rutgers University（罗格斯大学）
本文研究大矩阵协方差矩阵的特征值局部统计性质，提出适用于独立同分布协方差矩阵的四 moment 定理，证明了在弱条件下特征值局部统计的普适性。
2026-06-30 math.PR math.SP
Asymptotic Normality of the Largest Eigenvalue for Noncentral Sample Covariance Matrices
本文研究非中心样本协方差矩阵最大特征值的渐近分布，利用von Mises迭代法证明其渐近正态性，并给出期望与方差的精确表达式。
2024-10-22 math.PR
Eigenvalues of sample covariance matrices of non-linear processes with infinite variance
我们研究$k$ -重尾样本协方差阵的形式$\bX\bX^\T$在渐近框架中，其中的数据和样本量的维度趋于无穷大的最大特征值。为此，我们假设$\bX$的行是由一些平稳过程的独立副本与定期变化的边缘指数$α\in(0,2)$满足大偏差和混合条件。我们将这些一般结果应用于随机波动率和Gesthem过程。
2013-09-11 math.PR math.ST stat.TH
A note on universality of the distribution of the largest eigenvalues in certain sample covariance matrices
最近Johansson和Johnstone证明了复（实）Wishart矩阵$ X^* \* X (X^t \*X) $的最大主成分的分布收敛于Tracy-Widom定律，因为$ n, p $（$ X $的维数）以一定的比例$ n/p \to γ>0. $趋向于$ \infty $。首先，我们证明了Wishart矩阵的第一、第二、第三等特征值的联合分布收敛于Tracy-Widom分布。其次，我们解释了如何为Wigner矩阵开发的组合机器允许将Johansson和Johnstone的结果扩展到具有非高斯项的$ X $的情况，提供了$ n-p =O(p^{1/3}) . $。我们还证明了$ λ_{max} \leq (n^{1/2}+p^{1/2})^2 +O(p^{1/2}\*\log(p)) $（a.e.）对于通用$ γ>0.$
2001-06-25 math-ph math.MP math.PR
Gaussian Universality of Perceptrons with Random Labels
International School of Advanced Studies (SISSA)（国际高等研究院（SISSA））；EPFL（洛桑联邦理工学院）；École Normale Supérieure (ENS) - PSL（巴黎高等师范学院（PSL大学成员））；CNRS（法国国家科学研究中心）
本研究证明，在随机标签的感知机模型中，一大类高维输入数据与高斯数据具有相同的最小训练损失，且正则化趋零时损失与协方差无关，理论及实验均验证了该普适性。
2023-03-02 cond-mat.dis-nn cs.LG math.PR
Spectral Universality for Matrices with Non-Linear Correlated Entries
本文针对元素为独立同分布随机场非线性函数的矩阵，在指数衰减条件下建立了其谱与高斯矩阵及自由模型的非渐近谱比较，并给出了非交换Khintchine型界，适用于因果线性过程、Volterra过程和神经网络等场景。
2026-10-01 math.PR
Local universality for real roots of random trigonometric polynomials
考虑一个随机三角多项式$X_n: \mathbb R \to \mathbb R$，其形式为$$ X_n(t) = \sum_{k=1}^n \left( ξ_k \sin (kt) + η_k \cos (kt)\right), $$，其中$(ξ_1,η_1),(ξ_2,η_2),\ldots$是具有零均值和单位协方差矩阵的独立同分布二元实随机向量。设$(s_n)_{n\in\mathbb N}$为任意实数序列。我们证明了作为$n\to\infty$，$X_n$在区间$[s_n+a/n, s_n+ b/n]$中的实零点个数在分布上收敛于具有相关函数$(\sin t)/t$的平稳零均值高斯过程在区间$[a,b]$中的零点个数.我们还建立了类似的本地普遍性结果为中心的随机向量$(ξ_k,η_k)$具有任意协方差矩阵或属于域的吸引力的二维$α$稳定的法律。
