A theoretical approach for Pareto-Zipf law
我们提出了一种分析方法的帕累托-齐普夫定律，我们假设随机乘性噪声和碎片化过程的增长，每个城市的公民人数和城市的数量，分别。
2008-02-27 physics.soc-ph q-fin.GN
MetaMetaZipf. What do analyses of city size distributions have in common?
在这篇文章中，我进行了文本和上下文分析的实证文献齐普夫的法律城市。基于以前公开的荟萃分析材料，我收集了66篇英文科学文章的全文和参考书目，并构建了他们使用的术语以及引用的参考文献和学科的相似性网络。我使用这些网络作为解释变量的模型的相似性网络的分布Zipf估计报告的66篇文章。我发现，作者经常使用的词语的接近度与他们倾向于报告类似的Zipf估计值和分散度呈正相关。文章的参考框架也发挥了作用，因为引用类似参考文献的文章往往报告类似的Zipf估计平均值。作为对先前荟萃分析的补充，本方法揭示了用于报告城市规模分布的科学文本和背景。它允许识别语料库中的空白和可能被忽视的文章。
2020-08-26 cs.DL physics.soc-ph
Zipf's law and urban scaling: Hypotheses towards a Unified Urban Theory
我们提出的假设描述的经验发现之间的关联指数的城市GDP规模和齐普夫定律的城市。这些假设代表了这两种现象之间的定向或相互因果联系的各种组合，包括城市间和城市内的过程。未来的理论和模型可以根据这些假设来激励和分类。本文旨在激发围绕这些现象背后的过程进行讨论，并为统一的城市理论铺平道路。
2021-07-25 physics.soc-ph
The Gompertz-Zipf city size distribution and urban allometry
Universidade Federal do Rio de Janeiro（里约热内卢联邦大学）
该研究利用巴西IBGE150年人口普查数据，提出贡珀茨-齐夫分布描述城市规模，发现城市人口集中度上升，且城市异速生长的缩放关系仅适用于城市化面积。
2026-10-15 physics.soc-ph
The Mathematical Relationship between Zipf's Law and the Hierarchical Scaling Law
城市规模分布的实证研究表明，齐普夫定律和等级标度定律在许多方面是联系在一起的。等级规模缩放和等级缩放似乎是同一枚硬币的两个不同面，但它们之间的关系从未被严格的数学证明所揭示。本文将城市的Zipf分布抽象为一个q序列。在此基础上，定义了一个由多个层次组成的自相似层次结构，不同层次上的城市数量形成一个几何序列。城市的平均规模的指数分布是由层次结构推导出来的。因此，我们有两个指数函数，从下面的分层尺度方程。其结果可以用简单的数学实验和城市观测数据进行统计验证。为Zipf定律向等级标度定律的转换奠定了理论基础，等级标度定律比Zipf定律更能反映城市发展的信息。此外，自相似层次结构为城市网络作为复杂系统的研究提供了一个新的视角。应用于城市的一系列数学规则，如异速生长定律、2^n原理和帕累托定律，可以通过等级组织相互联系。
2016-06-12 physics.soc-ph
Exploring the Level of Urbanization Based on Zipf's Scaling Exponent
城市的等级规模分布遵循齐普夫定律，齐普夫标度指数往往趋于常数1。这似乎是一个普遍的规则。然而，最近的数值试验表明，在一个人口大国，齐夫指数1与高城市化水平之间存在着矛盾。本文采用数学建模、计算分析和反证的方法，揭示了城市化水平与Zipf标度指数之间的数值关系。主要调查结果如下。(1)如果齐普夫标度指数等于1，那么一个人口大国的城市化率很难超过50%。(2)如果齐普夫标度指数小于1，人口大国的城市化水平可以超过80%。结果表明，Zipf指数是城市化动力学的控制参数。为了提高人口大国的城市化水平，需要降低齐普夫标度指数。利用异速生长定律解释了Zipf指数的变化，并利用标度变换证明了不同的城市定义对上述分析结论没有本质影响。本研究为研究齐普夫城市规模分布规律和城市化动力学提供了一种新的视角。
2020-11-16 physics.soc-ph
