Quandle Identities and Homology
Quandle同调是从rack同调定义为商由对应于幂等性的子复形，对于在I型Reidemeister移动下的不变性。类似的子复形已经被认为是各种身份的机架和移动图。我们观察到这些身份和subcomplex的共同点; quandle身份产生一个$2$ -循环，阿贝尔扩展与$2$-cocycle上消失的$2$-循环继承的身份，和subcomplex的身份构建。具体的身份是在小连接的困境中检查。
2016-02-27 math.GT
Three geometric applications of quandle homology
本文描述了quandle同调的三个几何应用。我们证明了它给缠结嵌入提供了障碍，提供了链接之间的4-移动距离的下界，并可用于确定链接的周期性。
2008-09-04 math.GT
Homology Groups of Symmetric Quandles and Cocycle Invariants of Links and Surface-links
引入了具有好对合的quandle及其同调群的概念。Carter等人定义了定向链和定向面链的quandle上循环不变量。通过使用好的对合，quandle cocyle不变量可以被定义为不一定定向或可定向的链接和表面链接。该不变量可用于估计非可定向曲面链环的最小三重点数。
2009-02-25 math.GT
Polynomial cocycles of Alexander quandles and applications
余圈是由亚历山大量子点的多项式表达式构造的。作为应用，证明了某些quandle同调群的非平凡性，并研究了纽结的quandle上循环不变量。特别地，对于无限Quandle族，证明了Quandle同调群的非平凡性。
2007-04-30 math.GT
Homology of dihedral quandles
我们解决了R.芬角Rourke和B. Sanderson证明了二面体quandles的架同调满足H_3 ^R（R_p）= Z \oplus Z_p（p为奇素数）。我们还证明了当n>2时，H_n^R（R_p）包含Z_p.此外，我们还证明了H_n^R（R_3）的挠被3.我们还证明了当p为奇素数时，量子同调H_4^Q（R_p）包含Z_p。我们猜想，当n>1时，quandle同调满足：H_n^Q（R_p）= Z_p^{f_n}，其中f_n是“延迟”斐波那契数，即f_n = f_{n-1} + f_{n-3}且f（1）=f（2）=0，f（3）=1.我们的论文是接近这个猜想的第一步。
2006-11-27 math.GT
Cyclic branched coverings of knots and quandle homology
本文给出了由群上循环构造quandle上循环的方法，特别是对任意整数p，由循环群Z/p的群上循环构造二面体quandle R_p的quandle上循环，证明了Z/p的群3-上循环产生R_p的非平凡quandle 3-上循环，当p是奇素数时，由于dim_{F_p} H_Q^3（R_p; F_p）= 1，我们的3-上圈是Mochizuki 3-上圈的常数倍，直到上边界。对偶地，我们构造了一个群圈，它由一个沿纽结K分支的循环分支覆盖所表示。
2012-04-21 math.GT
Homology and Cohomology of Topological Quandles
引入了拓扑quandles的同调和上同调理论。研究了这些（co）同调群与quandle（co）同调群之间的关系. 1 -拓扑量子上圈被用来计算对应于纽结图的状态和不变量。
2022-08-02 math.AT math.GT
Quandle homology and relative group homology
Tsuda University（津田塾大学）
本文引入从quandle同调到相对群同调的链映射，构造若干quandle上循环，并将其与1维和2维链环的Seifert（超）曲面的三角剖分联系起来。
2026-07-07 math.GR math.GT
The second quandle homology of the Takasaki quandle of an odd abelian group is an exterior square of the group
证明了：若G是奇阶阿贝尔群，则存在G的Takasaki quandle的第二quandle同调到G的外平方的同构.特别地，对于G=Z_k^n，k为奇数，我们得到Z_k^{n（n-1）/2}。非平凡的第二同调允许我们利用2-上圈从T（G）构造新的quandles，并构造连接不变量。
2010-06-01 math.AT math.GT
The torsion of a finite quasigroup quandle is annihilated by its order
