A theoretical approach for Pareto-Zipf law
Caglar Tuncay
我们提出了一种分析方法的帕累托-齐普夫定律，我们假设随机乘性噪声和碎片化过程的增长，每个城市的公民人数和城市的数量，分别。
We suggest an analytical approach for Pareto-Zipf law, where we assume random multiplicative noise and fragmentation processes for the growth of the number of citizens of each city and the number of the cities, respectively.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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On a General Theorem of Number Theory Leading to the Gibbs, Bose--Einstein, and Pareto Distributions as well as to the Zipf--Mandelbrot Law for the Stock Market
引入了有限集的稠密性概念。我们证明了一个一般定理的集合论，细化吉布斯，玻色-爱因斯坦，帕累托分布以及齐普夫定律。
This paper provides a derivation of Zipf-Pareto laws directly from the principle of least effort. A probabilistic functional of efficiency is introduced as the consequence of an extension of the nonadditivity of the efficiency of thermodynamic engine to a large number of living agents assimilated to engines, all randomly distributed over their output. Application of the maximum calculus to this efficiency yields the Zipf-Pareto laws.
Power laws, Pareto distributions and Zipf's law
当测量某个量的特定值的概率与该值的幂成反比时，该量被称为遵循幂律，也被称为齐普夫定律或帕累托分布。幂律广泛出现在物理学、生物学、地球和行星科学、经济学和金融学、计算机科学、人口学和社会科学中。例如，城市的大小、地震、太阳耀斑、月球陨石坑、战争和人们的个人财富的分布似乎都遵循幂律。一个多世纪以来，幂律行为的起源一直是科学界争论的话题。在这里，我们回顾了幂律形式存在的一些经验证据和解释它们的理论。
Zipf's Law for Atlas Models
本文研究了阿特拉斯模型和一阶模型如何通过保守性和完整性条件解释齐夫定律的普遍性，揭示了不同排名数据遵循齐夫定律或非齐夫帕累托分布的原因。
The spatial meaning of Pareto's scaling exponent of city-size distribution
城市等级的标度指数通常被认为是分形参数。将Pareto指数作为城市规模分布的分维，Zipf指数作为分维的倒数。然而，这种观点并不确切。在本文中，我将提出一个新的解释的标度指数的秩大小分布。从分形测度关系和维数一致性原理出发，探讨了Pareto标度指数和Zipf标度指数的本质。帕累托指数是城市网络的分维与城市人口平均维数的比值。因此，Zipf指数是该尺寸比的倒数。在数字地图上，帕累托指数可以通过地图比例尺与基于该比例尺的相应城市数量之间的比例关系来定义。美国1900年、1940年、1960年和1980年的城市和印度1981年、1991年和2001年的城市被用来说明帕累托指数的地理空间意义。结果表明，城市规模分布的帕累托指数不是分形维数，而是城市网络维数与城市人口维数的比值。这一结论对科学家理解齐普夫定律和城市等级的分形结构具有启发意义。
Zipf-Mandelbrot-Pareto model for co-authorship popularity
任何科学家的每位合著者（CA）都可以根据其共同发表的论文数量（$J$）获得重要性等级（$r$）。本文证明了Zipf-Mandelbrot-Pareto定律（即$ J \propto 1/(ν+r)^ζ$）再现了$J$和$r$之间的经验关系，并证明了它优于单纯的幂律（$ J \propto 1/r^α $）。当然，CA核心值（即CA的核心数量）不受影响。展示了两位作者的数据，Bougrine（2014）最近考虑了大量的联合出版物，以及Miskiewicz（2013）建议的7位作者，区分他们的“期刊”和“论文集”出版物。讨论了秩大小统计量，并比较了$α$和$ζ$指数。相关系数大大提高（$\sim$为0.99，而不是0.92）。这种合著流行规律在不同的子领域中存在着明显的偏差。一方面，这表明了对参数$ν$的解释。另一方面，它提出了一个新的模型（可能依赖于时间）的研究团队的结构和出版属性。因此，可以提出一个研究团队如何形成和发展的场景。这是基于一个层次效用的概念，证明经验齐普夫-曼德尔布罗特-帕累托定律，假设一个简单的形式为CA出版/成本比，$c_r = c_0\: log_2 (ν+r)$。最后，这样的规律和模型可以为科研团队的测量提供实际应用。在附录中，讨论了两个子场的频率-尺寸累积分布函数，并讨论了其他技术问题
Stability of Zipf's law and occult spatial dependence effects: A study on the OECD countries
本研究通过空间权重矩阵和SEM/SAR回归，分析OECD国家城市Zipf定律中的空间依赖性，识别上尾分布受空间自相关扰动的现象，并以比利时为例展示方法。
