Association between population distribution and urban GDP scaling
城市尺度和齐夫定律是城市科学的两个基本范式。这些法律大多是独立调查的，往往被视为无关的事项。在这里，我们提出了一个大规模的调查，这两个法律之间的联系，使用人口和GDP数据，从近5000个一致定义的城市在96个国家。我们的经验表明，这两个法律是相互联系的，并得出一个表达式有关的城市规模和Zipf指数。该表达式捕捉了两个指数之间经验关系的平均趋势，并且在考虑随机变化后，模拟产生与真实数据非常相似的结果。我们发现，虽然绝大多数国家表现出城市GDP规模收益递增，但这种效应在小城市较少、大都市较多的国家（小Zipf指数）比在大小城市数量不均匀的国家（大Zipf指数）不那么明显。我们的研究提出了这样一种观点，即城市规模并不仅仅来自城市内部的过程，因为人口分布和城市GDP的规模是相互关联的。
2021-01-08 physics.data-an physics.soc-ph
The evolution of Zipf's law indicative of city development
齐普夫城市规模分布规律可以用三种数学模型表示：单参数形式、双参数形式和三参数形式。单参数模型和双参数模型之一是城市科学家所熟悉的。然而，三参数模型和另一类双参数模型尚未引起人们的重视。本文探讨了Zipf模型的适用条件和适用范围。通过数学推理和实证分析，有如下新发现。首先，如果一个地理区域中的城市规模分布不能用单参数或双参数模型来描述，那么也许可以用具有尺度因子和尺度平移因子的三参数模型来表征。第二，所有这些Zipf模型可以统一基于级联结构的分级标度律。第三，城市规模的分布模式似乎从三参数模式演变到双参数模式，然后再演变到单参数模式。利用中国城市四年人口普查数据，验证了三参数齐普夫定律和相应的等级规模分布的层次结构。这一研究对于人们认识社会系统的科学规律和城市发展的特性具有启示意义。
2015-04-16 nlin.AO physics.soc-ph
Constructing multi-level urban clusters based on population distributions and interactions
城市（或城市群）不是一个孤立的空间单位，而是社会经济活动密切相关的地区的组合。然而，到目前为止，我们缺乏一个一致的和定量的方法来定义多层次的城市群，通过这些社会经济联系。在这里，使用来自中国的颗粒人口分布和流量数据，我们提出了一个自下而上的聚合方法来量化城市群在多个空间尺度。我们揭示了六个“阶段”（即，水平）的人口密度流图，每一个对应的空间配置的城市群从大到小。此外，我们的研究结果表明，齐普夫定律只出现在第五个层次，证实了城市法律的空间依赖性。我们的方法不需要预先界定的行政边界，可以在全球范围内有效应用。
2022-11-09 physics.soc-ph
Sequences of purchases in credit card data reveal life styles in urban populations
类齐夫分布描述了物理学、生物学、经济学和社会科学中的一系列现象。在人类活动中，齐夫定律描述了例如文本中单词出现的频率或购物模式中的购买类型。在后者中，交易类型的不均匀分布与个人选择的购买时间顺序有关。在这项工作中，我们定义了一个框架，使用文本压缩技术的信用卡购买序列，以检测无处不在的集体行为模式。聚类消费者的相似性购买序列，我们发现五个消费者群体。值得注意的是，事后检查，每个群体中的个体在年龄、总支出、性别以及通过手机记录提取的社交和移动网络的多样性方面也相似。通过用类似齐夫分布的方法正确地解构交易数据，这种方法揭示了一组重要的序列，揭示了对人类集体行为的见解。
2018-08-06 cs.IT cs.SI math.IT
The Morphology of Urban Agglomerations for Developing Countries: A Case Study with China
