On the emergence of Zipf's law in music
齐普夫定律是根据单词出现的频率对长文本的词汇进行排名时发现的，建立了频率与排名关系的幂律衰减。这一规律是一个强大的统计特性，即使在古代未翻译的语言中也能观察到。有趣的是，当使用几个度量标准（在书面文本中充当单词）时，这一定律似乎也在音乐唱片中得到了体现。尽管音乐可以被视为一种语言，但在音乐中找到一个准确的词的概念是困难的，因为它缺乏功能语义。这就提出了这样一个问题：在音乐中，哪一个单位是齐普菲单位的适当选择，这一问题在其他可能出现这一定律的背景下也是广泛的。特别是，这仍然是一个悬而未决的问题，在书面文本中，有几个替代品已被提出作为齐普菲单位除了规范使用的话。为了验证齐普夫单位在音乐中的自然选择，在这项工作中，我们发现齐普夫定律出现时，和弦和音符的组合被选为齐普夫单位。我们的研究结果是基于对音乐和文本的统计特性的一致分析，并结合不同参考模型的理论考虑，包括一个简单的模型，该模型受到Lempel-Ziv压缩算法的启发，我们设计了该算法来解释Zipf定律的出现，因为语言演变成更有效的交流形式。
2020-02-14 physics.soc-ph
Zipf's law, 1/f noise, and fractal hierarchy
分形、1/f噪声、齐普夫定律和大灾难事件的发生是跨各个科学的典型的普遍存在的一般经验观察，在特定科学领域内开发的一组参考文献中无法理解。所有这些观察都与标度律有关，并引起了科学界广泛的研究兴趣。然而，这些标度现象之间的内在联系仍然是有待研究的问题。本文通过理论推导和数学实验揭示了分形图案、1/f噪声和Zipf分布之间的相似性。首先，多重分形过程遵循广义齐普夫定律经验。第二，1/f频谱在数学形式上与齐普夫定律相同。第三，1/f谱和Zipf定律都可以转化为自相似的层次结构。第四，分形、1/f谱、齐普夫定律和大灾难事件的发生可以用类似的指数律和幂律来描述。自相似层次结构是一个更一般的框架或结构，可以用来包含或统一物理和社会系统中的不同标度现象和规则，如城市，河流，地震，分形，1/f噪声和秩大小分布。层次结构的数学规律可以为我们提供一个整体的视角来看待复杂性，如自组织临界性（SOC）。
2011-04-23 physics.soc-ph
A theoretical approach for Pareto-Zipf law
我们提出了一种分析方法的帕累托-齐普夫定律，我们假设随机乘性噪声和碎片化过程的增长，每个城市的公民人数和城市的数量，分别。
2008-02-27 physics.soc-ph q-fin.GN
Dynamical toy model of interacting $N$ agents robustly exhibiting Zipf's law
本文构建具有数量依赖相互作用半径的 N 智能体交换模型，证明低密度下数量分布稳健服从 Zipf 定律，并借助图映射揭示其与其他幂律机制的差异。
2024-08-03 physics.soc-ph
Predicted and Verified Deviation from Zipf's Law in Growing Social Networks
齐普夫幂律是在许多自然和社会系统中发现的普遍经验规律。最近发展的一个理论预测，齐普夫定律对应于在随机比例增长、随机出生和死亡过程存在的情况下，根据最大可持续路径增长的系统。我们报告了一个新兴的社会群体网络，其中所需的Zipf定律适用的所有成分是可验证和验证的详细的实证分析。我们估计经验的平均增长$r$和它的标准差$σ$以及死亡率$h$和预测没有可调参数的指数$μ$的幂律分布$P(s)$的组大小$s$。预测值$μ= 0.75 \pm 0.05$与极大似然估计非常一致。根据理论，$P(s)$与齐普夫定律的偏差（即，$μ< 1$）构成了社会领域整体非平稳增长的直接统计定量特征。
2010-07-15 physics.soc-ph
Zipf's law from a Fisher variational-principle
齐普夫的法律是出现作为一个问题的Fisher的条款制定的变分解决方案。一个适当的最小化过程，涉及费舍尔信息和标度不变性产生这个普遍的秩分布。作为一个例子，我们表明，在引用最多的物理学期刊中发现的引文数量遵循这一规律。
2009-08-04 physics.data-an physics.soc-ph
Zipf's Law Leads to Heaps' Law: Analyzing Their Relation in Finite-Size Systems
背景：齐普夫定律和希普斯定律是在不同的复杂系统中观察到的。特别是，这两个法律经常出现在一起。许多理论模型和分析被用来理解它们在实际系统中的共现，但仍然缺乏对它们之间关系的清晰描述。方法/主要结果：我们表明，堆的法律可以被认为是一个衍生现象，如果系统遵守齐普夫定律。此外，我们改进了已知的近似解决方案的堆的指数提供Zipf的指数。我们表明，近似解确实是无限系统的渐近解，而在有限大小的系统的堆的指数是敏感的系统的大小。对数十个不同系统的大量实证分析表明，我们的改进结果可以更好地捕捉Zipf和Heaps指数之间的关系。结论/意义：本文的分析在不借助任何具体的随机模型的情况下，清楚地说明了齐普夫定律和希普斯定律之间的关系，即希普斯定律实际上是齐普夫定律的一种衍生现象。所提出的数值方法给出了相当好的估计堆的指数给定的Zipf的指数和系统的大小。我们的分析为实际复杂系统提供了一些启示和启示，例如，人们可以自然地得到对无标度网络加速增长的更好的解释。
2010-05-11 physics.data-an physics.soc-ph
Zipf's law and maximum sustainable growth