Modeling fractal structure of city-size distributions using correlation function
齐普夫定律是城市最显著的经验事实之一，但对于城市等级与规模的标度关系及其标度指数却没有令人信服的解释。基于一般分形和标度的思想，提出了城市发展的双重竞争假说，用以解释幂指数的取值区间和特殊值1。齐普夫定律和帕累托定律可以在数学上相互转化。基于Pareto分布，可以构造频率关联函数。通过标度分析和多重分形谱，得到了Pareto指数的参数区间为（0.5，1];基于Zipf分布，建立了与第一个尺寸关联函数相反的尺寸关联函数。利用第二关联函数和多重分形的概念，导出了Pareto指数区间为[1，2]。因此，城市演化过程可分为两种效应：一种是帕累托效应，即城市数量增加（外部复杂性）;另一种是齐普夫效应，即城市规模增长（内部复杂性）。由于两种效应的斗争，标度指数在0.5到2之间变化;但如果两种效应彼此达到平衡，标度指数接近1。通过一系列等级相关的数学实验对模型进行了验证，并得出结论：如果某一区域内的城市间的等级相关遵循齐普夫定律，那么城市间的等级相关和规模相关也遵循标度律。这一理论可以推广到解释物理和社会科学各个领域中的逆幂律分布。
Theory of Zipf's Law and of General Power Law Distributions with Gibrat's law of Proportional Growth
我们总结了一本书出版与他的标题写的三个目前的作者，对理论的齐普夫定律，更普遍的权力法律，驱动机制的比例增长。预印本可向作者索取。为了清晰、一致和简洁，我们使用企业资产价值这一术语来讨论齐普夫定律有效性的起源和条件。我们使用公司来描述那些规模分布有待解释的实体。然而，应该指出的是，本书中讨论的大多数关系，特别是齐普夫定律和吉尔布拉特定律之间的密切联系，是齐普夫定律在不同科学领域的基础。相同的模型及其变型可以直接应用于任何其他应用领域。
Zipf's law states that the frequency of an observation with a given value is inversely proportional to the square of that value; Taylor's law, instead, describes the scaling between fluctuations in the size of a population and its mean. Empirical evidence of the validity of these laws has been found in many and diverse domains. Despite the numerous models proposed to explain the presence of Zipf's law, there is no consensus on how it originates from a microscopic process of individuals dynamics without fine tuning. Here we show that Zipf's law and Taylor's law can emerge from a general class o…
Integers and Prime Numbers: Deriving Zipf's Law
研究整数素数分解中素数频率分布，证明其满足齐普夫定律的一般形式。
Zipf's law in city size from a resource utilization model
我们研究了一个资源利用的情况下，其特征在于内在的健身。为了描述不同城市的增长和组织，我们考虑了一个资源利用模型，其中许多餐馆竞争，就像在游戏中一样，使用迭代学习过程来吸引顾客。结果的情况下，餐厅统一的健身报告。当适应度是均匀分布的，它会产生一个Zipf定律的客户数量。我们执行一个精确的计算的情况下，选择独立的健身的利用率。该模型的一个变体也介绍了健身可以被视为一种能力，留在企业。当一家餐馆失去顾客时，它的适应度被随机适应度所取代。稳态适应度分布服从幂律分布，而客户数的分布仍然服从Zipf律，这意味着模型的鲁棒性。我们的模型作为一个范例，出现齐普夫定律在城市规模分布。
Proper Interpretation of Heaps' and Zipf's Laws
验证文本单词均匀分布自然导出希普斯定律，提出“叠加”模型解释齐普夫定律的单词频率渐近幂律分布，且模型与观测一致。
Zipf's law is found when the vocabulary of long written texts is ranked according to the frequency of word occurrences, establishing a power-law decay for the frequency vs rank relation. This law is a robust statistical property observed even in ancient untranslated languages. Interestingly, this law seems to be also manifested in music records when several metrics---functioning as words in written texts---are used. Even though music can be regarded as a language, finding an accurate equivalent of the concept of words in music is difficult because it lacks a functional semantic. This raises th…
Zipf's law, 1/f noise, and fractal hierarchy
