从广义（m，2）-Zipf定律的投资模拟中我们能看到什么？

齐普夫定律与最大可持续增长

Zipf's law and maximum sustainable growth

齐普夫定律指出，规模大于S的企业数量与S成反比。大多数解释都是从Gibrat的比例增长规则开始的，但需要额外的限制。我们表明，Gibrat的规则，在所有的企业水平，收益率齐普夫定律之间的有效增长率的平衡条件下，在位企业（其中包括他们可能的死亡）和投资的增长率在进入企业。值得注意的是，齐普夫定律是资源长期优化配置的标志，它确保了经济的最大可持续增长率。

On the emergence of Zipf's law in music

Zipf's law is found when the vocabulary of long written texts is ranked according to the frequency of word occurrences, establishing a power-law decay for the frequency vs rank relation. This law is a robust statistical property observed even in ancient untranslated languages. Interestingly, this law seems to be also manifested in music records when several metrics---functioning as words in written texts---are used. Even though music can be regarded as a language, finding an accurate equivalent of the concept of words in music is difficult because it lacks a functional semantic. This raises th…

Exploring the Level of Urbanization Based on Zipf's Scaling Exponent

The rank-size distribution of cities follows Zipf's law, and the Zipf scaling exponent often tends to a constant 1. This seems to be a general rule. However, a recent numerical experiment shows that there exists a contradiction between the Zipf exponent 1 and high urbanization level in a large population country. In this paper, mathematical modeling, computational analysis, and the method of proof by contradiction are employed to reveal the numerical relationships between urbanization level and Zipf scaling exponent. The main findings are as follows. (1) If Zipf scaling exponent equals 1, the …

传播进化中齐普夫定律的Emergence

Emergence of Zipf's Law in the Evolution of Communication

齐普夫定律似乎在人类语言中无处不在，似乎是复杂通信系统的普遍属性。Zipf提出的早期建议，关于存在的紧张局势之间的努力，扬声器和听话人在通信系统中，我们介绍了进化的变分方法的基础上Kullback的最小歧视的信息原则的问题。因此，使用完全嵌入在信息论的框架中的形式主义，我们证明了齐普夫定律是一个不断发展的，通信系统下的严格定义的通信张力描述的齐普夫的唯一预期的结果。

Zipf定律与分级标度律的数学关系

The Mathematical Relationship between Zipf's Law and the Hierarchical Scaling Law

城市规模分布的实证研究表明，齐普夫定律和等级标度定律在许多方面是联系在一起的。等级规模缩放和等级缩放似乎是同一枚硬币的两个不同面，但它们之间的关系从未被严格的数学证明所揭示。本文将城市的Zipf分布抽象为一个q序列。在此基础上，定义了一个由多个层次组成的自相似层次结构，不同层次上的城市数量形成一个几何序列。城市的平均规模的指数分布是由层次结构推导出来的。因此，我们有两个指数函数，从下面的分层尺度方程。其结果可以用简单的数学实验和城市观测数据进行统计验证。为Zipf定律向等级标度定律的转换奠定了理论基础，等级标度定律比Zipf定律更能反映城市发展的信息。此外，自相似层次结构为城市网络作为复杂系统的研究提供了一个新的视角。应用于城市的一系列数学规则，如异速生长定律、2^n原理和帕累托定律，可以通过等级组织相互联系。

城市发展的齐普夫定律的演变

The evolution of Zipf's law indicative of city development

齐普夫城市规模分布规律可以用三种数学模型表示：单参数形式、双参数形式和三参数形式。单参数模型和双参数模型之一是城市科学家所熟悉的。然而，三参数模型和另一类双参数模型尚未引起人们的重视。本文探讨了Zipf模型的适用条件和适用范围。通过数学推理和实证分析，有如下新发现。首先，如果一个地理区域中的城市规模分布不能用单参数或双参数模型来描述，那么也许可以用具有尺度因子和尺度平移因子的三参数模型来表征。第二，所有这些Zipf模型可以统一基于级联结构的分级标度律。第三，城市规模的分布模式似乎从三参数模式演变到双参数模式，然后再演变到单参数模式。利用中国城市四年人口普查数据，验证了三参数齐普夫定律和相应的等级规模分布的层次结构。这一研究对于人们认识社会系统的科学规律和城市发展的特性具有启示意义。