本文利用中国人口普查数据，对关于城市人口分布的两个公认的经验命题--吉卜拉特定律和齐普夫定律之间的关系进行了严格的检验。我们的研究结果与以前专门针对发达国家进行的大多数研究形成鲜明对比。这促使我们建立一个一般环境来解释发达国家和发展中国家的城市群形态。一个动态的过程中创造就业机会产生一个特定的分布城市群和经济特区（SEZ）在这个抽象的环境中的介绍表明，实证观察是在良好的协议与所提出的模型。
2010-01-06 physics.soc-ph
Scaling law of individual urban tour behavior
School of Systems Science, Beijing Jiaotong University（北京交通大学系统科学学院）；School of Geography, University of Leeds（利兹大学地理学院）
本研究通过分析Foursquare用户数据，发现城市旅游长度遵循截断幂律分布，并提出旅游终止-继续模型，再现了人类移动的普遍缩放规律及多项定律。
2026-02-06 physics.soc-ph
A Hierarchical Allometric Scaling Analysis of Chinese Cities: 1991-2014
基于齐普夫分布的异速生长标度律可以用来研究地理区域内城市的等级结构。然而，异速生长模式容易受到观测数据中噪声的随机干扰。理论上，异速生长定律和齐普夫定律都与分形结构的分级标度律有关。本文将具有级联结构的等级体系的标度律应用于中国城市的研究，并运用R/S分析方法分析了中国城市异速生长标度指数的变化趋势。结果表明，1991 - 2014年中国城市的等级标度关系越来越清晰，全球异速标度指数值在0.85附近波动，局部标度指数接近0.85。异速生长参数变化的Hurst指数大于0.5，表明城市演化具有持续性和长期记忆性。主要结论是：城市异速生长规律不是一成不变的规律，而是城市化自组织过程中的一种演化规律;在未来城市规划中，可以将异速生长和分形的思想结合起来，优化城市体系的空间和等级结构。
2017-07-12 physics.soc-ph
Dynamical approach to Zipf's law
大量不同的物理和社会经济系统的秩大小图通常被认为遵循齐普夫定律，但仍然缺乏一个独特的框架来理解这个无处不在的标度定律。在这里，我们表明，一个动态的方法是至关重要的：在他们的演变过程中，一些系统被吸引到齐普夫定律，而其他人提出齐普夫定律只是暂时的，因此，虚假的。一个真正的齐普菲动力学的特点是一个动力学约束，或相干性，参数之间的生成PDF，以及系统中的元素的数量。这种连贯性的一个明显例子是自然语言。我们的框架使我们能够得到一些定量的结果，远远超出了通常的齐普夫定律：i）地震只能不连贯地发展，从而显示齐普夫定律虚假;这使得一个地理区域发生的地震的最大可能的震级的评估。ii）我们证明Zipfian动力学不是可加性的，分析解释了为什么美国城市的发展是一致的，而世界城市则不是。（3）我们的一致性概念可用于模型选择，例如，Yule-Simon过程可以描述世界各国GDP的动态。iv）世界城市呈现虚假的齐普夫定律，我们使用这个属性来估计城市群的最大人口。
2020-07-13 econ.GN physics.soc-ph q-fin.EC
Modeling fractal structure of city-size distributions using correlation function
齐普夫定律是城市最显著的经验事实之一，但对于城市等级与规模的标度关系及其标度指数却没有令人信服的解释。基于一般分形和标度的思想，提出了城市发展的双重竞争假说，用以解释幂指数的取值区间和特殊值1。齐普夫定律和帕累托定律可以在数学上相互转化。基于Pareto分布，可以构造频率关联函数。通过标度分析和多重分形谱，得到了Pareto指数的参数区间为（0.5，1];基于Zipf分布，建立了与第一个尺寸关联函数相反的尺寸关联函数。利用第二关联函数和多重分形的概念，导出了Pareto指数区间为[1，2]。因此，城市演化过程可分为两种效应：一种是帕累托效应，即城市数量增加（外部复杂性）;另一种是齐普夫效应，即城市规模增长（内部复杂性）。由于两种效应的斗争，标度指数在0.5到2之间变化;但如果两种效应彼此达到平衡，标度指数接近1。通过一系列等级相关的数学实验对模型进行了验证，并得出结论：如果某一区域内的城市间的等级相关遵循齐普夫定律，那么城市间的等级相关和规模相关也遵循标度律。这一理论可以推广到解释物理和社会科学各个领域中的逆幂律分布。