2016-05-14 math.PR
Universality and sharp matrix concentration inequalities
该研究提出非渐近矩阵普适性原理，结合高斯理论得到适用于非齐次、元素有依赖的广泛随机矩阵模型的精确浓度不等式，并在多个随机矩阵相关场景中验证应用。
2024-06-25 math.FA math.OA math.PR
Unbounded Largest Eigenvalue of Large Sample Covariance Matrices: Asymptotics, Fluctuations and Applications
给定大样本协方差矩阵$S_N=\frac 1nΓ_N^{1/2}Z_N Z_N^*Γ_N^{1/2}\, ,$，其中$Z_N$是具有i.i.d.中心元素，$Γ_N$是$N\times N$确定性Hermitian半正定矩阵，在$Γ_N$的本征值的经验分布$μ^{Γ_N}$紧（在$N$中）且$λ_{\max}(Γ_N)$趋于$+\infty$的情况下，研究了$S_N$的最大本征值$N,n\to\infty$和$Nn^{-1} \to r\in(0,\infty)$的位置和涨落.当$μ^{Γ_N}$弱收敛于$\mathbb{R}^+$上具有无界支持的概率测度时，特别满足这些条件。我们证明，渐近$λ_{\max}(S_N)\sim λ_{\max}(Γ_N)$。此外，当$Γ_N$是块对角的，并且假设以下{\em谱间隙条件}：$$\limsup_{N\to\infty} \frac{λ_2(Γ_N)}{λ_{\max}(Γ_N)}<1,$$其中$λ_2(Γ_N)$是$Γ_N$的第二大特征值，我们证明了在尺度$\sqrt{n}$下$λ_{\max}(S_N)/λ_{\max}(Γ_N)$的高斯波动。高斯项和$Γ_N$是长记忆高斯平稳过程$({\mathcal X}_t)_{t\in\mathbb{Z}}$的$N\times N$自协方差矩阵，$Γ_N^{1/2} Z_N$的列可以被认为是$n…
2021-01-07 math.PR
Poisson Statistics for the Largest Eigenvalues in Random Matrix Ensemble
本文研究了具有重尾边缘分布的大Wigner、带和样本协方差随机矩阵的谱性质。
2005-04-27 math.PR
Multivariate analysis and Jacobi ensembles: largest eigenvalue, Tracy--Widom limits and rates of convergence
设$A$和$B$是$p$变量中独立的中心Wishart矩阵，具有共同协方差，分别具有$m$和$n$自由度。$(A+B)^{-1}B$最大特征值的分布在多元统计中有着广泛的应用，但很难精确计算。假设$m$和$n$与$p$成比例增长。我们表明，中心和缩放后，分布近似为二阶，$O(p^{-2/3})$，由特雷西-Widom法律。利用随机矩阵理论的方法研究了Jacobi酉系综和正交系综的最大特征值，得到了复数据和实数据的结果。最大零点附近的雅可比多项式的渐近逼近起着核心作用。
2009-01-21 math.PR math.ST stat.TH
On the Eigenstructure of Covariance Matrices with Divergent Spikes
对于Johnstone的尖峰模型的推广，特征值都是1的协方差阵，除了其中的$M$，特征$N$的数量与样本$n: N=N(n), M=M(n), γ^{-1} \leq \frac{N}{n} \leq γ$的数量相当，其中$γ\in (0,\infty),$我们以CLT的形式获得一致性率，用于当$M$比$n: \lim_{n \to \infty}{\frac{\sqrt{\log{n}}}{\log{\frac{n}{M(n)}}}}=0.$增长稍慢时，分离的尖峰趋于无穷快。已经被$o(n^{1/6})$覆盖的尖峰数量，并揭示了在这些CLT中的定中心的一定程度的灵活性，因为它可以是经验的、确定的或两者的总和。此外，我们推导出相应的经验特征向量的一致性率，他们真正的同行，这原来取决于这些特征值的相对增长。
2021-12-14 math.PR math.ST stat.TH
Poisson convergence for the largest eigenvalues of Heavy Tailed Random Matrices
本文研究了重尾实对称和样本协方差阵的最大特征值的统计特性。推广Soshnikov在\cite{Sos1}中得到的结果，证明了在不存在四阶矩的情况下，在极限情况下，上特征值表现为矩阵的最大元素.