分形、1/f噪声、齐普夫定律和大灾难事件的发生是跨各个科学的典型的普遍存在的一般经验观察，在特定科学领域内开发的一组参考文献中无法理解。所有这些观察都与标度律有关，并引起了科学界广泛的研究兴趣。然而，这些标度现象之间的内在联系仍然是有待研究的问题。本文通过理论推导和数学实验揭示了分形图案、1/f噪声和Zipf分布之间的相似性。首先，多重分形过程遵循广义齐普夫定律经验。第二，1/f频谱在数学形式上与齐普夫定律相同。第三，1/f谱和Zipf定律都可以转化为自相似的层次结构。第四，分形、1/f谱、齐普夫定律和大灾难事件的发生可以用类似的指数律和幂律来描述。自相似层次结构是一个更一般的框架或结构，可以用来包含或统一物理和社会系统中的不同标度现象和规则，如城市，河流，地震，分形，1/f噪声和秩大小分布。层次结构的数学规律可以为我们提供一个整体的视角来看待复杂性，如自组织临界性（SOC）。
Dynamical toy model of interacting $N$ agents robustly exhibiting Zipf's law
本文构建具有数量依赖相互作用半径的 N 智能体交换模型，证明低密度下数量分布稳健服从 Zipf 定律，并借助图映射揭示其与其他幂律机制的差异。
Predicted and Verified Deviation from Zipf's Law in Growing Social Networks
齐普夫幂律是在许多自然和社会系统中发现的普遍经验规律。最近发展的一个理论预测，齐普夫定律对应于在随机比例增长、随机出生和死亡过程存在的情况下，根据最大可持续路径增长的系统。我们报告了一个新兴的社会群体网络，其中所需的Zipf定律适用的所有成分是可验证和验证的详细的实证分析。我们估计经验的平均增长$r$和它的标准差$σ$以及死亡率$h$和预测没有可调参数的指数$μ$的幂律分布$P(s)$的组大小$s$。预测值$μ= 0.75 \pm 0.05$与极大似然估计非常一致。根据理论，$P(s)$与齐普夫定律的偏差（即，$μ< 1$）构成了社会领域整体非平稳增长的直接统计定量特征。
Zipf's law from a Fisher variational-principle
齐普夫的法律是出现作为一个问题的Fisher的条款制定的变分解决方案。一个适当的最小化过程，涉及费舍尔信息和标度不变性产生这个普遍的秩分布。作为一个例子，我们表明，在引用最多的物理学期刊中发现的引文数量遵循这一规律。
We propose hypotheses describing the empirical finding of an association between the exponents of urban GDP scaling and Zipf's law for cities. These hypotheses represent various combinations of directional or reciprocal causal links between the two phenomena and include inter- and intra-city processes. Future theories and models can be motivated with and categorized according to these hypotheses. This paper intends to stimulate the discussion around the processes behind these phenomena and pave the way to a Unified Urban Theory.
Zipf's Law Leads to Heaps' Law: Analyzing Their Relation in Finite-Size Systems
背景：齐普夫定律和希普斯定律是在不同的复杂系统中观察到的。特别是，这两个法律经常出现在一起。许多理论模型和分析被用来理解它们在实际系统中的共现，但仍然缺乏对它们之间关系的清晰描述。方法/主要结果：我们表明，堆的法律可以被认为是一个衍生现象，如果系统遵守齐普夫定律。此外，我们改进了已知的近似解决方案的堆的指数提供Zipf的指数。我们表明，近似解确实是无限系统的渐近解，而在有限大小的系统的堆的指数是敏感的系统的大小。对数十个不同系统的大量实证分析表明，我们的改进结果可以更好地捕捉Zipf和Heaps指数之间的关系。结论/意义：本文的分析在不借助任何具体的随机模型的情况下，清楚地说明了齐普夫定律和希普斯定律之间的关系，即希普斯定律实际上是齐普夫定律的一种衍生现象。所提出的数值方法给出了相当好的估计堆的指数给定的Zipf的指数和系统的大小。我们的分析为实际复杂系统提供了一些启示和启示，例如，人们可以自然地得到对无标度网络加速增长的更好的解释。
Zipf's law, Hierarchical Structure, and Shuffling-Cards Model for Urban Development
提出了一个新的视角来寻找支配复杂系统的简单规则和城市等随机现象背后的规律。城市的等级反映了在自然世界和社会机构中经常观察到的无处不在的结构。如果存在具有级联结构的层级，则存在遵循齐普夫定律的等级-规模分布，反之亦然。该层次结构可以用一组指数函数来描述，这些指数函数在形式上与Horton-Strahler关于河流的定律和Gutenberg-Richter关于地震能量的定律相同。从指数模型，我们可以推导出四个幂律，如齐普夫定律指示分形和标度对称性。对层次结构的研究有助于我们理解复杂系统是如何自组织的。建立洗牌模型，解释齐普夫定律与城市等级的关系。这个模型可以扩展到解释一般的经验幂律分布在个别的物理和社会科学，这是很难理解的具体科学领域。
Zipf's law and maximum sustainable growth
齐普夫定律指出，规模大于S的企业数量与S成反比。大多数解释都是从Gibrat的比例增长规则开始的，但需要额外的限制。我们表明，Gibrat的规则，在所有的企业水平，收益率齐普夫定律之间的有效增长率的平衡条件下，在位企业（其中包括他们可能的死亡）和投资的增长率在进入企业。值得注意的是，齐普夫定律是资源长期优化配置的标志，它确保了经济的最大可持续增长率。
Reply to "Comment on 'A Scaling law beyond Zipf's law and its relation to Heaps' law'"