证明了若Q是有限拟群quandle，则|Q|零化其同调的挠.群的阶零化它的同调是有限群约化同调的一个经典结果。从一开始的机架同源性（1990年至1995年），类似的结果被怀疑。在这个方向上的第一个一般性结果是由R.A.Litherland和S.Nelson以及P.Etingof和M.Grana在2001年前后独立获得的。在Litherland-Nelson论文中证明了：如果（Q;*）是有限齐次格（包括拟群格），则同调的挠被|Q| ^n湮灭.在Etingof-Grana论文中证明了：如果（X; A）是有限格，且N =| G^0_Q|是Q的一组内自同构的阶，则只有能出现在同调挠中的素数是能整除N的素数（连通Alexander quandles的情形以前已由T. Mochizuki证明）。Niebrzydowski和Przytycki推广了Litherland-Nelson的结果，特别地，他们证明了二面体quandle R_3的同调的挠部分被3湮没.在Niebrzydowski-Przytycki论文中，我们证明了对于有限拟群quandle，其同调的挠被quandle的阶湮没. T. Noelman对有限Alexander拟群quandles证明了这个猜想。在本文中，我们证明了在充分的一般性猜想。在这个版本中，我们完全重写了第3节，并引入了预三次同伦的概念。在第2节中，主要的补充是推论2…
2015-03-15 math.GT
Rack and quandle homology
发展了机架和quandle模块的理论-特别是一个张量积的定义，并证明满足适当的伴随性条件。自由机架和quandle模块的概念进行了介绍，并用于定义一个包络对象（'机架代数'或'拧'）为一个给定的机架或quandle。这些建设，然后用来定义同源性和上同调理论的机架和quandles，其中包含所有目前已知的变种。
2004-11-02 math.CT math.GT
Quandle Homology Theory and Cocycle Knot Invariants
本文综述了最近发表的关于quandle同调论和上圈结不变量的几篇论文。在这里，我们描述了上循环结不变量，定义在一个状态和的形式，quandle同源性，和方法构建非平凡的上同调类。
2001-12-03 math.AT math.GT
Quandle Homology Groups, Their Betti Numbers, and Virtual Knots
利用轨道quandles的商同态给出了轨道quandles的同调群的贝蒂数的下界.分析了与各种类型的同调群相关的精确序列。给出了利用虚纽结证明上同调群非平凡性的几何方法。结果可应用于纽结理论，作为评估quandle上同调定义的状态和不变量的第一步。
1999-09-28 math.AT math.GT
On the rack homology of graphic quandles
本文具有部分新颖性和部分调查性。我们首先简要回顾了自分配代数结构（货架）的机架（两项）同调及其与纽结理论的联系。我们专注于一个子家庭的quandles满足图形公理。对于一个大的图quandles族（包括无限图quandles），我们计算了第二格同调群。最后，我们提出了基于我们的计算数据的示意图。
2017-12-05 math.AT math.GT
Geometric Interpretations of Quandle Homology
利用色结图给出了Quandle同调论中圈的几何表示。抽象纽结图被推广到具有例外点的图，这些例外点在着色时对应于退化圈。实现了有界链，并用于获得同源循环的等价移动。应用这些方法证明了同调正合列中的边缘同态为零。
2000-06-16 math.AT math.GT
Schur Multipliers and Second Quandle Homology
我们定义了一个从第二量子点同调到Schur乘子的映射，并研究了它的性质。此外，我们还用外代数表示了Alexander quandles的第二同调。此外，我们提出了一个自包含的证明其结构，并提供了一些计算实例。
2018-12-11 math.GR math.GT math.KT
Quasi-triviality of quandles for link-homotopy
引入了quandles的拟平凡性概念，定义了quandles的同调。Quandle上圈不变量在链同伦下是不变的，如果它们与拟平凡Quandle的2-上圈相关联。从而得到了大量的数值链同伦不变量。
2012-05-26 math.GT
Generalized (co)homology of symmetric quandles over homogeneous Beck modules
本文引入对称quandle模范畴，证明其完全决定Beck模，并以此建立以齐次Beck模为系数的广义（上）同调理论，恢复Kamada-Oshiro结果，并给出第二上同调与关联群第一上同调的显式同构。
2024-01-25 math.GT math.QA
Homology Theory for the Set-Theoretic Yang-Baxter Equation and Knot Invariants from Generalizations of Quandles
建立了集合论杨-巴克斯特方程的同调论，并利用双曲形和杨-巴克斯特上圈的广义着色构造了纽结不变量.