2008-05-07 math.PR
The largest eigenvalue of rank one deformation of large Wigner matrices
本文的目的是建立非必要高斯复变形Wigner系综最大本征值涨落的普适性。还考虑了实际模型。我们的方法与A. Soshnikov在古典实或复维格纳系综的调查。它是基于考虑中的随机矩阵的高次幂的迹的矩的计算。
2006-05-23 math.PR
Estimating the covariance of random matrices
本文将Srivastava-Vershynin关于随机向量的协方差阵估计的一个最近结果推广到矩阵设置上。所得结果可以解释为半正定矩阵大数定律的一个量化形式，验证了某些正则性假设。除了给出例子外，我们还讨论了对数凹矩阵的概念，并给出了这类矩阵之和的最小和最大特征值的估计。
2013-12-05 math.PR
Largest eigenvalue of positive mean Gaussian matrices
本文研究正均值相关高斯对称随机矩阵最大特征值的波动，在协方差核绝对可和条件下证明其中心化后依分布收敛于正态分布，推广了独立条目Wigner矩阵的已知结果。
2024-10-17 math.PR
Universality in Complex Wishart ensembles: The 2 cut case
研究了协方差阵具有两个不同特征值的Wishart系综的普适性。我们研究了当两个特征值的个数趋于无穷大时的渐近极限，得到了普适性结果。在这种情况下，极限本征值分布可以支持1或2个不相交的区间。得到了极限分布在2个不相交区间上的参数的充要条件，并计算了极限上的特征值密度。进一步，利用Riemann-Hilbert分析，我们证明了在特征值的适当重标度下，极限相关核分别由谱块和谱边缘的正弦核和艾里核给出.因此，该模型中最大特征值的行为由Tracy-Widom分布描述。
2008-09-26 math.PR
Beyond universality in random matrix theory
为了更好地理解有限个非高斯元随机矩阵，本文研究了随机矩阵局部特征值统计量在谱块和谱硬边的$1/N$展开.这给出了关于在普适性定律中看不到的最小奇异值的有价值的信息。特别是，我们显示的依赖项的四阶矩（或峰度）。这项工作利用了所谓的复高斯可分集成的维格纳和样本协方差阵。
2016-06-27 math.PR
Random matrices: Universality of local eigenvalue statistics up to the edge
这是我们早先关于维格纳随机矩阵特征值的普适性的论文的继续。本文的主要新结果是在该文件中的结果从大部分的频谱的边缘的延伸。特别是，我们证明了一个变体的普遍性结果的Soshnikov的最大特征值，假设矩条件，而不是对称条件。主要的新技术观察是，在频谱边缘附近的柯西交织定律中存在显著的偏差，这允许人们继续确保本征向量的离域。
2010-01-11 math.PR
Central limit theorems for eigenvalues of deformations of Wigner matrices
本文解释了变形维格纳模型的最大本征值的涨落与微扰矩阵的本征向量的依赖关系。我们展示了相当普遍的情况，这些情况将引起波动的普适性或非普适性。
2011-09-15 math.PR
Universality for Random Tensors
我们证明了任意秩D的随机张量的两个普适性结果。我们首先证明了一个随机张量，其条目是N^D独立，同分布，复随机变量的分布收敛在大N极限的高斯张量模型的分布极限相同的限制。这将随机矩阵的普适性推广到随机张量。然后，我们证明了第二个更强的普遍性结果。在较弱的假设下，联合概率分布的张量条目是不变的，假设这个不变分布的累积量是一致有界的，我们证明了在大N限制张量再次收敛于分布的高斯张量模型的分布极限。我们强调，大N高斯的协方差是不普遍的，但强烈依赖于联合分布的细节。
2013-05-06 hep-th math-ph math.MP
Joint CLT for top eigenvalues of sample covariance matrices of separable high dimensional long memory processes