在[arXiv：1404.1461]中，Yan和Minnnesian认为[New J. Phys. 15 093033，arXiv：1303.0705]中提出的词频分布的文本长度依赖性的标度律是“根本不正确的”和“根本不可能的”。在本说明中，我们认为这种说法显然是不合理的，标度定律对于绝对频率大于10的情况显然是有效的。此外，我们还证明了Yan和Minnnnel [arXiv：1404.1461]提供的反例非常准确地满足了我们的标度假设，与Yan和Minnel的批评不一致，并支持我们的方法。
Zipf's Law and Avoidance of Excessive Synonymy
齐普夫定律指出，如果语言中的单词在文本中以频率递减的顺序排列，则单词的频率与其排名成反比。这是一个非常强大的实验观察，但到目前为止，它逃脱了令人满意的理论解释。我们认为齐普夫定律可能源于词义扩展和同义词竞争所主导的词义演变。
The meaning-frequency law in Zipfian optimization models of communication
根据齐普夫的意义-频率定律，频率越高的词往往有更多的含义。在这里，它表明，一个线性的依赖关系的频率的形式和其数量的含义被发现在一个家庭的模型的Zipf定律的词频。这是意义-频率定律的弱版本的证据。有趣的是，弱定律（a）不是家族假设的必然属性，（b）至少在那些模型显示出词频Zipf定律的狭窄区域中发现。
Recursive Subdivision of Urban Space and Zipf's law
齐普夫定律可以用来描述一个区域内城市的位序-规模分布。它很少被用于研究城市内部结构。在本文中，我们证明了一个城市的空间填充过程遵循齐普夫定律，并可以与排名大小规则的特点。提出了一个城市空间分解模型来描述城市增长的空间规律。通过空间的递归细分，城市区域可以在几何上划分为二区、四区、八区等，形成一个具有梯级结构的层次结构。如果我们按大小对这些部分进行排序，这些部分将符合Zipf分布。利用GIS技术和遥感数据，将城市空间递归细分模型应用于中国三个城市。结果表明，城市内部的等级结构符合齐普夫定律，等级规模标度指数非常接近于1。本研究的意义在于三个方面。首先，通过对城市空间的严格细分，揭示了城市形态空间秩序的有效途径。其次，揭示了城市空间填充过程与位序-规模规则之间的关系。第三，它提出了一种新的方式来理解分形，齐普夫定律，和城市演变的空间组织。
Zipf's law emerges asymptotically during phase transitions in communicative systems
齐普夫定律预测了语言交流系统中词频和词序之间的幂律关系，并且在文本中被广泛报道，但其起源仍然是个谜。计算机模拟表明，语言交流系统出现在符号和对象之间映射保真度的突然相变。由于相变近似的Heaviside或阶梯函数，我们表明，Zipfian标度出现渐近高阶拉普拉斯变换的基础上。我们从而证明，齐普夫定律逐渐出现的时刻，在通信系统的相变。我们表明，这种幂律标度行为解释了自然语言的出现在相变。我们发现语言交际过程中齐普夫定律的出现表明，在相变阶段，词汇中稀有词的使用对于有效交际系统的构建至关重要。
Zipf's law is well known in linguistics: the frequency of a word is inversely proportional to its rank. This is a special case of a more general power law, a common phenomenon in many kinds of real-world statistical data. Here, it is shown that snooker statistics also follow such a mathematical pattern, but with varying (estimated) parameter values. Two types of rankings (prize money earned and centuries scored), and three time-frames (all-time, decade, and year) are considered. The results indicate that the power law parameter values depend on the type of ranking used as well as the time-fram…
The rank-size plots of a large number of different physical and socio-economic systems are usually said to follow Zipf's law, but a unique framework for the comprehension of this ubiquitous scaling law is still lacking. Here we show that a dynamical approach is crucial: during their evolution, some systems are attracted towards Zipf's law, while others presents Zipf's law only temporarily and, therefore, spuriously. A truly Zipfian dynamics is characterized by a dynamical constraint, or coherence, among the parameters of the generating PDF, and the number of elements in the system. A clear-cut…
The Mathematical Relationship between Zipf's Law and the Hierarchical Scaling Law