2004-02-18 math.GT math.QA
Twisted quandle homology theory and cocycle knot invariants
通过在边界算子中引入无限循环群的作用，将quandle同调论推广到系数群具有Alexander quandle结构的情形.亚历山大扩展的quandles在低维上循环的理论是平行开发的群扩展理论群上循环。给出了扩张所对应的上圈的显式公式，并利用它证明了某些Quandle的上同调群的非平凡性。在状态和的定义中，利用区域的Alexander编号，给出了Quandle上循环纽结不变量的相应推广。不变量用于推导扭曲上同调群的信息。
2002-02-25 math.GT math.QA
Homology for Quandles with Partial Group Operations
Quandle是一个集合，它有一个满足三个条件的二元运算，对应于Reidemeister移动。quandles的同调论以类似于群同调的方式发展，并已应用于纽结和纽结曲面。本文定义了一个同调论，它统一了群同调理论和量子同调论。一个quandle是一个群的并集，它的运算限制在每个群分量上的共轭上，称为多重共轭quandle（MCQ，严格定义在）。在这个定义中，群和quandle操作之间的兼容性被强加，这是出于对实体链接着色的考虑。一个同调论在这里定义的MCQ考虑群和quandle操作，以及它们的兼容性。第一个同调群的特点，并提供的概念扩展的$2$ -上循环。退化的子复形的定义与棱柱复形（单形的乘积）和群逆的单纯分解有关。余循环不变量也被定义为单体链接。
2015-07-08 math.AT math.GT math.QA
Shifting chain maps in quandle homology and cocycle invariants
Quandle的同调论已经发展起来，上循环已经被用来定义有向经典或表面链的不变量。我们在每个量子链复形上引入一个移位链映射$σ$，使维数降低一个。通过使用其拉回$σ^\#$，每个$2$ -上循环$ϕ$给出$3$ -上循环$σ^\# ϕ$。对于$3$ -空间中的有向经典链环，我们研究了它们与$ϕ$相关的量子$2$ -上循环不变量和与$σ^\# ϕ$相关的影子$3$ -上循环不变量之间的关系.对于$4$空间中的定向曲面链接，我们探讨了与$σ^\# ϕ$相关的Quandle $3$ -上循环不变量的强大性。讨论了低维（余）同调群的移位映射的代数性质。
2021-03-19 math.GT math.QA
Quandle and hyperbolic volume
我们证明了双曲纽结的双曲体积是Quandle上循环不变量。进一步证明了它完全决定了双曲纽结的可逆性和正/负双射性。
2008-12-02 math.GT
Knot invariants derived from quandles and racks
在纽结理论中使用了quandle和rack的同调和上同调：给定一个有限quandle和一个上圈，我们可以构造一个纽结不变量。这是一个快速的介绍性调查的不变量的结来自quandles和机架。
2002-11-05 math.GT
Quandle coverings and their Galois correspondence
本文建立了quandles的代数覆盖理论。对于每个连通quandle，我们明确地构造了一个泛覆盖，这反过来又导致我们将代数基本群定义为泛覆盖的自同构群。然后，我们建立了连接覆盖和基本群的子群之间的伽罗瓦对应。Quandle覆盖因此在形式上类似于拓扑空间的覆盖，并且类似于Kervaire的完满群的代数覆盖理论。详细的调查也揭示了一些关键的差异，我们用大量的例子来说明。作为应用，我们得到了quandle Q的第二（co）同调群的一个简单公式. H_1（Q）= H^1（Q）= \Z [π_0（Q）]是已知的，我们构造了自然同构H_2（Q）= π_1（Q，q）_{ab}和H^2（Q，A）= Ext（Q，A）= Hom（π_1（Q，q），A），使人想起经典的1次Hurewicz同构.这意味着，只要基本群是已知的，2次（余）同调计算就变得非常容易。
2007-02-15 math.GT
Quandles versus symmetric quandles for oriented links
给定一个quandle，我们可以构造一个对称的quandle，称为quandle的对称二重。证明了一个quandle的（余）同调群与它的对称double的（余）同调群同构。此外，有向链环和有向面链环的量子色数和量子上圈不变量也可以用对称量子来解释。
2020-10-20 math.AT math.GT
The degenerate distributive complex is degenerate