2011-04-25 physics.soc-ph
The Rank-Size Scaling Law and Entropy-Maximizing Principle
齐普夫定律（Zipf's law）是一种比例定律，在自然界和社会机构中经常被观察到。许多科学家试图用熵最大化方法来推导秩-大小标度关系，但这一问题未能得到彻底解决。通过引入一个枢纽约束条件，本文给出了一组基于城市自相似层次的新的推导。首先，我通过假设局部熵最大化导出了一对指数律。从这两个指数律遵循一个一般的层次标度律，这意味着一般齐普夫定律。其次，通过对全局熵极大化的假设，得到了一个指数为1的特殊的层次标度律，这是Zipf定律的强形式。秩-大小标度律被证明是层次律的一种特殊情况，推导表明第一个或最后一个数据点为离群值的一定标度范围。社会系统的熵最大化不同于热力学中的熵增加概念。对于城市系统，熵最大化意味着部分/个体公平和整体效率的最佳平衡态。
2011-04-29 physics.soc-ph
The size distribution, scaling properties and spatial organization of urban clusters: a global and regional perspective
人类发展对地球表面有着深远的影响。自然土地覆被的变化以不同的形式发生，城市增长是最显著的变化过程之一。我们分析全球土地覆盖数据，并提取由最大连接的城市群定义的城市。对全球所有城市规模分布的分析证实了齐普夫定律。此外，通过调查的城市地区的集群的渗透性能，我们评估的接近临界为不同的国家。在临界点上，各国城市土地覆盖经历了从分散的集群向国家尺度上的巨大组成部分的转变。我们研究的Zipf指数作为一个函数的接近渗流，并发现一个系统的减少，随着规模的增加，这可能是文献中报道的偏离指数的原因。此外，我们调查的集群的平均大小作为一个函数的接近渗流，并找到国家的具体行为。通过将标准偏差和平均簇大小-类似于泰勒定律-我们提出了一种替代方法来确定渗滤过渡。我们计算城市土地覆盖的空间相关性，并找到长期的相关性。最后，通过将城市面积与人口数字联系起来，我们讨论了城市异速生长的全球方面，找到了一个指数$δ\approx 0.85$，即大城市的密度较低。
2014-03-31 cond-mat.stat-mech physics.data-an physics.soc-ph
Geographical space based on urban allometry and fractal dimension
本文通过将城市异速生长分为纵向、横向和等值线三类，推导出三组分形维数，并据此将城市地理空间划分为实际空间、相空间和有序空间，从而为解释城市分形维数和拓展地理空间分析理论提供统一框架。
2023-08-08 physics.soc-ph
Zipf's Law from Scale-free Geometry
人口的空间分布在从家庭（$\sim 10^{-2}$ km）到大陆（$\sim 10^4$ km）的各种尺度上呈现出聚集现象。经验数据表明，城市规模分布的简单幂律缩放（称为齐普夫定律）和人口密度波动作为规模的函数。使用技术从随机场理论和统计物理学，我们表明，这些幂律基本上是一个后果的无标度的空间聚集的人口和事实，人类居住在一个二维表面。从这个意义上说，尺度不变性在两个空间维度上的对称性与城市社会学密切相关。我们测试我们的理论，通过经验测量的人口密度波动的功率谱，并表明，对数斜率$α= 2.04 \pm 0.09$，在极好的协议与我们的理论预测$α= 2$。该模型通过引入随机场的数学形式，使许多新的预测分析计算成为可能。
2016-02-15 astro-ph.CO cond-mat.stat-mech cs.SI
Scaling in Words on Twitter
Eötvös Loránd University（厄特沃什·罗兰大学）；Senseable City Laboratory, MIT（麻省理工学院感知城市实验室）；Singapore-MIT Alliance for Research and Technology（新加坡-麻省理工学院研究与技术联盟）