MetaZipf. (Re)producing knowledge about city size distributions
齐普夫城市定律可能是社会科学中最著名的规律。以至于在出版一百年后，它的地位还不清楚：它是社会组织法吗？它是描述城市规模分布的工具吗？它是否是验证地理对象（特别是城市和城市系统）的一个要素？等级大小参数的经验估计非常多，并且相互矛盾。在这项研究中，我们提出了一个可重复的荟萃分析的最大池的文件关于这个问题，从收集的数据开放和建设的在线互动应用程序，让读者探索这方面的文献。我们发现，在齐普夫系数的测量中观察到的很大一部分变化是不必要的，因为它来自于城市定义方式中不同技术规格的选择，而我们的结果对目前解释剩余变化份额的一些理论提出了挑战。
2016-06-20 physics.soc-ph
Zipf's law, Hierarchical Structure, and Shuffling-Cards Model for Urban Development
提出了一个新的视角来寻找支配复杂系统的简单规则和城市等随机现象背后的规律。城市的等级反映了在自然世界和社会机构中经常观察到的无处不在的结构。如果存在具有级联结构的层级，则存在遵循齐普夫定律的等级-规模分布，反之亦然。该层次结构可以用一组指数函数来描述，这些指数函数在形式上与Horton-Strahler关于河流的定律和Gutenberg-Richter关于地震能量的定律相同。从指数模型，我们可以推导出四个幂律，如齐普夫定律指示分形和标度对称性。对层次结构的研究有助于我们理解复杂系统是如何自组织的。建立洗牌模型，解释齐普夫定律与城市等级的关系。这个模型可以扩展到解释一般的经验幂律分布在个别的物理和社会科学，这是很难理解的具体科学领域。
2011-04-16 physics.soc-ph
Scaling in Words on Twitter
Eötvös Loránd University（厄特沃什·罗兰大学）；Senseable City Laboratory, MIT（麻省理工学院感知城市实验室）；Singapore-MIT Alliance for Research and Technology（新加坡-麻省理工学院研究与技术联盟）
语言的尺度特性是理解语篇生成过程的一个有用工具。我们调查的城市Twitter语料库来自美国的大都市和小都市统计区的缩放关系。我们观察到一个稍微超线性的城市规模与城市人口的推文和文字的总量在一个城市。然后，我们发现，一定的核心词汇遵循的规模关系的散装文本，但大多数的话是敏感的城市规模，表现出超线性或次线性的城市规模。对于这两种制度，我们可以根据词语的含义提供一个合理的解释。我们还表明，Zipf定律和堆定律的参数不同的Twitter上的其他文本，Zipf定律的指数与城市规模的变化。
2019-03-11 cs.CL cs.SI physics.soc-ph
Stability of Zipf's law and occult spatial dependence effects: A study on the OECD countries
本研究通过空间权重矩阵和SEM/SAR回归，分析OECD国家城市Zipf定律中的空间依赖性，识别上尾分布受空间自相关扰动的现象，并以比利时为例展示方法。
2025-03-31 physics.soc-ph
Recursive Subdivision of Urban Space and Zipf's law
齐普夫定律可以用来描述一个区域内城市的位序-规模分布。它很少被用于研究城市内部结构。在本文中，我们证明了一个城市的空间填充过程遵循齐普夫定律，并可以与排名大小规则的特点。提出了一个城市空间分解模型来描述城市增长的空间规律。通过空间的递归细分，城市区域可以在几何上划分为二区、四区、八区等，形成一个具有梯级结构的层次结构。如果我们按大小对这些部分进行排序，这些部分将符合Zipf分布。利用GIS技术和遥感数据，将城市空间递归细分模型应用于中国三个城市。结果表明，城市内部的等级结构符合齐普夫定律，等级规模标度指数非常接近于1。本研究的意义在于三个方面。首先，通过对城市空间的严格细分，揭示了城市形态空间秩序的有效途径。其次，揭示了城市空间填充过程与位序-规模规则之间的关系。第三，它提出了一种新的方式来理解分形，齐普夫定律，和城市演变的空间组织。
2012-09-25 physics.soc-ph
City Size Distributions For India and China