对于$N,n\in\mathbb N$，考虑来自数据集$X=C_N^{1/2}ZT_n^{1/2}$的样本协方差矩阵$$S_N(T)=\frac{1}{N}XX^*$$，其中$Z=(Z_{i,j})$是具有i.i.d.平均值为零且方差为1的项和$C_N, T_n$分别是维数为$N$和$n$的确定性半正定厄米特矩阵。我们假设$(C_N)_N$是有界的谱范数，$T_n$是一个Toeplitz矩阵，其最大特征值发散到无穷大。矩阵$X$可以看作是具有可分离依赖结构的$N$维长记忆平稳过程的数据集。作为$N,n\to \infty$和$Nn^{-1} \to r\in (0,\infty)$，我们建立了$(λ_1(S_N(T)),\cdots, λ_m(S_N(T))^\top$的渐近性和联合CLT，其中$λ_j(S_N(T))$表示$S_N(T)$的第$j$个最大特征值，$m$是一个固定的整数。对于CLT，我们首先研究$Z$的条目是高斯的情况，然后我们将结果推广到一些更一般的情况。该结果基本上扩展了Merlevède等人2019年的先前结果，其中我们在$m=1$和$X=ZT_n^{1/2}$以及$Z$具有高斯项的情况下研究了$λ_1(S_N(T))$。为了建立这个CLT，我们被引导来研究一些确定性Toeplitz矩阵的最大特征值和相关特征向量的一阶渐近性。我们特别感兴趣的是长记忆平稳过程的…
2020-05-30 math.PR
Product of random projections, Jacobi ensembles and universality problems arising from free probability
我们考虑两个独立的随机旋转投影仪的产品。它的径向部分的平方原来是作为一个雅可比系综分布。在与自由概率论相关的大尺度下，我们研究了它的整体和局部性质。我们建立了一点和两点相关函数的渐近性，以及最大和最小特征值的性质。
2004-06-28 math-ph math.MP math.PR
Universality in Complex Wishart ensembles: The 1 cut case
研究了协方差阵具有两个不同特征值且每个特征值的个数在渐近极限下趋于无穷大的Wishart系综的普适性。在这种情况下，极限本征值分布可以支持1或2个不相交的区间。在我们以前的工作的情况下，当支持由2个区间进行了研究。本文补充了我们以前的分析，并研究的情况下，支持由一个单一的区间。利用Riemann-Hilbert分析，我们证明了在特征值的适当重标度下，极限相关核分别由谱块和谱边缘的正弦核和艾里核给出.因此，该模型中最大特征值的行为由Tracy-Widom分布描述。
2008-12-15 math.PR
Extreme value analysis for the sample autocovariance matrices of heavy-tailed multivariate time series
本文给出了p维时间序列的样本协方差阵的最大特征值的渐近理论，其中当样本量n增加时，维数p = p_n收敛到无穷大.我们给出了一个简短的概述，在轻尾和重尾的情况下，数据有有限（无限）的四阶矩，分别在这一主题的文献。我们主要关注的是重尾的情况。在这种情况下，人们有一个理论，在iid的情况下，但也当数据的行和列是线性相关的样本协方差阵的归一化特征值的点过程。我们提供了这些点过程的泊松或集群泊松过程的弱收敛的极限结果。基于这种收敛性，我们还可以推导出有序特征值的各种函数的极限定律，例如有限个最大顺序统计量的联合收敛性、最大特征值与迹的联合极限定律、有序特征值连续比的极限定律等。我们还发展了样本自协方差矩阵及其平方和的奇异值的极限理论。该理论的模拟数据和标准普尔500指数的组成部分说明。
2016-04-26 math.PR math.ST stat.TH
Edgeworth corrections for the spiked eigenvalues of non-Gaussian sample covariance matrices with applications
KLASMOE and School of Mathematics and Statistics, Northeast Normal University（东北师范大学数学与统计学院）
本文为非高斯数据下的单尖刺和多尖刺场景建立了尖刺特征值的一阶 Edgeworth 展开，借此构建更准确的置信区间并估计尖刺数量，在稳健性和准确性上优于现有方法。
2026-09-24 math.PR math.ST stat.ME