我们证明了多轴分布同调的退化部分是由归一化同调决定的。特别地，当多纺锤体是quandle $Q$时，$Q$的简并同源性完全由$Q$的quandle同源性决定。对于这种情况下（一般为两项同源的主轴），我们提供了一个明确的Künneth型公式的退化部分。这解决了神秘的代数纽结理论的意义退化quandle同源性，带来了超过15年前当同调论的定义，并退化的一部分被观察到是不平凡的。
2016-07-29 math.GT math.QA
Multicrossing complex of knot and secant classes
该研究将纽结的多交叉同调推广自其基本 quandles 同调，证明纽结正割的部分和可在该同调中定义不变类。
2026-09-02 math.GT
Categories of diagrams with irreversible moves
我们的工作与一个推广的纽结理论，其中一个图是可达的，从另一个通过一个有限序列的动作，如果一个固定的条件，关于存在的某些态射在一个相关的范畴，是满足每一个移动的序列。这种条件设置导致了不可逆移动、终态的可能性，并导致使用比用作结不变量的函子更通用的函子。我们的主要重点是一类图的二元关系上的一组弧，表明弧可以移动到另一个弧。我们定义了二元关系的同调，并将其与quandle同调合并，得到具有二元关系的部分quandle的同调。这最后的同源性可以用来分析链接图与二元关系的一组组件。
2017-10-04 math.GT
Cocycle Knot Invariants, Quandle Extensions, and Alexander Matrices
quandle（上）同调和上圈结不变量理论正在迅速发展。我们首先总结一下这些最新进展。一个这样的进步是动态上循环的概念。我们展示了如何动态上循环可以用来着色打结的表面，从经典的结通过扭转旋转。我们还证明了上循环不变量和亚历山大矩阵之间的关系。
2002-04-10 math.GT math.QA
Distributive Products and Their Homology
我们开发了一个理论集分配产品（称为货架和多货架）和他们的同源性。我们把架上同调与架上同调和夸德尔同调联系起来。
2012-10-15 math.AT math.GT
Homotopical interpretation of link invariants from finite quandles
本文从同伦理论的角度证明了有限连通quandle $X$上链的quandle上圈不变量的拓扑意义：具体地，对于不划分$X$的类型的任何素数$\ell$，该不变量的$\ell$ -挠率等于着色多项式和Dijkgraaf的$\Z$ -等变部分的和。循环分支覆盖空间的Witten不变量。此外，我们的同伦方法包括应用计算的一些第三同调群和第二同伦群的quandles的分类空间，从群上同调的结果。
2015-05-12 math.AT math.GT
Cocycle Knot Invariants from Quandle Modules and Generalized Quandle Cohomology
利用Andruskiewitsch和Graña提出的广义quandle同调论的上循环定义了三个新的纽结不变量.我们将该理论专门化到系数上存在群作用的情况。首先，quandle模块被用来推广Burau表示和亚历山大模块的经典节点。第二，以类似于经典纽结的霍普夫代数不变量的方式，使用了非阿贝尔群中的2-上圈。这些不变量被证明是量子类型的。第三，利用群作用在系数群上的上循环定义了经典纽结和纽结曲面的quandle上循环不变量。具体的计算方法，并用于证明一个大家庭的纽结表面的不可逆性。在经典的情况下，不变量可以检测在许多情况下的手征3-着色结。
2003-08-12 math.GT math.QA
Quandle theory and the optimistic limits of the representations of link groups
当给出PSL（2，$\mathbb{C}$）的链群的边界抛物表示时，Inoue和Kabaya提出了一种利用八面体三角剖分和某些quandle的阴影着色来获得该表示的展开映射的组合方法. Quandle是一个与Reidemeister步数密切相关的代数系统，因此在Reidemeister步数下，Quandle的方法自然会发生变化。本文将他们的方法应用于确定最优极限的势函数，构造了势函数的一个鞍点。这种构造适用于任何边界抛物表示，并且它表明八面体三角剖分足以研究连杆群的所有可能的边界抛物表示。此外，在鞍点处的势函数的求值成为表示的复体积，并且该鞍点在Reidemeister移动下自然地改变，因为它是使用quandle构造的。
2018-01-30 math.GT