城市规模分布的实证研究表明，齐普夫定律和等级标度定律在许多方面是联系在一起的。等级规模缩放和等级缩放似乎是同一枚硬币的两个不同面，但它们之间的关系从未被严格的数学证明所揭示。本文将城市的Zipf分布抽象为一个q序列。在此基础上，定义了一个由多个层次组成的自相似层次结构，不同层次上的城市数量形成一个几何序列。城市的平均规模的指数分布是由层次结构推导出来的。因此，我们有两个指数函数，从下面的分层尺度方程。其结果可以用简单的数学实验和城市观测数据进行统计验证。为Zipf定律向等级标度定律的转换奠定了理论基础，等级标度定律比Zipf定律更能反映城市发展的信息。此外，自相似层次结构为城市网络作为复杂系统的研究提供了一个新的视角。应用于城市的一系列数学规则，如异速生长定律、2^n原理和帕累托定律，可以通过等级组织相互联系。
Log-log Convexity of Type-Token Growth in Zipf's Systems
传统上认为齐普夫定律意味着系统中不同元素的数量随元素总数的幂律增长-所谓的堆定律。我们证明了Zipf定律的严格定义导致了随机系统中Heaps定律的违反，并得到了不同的增长曲线。这些曲线实现了仅依赖于Zipf指数值的通用数据塌陷。我们观察到，真正的书的行为非常类似于随机系统，尽管存在突发性的单词出现。我们提前解释这一意外的对应关系。
Empirical Tests of Zipf's law Mechanism In Open Source Linux Distribution
Linux发行版中的开源软件项目的发展提供了一个日益复杂的自组织适应系统的显着例子，展示了整整四十年的齐普夫定律。我们提出了三个测试的随机增长模型，以前已被证明是在Zipf定律的起源通常假设的成分：（i）之间的间接链接的软件包的数量的连续释放观察到的增长服从Gibrat的比例增长定律;（ii）在时间间隔$Δt$上的包的间接链接的数目的平均增长增量与$Δt$成比例，而它的标准偏差与$\sqrt{Δt}$成正比;（iii）Debian Linux发行版的演进版本中出现的新软件包的间接链接数量的分布具有比Zipf定律更细的尾部，随着发行版之间的时间$Δt$增加，指数收敛到Zipf定律值1。
What can we see from Investment Simulation based on Generalized (m,2)-Zipf law?
本文回顾了基于广义（m，2）-Zipf定律的投资模拟，给出了金融时间序列中野性的一个有趣的刻画。对每个时间序列的显性策略的研究表明，在较大时间尺度上占优势的长词在较小时间尺度上占优势的短词，反之亦然。此外，表示长期野生性的基础上的持久性在短期趋势和记忆表示的特定长度的单词，我们可以看到野生历史波动的时间序列数据处理Zipf策略。
Zipf's law before the monetary economy and written administration: volume distribution of kofun, ancient Japanese burial mounds
本研究分析日本古坟的体积分布，发现其呈齐普夫尾部和对数正态主体，提出Kesten型随机增长模型解释资源集中现象。
The rank-size distribution of cities follows Zipf's law, and the Zipf scaling exponent often tends to a constant 1. This seems to be a general rule. However, a recent numerical experiment shows that there exists a contradiction between the Zipf exponent 1 and high urbanization level in a large population country. In this paper, mathematical modeling, computational analysis, and the method of proof by contradiction are employed to reveal the numerical relationships between urbanization level and Zipf scaling exponent. The main findings are as follows. (1) If Zipf scaling exponent equals 1, the …
Large-scale analysis of Zipf's law in English texts
尽管齐普夫定律是定量语言学的一个范例，但它存在三个主要问题：它的表述是模糊的，它的有效性没有从统计的角度进行严格的检验，它没有被大量的文本所面对。因此，我们可以将目前Zipf定律在文本中的支持总结为轶事。我们试图解决这些问题，通过研究三个不同版本的齐普夫定律，并适合他们的古腾堡项目数据库（包括30000多个文本）中的所有可用的英文文本。为此，我们在拟合和拟合优度测试中使用了最先进的工具，并根据文本统计的特殊性进行了精心定制。值得注意的是，齐普夫定律的三个版本之一，由一个纯幂律形式的互补累积分布函数的词频，是能够适应超过40%的文本在数据库中（在0.05的显着性水平），为整个域的频率（从1到最大值），只有一个自由参数（指数）。
Zipf's Law for All the Natural Cities around the World
围绕齐普夫定律关于城市规模的研究的两个基本问题是，这个定律是否成立以及为什么成立。本文不涉及后者的问题，为什么，而是调查是否齐普夫定律在全球范围内成立，从而涉及世界各地的所有城市。与以往的研究不同，这些研究主要依赖于人口等传统的人口普查数据，以及人口普查局对城市的定义，我们采用自然（数据本身说明）划定的城市，或自然城市，更准确地说，为了检验齐普夫定律。我们发现，齐普夫定律在全球范围内对所有自然城市都非常适用，并且在大陆层面上几乎仍然有效，除了非洲在某些时刻。我们进一步研究了国家一级的法律，并注意到Zipf的法律在不同国家或不同时间被违反。这种违反主要是由于我们的局限性;我们仅限于个别国家，或对城市规模分布的静态看法。本文的中心论点是齐普夫定律是普适的，因此我们必须使用正确的范围才能遵守它。第一大国的城市数量是第二大国的两倍，是第三大国的三倍，等等。这些发现对大数据和城市科学有着深远的影响。关键词：夜间影像，城市规模分布，首尾划分规则，首尾间断，大数据