语言的尺度特性是理解语篇生成过程的一个有用工具。我们调查的城市Twitter语料库来自美国的大都市和小都市统计区的缩放关系。我们观察到一个稍微超线性的城市规模与城市人口的推文和文字的总量在一个城市。然后，我们发现，一定的核心词汇遵循的规模关系的散装文本，但大多数的话是敏感的城市规模，表现出超线性或次线性的城市规模。对于这两种制度，我们可以根据词语的含义提供一个合理的解释。我们还表明，Zipf定律和堆定律的参数不同的Twitter上的其他文本，Zipf定律的指数与城市规模的变化。
2019-03-11 cs.CL cs.SI physics.soc-ph
Derivation of Relations between Scaling Exponents and Standard Deviation Ratios
异速生长规律是认识城市演化的基本规律之一。该定律的一般形式是异速生长标度律。然而，标度指数的深层含义和基本原理仍有待揭示。本文运用线性代数和回归分析的理论，揭示了异速标度指数的数理统计本质。假设城市系统中一组要素之间的几何测度关系遵循异速生长规律。异速生长标度指数在理论上等于一个对数测度的标准差与另一个对数测度的标准差之比。在基于观测数据的实证分析中，标度指数等于标准差比与相应的皮尔逊相关系数的乘积。数学推导的结果可以通过实证分析得到验证：基于标准差比的标度指数值与基于常规方法的标度指数值完全相同。这一发现可以推广到城市分形和城市规模分布来解释城市空间的分形维数和城市等级的Zipf标度指数。标度指数反映了特征长度的比值。本研究有助于从一个新的角度理解标度，以及标度与特征标度的联系和区别。
2020-04-25 physics.soc-ph
The spatial meaning of Pareto's scaling exponent of city-size distribution
城市等级的标度指数通常被认为是分形参数。将Pareto指数作为城市规模分布的分维，Zipf指数作为分维的倒数。然而，这种观点并不确切。在本文中，我将提出一个新的解释的标度指数的秩大小分布。从分形测度关系和维数一致性原理出发，探讨了Pareto标度指数和Zipf标度指数的本质。帕累托指数是城市网络的分维与城市人口平均维数的比值。因此，Zipf指数是该尺寸比的倒数。在数字地图上，帕累托指数可以通过地图比例尺与基于该比例尺的相应城市数量之间的比例关系来定义。美国1900年、1940年、1960年和1980年的城市和印度1981年、1991年和2001年的城市被用来说明帕累托指数的地理空间意义。结果表明，城市规模分布的帕累托指数不是分形维数，而是城市网络维数与城市人口维数的比值。这一结论对科学家理解齐普夫定律和城市等级的分形结构具有启发意义。
2013-09-19 nlin.AO physics.soc-ph
Scaling invariance of spatial autocorrelation in urban built-up area
本文通过数学推导与实证分析揭示了城市建成区 Moran's I 的尺度依赖性与分形维数之间的幂律关系，证明空间自相关常无特征尺度，为城市空间分析提供新思路。
2023-08-08 physics.soc-ph
Urban Scaling in Europe
在过去的几十年里，在经济学、地理学和复杂系统等不同学科中，出现了一种观点，认为城市的许多属性由于聚集或规模效应而可以定量预测。使用新的功能性城市区域的统一定义，我们研究在何种程度上这些想法适用于欧洲城市。我们发现，虽然大多数大型城市系统在西欧（法国，德国，意大利，西班牙，英国）大致同意理论预期，在每个国家的城市数量少，他们的自然变异排除得出强有力的结论。我们展示了如何克服这个问题，以便将来自不同城市系统的城市汇集在一起以构建更大的数据集。这导致了一个简单的统计程序，以确定城市规模的关系，然后清楚地出现作为欧洲城市的财产。我们比较城市规模的预测Zipf的法律的城市规模分布，并表明，虽然前者持有以及后者是一个贫穷的描述欧洲城市。最后，我们与未来的泛欧大城市的规模和属性及其对经济生产力，技术先进性和区域不平等的一体化欧洲城市系统的影响的情景。