Parabolic representations and generalized Riley polynomials
我们推广了R. Riley关于$S^3$中两个桥纽结群对一般纽结的抛物表示的研究。我们利用抛物量子方法一般纽结图和采用辛量子更好的调查，它给出了这样的表示和它们的复杂体积明确。对于任何具有指定交叉$c$的纽结图，我们定义了一个广义Riley多项式$R_c(y) \in \mathbb{Q}[y]$，其根对应于纽结群的抛物表示的共轭类。引入了抛物量子点的符号型，得到了一个使障碍类提升到边界幂幺$\text{SL}_2 \mathbb{C}$ -表示的公式。此外，我们定义了另一个多项式$g_c(u)\in\mathbb{Q}[u]$，称为$u$ -多项式，并证明了$R_c(u^2)=\pm g_c(u)g_c(-u)$ .在此基础上，我们引入并研究了与不变迹场密切相关的Riley场和$u$ -场。这种方法最终导致完整的分类的抛物线表示的纽结群，以及他们的复杂的体积和尖点形状多达12个交叉点。
2022-05-10 math.GT
(Co)homology of racks and multiple group racks for compact oriented surfaces in the 3-sphere
本文引入多重群rack的（上）同调理论，利用2-上闭链构造3-球面中紧致定向曲面的上闭链不变量，提供寻找新上闭链的方法，并通过计算不变量确定曲面的对称类型。
2023-10-20 math.AT math.GT
Volume and homology growth of aspherical manifolds
我们提供了一个封闭的非球面黎曼流形的同调的大小的上界，只依赖于收缩和球的体积。进一步，我们证明了模p贝蒂数的线性增长或挠同调的指数增长性意味着闭非球面流形是“大”的.
2015-06-12 math.GT
Distributivity versus associativity in the homology theory of algebraic structures
虽然同调论的联想结构，如集团和环，已被广泛研究，在过去的工作开始的霍普夫，艾伦伯格和Hochschild，同源性的非联想分配结构，如quandles，被忽视，直到最近。分布结构的研究由来已久。1880年，C.S.皮尔士强调了（右）自分配在代数结构中的重要性。然而，这些泛代数的同调仅仅是在16年前由芬恩、鲁尔克和桑德森提出的。我们在历史背景下发展了这一理论，并提出了一个研究分配结构同调的一般框架。我们通过计算一些1-项、2-项和3-项同调的例子来说明这个理论，然后讨论布尔代数和分配格的4-项同调。我们概述了潜在的关系，Khovanov同调，通过杨巴克斯特运营商。
2011-09-22 math.AT math.GT
Growth of homology torsion in finite coverings and hyperbolic volume
给出了具有环面边界的不可约三维流形的有限覆盖的同调挠率增长的一个关于双曲体积的上界。
2017-07-14 math.GT
A prismatic classifying space
代数$G$是具有满足相容性条件的两个二元运算的集合，相容性条件是在共轭和乘法下对群建模的。我们发展了一个关于四元代数的同调论，并描述了它的一个分类空间，这个空间是由$G$ -色棱柱（单形的乘积）构造的，同时推广（并包含）了群的单形分类空间和四元代数的立方分类空间.几种类型的退化细胞被添加到规则的棱柱细胞;通过对偶性，这些对应于“非刚性”Reidemeister移动及其更高维的类似物。再加上$G$ -着色技术，我们的同调论产生了$\mathbb{R}^3$中的打结三价图和$\mathbb{R}^4$中的打结泡沫的不变量。我们将这些不变量重新解释为从$S^2$或$S^3$到$G$的分类空间的映射的同伦类。
2018-01-22 math.GT
On the fundamental 3-classes of knot group representations
我们讨论的基本（相对）3类结（或双曲链接），并提供图形描述的推进相对于每个链接组表示。本文从Inoue-Kabaya映射\cite{IK}的观点观察到相对群同调与quandle同调之间的桥梁。此外，我们给出了一个算法，代数描述任何双曲纽结的基本3类。
2017-08-16 math.AT math.GT
An Isometry Between Measure Homology and Singular Homology
在瑟斯顿的笔记中，他给出了流形的格罗莫夫范数（也称为单纯体积）的两种不同定义，并指出它们是相等的，但没有证明。格罗莫夫在双曲流形的特殊情况下证明了这一点，因为他证明了单纯体积与体积成正比。给出了所有微分流形的一个证明。这个版本纠正了早期版本中的几个错别字，并正式证明了微分流形而不是局部有限单纯复形的定理（但实际上几乎没有什么变化）。