齐普夫定律指出，规模大于S的企业数量与S成反比。大多数解释都是从Gibrat的比例增长规则开始的，但需要额外的限制。我们表明，Gibrat的规则，在所有的企业水平，收益率齐普夫定律之间的有效增长率的平衡条件下，在位企业（其中包括他们可能的死亡）和投资的增长率在进入企业。值得注意的是，齐普夫定律是资源长期优化配置的标志，它确保了经济的最大可持续增长率。
2010-12-01 physics.soc-ph q-fin.ST
Zipf's law and urban scaling: Hypotheses towards a Unified Urban Theory
我们提出的假设描述的经验发现之间的关联指数的城市GDP规模和齐普夫定律的城市。这些假设代表了这两种现象之间的定向或相互因果联系的各种组合，包括城市间和城市内的过程。未来的理论和模型可以根据这些假设来激励和分类。本文旨在激发围绕这些现象背后的过程进行讨论，并为统一的城市理论铺平道路。
2021-07-25 physics.soc-ph
The meaning-frequency law in Zipfian optimization models of communication
Universitat Politècnica de Catalunya（加泰罗尼亚理工大学）
根据齐普夫的意义-频率定律，频率越高的词往往有更多的含义。在这里，它表明，一个线性的依赖关系的频率的形式和其数量的含义被发现在一个家庭的模型的Zipf定律的词频。这是意义-频率定律的弱版本的证据。有趣的是，弱定律（a）不是家族假设的必然属性，（b）至少在那些模型显示出词频Zipf定律的狭窄区域中发现。
2016-10-13 cs.CL physics.data-an physics.soc-ph
Zipf's law, Hierarchical Structure, and Shuffling-Cards Model for Urban Development
提出了一个新的视角来寻找支配复杂系统的简单规则和城市等随机现象背后的规律。城市的等级反映了在自然世界和社会机构中经常观察到的无处不在的结构。如果存在具有级联结构的层级，则存在遵循齐普夫定律的等级-规模分布，反之亦然。该层次结构可以用一组指数函数来描述，这些指数函数在形式上与Horton-Strahler关于河流的定律和Gutenberg-Richter关于地震能量的定律相同。从指数模型，我们可以推导出四个幂律，如齐普夫定律指示分形和标度对称性。对层次结构的研究有助于我们理解复杂系统是如何自组织的。建立洗牌模型，解释齐普夫定律与城市等级的关系。这个模型可以扩展到解释一般的经验幂律分布在个别的物理和社会科学，这是很难理解的具体科学领域。
2011-04-16 physics.soc-ph
Zipf's Law and Avoidance of Excessive Synonymy
齐普夫定律指出，如果语言中的单词在文本中以频率递减的顺序排列，则单词的频率与其排名成反比。这是一个非常强大的实验观察，但到目前为止，它逃脱了令人满意的理论解释。我们认为齐普夫定律可能源于词义扩展和同义词竞争所主导的词义演变。
2007-10-03 cs.CL physics.soc-ph
Zipf's law emerges asymptotically during phase transitions in communicative systems
University of Miami Miller School of Medicine（迈阿密大学米勒医学院）
齐普夫定律预测了语言交流系统中词频和词序之间的幂律关系，并且在文本中被广泛报道，但其起源仍然是个谜。计算机模拟表明，语言交流系统出现在符号和对象之间映射保真度的突然相变。由于相变近似的Heaviside或阶梯函数，我们表明，Zipfian标度出现渐近高阶拉普拉斯变换的基础上。我们从而证明，齐普夫定律逐渐出现的时刻，在通信系统的相变。我们表明，这种幂律标度行为解释了自然语言的出现在相变。我们发现语言交际过程中齐普夫定律的出现表明，在相变阶段，词汇中稀有词的使用对于有效交际系统的构建至关重要。
2016-04-01 cs.CL physics.soc-ph
Reply to "Comment on 'A Scaling law beyond Zipf's law and its relation to Heaps' law'"
在[arXiv：1404.1461]中，Yan和Minnnesian认为[New J. Phys. 15 093033，arXiv：1303.0705]中提出的词频分布的文本长度依赖性的标度律是“根本不正确的”和“根本不可能的”。在本说明中，我们认为这种说法显然是不合理的，标度定律对于绝对频率大于10的情况显然是有效的。此外，我们还证明了Yan和Minnnnel [arXiv：1404.1461]提供的反例非常准确地满足了我们的标度假设，与Yan和Minnel的批评不一致，并支持我们的方法。
2014-05-01 physics.soc-ph
Dynamical approach to Zipf's law
大量不同的物理和社会经济系统的秩大小图通常被认为遵循齐普夫定律，但仍然缺乏一个独特的框架来理解这个无处不在的标度定律。在这里，我们表明，一个动态的方法是至关重要的：在他们的演变过程中，一些系统被吸引到齐普夫定律，而其他人提出齐普夫定律只是暂时的，因此，虚假的。一个真正的齐普菲动力学的特点是一个动力学约束，或相干性，参数之间的生成PDF，以及系统中的元素的数量。这种连贯性的一个明显例子是自然语言。我们的框架使我们能够得到一些定量的结果，远远超出了通常的齐普夫定律：i）地震只能不连贯地发展，从而显示齐普夫定律虚假;这使得一个地理区域发生的地震的最大可能的震级的评估。ii）我们证明Zipfian动力学不是可加性的，分析解释了为什么美国城市的发展是一致的，而世界城市则不是。（3）我们的一致性概念可用于模型选择，例如，Yule-Simon过程可以描述世界各国GDP的动态。iv）世界城市呈现虚假的齐普夫定律，我们使用这个属性来估计城市群的最大人口。