2015-10-04 nlin.AO physics.data-an physics.soc-ph
On the problem of boundaries and scaling for urban street networks
自18世纪欧拉首次探索著名的柯尼斯堡桥问题以来，城市形态就一直是数学家和物理学家面临的重大智力挑战。在城市研究中已经观察到许多重要的几何和尺度定律，包括齐普夫定律和吉卜拉特定律，使城市成为统计物理学中有吸引力的分析系统。然而，关于如何界定城市及其边界的广泛共识仍然缺乏。应用一个基本的聚类技术的街道交叉口空间，我们表明，在英国和加利福尼亚州的最大城市的最大集群规模的增长曲线崩溃到一个单一的曲线，即逻辑。随后，通过引入凝聚阈值的概念，我们表明，城市的自然边界可以很好地定义在一个普遍的方式。这使我们能够系统地研究和讨论城市中存在的一些问题。我们发现，一些缩放律在空间和时间上呈现一致的行为，从而表明城市系统演化的基础上存在共同的原则。
2015-10-27 nlin.AO physics.data-an physics.soc-ph
Disadvantaged Communities Have Lower Access to Urban Infrastructure
空间可达性的差异与城市社区之间日益严重的不平等密切相关。由于提高某些社区的无障碍水平可以为他们提供向上的社会流动性，并解决城市中的社会排斥和不平等问题，因此必须了解城市社区空间无障碍的性质和分布。为了支持决策者在城市政策干预中实现包容性和公平性，我们提出了一个开源和数据驱动的框架，以了解不同人口统计数据之间基础设施无障碍的空间性质。我们发现，在任何城市（54个城市）的基础设施的广泛的可访问性收敛到齐普夫定律，这表明不平等也出现在这些城市的增长过程成正比。然后，评估这些城市的社会经济集群的城市配置文件之间的空间不平等，我们发现城市社区明显隔离沿社会和空间线。我们发现，少数民族比例较大、收入较低、拥有大学学位的人数相对较少的人群的可及性得分较低。这些研究结果表明，我们提出的可重复的框架可能有助于理解导致空间不平等的过程，并支持城市制定有针对性的措施，以解决某些贫困社区的不平等问题。
2022-03-25 cs.CY cs.SI physics.soc-ph
Stochastic equations and cities
Université Paris-Saclay（巴黎萨克雷大学）；CEA（法国原子能和替代能源委员会）；CNRS（法国国家科学研究中心）；Institut de Physique Théorique（理论物理研究所）；Centre d’Analyse et de Mathématique Sociales（社会分析与数学中心）；EHESS（高等社会科学学院）
本文回顾了基于随机方程解释城市人口Zipf定律及排名动态的多种理论模型，推导了城市人口随机方程，证实城际迁移冲击对城市人口统计与动态的关键作用。
2023-07-11 cond-mat.dis-nn cond-mat.stat-mech physics.soc-ph
The size distribution of cities: a kinetic explanation
我们提出了一个动力学的方法来形成的城市群，这是基于简单的移民和迁出的规则。在大多数情况下，玻尔兹曼型动力学的描述允许获得，在一个渐进的过程中，一个福克-普朗克方程与可变系数的扩散和漂移，它描述了在时间上的一些概率密度的城市规模的演变。它表明，在迁移的微观规则的依赖，平衡密度可以遵循两个幂律的大小变量的大值，其中包含作为特殊情况下的齐普夫定律的行为，和对数正态律的大小变量的中间和低的值。特别是，帕累托指数的幂律在平衡和处置的人口移民的值之间的连接进行了概述。理论研究结果与最近的数据，意大利和瑞士的人口进行了测试。
2018-07-18 nlin.AO physics.soc-ph
Spatial network connectivity of population and development in the USA; Implications for disease transmission