Beyond Zipf's Law: The Lavalette Rank Function and its Properties
虽然齐普夫定律在自然和社会数据中广泛存在，但人们经常会遇到排名数据的一端或两端偏离幂律函数的情况。以前，我们提出了Beta秩函数，以改善拟合的数据，不遵循一个完美的齐普夫定律。在这里，我们表明，当两个参数的Beta秩函数具有相同的值，Lavalette秩函数，概率密度函数可以解析推导。我们还表明，计算和分析，Lavalette分布是近似相等的，但不相同，对数正态分布。我们说明了Lavalette秩函数在几个数据集上的实用性。本文还讨论了Lavalette拟合函数的统计检验、利用Lavalette函数比较Zipf定律与对数正态分布、对数正态分布与Lavalette分布的比较等三个分析问题。
Why Does Zipf's Law Break Down in Rank-Size Distribution of Cities?
我们在数据分析的基础上研究了日本城市的等级规模分布。从第二次世界大战后的人口普查数据中，我们发现城市的等级规模分布由两部分组成，每一部分都有独立的幂指数。此外，分布的头部的幂指数随时间变化，齐普夫定律只在有限的时间内成立。我们发现，齐普夫定律打破了由于昭和和平成大合并和恢复由于人口增长的中型城市后，昭和大合并。
This work proves that ranks and shares are statistically dependent on one another, based on simple combinatorics. It presents a formula for rank-share distribution and illustrates that Zipfs law, is descended from expected values of various ranks in the new distribution. All conclusions, formulas and charts presented here were tested against publicly available statistical data in different areas. The correlation coefficient between the calculated values and statistical numbers provided by Bureau of Labor Statistics was 0.99899. Monte-Carlo simulations were performed as additional evidence.
In his pioneering research, G. K. Zipf observed that more frequent words tend to have more meanings, and showed that the number of meanings of a word grows as the square root of its frequency. He derived this relationship from two assumptions: that words follow Zipf's law for word frequencies (a power law dependency between frequency and rank) and Zipf's law of meaning distribution (a power law dependency between number of meanings and rank). Here we show that a single assumption on the joint probability of a word and a meaning suffices to infer Zipf's meaning-frequency law or relaxed versions…
On the class of coding optimality of human languages and the origins of Zipf's law
本研究提出一类新的编码最优性，指出符合Zipf定律的人类语言属该类别，揭示双对数尺度下频率-排名直线的编码偏移机制，为Zipf定律源于压缩的假说提供支撑并给出可检验条件。
Emergence of Zipf's Law in the Evolution of Communication
齐普夫定律似乎在人类语言中无处不在，似乎是复杂通信系统的普遍属性。Zipf提出的早期建议，关于存在的紧张局势之间的努力，扬声器和听话人在通信系统中，我们介绍了进化的变分方法的基础上Kullback的最小歧视的信息原则的问题。因此，使用完全嵌入在信息论的框架中的形式主义，我们证明了齐普夫定律是一个不断发展的，通信系统下的严格定义的通信张力描述的齐普夫的唯一预期的结果。
Zipf law in the popularity distribution of chess openings
我们进行了大量的国际象棋数据库的定量分析，并表明开放移动的频率分布根据幂律与指数，随游戏深度线性增加，而所有开放的重量的汇集分布遵循齐普夫定律与普适指数。我们提出了一个简单的随机过程，能够捕捉到观察到的播放统计数据，并表明Zipf法律产生的自相似性质的博弈树的国际象棋。因此，在分层碎片化的情况下，缩放是真正普遍的，并且独立于特定的生成机制。我们的研究结果是相关的一般过程与复合决策。
Power-law distributions based on exponential distributions: Latent scaling, spurious Zipf's law, and fractal rabbits