2020-07-13 econ.GN physics.soc-ph q-fin.EC
Theory of Zipf's Law and of General Power Law Distributions with Gibrat's law of Proportional Growth
我们总结了一本书出版与他的标题写的三个目前的作者，对理论的齐普夫定律，更普遍的权力法律，驱动机制的比例增长。预印本可向作者索取。为了清晰、一致和简洁，我们使用企业资产价值这一术语来讨论齐普夫定律有效性的起源和条件。我们使用公司来描述那些规模分布有待解释的实体。然而，应该指出的是，本书中讨论的大多数关系，特别是齐普夫定律和吉尔布拉特定律之间的密切联系，是齐普夫定律在不同科学领域的基础。相同的模型及其变型可以直接应用于任何其他应用领域。
2008-08-13 physics.data-an physics.soc-ph q-fin.GN
Recursive Subdivision of Urban Space and Zipf's law
齐普夫定律可以用来描述一个区域内城市的位序-规模分布。它很少被用于研究城市内部结构。在本文中，我们证明了一个城市的空间填充过程遵循齐普夫定律，并可以与排名大小规则的特点。提出了一个城市空间分解模型来描述城市增长的空间规律。通过空间的递归细分，城市区域可以在几何上划分为二区、四区、八区等，形成一个具有梯级结构的层次结构。如果我们按大小对这些部分进行排序，这些部分将符合Zipf分布。利用GIS技术和遥感数据，将城市空间递归细分模型应用于中国三个城市。结果表明，城市内部的等级结构符合齐普夫定律，等级规模标度指数非常接近于1。本研究的意义在于三个方面。首先，通过对城市空间的严格细分，揭示了城市形态空间秩序的有效途径。其次，揭示了城市空间填充过程与位序-规模规则之间的关系。第三，它提出了一种新的方式来理解分形，齐普夫定律，和城市演变的空间组织。
2012-09-25 physics.soc-ph
Log-log Convexity of Type-Token Growth in Zipf's Systems
传统上认为齐普夫定律意味着系统中不同元素的数量随元素总数的幂律增长-所谓的堆定律。我们证明了Zipf定律的严格定义导致了随机系统中Heaps定律的违反，并得到了不同的增长曲线。这些曲线实现了仅依赖于Zipf指数值的通用数据塌陷。我们观察到，真正的书的行为非常类似于随机系统，尽管存在突发性的单词出现。我们提前解释这一意外的对应关系。
2014-12-15 physics.data-an physics.soc-ph
Empirical Tests of Zipf's law Mechanism In Open Source Linux Distribution
Linux发行版中的开源软件项目的发展提供了一个日益复杂的自组织适应系统的显着例子，展示了整整四十年的齐普夫定律。我们提出了三个测试的随机增长模型，以前已被证明是在Zipf定律的起源通常假设的成分：（i）之间的间接链接的软件包的数量的连续释放观察到的增长服从Gibrat的比例增长定律;（ii）在时间间隔$Δt$上的包的间接链接的数目的平均增长增量与$Δt$成比例，而它的标准偏差与$\sqrt{Δt}$成正比;（iii）Debian Linux发行版的演进版本中出现的新软件包的间接链接数量的分布具有比Zipf定律更细的尾部，随着发行版之间的时间$Δt$增加，指数收敛到Zipf定律值1。
2008-06-30 physics.data-an physics.soc-ph
Snooker Statistics and Zipf's Law
齐普夫定律在语言学中是众所周知的：一个词的出现频率与它的等级成反比。这是更一般的幂律的一个特例，而幂律是许多真实世界统计数据中的一种常见现象。在这里，它表明，斯诺克统计也遵循这样的数学模式，但不同的（估计）参数值。两种类型的排名（奖金收入和世纪得分），和三个时间框架（所有时间，十年和一年）被认为是。结果表明，幂律参数值取决于所使用的排序类型以及所考虑的时间范围。此外，在某些情况下，所得到的参数值随时间显著变化，对此提供了合理的解释。
2022-01-23 physics.soc-ph
The Mathematical Relationship between Zipf's Law and the Hierarchical Scaling Law
城市规模分布的实证研究表明，齐普夫定律和等级标度定律在许多方面是联系在一起的。等级规模缩放和等级缩放似乎是同一枚硬币的两个不同面，但它们之间的关系从未被严格的数学证明所揭示。本文将城市的Zipf分布抽象为一个q序列。在此基础上，定义了一个由多个层次组成的自相似层次结构，不同层次上的城市数量形成一个几何序列。城市的平均规模的指数分布是由层次结构推导出来的。因此，我们有两个指数函数，从下面的分层尺度方程。其结果可以用简单的数学实验和城市观测数据进行统计验证。为Zipf定律向等级标度定律的转换奠定了理论基础，等级标度定律比Zipf定律更能反映城市发展的信息。此外，自相似层次结构为城市网络作为复杂系统的研究提供了一个新的视角。应用于城市的一系列数学规则，如异速生长定律、2^n原理和帕累托定律，可以通过等级组织相互联系。
2016-06-12 physics.soc-ph
What can we see from Investment Simulation based on Generalized (m,2)-Zipf law?