2010-03-15 math.GT
Dehn surgery, homology and hyperbolic volume
若闭的可定向双曲3-流形M的体积至多为1.22，则H_1（M;Z_p）的维数至多为2，且H_1（M;Z_2）和H_1（M;Z_7）的维数至多为3。证明结合了双曲3-流形的几个深层次的结果。其策略是将M中关于最短闭测地线C的管的体积与通过C上的Dehn手术从M得到的一列双曲流形中关于短闭测地线C的管的体积进行比较。
2009-07-06 math.GT
Incompressible surfaces, hyperbolic volume, Heegaard genus and homology
证明了：如果M是完备的有限体积双曲3-流形，且H_1（M;Z_2）的维数至少为6，则M的体积大于5.06.我们还证明了：如果M是闭的可定向双曲3-流形，使得H_1（M;Z_2）的维数至少为4，并且如果H^2（M;Z_2）中上积映射的像的维数至多为1，则M的体积大于3.08.这些几何结果的证明涉及到将闭Haken流形M的Heegaard亏格与M中不可压缩曲面的补曲面的kishkes（即guts）的欧拉示性数线联系起来的新的拓扑结果。
2009-01-07 math.GT
The ratio of homology rank to hyperbolic volume, I
我们证明了对于每一个有限体积双曲$3$ -流形$M$和每一个素数$p$，我们有$\text{dim}\ H_1(M;\mathbf{F}_p)< 168.602\cdot\text{vol}\ M$。如果$p = 2$或$M$是非紧的，则有稍微强一些的估计。这改进了由Agol，Leininger和Margalit证明的结果，该结果给出了用$334.08$的系数代替$168.602$的相同不等式。它还改进了类似的结果与一个系数约为$260$，这可能已经获得了由Agol，Leininger和Margalit的参数相结合的结果，由于Böröczky。我们的涉及同调秩的不等式是由基本群秩的一个结果导出的：如果$M$是有限体积可定向双曲$3$ -流形，使得$π_1(M)$是$2$ -半树，则有$\text{rank}\ π_1(M)<1+λ_{0}\cdot\text{vol}\ M$，其中$λ_{0}$是小于$167.79$的常数
2022-07-24 math.GT
Stable Khovanov homology and Volume
本文证明高度扭转链环的n着色Jones多项式在直接极限下趋近于skein元Kauffman括号的范畴化，证实了Thurston双曲Dehn手术定理的量子版本，并基于体积猜想计算了其渐近增长率与正则理想八面体体积的关系。
2024-12-23 math.GT
A remark on torsion growth in homology and volume of 3-manifolds
我们证明了Lück关于同调中挠增长的猜想意味着如果基本群具有相同的有限同调元集，则两个3-流形具有相等的体积。
2018-02-26 math.GR math.GT
The ratio of homology rank to hyperbolic volume, II
在温和的拓扑限制下，我们得到了有限体积可定向双曲$3$流形$M$的模$p$同调（对于任何素数$p$）的维数的新的线性上界。一个令人惊讶的特点的论点在文件中是，他们需要一个应用程序的四色定理。如果$M$是闭的，并且（a）$π_1(M)$没有子群同构于亏格$2, 3$或$4$的闭的、可定向的曲面的基本群，或者（b）$p = 2$，并且$M$不包含亏格$2, 3$或$4$的（嵌入的、双侧的）不可压缩曲面，则$\text{dim}\, H_1(M;F_p) < 157.763 \cdot \text{vol}(M)$。如果$M$有一个或多个尖点，我们得到一个非常相似的界，假设$π_1(M)$没有子群同构于$g = 2, \dots,8$的亏格$g$的闭可定向曲面的基本群。这些结果应与我们以前的文件$The\ ratio\ of\ homology\ rank\ to\ hyperbolic\ volume,\ I$，其中我们得到了一个界限的范围内的系数$168$，而不是$158$，没有限制的表面子群或不可压缩的表面。在未来的文件中，使用一个更复杂的参数，我们希望得到的界限接近本文件没有这样的限制。参数还给出了$π_1(M)$的秩的新的线性上界（具有常数项），以$\text{vol}\,M$表示，假设$π_1(M)$是$9$自由的，或者$M$是封闭的，而$π_1(M)$是$5$自由的.