反幂函数和负指数函数之间的差异是显著的。前者表示复杂的分布，而后者表示简单的分布。然而，幂律分布与指数分布之间的联系却很少被研究。利用数学推导和数值实验，我揭示了幂律分布可以通过平均指数分布来创建。对于定义在1维空间中的分布，标度指数为1;而对于定义在2维空间中的分布，标度指数为2。这项研究的结果如下。首先，指数分布暗示了一个隐藏的标度，但标度指数暗示了一个欧几里得维度。第二，特殊的幂律分布可以从指数分布推导出来，但它们与典型的幂律分布不同。第三，它是真正的幂律分布，可以与分形维数。本研究揭示了简单性与复杂性之间的内在联系。在实际应用中，本文的结果也许可以用来区分实幂律和伪幂律（例如，伪Zipf分布）。
Citations and the Zipf-Mandelbrot's law
一个有趣的观察是，科学引文数量的排名统计遵循齐普夫-曼德尔布罗特定律。一些简单的随机引用模型也表现出类似pow-like的行为。观察到的规律性并不表明潜在的（复杂的）过程的特殊性质，但更可能的是，比通常假设的，它的随机性更大。
Zipf's law and city sizes: A short tutorial review on multiplicative processes in urban growth
我们解决的作用，乘法随机过程建模的幂律城市规模分布的发生。作为对Zipf秩分析结果的解释，本文用数学的初等方法给出了Simon的模型，并对所涉及的假设进行了深入的讨论。重点放在模型的灵活性，其可能的扩展和放宽一些强有力的假设。我们指出了一些开放的问题，关于Zipf的秩图的详细形状的预测，这可能是通过这样的扩展来解决。
A universal model for languages and cities, and their lifetimes
现代人类语言的规模呈现出略微不对称的对数正态（高斯）分布[1-3]，而现代城市则遵循幂律（帕累托-齐普夫定律）[4]。我们的模型考虑了语言之间的竞争和城市之间的竞争，包括增长（乘性噪声过程）[5]和碎片化[6];其中，语言和城市的相关参数（自然）不同。我们考虑的寿命分布的古老和生活的语言和古老和生活的城市。我们还研究了随机消除（标点符号）在语言和城市的时间演变的影响。最后，我们假设城市的大小与独立的随机振幅和随机（负）指数的指数递减分布，并表明，这给出了帕累托-齐普夫定律。
Compression and the origins of Zipf's law for word frequencies
在这里，我们勾勒出一个新的推导齐普夫定律的词频最佳编码的基础上。推导的结构让人想起了曼德尔布罗特的随机类型模型，但它比随机类型有多个优点：（1）它从现实的认知压力开始（2）它不需要微调参数（3）它揭示了语言的其他统计规律的起源，从而可以导致语言规律的紧凑理论。我们的研究结果表明，齐普夫定律在人类语言中的重现可能源于对简单快速沟通的压力。
The evolution of Zipf's law indicative of city development
齐普夫城市规模分布规律可以用三种数学模型表示：单参数形式、双参数形式和三参数形式。单参数模型和双参数模型之一是城市科学家所熟悉的。然而，三参数模型和另一类双参数模型尚未引起人们的重视。本文探讨了Zipf模型的适用条件和适用范围。通过数学推理和实证分析，有如下新发现。首先，如果一个地理区域中的城市规模分布不能用单参数或双参数模型来描述，那么也许可以用具有尺度因子和尺度平移因子的三参数模型来表征。第二，所有这些Zipf模型可以统一基于级联结构的分级标度律。第三，城市规模的分布模式似乎从三参数模式演变到双参数模式，然后再演变到单参数模式。利用中国城市四年人口普查数据，验证了三参数齐普夫定律和相应的等级规模分布的层次结构。这一研究对于人们认识社会系统的科学规律和城市发展的特性具有启示意义。
We demonstrate that large texts, representing human (English, Russian, Ukrainian) and artificial (C++, Java) languages, display quantitative patterns characterized by the Benford-like and Zipf laws. The frequency of a word following the Zipf law is inversely proportional to its rank, whereas the total numbers of a certain word appearing in the text generate the uneven Benford-like distribution of leading numbers. Excluding the most popular words essentially improves the correlation of actual textual data with the Zipfian distribution, whereas the Benford distribution of leading numbers (arisin…
A sensible proof connecting the scale-free feature with the Zipf-law
本文通过严格数学推导，证明了任意阶数为$N$的无标度网络模型中基于顶点排名的无标度特性与Zipf定律之间的等价关系，消除了Zipf定律缺乏理论基础的空白，为采用复杂网络方法研究Zipf定律提供了理论依据。
We present an overview of possible reasons for the appearance of heavy-tailed distributions in applications to the natural sciences. These distributions include the laws of Pareto, Lotka, and some new ones. The reasons are illustrated using suitable toy models. Keywords: heavy-tailed distributions; Pareto law; Lotka law; Zipf law; probability generating function.