本文回顾了基于广义（m，2）-Zipf定律的投资模拟，给出了金融时间序列中野性的一个有趣的刻画。对每个时间序列的显性策略的研究表明，在较大时间尺度上占优势的长词在较小时间尺度上占优势的短词，反之亦然。此外，表示长期野生性的基础上的持久性在短期趋势和记忆表示的特定长度的单词，我们可以看到野生历史波动的时间序列数据处理Zipf策略。
2005-05-05 physics.soc-ph q-fin.ST
Large-scale analysis of Zipf's law in English texts
尽管齐普夫定律是定量语言学的一个范例，但它存在三个主要问题：它的表述是模糊的，它的有效性没有从统计的角度进行严格的检验，它没有被大量的文本所面对。因此，我们可以将目前Zipf定律在文本中的支持总结为轶事。我们试图解决这些问题，通过研究三个不同版本的齐普夫定律，并适合他们的古腾堡项目数据库（包括30000多个文本）中的所有可用的英文文本。为此，我们在拟合和拟合优度测试中使用了最先进的工具，并根据文本统计的特殊性进行了精心定制。值得注意的是，齐普夫定律的三个版本之一，由一个纯幂律形式的互补累积分布函数的词频，是能够适应超过40%的文本在数据库中（在0.05的显着性水平），为整个域的频率（从1到最大值），只有一个自由参数（指数）。
2015-09-15 physics.soc-ph stat.AP
The origins of Zipf's meaning-frequency law
Universitat Politècnica de Catalunya（加泰罗尼亚理工大学）；University of Kansas（堪萨斯大学）
在他的开创性研究中，G. K.齐普夫观察到，更频繁的单词往往有更多的含义，并表明一个单词的含义数量随着其频率的平方根而增长。他从两个假设推导出这种关系：词遵循齐普夫词频定律（频率和等级之间的幂律依赖关系）和齐普夫意义分布定律（意义数量和等级之间的幂律依赖关系）。在这里，我们表明，一个单一的假设联合概率的一个词和一个意义足以推断齐普夫的意义频率法或放松的版本。有趣的是，这个假设可以被证明是心理探索过程中有偏随机游走的结果。
2017-12-30 cs.CL cs.IT math.IT
Zipf's Law for All the Natural Cities around the World
围绕齐普夫定律关于城市规模的研究的两个基本问题是，这个定律是否成立以及为什么成立。本文不涉及后者的问题，为什么，而是调查是否齐普夫定律在全球范围内成立，从而涉及世界各地的所有城市。与以往的研究不同，这些研究主要依赖于人口等传统的人口普查数据，以及人口普查局对城市的定义，我们采用自然（数据本身说明）划定的城市，或自然城市，更准确地说，为了检验齐普夫定律。我们发现，齐普夫定律在全球范围内对所有自然城市都非常适用，并且在大陆层面上几乎仍然有效，除了非洲在某些时刻。我们进一步研究了国家一级的法律，并注意到Zipf的法律在不同国家或不同时间被违反。这种违反主要是由于我们的局限性;我们仅限于个别国家，或对城市规模分布的静态看法。本文的中心论点是齐普夫定律是普适的，因此我们必须使用正确的范围才能遵守它。第一大国的城市数量是第二大国的两倍，是第三大国的三倍，等等。这些发现对大数据和城市科学有着深远的影响。关键词：夜间影像，城市规模分布，首尾划分规则，首尾间断，大数据
2014-11-03 nlin.AO physics.soc-ph
Stability of Zipf's law and occult spatial dependence effects: A study on the OECD countries
本研究通过空间权重矩阵和SEM/SAR回归，分析OECD国家城市Zipf定律中的空间依赖性，识别上尾分布受空间自相关扰动的现象，并以比利时为例展示方法。
2025-03-31 physics.soc-ph
Beyond Zipf's Law: The Lavalette Rank Function and its Properties
虽然齐普夫定律在自然和社会数据中广泛存在，但人们经常会遇到排名数据的一端或两端偏离幂律函数的情况。以前，我们提出了Beta秩函数，以改善拟合的数据，不遵循一个完美的齐普夫定律。在这里，我们表明，当两个参数的Beta秩函数具有相同的值，Lavalette秩函数，概率密度函数可以解析推导。我们还表明，计算和分析，Lavalette分布是近似相等的，但不相同，对数正态分布。我们说明了Lavalette秩函数在几个数据集上的实用性。本文还讨论了Lavalette拟合函数的统计检验、利用Lavalette函数比较Zipf定律与对数正态分布、对数正态分布与Lavalette分布的比较等三个分析问题。
2016-06-06 physics.data-an physics.soc-ph
Why Does Zipf's Law Break Down in Rank-Size Distribution of Cities?