本文研究了印度和中国城市群的规模分布。利用印度1981-2001年人口普查数据和中国1990 - 2000年人口普查数据，对齐普夫定律的标度指数进行了估计。与有偏线性拟合估计一起，计算了Pareto和Tsallis q-指数分布的极大似然估计。对于印度，标度指数在[1.88，2.06]范围内，对于中国，它在[1.82，2.29]区间内。估计分布的拟合优度检验使用Kolmogorov-Smirnov统计量进行。
2010-01-06 physics.soc-ph
Zipf's Law for Atlas Models
Claremont McKenna College（克莱蒙特麦肯纳学院）；Intech Investment Management, LLC（Intech投资管理有限责任公司）
本文研究了阿特拉斯模型和一阶模型如何通过保守性和完整性条件解释齐夫定律的普遍性，揭示了不同排名数据遵循齐夫定律或非齐夫帕累托分布的原因。
2020-06-02 econ.GN physics.soc-ph q-fin.EC
A sensible proof connecting the scale-free feature with the Zipf-law
本文通过严格数学推导，证明了任意阶数为$N$的无标度网络模型中基于顶点排名的无标度特性与Zipf定律之间的等价关系，消除了Zipf定律缺乏理论基础的空白，为采用复杂网络方法研究Zipf定律提供了理论依据。
2023-08-07 physics.soc-ph
Simon's model does not produce Zipf's law: The fundamental rich-get-richer mechanism for any power-law size ranking
University of Vermont（佛蒙特大学）；Santa Fe Institute（圣塔菲研究所）
本文推导了时间依赖的创新率，使所有幂律大小排名正确，揭示了产生齐夫定律的创新率衰减规律，并展示模型在文学作品中的有效性，反驳了西蒙模型的局限性。
2026-04-14 physics.soc-ph
The Area and Population of Cities: New Insights from a Different Perspective on Cities
城市人口的分布吸引了大量的关注，部分原因是它严重制约了地方增长模式。然而，直到今天，对于最上尾以下的分布还没有达成共识，因为现有的数据需要依赖于中小城市的“法律”而不是“经济”城市定义。为了解决这一困难，在这项工作中，我们构建城市“自下而上”通过聚类从高分辨率数据获得的人口稠密地区。这种方法使我们能够调查人口和城市面积的城市群的各种规模的使用聚类方法从渗流理论。我们发现，齐普夫定律（指数接近1的幂律）适用于美国12，000居民和英国5，000居民的城市。此外，城市面积的分布也接近齐夫定律。我们提供了一个简约的模型与内生的城市面积是一致的，这些发现。
2016-03-28 cond-mat.dis-nn physics.soc-ph
Association between population distribution and urban GDP scaling
城市尺度和齐夫定律是城市科学的两个基本范式。这些法律大多是独立调查的，往往被视为无关的事项。在这里，我们提出了一个大规模的调查，这两个法律之间的联系，使用人口和GDP数据，从近5000个一致定义的城市在96个国家。我们的经验表明，这两个法律是相互联系的，并得出一个表达式有关的城市规模和Zipf指数。该表达式捕捉了两个指数之间经验关系的平均趋势，并且在考虑随机变化后，模拟产生与真实数据非常相似的结果。我们发现，虽然绝大多数国家表现出城市GDP规模收益递增，但这种效应在小城市较少、大都市较多的国家（小Zipf指数）比在大小城市数量不均匀的国家（大Zipf指数）不那么明显。我们的研究提出了这样一种观点，即城市规模并不仅仅来自城市内部的过程，因为人口分布和城市GDP的规模是相互关联的。
2021-01-08 physics.data-an physics.soc-ph
City size distributions are driven by each generation's stay-vs-leave decision
本文提出一个仅含“留下概率r”和最大城市数两个参数的模型，证明并模拟了城市规模幂律分布，指数为α=1+1/r，强调家庭纽带与风险规避而非经济优化是城市规模分布的根本驱动力。