Testing the number of common factors by bootstrapped sample covariance matrix in high-dimensional factor models
本文研究了高维因子模型中自助法对样本协方差矩阵特征值分布的影响，利用尖刺与非尖刺特征值的不同渐近行为，提出了检验公共因子数目的创新方法，并证明了其在弱因子和截面相关误差下的可靠性。
2023-11-20 math.PR math.ST stat.ME
Bulk Eigenvalue Correlation Statistics of Random Biregular Bipartite Graphs
本文是作者本科毕业论文的第二章。本文考虑$(d_b, d_w)$ -正则图在$M$黑点和$N$白点上给出的随机矩阵系综，其中$d_b \in [N^γ, N^{2/3 - γ}]$对任何$γ> 0$。我们同时证明了归一化邻接矩阵及其相应的协方差阵的体特征值相关统计量在短时间内是稳定的。结合另一篇文章对Dyson布朗运动的遍历性分析，证明了体特征值相关统计量的普适性，用GOE匹配归一化邻接矩阵，用Gaussian Wishart Enhancement匹配相应的协方差阵.
2018-01-16 math.CO math.PR math.ST
Mean and variance of balanced Pólya urns
本文研究了平衡Pólya urn的均值和方差，通过渐近分析证明其收敛于极限正态分布的均值和方差。
2019-12-17 math.PR
Point process convergence for the off-diagonal entries of sample covariance matrices
研究了iid随机游动序列的点过程收敛性。我们的目标是获得这些随机游动的极端渐近理论。证明了在存在$(2+δ)$阶矩的条件下，最大随机游动收敛于Gumbel分布。我们大量使用精确的大偏差结果的总和iid随机变量。因此，我们得到了非对角元素的样本协方差和相关阵的高维样本的联合收敛，其维数随着样本大小的增加。这推广了已知的最大条目的渐近Gumbel属性的结果。
2020-11-09 math.PR
Local universality of the number of zeros of random trigonometric polynomials with continuous coefficients
令$X_N$是一个随机三角多项式的次数$N$与iid系数，并让$Z_N(I)$表示（随机）的数目，其零点躺在紧凑的间隔$I\subset\mathbb{R}$。最近，一些重要的进展，在理解的渐近行为的$Z_N(I)$为$N\to\infty$，在标准高斯系数的情况下。本文的主要定理是一个普适性结果，即$Z_N(I)$的极限并不真正依赖于$X_N$的系数的精确分布。更确切地说，假设后者是iid与平均零和单位方差，并有一个密度满足一定的条件，我们表明，$Z_N(I)$收敛于分布向$Z(I)$，零的数量内$I$的中心平稳高斯过程允许的基数正弦为协方差函数。
2015-12-17 math.PR
Large deviations of extreme eigenvalues of generalized sample covariance matrices
本文提出了一种计算随机矩阵的最大特征值为无穷大的罕见事件概率的分析方法。其大偏差的右尾）。结果也转移到了左尾最小特征值的大偏差上。该技术改进了过去的方法，不需要明确的法律的特征值，我们将其应用到一个大类的随机矩阵，以前遥不可及。特别是，我们解决了一个开放的问题，与性能的主成分分析高度相关的数据，并打开了道路，分析复杂的推理模型的高维景观。我们使用重要性抽样方法来探测我们的结果，有效地模拟概率小至$10^{-100}$的事件。
2021-02-08 cond-mat.dis-nn cond-mat.stat-mech math.PR
Universality of extremal eigenvalues of large random matrices
University of Rome Tor Vergata（罗马托尔维加塔大学）；IST Austria（奥地利科学与技术学院）；AMSS, CAS（中国科学院数学与系统科学研究院）
该研究证明了大随机矩阵的极值特征值遵循 Gumbel 分布，并建立了首个关于极值谱统计量的普遍性结果。
2026-02-13 math-ph math.MP math.PR