我们在数据分析的基础上研究了日本城市的等级规模分布。从第二次世界大战后的人口普查数据中，我们发现城市的等级规模分布由两部分组成，每一部分都有独立的幂指数。此外，分布的头部的幂指数随时间变化，齐普夫定律只在有限的时间内成立。我们发现，齐普夫定律打破了由于昭和和平成大合并和恢复由于人口增长的中型城市后，昭和大合并。
2008-08-25 physics.data-an physics.soc-ph
Zipf's law before the monetary economy and written administration: volume distribution of kofun, ancient Japanese burial mounds
Seijo University（成城大学）；The Institute of Statistical Mathematics（统计数理研究所）
本研究分析日本古坟的体积分布，发现其呈齐普夫尾部和对数正态主体，提出Kesten型随机增长模型解释资源集中现象。
2026-08-13 physics.soc-ph
Explanation and exact formula of Zipfs law evaluated from rank-share combinatorics
这项工作证明了排名和份额在统计上是相互依赖的，基于简单的组合。给出了等级份额分布的计算公式，并说明了新分布中各等级的期望值服从齐普夫定律。所有的结论、公式和图表都是根据不同领域的公开统计数据进行检验的。计算值与劳工统计局提供的统计数字之间的相关系数为0.99899。进行了蒙特卡罗模拟作为额外证据。
2017-05-20 physics.soc-ph stat.OT
Exploring the Level of Urbanization Based on Zipf's Scaling Exponent
城市的等级规模分布遵循齐普夫定律，齐普夫标度指数往往趋于常数1。这似乎是一个普遍的规则。然而，最近的数值试验表明，在一个人口大国，齐夫指数1与高城市化水平之间存在着矛盾。本文采用数学建模、计算分析和反证的方法，揭示了城市化水平与Zipf标度指数之间的数值关系。主要调查结果如下。(1)如果齐普夫标度指数等于1，那么一个人口大国的城市化率很难超过50%。(2)如果齐普夫标度指数小于1，人口大国的城市化水平可以超过80%。结果表明，Zipf指数是城市化动力学的控制参数。为了提高人口大国的城市化水平，需要降低齐普夫标度指数。利用异速生长定律解释了Zipf指数的变化，并利用标度变换证明了不同的城市定义对上述分析结论没有本质影响。本研究为研究齐普夫城市规模分布规律和城市化动力学提供了一种新的视角。
2020-11-16 physics.soc-ph
On the class of coding optimality of human languages and the origins of Zipf's law
Quantitative, Mathematical and Computational Linguistics Research Group, Department of Computer Science, Universitat Politècnica de Catalunya, 08034 Barcelona, Catalonia (Spain)（计算机科学系量化、数学和计算语言学研究组，巴塞罗那理工大学，西班牙加泰罗尼亚地区08034）
本研究提出一类新的编码最优性，指出符合Zipf定律的人类语言属该类别，揭示双对数尺度下频率-排名直线的编码偏移机制，为Zipf定律源于压缩的假说提供支撑并给出可检验条件。
2025-09-02 cs.CL physics.soc-ph
Emergence of Zipf's Law in the Evolution of Communication
齐普夫定律似乎在人类语言中无处不在，似乎是复杂通信系统的普遍属性。Zipf提出的早期建议，关于存在的紧张局势之间的努力，扬声器和听话人在通信系统中，我们介绍了进化的变分方法的基础上Kullback的最小歧视的信息原则的问题。因此，使用完全嵌入在信息论的框架中的形式主义，我们证明了齐普夫定律是一个不断发展的，通信系统下的严格定义的通信张力描述的齐普夫的唯一预期的结果。
2011-01-13 cond-mat.stat-mech cs.IT math-ph
Citations and the Zipf-Mandelbrot's law
一个有趣的观察是，科学引文数量的排名统计遵循齐普夫-曼德尔布罗特定律。一些简单的随机引用模型也表现出类似pow-like的行为。观察到的规律性并不表明潜在的（复杂的）过程的特殊性质，但更可能的是，比通常假设的，它的随机性更大。
1999-01-26 cond-mat.stat-mech hep-ph physics.data-an
Zipf law in the popularity distribution of chess openings
我们进行了大量的国际象棋数据库的定量分析，并表明开放移动的频率分布根据幂律与指数，随游戏深度线性增加，而所有开放的重量的汇集分布遵循齐普夫定律与普适指数。我们提出了一个简单的随机过程，能够捕捉到观察到的播放统计数据，并表明Zipf法律产生的自相似性质的博弈树的国际象棋。因此，在分层碎片化的情况下，缩放是真正普遍的，并且独立于特定的生成机制。我们的研究结果是相关的一般过程与复合决策。