2024-05-03 physics.soc-ph
Distance weighted city growth
城市群呈现出复杂的涌现特征，齐普夫定律，即幂律尺寸分布和分形可以被认为是最突出的。我们提出了一个简单的模型，这是完全基于假设的增长是更有可能发生接近居住空间的城市样结构的生成。该模型涉及一个参数，这是一个指数，确定如何强烈的吸引力衰减的距离。此外，该模型迭代运行，以便现有的集群可以（一起）增长，新的集群可以出现。该模型能够再现最大团簇边界的粒度分布和分形。虽然幂律分布取决于两者，强加的指数和迭代，分形似乎是独立的前者，只取决于后者。分析土地覆盖数据，我们估计参数值$γ\approx 2.5$为巴黎及其周边地区。
2013-02-07 cond-mat.stat-mech physics.data-an physics.soc-ph
Distribution of neighborhood size in cities
我们研究了一组12个全球城市的社区分布，发现社区大小的分布在所有考虑的城市都遵循指数衰减。我们能够分析表明，这种指数分布的邻里大小是符合观察到的齐普夫定律的城市规模。我们试图解释出现指数衰减的邻里规模使用邻里动态模型，迁移到城市内的运动是由财富介导的。我们发现，根据经验观察，该模型产生指数衰减的邻域大小分布的参数规格范围。使用一个相对的财富为基础的指标，以评估一个社区的相对吸引力结合一个严格的负担能力阈值在调解城市内的运动被认为是必要的条件出现的指数分布。虽然分析处理是困难的，由于全球耦合动力学，我们使用一个简单的两个邻域系统来说明精确的动态产生平衡不相等的邻域大小分布。
2020-10-14 physics.soc-ph
The size distribution of cities: a kinetic explanation
我们提出了一个动力学的方法来形成的城市群，这是基于简单的移民和迁出的规则。在大多数情况下，玻尔兹曼型动力学的描述允许获得，在一个渐进的过程中，一个福克-普朗克方程与可变系数的扩散和漂移，它描述了在时间上的一些概率密度的城市规模的演变。它表明，在迁移的微观规则的依赖，平衡密度可以遵循两个幂律的大小变量的大值，其中包含作为特殊情况下的齐普夫定律的行为，和对数正态律的大小变量的中间和低的值。特别是，帕累托指数的幂律在平衡和处置的人口移民的值之间的连接进行了概述。理论研究结果与最近的数据，意大利和瑞士的人口进行了测试。
2018-07-18 nlin.AO physics.soc-ph
Statistical Outliers and Dragon-Kings as Bose-Condensed Droplets
异常极端事件的理论，其特点是与其他分布相比，其异常的大小，提出。这种被称为“龙王”的离群值已在金融提款分布、城市规模分布（例如，法国巴黎和英国伦敦），在材料故障，癫痫发作强度，和其他系统。在我们的理论中，大的异常值被解释为玻色-爱因斯坦凝聚体的液滴：异常值的出现是玻色-爱因斯坦凝聚发生的自然结果，由最大实体的相对吸引力或效用控制。对于大的种群，齐普夫定律被恢复（除了龙王离群值）。因此，该理论提供了一个简约的描述可能共存的幂律分布的事件大小（齐普夫定律）和龙王离群值。
2012-05-07 physics.soc-ph q-fin.GN quant-ph
Test of two hypotheses explaining the size of populations in a system of cities
对城市系统中人口增长的两个经典假设进行了检验：假设1属于Gibrat和Zipf的理论，即城市增长-衰退过程与规模无关;假设2属于所谓的Yule过程，该过程指出城市人口的增长发生在（i）城市人口初始规模的分布服从对数正态函数，（ii）沉降的增长遵循随机过程。测试的基础是保加利亚城市在不同时期的一些官方数据。之所以选择这一系统，是因为（一）保加利亚是一个国家，人们不期望有偏见的理论条件;（二）城市人口确定得相当精确。本研究结果表明：（i）保加利亚城市的人口规模增长是规模依赖的，假设1在保加利亚没有得到证实;（ii）保加利亚城市的人口规模增长可以用双帕累托对数正态分布来描述，假设2在保加利亚城市系统中是有效的。预计这项精细的研究将为各国其他通常被认为更相关的城市系统带来一些信息和启示。
2015-06-29 cs.SI physics.soc-ph stat.AP