Zipf's law holds for phrases, not words
由于齐普夫定律最初也是最著名的词频定律，它对人类语言的适用性令人惊讶地有限，在尺度上出现明显的突破之前，它的适用性不超过三到四个数量级。在这里，建立在简单的观察，一个或多个单词的短语组成的最连贯的语言单位的意义，我们经验表明，齐普夫定律的短语扩展到多达九个数量级的等级。在这样做的过程中，我们开发了一个原则性和可扩展的随机文本分区的统计机械方法，它开辟了严格的文本分析通过混合长度短语的排名排序丰富的前沿。
Evolution of Zipf's Law for Indian Urban Agglomerations vis-à-vis Chinese Urban Agglomerations
我们调查了1981年至2011年期间印度城市群的等级规模分布。幂律尾部的发生率是显著的。一个相关的问题仍然存在关于权力尾部系数的演变。我们开发了一种方法，当一个国家经历人口增长时，可以有意义地跟踪幂律系数随时间的变化。一个相关的动态法律，Gibrat的法律，在这方面进行了经验检验。我们认为，印度的这些实证研究结果与中国的研究结果相反，中国是另一个人口增长但政治制度单一的国家。
A scaling law beyond Zipf's law and its relation to Heaps' law
词出现的统计特性对文本长度的依赖性一直被认为是定量语言学的一个严重局限。我们提出了一个简单的缩放形式的绝对词频的分布，揭示了这种分布的鲁棒性，随着文本的增长。这样，分布的形状总是相同的，并且它只是一个随文本长度线性增加的尺度参数。通过分析很长的小说，我们表明，这种行为既适用于原始的，unlemmatized文本和lemmatized文本。对于后一种情况，词频分布很好地符合双幂律，保持Zipf的指数值$γ\simeq 2$为大的频率，但产生一个较小的指数在低频制度。随着文本长度的增长，分布的增长使我们能够估计每一步的词汇量，并提出一个替代希普斯定律的方法，由于缩放行为，希普斯定律与齐普夫定律密切相关。
Predicted and Verified Deviations from Zipf's law in Ecology of Competing Products
Zipf幂律分布是在许多复杂系统中发现的普遍经验统计规律。然而，与单一幂律指数（等于1的齐普夫定律）的普适性不同，有许多报道的偏差仍然无法解释。最近发展的一个理论发现，（i）最普遍的成分之一，即随机比例增长，与（ii）出生和死亡过程之间的相互作用，导致了一个通用的幂律分布，其指数取决于每个成分的特征。在这里，我们报告的理论及其应用的第一个完整的实证检验，在产品市场的市场份额的动态实证分析的基础上。我们直接估计市场份额的平均增长率及其标准差，产品的出生率和“死亡”（危险）率。我们发现，所观察到的幂律指数的时间变化和产品的差异，可以完全捕获的理论，没有可调参数。我们的研究结果可以推广到许多系统的统计特性揭示的幂律指数是直接联系到底层的生成机制。
Two Universality Properties Associated with the Monkey Model of Zipf's Law
在Zipf定律的猴子模型中，单词概率的分布具有两个普适性：（1）幂律指数随着字母表长度的增加而强收敛于$-1$，字母概率被指定为$[0,1]$上具有有界密度函数的任何分布的单位区间的随机划分的间距;以及（2），在对数尺度上，具有有限字长截止和不相等字母概率的模型版本在远离尾部的分布部分中近似正态分布。第一个性质是证明使用一个非常普遍的极限定理的对数的样本间距从邵和哈恩，和第二个性质遵循Anscombe的中心极限定理的随机数的独立同分布。随机变量。有限字长模型导致一个混合Zipf对数正态混合分布密切相关的工作在其他领域。
Zipf's law for word frequencies: word forms versus lemmas in long texts
齐普夫定律是自然语言书面和口头统计以及其他通信系统中的基本范式。我们提出的问题的基本单位，其中齐普夫的法律应持有在最自然的方式，研究其有效性，为平原字的形式和相应的引理形式。为了拥有尽可能同质的来源，我们分析了一些有史以来最长的文学文本，这些文本包括四种不同的语言，具有不同程度的形态复杂性。在所有情况下，齐普夫定律都得到了满足，在这个意义上，词或词元频率的幂律分布在几个数量级上都是有效的。我们调查的程度字引理变换保留两个参数的齐普夫定律：指数和低频截止。我们不能证明一个严格的不变性的尾巴，为少数文本的两个指数偏离显着，但我们的结论是，指数是非常相似的，尽管显着的转变，从词到词元表示，大大影响了所有范围的频率。相比之下，低频截止不太稳定。
Big Data and Large Numbers. Interpreting Zipf's Law
本文揭示大数据中某些经验事实源于大数性质，以齐普夫定律噪声为例，探讨有限总体下幂律分布的性质，重点研究低排名端、噪声潜力及类型数量近似，并讨论其对定律解读的影响。
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