2009-11-18 cond-mat.stat-mech physics.data-an physics.soc-ph
Zipf's Law for Atlas Models
Claremont McKenna College（克莱蒙特麦肯纳学院）；Intech Investment Management, LLC（Intech投资管理有限责任公司）
本文研究了阿特拉斯模型和一阶模型如何通过保守性和完整性条件解释齐夫定律的普遍性，揭示了不同排名数据遵循齐夫定律或非齐夫帕累托分布的原因。
2020-06-02 econ.GN physics.soc-ph q-fin.EC
Compression and the origins of Zipf's law for word frequencies
Universitat Politècnica de Catalunya（加泰罗尼亚理工大学）
在这里，我们勾勒出一个新的推导齐普夫定律的词频最佳编码的基础上。推导的结构让人想起了曼德尔布罗特的随机类型模型，但它比随机类型有多个优点：（1）它从现实的认知压力开始（2）它不需要微调参数（3）它揭示了语言的其他统计规律的起源，从而可以导致语言规律的紧凑理论。我们的研究结果表明，齐普夫定律在人类语言中的重现可能源于对简单快速沟通的压力。
2016-07-20 cs.CL physics.data-an physics.soc-ph
Zipf's law and city sizes: A short tutorial review on multiplicative processes in urban growth
我们解决的作用，乘法随机过程建模的幂律城市规模分布的发生。作为对Zipf秩分析结果的解释，本文用数学的初等方法给出了Simon的模型，并对所涉及的假设进行了深入的讨论。重点放在模型的灵活性，其可能的扩展和放宽一些强有力的假设。我们指出了一些开放的问题，关于Zipf的秩图的详细形状的预测，这可能是通过这样的扩展来解决。
2007-04-24 cond-mat.stat-mech physics.data-an physics.soc-ph
Co-occurrence of the Benford-like and Zipf Laws Arising from the Texts Representing Human and Artificial Languages
Ariel University（阿里埃勒大学）
我们证明，大型文本，代表人类（英语，俄语，乌克兰语）和人工（C++，Java）语言，显示定量模式的特点是本福德和Zipf定律。遵循齐普夫定律的单词出现的频率与它的等级成反比，而出现在文本中的某个单词的总数会产生前导数字的不均匀分布。排除最流行的单词本质上提高了实际文本数据与齐普菲分布的相关性，而前导数字（由某个单词的总量产生）的本福德分布对相同的排除过程不敏感。人工语言（C++，Java）的双曲线斜率模量的计算值明显大于人类语言的计算值。
2018-03-06 cs.CL physics.soc-ph stat.OT
The evolution of Zipf's law indicative of city development
齐普夫城市规模分布规律可以用三种数学模型表示：单参数形式、双参数形式和三参数形式。单参数模型和双参数模型之一是城市科学家所熟悉的。然而，三参数模型和另一类双参数模型尚未引起人们的重视。本文探讨了Zipf模型的适用条件和适用范围。通过数学推理和实证分析，有如下新发现。首先，如果一个地理区域中的城市规模分布不能用单参数或双参数模型来描述，那么也许可以用具有尺度因子和尺度平移因子的三参数模型来表征。第二，所有这些Zipf模型可以统一基于级联结构的分级标度律。第三，城市规模的分布模式似乎从三参数模式演变到双参数模式，然后再演变到单参数模式。利用中国城市四年人口普查数据，验证了三参数齐普夫定律和相应的等级规模分布的层次结构。这一研究对于人们认识社会系统的科学规律和城市发展的特性具有启示意义。
2015-04-16 nlin.AO physics.soc-ph
Power-law distributions based on exponential distributions: Latent scaling, spurious Zipf's law, and fractal rabbits
反幂函数和负指数函数之间的差异是显著的。前者表示复杂的分布，而后者表示简单的分布。然而，幂律分布与指数分布之间的联系却很少被研究。利用数学推导和数值实验，我揭示了幂律分布可以通过平均指数分布来创建。对于定义在1维空间中的分布，标度指数为1;而对于定义在2维空间中的分布，标度指数为2。这项研究的结果如下。首先，指数分布暗示了一个隐藏的标度，但标度指数暗示了一个欧几里得维度。第二，特殊的幂律分布可以从指数分布推导出来，但它们与典型的幂律分布不同。第三，它是真正的幂律分布，可以与分形维数。本研究揭示了简单性与复杂性之间的内在联系。在实际应用中，本文的结果也许可以用来区分实幂律和伪幂律（例如，伪Zipf分布）。
2013-09-19 physics.soc-ph