Scaling evidence of the homothetic nature of cities
University of Luxembourg（卢森堡大学）
本文通过分析欧洲城市土地利用和人口密度与市中心距离的关系，发现不同规模城市在土地利用和人口密度上呈现同源性质，揭示了城市尺度的自相似性。
2017-04-21 econ.GN physics.soc-ph q-fin.EC
A Hierarchical Allometric Scaling Analysis of Chinese Cities: 1991-2014
基于齐普夫分布的异速生长标度律可以用来研究地理区域内城市的等级结构。然而，异速生长模式容易受到观测数据中噪声的随机干扰。理论上，异速生长定律和齐普夫定律都与分形结构的分级标度律有关。本文将具有级联结构的等级体系的标度律应用于中国城市的研究，并运用R/S分析方法分析了中国城市异速生长标度指数的变化趋势。结果表明，1991 - 2014年中国城市的等级标度关系越来越清晰，全球异速标度指数值在0.85附近波动，局部标度指数接近0.85。异速生长参数变化的Hurst指数大于0.5，表明城市演化具有持续性和长期记忆性。主要结论是：城市异速生长规律不是一成不变的规律，而是城市化自组织过程中的一种演化规律;在未来城市规划中，可以将异速生长和分形的思想结合起来，优化城市体系的空间和等级结构。
2017-07-12 physics.soc-ph
Scaling and allometry in the building geometries of Greater London
许多城市活动的总体分布，如城市规模揭示了尺度，但几乎没有任何工作存在于单个城市的空间分布的属性，尽管相当多的知识，其分形结构。我们纠正这一点，在这里通过检查在一个世界城市使用数据的几何属性的个别建筑物的缩放关系。我们首先总结了如何使用幂律来近似建筑物的大小分布，在类比城市规模分布已被广泛研究的秩大小和对数正态分布Zipf和Gibrat。然后，我们将这种分析扩展到建筑物之间的异速生长关系，在其不同的几何尺寸属性。我们提出了一些初步的分析，从Emporis数据库，这表明非常强大的缩放世界城市的建筑高度。然后介绍了大伦敦的数据库，从中我们提取了360万建筑物的缩放特性，我们探索。我们研究这些不同属性之间的关键异速生长关系，说明建筑形状如何根据大小变化，我们将这种分析扩展到根据土地利用类型对建筑物进行分类。最后，我们分析了两点关联函数的建筑物的几何形状，支持我们的非空间分析的缩放。
2008-04-17 physics.data-an physics.soc-ph
Gibrat's law for cities: uniformly most powerful unbiased test of the Pareto against the lognormal
我们解决的一般问题，测试幂律分布与对数正态分布的统计数据。2000年美国城市规模普查的分布说明了这个普遍问题。Eeckhout（2004，2009）和Levy（2009）关于Zipf定律（尾部指数为1的特殊帕累托定律）是否适用于描述美国城市规模分布尾部的争论，我们提供了明确的结果。由于Eeckhout和Levy之间的分歧源于他们检验的有限功效，因此我们对对数正态分布的Pareto分布的零假设执行{ \em一致最大功效无偏检验}。$p$值和希尔估计值作为城市规模下限的函数，无疑证实了1000个最大城市的规模分布是帕累托分布，其中包括美国总人口的一半以上，但我们排除了尾部指数，估计为$1.4 \pm 0.1$，等于1。对于较大的排名，$p$值变得非常小，希尔的估计系统地衰减与降低排名，资格的对数正态分布作为更好的模型为一组较小的城市。这两个结果调和了Eeckhout（2004，2009）和Levy（2009）的相反观点。我们解释了如何Gibrat的法律比例增长的帕累托分布和对数正态分布的基础上，并强调其差异的城市\cite{Gabaix99,Eeckhout2004}的标准随机增长模型的起源的关键成分。
2009-09-07 physics.data-an physics.soc-ph
The size distribution, scaling properties and spatial organization of urban clusters: a global and regional perspective