齐普夫定律指出，城市人口的等级规模分布遵循指数为-1的幂律。普遍幂律的主张是有争议的，因为线性和斜率似乎随时间和国家而变化。我们比较人口普查和夜灯亮度作为代理人口密度和强度的发展，在毗邻的美国。将人口密度和发展强度作为连续量处理，可以根据空间连通性水平定义空间网络。由此产生的空间网络组件（连接节点的子集）的分布随连接程度而变化，但保持一致的缩放范围广泛的网络大小。在大陆尺度上，从人口密度和夜间灯光亮度获得的空间网络秩大小分布是很好的拟合幂律与指数接近-1的密度和亮度阈值的范围很广。然而，最大的组成部分（10，000 - 100，000 sq.km）远远大于单个城市，代表城市、郊区和城郊发展的空间连续聚集。将美国SARS-CoV-2确诊病例的县级数量投影到人口与发展的空间网络上，可以将流行病的时空演变量化为不同连通性网络内的传播。结果显示，在2020年3月出现流动性减少之前，确诊病例从少数网络组成部分的缓慢增加突然转变为快速的地理分散到更多组成部分。
2020-04-29 physics.soc-ph
Unraveling the Rank-Size Rule with Self-Similar Hierarchies
许多科学家对诸如秩-大小法则等各种负指数为1的幂律定律感兴趣，但又感到困惑。排名大小规则是一个非常简单的比例法则，遵循许多观察物理和社会系统中无处不在的经验模式。在存在职级-规模分布的地方，将存在具有级联结构的层级。然而，等级规模规则和等级标度律之间的等价关系仍然需要数学证明和经验证明。本文通过理论推导、数学实验和实证分析，证明了秩-规模法则与层次标度法则（Nn法则）在理论上是等价的。以{1，1/2，...，1/k，.}从秩-大小规则出发，证明了调和序列（k=1，2，3，.）的一个几何细分定理.利用该定理，可以将秩-大小分布转化为自相似的层次，从而将幂律分解为一对指数律，进而将秩-大小幂律重构为层次标度律.一些普遍存在的经验观察和规则，包括齐普夫定律，帕累托分布，分形，异速生长标度，1/f噪声，可以统一到层次框架。自相似层次结构为我们提供了一个新的视角来看待自然界的逆幂律，甚至是自然界如何运作。
2011-04-22 cs.SI physics.soc-ph
Distance weighted city growth
城市群呈现出复杂的涌现特征，齐普夫定律，即幂律尺寸分布和分形可以被认为是最突出的。我们提出了一个简单的模型，这是完全基于假设的增长是更有可能发生接近居住空间的城市样结构的生成。该模型涉及一个参数，这是一个指数，确定如何强烈的吸引力衰减的距离。此外，该模型迭代运行，以便现有的集群可以（一起）增长，新的集群可以出现。该模型能够再现最大团簇边界的粒度分布和分形。虽然幂律分布取决于两者，强加的指数和迭代，分形似乎是独立的前者，只取决于后者。分析土地覆盖数据，我们估计参数值$γ\approx 2.5$为巴黎及其周边地区。
2013-02-07 cond-mat.stat-mech physics.data-an physics.soc-ph
Scaling and allometry in the building geometries of Greater London
许多城市活动的总体分布，如城市规模揭示了尺度，但几乎没有任何工作存在于单个城市的空间分布的属性，尽管相当多的知识，其分形结构。我们纠正这一点，在这里通过检查在一个世界城市使用数据的几何属性的个别建筑物的缩放关系。我们首先总结了如何使用幂律来近似建筑物的大小分布，在类比城市规模分布已被广泛研究的秩大小和对数正态分布Zipf和Gibrat。然后，我们将这种分析扩展到建筑物之间的异速生长关系，在其不同的几何尺寸属性。我们提出了一些初步的分析，从Emporis数据库，这表明非常强大的缩放世界城市的建筑高度。然后介绍了大伦敦的数据库，从中我们提取了360万建筑物的缩放特性，我们探索。我们研究这些不同属性之间的关键异速生长关系，说明建筑形状如何根据大小变化，我们将这种分析扩展到根据土地利用类型对建筑物进行分类。最后，我们分析了两点关联函数的建筑物的几何形状，支持我们的非空间分析的缩放。
2008-04-17 physics.data-an physics.soc-ph