A scaling law beyond Zipf's law and its relation to Heaps' law
词出现的统计特性对文本长度的依赖性一直被认为是定量语言学的一个严重局限。我们提出了一个简单的缩放形式的绝对词频的分布，揭示了这种分布的鲁棒性，随着文本的增长。这样，分布的形状总是相同的，并且它只是一个随文本长度线性增加的尺度参数。通过分析很长的小说，我们表明，这种行为既适用于原始的，unlemmatized文本和lemmatized文本。对于后一种情况，词频分布很好地符合双幂律，保持Zipf的指数值$γ\simeq 2$为大的频率，但产生一个较小的指数在低频制度。随着文本长度的增长，分布的增长使我们能够估计每一步的词汇量，并提出一个替代希普斯定律的方法，由于缩放行为，希普斯定律与齐普夫定律密切相关。
2013-09-09 cond-mat.stat-mech nlin.AO physics.soc-ph
Power laws, Pareto distributions and Zipf's law
当测量某个量的特定值的概率与该值的幂成反比时，该量被称为遵循幂律，也被称为齐普夫定律或帕累托分布。幂律广泛出现在物理学、生物学、地球和行星科学、经济学和金融学、计算机科学、人口学和社会科学中。例如，城市的大小、地震、太阳耀斑、月球陨石坑、战争和人们的个人财富的分布似乎都遵循幂律。一个多世纪以来，幂律行为的起源一直是科学界争论的话题。在这里，我们回顾了幂律形式存在的一些经验证据和解释它们的理论。
2006-05-29 cond-mat.stat-mech physics.data-an physics.soc-ph
Zipf's law holds for phrases, not words
The University of Vermont（佛蒙特大学）；University of Colorado, Boulder（科罗拉多大学博尔德分校）；Massachusetts Institute of Technology（麻省理工学院）
由于齐普夫定律最初也是最著名的词频定律，它对人类语言的适用性令人惊讶地有限，在尺度上出现明显的突破之前，它的适用性不超过三到四个数量级。在这里，建立在简单的观察，一个或多个单词的短语组成的最连贯的语言单位的意义，我们经验表明，齐普夫定律的短语扩展到多达九个数量级的等级。在这样做的过程中，我们开发了一个原则性和可扩展的随机文本分区的统计机械方法，它开辟了严格的文本分析通过混合长度短语的排名排序丰富的前沿。
2015-03-04 cs.CL physics.soc-ph
A sensible proof connecting the scale-free feature with the Zipf-law
本文通过严格数学推导，证明了任意阶数为$N$的无标度网络模型中基于顶点排名的无标度特性与Zipf定律之间的等价关系，消除了Zipf定律缺乏理论基础的空白，为采用复杂网络方法研究Zipf定律提供了理论依据。
2023-08-07 physics.soc-ph
Zipf's law for word frequencies: word forms versus lemmas in long texts
Centre de Recerca Matemàtica（数学研究中心）；Universitat Autònoma de Barcelona（巴塞罗那自治大学）；Universitat Pompeu Fabra（庞培法布拉大学）；Universitat Politècnica de Catalunya（加泰罗尼亚理工大学）
齐普夫定律是自然语言书面和口头统计以及其他通信系统中的基本范式。我们提出的问题的基本单位，其中齐普夫的法律应持有在最自然的方式，研究其有效性，为平原字的形式和相应的引理形式。为了拥有尽可能同质的来源，我们分析了一些有史以来最长的文学文本，这些文本包括四种不同的语言，具有不同程度的形态复杂性。在所有情况下，齐普夫定律都得到了满足，在这个意义上，词或词元频率的幂律分布在几个数量级上都是有效的。我们调查的程度字引理变换保留两个参数的齐普夫定律：指数和低频截止。我们不能证明一个严格的不变性的尾巴，为少数文本的两个指数偏离显着，但我们的结论是，指数是非常相似的，尽管显着的转变，从词到词元表示，大大影响了所有范围的频率。相比之下，低频截止不太稳定。
2015-07-13 cs.CL physics.data-an physics.soc-ph
Big Data and Large Numbers. Interpreting Zipf's Law
Technical University of Iasi（雅西技术大学）；Institute of Computer Science of the Romanian Academy（罗马尼亚科学院计算机科学研究所）
本文揭示大数据中某些经验事实源于大数性质，以齐普夫定律噪声为例，探讨有限总体下幂律分布的性质，重点研究低排名端、噪声潜力及类型数量近似，并讨论其对定律解读的影响。
2023-05-07 cs.CL math.ST physics.soc-ph
Two Universality Properties Associated with the Monkey Model of Zipf's Law