人类发展对地球表面有着深远的影响。自然土地覆被的变化以不同的形式发生，城市增长是最显著的变化过程之一。我们分析全球土地覆盖数据，并提取由最大连接的城市群定义的城市。对全球所有城市规模分布的分析证实了齐普夫定律。此外，通过调查的城市地区的集群的渗透性能，我们评估的接近临界为不同的国家。在临界点上，各国城市土地覆盖经历了从分散的集群向国家尺度上的巨大组成部分的转变。我们研究的Zipf指数作为一个函数的接近渗流，并发现一个系统的减少，随着规模的增加，这可能是文献中报道的偏离指数的原因。此外，我们调查的集群的平均大小作为一个函数的接近渗流，并找到国家的具体行为。通过将标准偏差和平均簇大小-类似于泰勒定律-我们提出了一种替代方法来确定渗滤过渡。我们计算城市土地覆盖的空间相关性，并找到长期的相关性。最后，通过将城市面积与人口数字联系起来，我们讨论了城市异速生长的全球方面，找到了一个指数$δ\approx 0.85$，即大城市的密度较低。
2014-03-31 cond-mat.stat-mech physics.data-an physics.soc-ph
A Generalized Preferential Attachment Model for Business Firms Growth Rates: II. Mathematical Treatment
我们提出了一个偏好依恋增长模型，以获得分布$P(K)$的单位数$K$的类，这可能代表商业公司或其他社会经济实体。我们发现，$P(K)$是描述在其中心部分的幂律与指数$ϕ=2+b/(1-b)$，这取决于新的类，$b$进入的概率。在城市人口的一个特殊问题中，这种分布等价于著名的齐普夫定律。在没有新类条目的情况下，分布$P(K)$是指数分布。利用$P(K)$的解析形式，假设单位按比例增长，导出企业增长率的分布$P(g)$。该模型预测，$P(g)$有一个拉普拉斯尖在中央部分和渐近幂律尾指数$ζ=3$。我们通过模拟测试的启发式参数推导出的解析表达式。该模型还可以解释企业增长率的规模-方差关系。
2006-09-04 physics.data-an physics.soc-ph q-fin.GN
Spatial network connectivity of population and development in the USA; Implications for disease transmission
齐普夫定律指出，城市人口的等级规模分布遵循指数为-1的幂律。普遍幂律的主张是有争议的，因为线性和斜率似乎随时间和国家而变化。我们比较人口普查和夜灯亮度作为代理人口密度和强度的发展，在毗邻的美国。将人口密度和发展强度作为连续量处理，可以根据空间连通性水平定义空间网络。由此产生的空间网络组件（连接节点的子集）的分布随连接程度而变化，但保持一致的缩放范围广泛的网络大小。在大陆尺度上，从人口密度和夜间灯光亮度获得的空间网络秩大小分布是很好的拟合幂律与指数接近-1的密度和亮度阈值的范围很广。然而，最大的组成部分（10，000 - 100，000 sq.km）远远大于单个城市，代表城市、郊区和城郊发展的空间连续聚集。将美国SARS-CoV-2确诊病例的县级数量投影到人口与发展的空间网络上，可以将流行病的时空演变量化为不同连通性网络内的传播。结果显示，在2020年3月出现流动性减少之前，确诊病例从少数网络组成部分的缓慢增加突然转变为快速的地理分散到更多组成部分。
2020-04-29 physics.soc-ph
Popularity Trajectories and Mixing Patterns of Urban Venues in Two European Cities
Complex Connections Lab, Network Science Institute, Northeastern University（东北大学网络科学研究所复杂连接实验室）；Public Tech Media Lab, University of Wisconsin-Madison（威斯康星大学麦迪逊分校公共技术媒体实验室）；Nokia Bell Labs（诺基亚贝尔实验室）；Politecnico di Torino（都灵理工大学）；ISI Foundation（ISI基金会）
本研究基于伦敦和巴塞罗那的Foursquare场所数据，识别出六种城市场所流行轨迹形态，发现场所邻近性可预测表现，且街区层面的社会历史背景影响轨迹特征。
2026-10-15 cs.LG cs.SI physics.soc-ph