在Zipf定律的猴子模型中，单词概率的分布具有两个普适性：（1）幂律指数随着字母表长度的增加而强收敛于$-1$，字母概率被指定为$[0,1]$上具有有界密度函数的任何分布的单位区间的随机划分的间距;以及（2），在对数尺度上，具有有限字长截止和不相等字母概率的模型版本在远离尾部的分布部分中近似正态分布。第一个性质是证明使用一个非常普遍的极限定理的对数的样本间距从邵和哈恩，和第二个性质遵循Anscombe的中心极限定理的随机数的独立同分布。随机变量。有限字长模型导致一个混合Zipf对数正态混合分布密切相关的工作在其他领域。
2015-11-30 math.PR physics.soc-ph
Zipf's law in city size from a resource utilization model
我们研究了一个资源利用的情况下，其特征在于内在的健身。为了描述不同城市的增长和组织，我们考虑了一个资源利用模型，其中许多餐馆竞争，就像在游戏中一样，使用迭代学习过程来吸引顾客。结果的情况下，餐厅统一的健身报告。当适应度是均匀分布的，它会产生一个Zipf定律的客户数量。我们执行一个精确的计算的情况下，选择独立的健身的利用率。该模型的一个变体也介绍了健身可以被视为一种能力，留在企业。当一家餐馆失去顾客时，它的适应度被随机适应度所取代。稳态适应度分布服从幂律分布，而客户数的分布仍然服从Zipf律，这意味着模型的鲁棒性。我们的模型作为一个范例，出现齐普夫定律在城市规模分布。
2014-10-08 cond-mat.stat-mech physics.soc-ph q-fin.GN
N-tuple Zipf Analysis and Modeling for Language, Computer Program and DNA
n元幂律广泛存在于语言、计算机程序代码、DNA和音乐中。通过对大量经验数据的Zipf分析，我们提出了一个模型来解释这些信息翻译载体中存在的n元幂律特征。我们的模型是一个优先选择的方法启发西蒙的模型，解释了序列Zipf分析中的单个符号的标度律。在我们的模型中，内核机制是整洁和简单的。它可以简单地描述为一个随机复制和粘贴过程，即从当前序列中随机选择一个随机片段并将其重复粘贴到末尾。对模型的模拟表明，模型生成的数据存在n重幂律。此外，还提出了幂律的Zipf指数和最小n元组长度两个估计方程，它们与经验数据吻合较好。我们的模型也可以再现DNA数据中ATGC数差异的对称性破缺过程。
2009-08-04 physics.data-an physics.soc-ph q-bio.GN
Universality of Zipf's Law
齐普夫定律是最常见的显示标度行为的统计分布。城市、人口或公司只是这一看似普遍规律的例子。虽然已经提出了许多不同的模型，但没有普遍的理论解释表明其普遍性。在这里，我们表明，齐普夫定律是，事实上，一个非常普遍的一类随机系统的必然结果。借用概念从数学信息理论，我们的推导是基于符号序列的性质，通过连续观测系统的无限数量的可能状态。具体来说，我们假设由观测序列提供的系统的描述的复杂性是一个系统演化到有序和无序之间的稳定状态所期望的。这个结果是从一小部分温和的、物理上相关的假设中得出的。我们推导的一般性质及其无模型基础可以解释这样一个定律在真实系统中的普遍性。
2010-07-02 cond-mat.stat-mech nlin.AO physics.data-an
Zipf's Law from Scale-free Geometry
人口的空间分布在从家庭（$\sim 10^{-2}$ km）到大陆（$\sim 10^4$ km）的各种尺度上呈现出聚集现象。经验数据表明，城市规模分布的简单幂律缩放（称为齐普夫定律）和人口密度波动作为规模的函数。使用技术从随机场理论和统计物理学，我们表明，这些幂律基本上是一个后果的无标度的空间聚集的人口和事实，人类居住在一个二维表面。从这个意义上说，尺度不变性在两个空间维度上的对称性与城市社会学密切相关。我们测试我们的理论，通过经验测量的人口密度波动的功率谱，并表明，对数斜率$α= 2.04 \pm 0.09$，在极好的协议与我们的理论预测$α= 2$。该模型通过引入随机场的数学形式，使许多新的预测分析计算成为可能。
2016-02-15 astro-ph.CO cond-mat.stat-mech cs.SI
Zipf Law for Brazilian Cities
这项工作研究了Zipf法在巴西的城市。1970年、1980年、1991年和2000年的人口普查数据被用来选择一个仅包含30 000名居民或以上的城市的样本。结果表明，巴西城市的人口分布确实遵循与其他国家相似的幂律。1970年和1980年人口普查的幂律指数估计数为2.22 +/- 0.34，1991年和2000年人口普查的幂律指数估计数为2.26 +/- 0.11。用极大似然估计法得到了更精确的结果，1970年的指数为2.41，其他三年为2.36。
2006-08-29 cond-mat.stat-mech nlin.AO nlin.PS
Universal emergence of local Zipf-Mandelbrot law
本文提出解析表达式并严格证明，任意独立同分布随机变量排序样本的局部子集在统计上与Zipf-Mandelbrot定律不可区分，从而解释了该定律的普适涌现，并通过实例验证。
2025-10-13 physics.data-an physics.soc-ph