2022-06-30 math.GT
Volume and Homology for Hyperbolic $3$-Orbifolds, I
设${\mathfrak M}$是一个闭的、可定向的、双曲的3-orbifold，其奇异集是一个环，且使得$π_1({\mathfrak M})$不含双曲三角群.我们证明了如果基础流形$|{\mathfrak M}|$是不可约的，并且$|{\mathfrak M}|$对${\mathfrak M}$的每个两层（orbifold）覆盖$\widetilde{\mathfrak M}$都是不可约的，如果${\rm vol} {\mathfrak M}\le1.72$，则$\dim H_1({\mathfrak M};{\mathbb Z}_2)\le 15$ .此外，如果是${\rm vol} {\mathfrak M}\le1.22$，则是$\dim H_1({\mathfrak M};{\mathbb Z}_2)\le 11$，如果是${\rm vol} {\mathfrak M}\le0.61$，则是$\dim H_1({\mathfrak M};{\mathbb Z}_2)\le 7$。证明是一个应用程序的结果，将用于本文的续集，以获得定性相似的结果，而无需假设不可约的$|{\mathfrak M}|$和$|\widetilde{\mathfrak M}|$。
2017-09-21 math.GT
Singular surfaces, mod 2 homology, and hyperbolic volume, II
若M是一个闭的简单3-流形，其基本群包含亏格为g的曲面群，且g>1，且H_1（M;Z_2）的维数至少为max（3g-1，6），则证明了M包含亏格至多为g的闭的不可压缩曲面.这改进了第一部分的主要拓扑结果，其中在H_1（M;Z_2）的维数至少为4g-1的更强假设下得到了相同的结论。作为应用，我们证明了：如果M是一个闭的可定向双曲3-流形，且其体积不超过3.08，则H_1（M;Z_2）的维数不超过5。
2010-10-19 math.GT
Volume and homology of one-cusped hyperbolic 3-manifolds
设M是完备的、有限体积的、可定向的双曲流形，它恰好有一个尖点。如果我们假设pi_1（M）没有子群同构于亏格2曲面群，并且（a）H_1（M;Z_p）对于某个素数p至少有5维，或者（b）H_1（M;Z_2）至少有4维，那么H^2（M; Z_2）的维数最多为1，则vol M > 5.06如果我们假设H_1（M; Z_2）的维数至少为7，且M的致密核不含亏格2闭不可压缩曲面，则vol M > 5.06。
2008-10-28 math.GT
The spectrum of simplicial volume
群同调中的新构造允许我们制造具有受控单纯体积的高维流形。证明了在$\mathbb{R}_{\geq 0}$中，对于任意大于3的维数，可定向闭连通流形的单纯体积集是稠密的。在四维空间中，我们证明了每个非负有理数都是某个可定向闭连通四维流形的单纯体积。我们的群论结果涉及稳定的换向器长度的$l^1$ -半范数的某些奇异同调类的程度2。这些结果的输出被转换成多方面的建设，使用交叉产品和托姆实现。
2020-07-07 math.GT
Singular surfaces, mod 2 homology, and hyperbolic volume, I
本文包含一个纯拓扑定理和一个几何应用。拓扑定理指出：如果M是一个简单的可定向闭3-流形，使得π_1（M）包含亏格g曲面群，H_1（M;Z/2 Z）的秩至少为4g-1，则M包含亏格至多为g的闭不可压缩曲面.这个结果可以看作是关于π_1-内射奇异曲面的Dehn引理的一个类似.几何上的应用表明：如果M是一个闭的可定向的双曲3-流形，其体积小于3.08，则H_1（M;Z/2 Z）的秩至多为6.几何定理的证明结合了拓扑定理与几个深刻的几何结果，包括马登驯服猜想，最近建立的Agol和Calegari-Gabai; co-volume估计3驯服，3自由Kleinian群由于安德森，金丝雀，Culler和Shalen;和体积估计双曲哈肯流形最近证明的Agol，Storm和W。瑟斯顿
2008-02-03 math.GT
Bounded Cohomology and $l_1$-Homology of Three-Manifolds
本文对每个赋有\emph{torus splitting} $Ţ$的非球面可定向三维流形$M$，定义了一个2维基本$l_1$类$[M]^{Ţ}$，它的$l_1$ -范数具有与$M$的Gromov单纯体积相似的性质（环面分裂下的可加性和有限覆盖映射下的等距性）.其次，我们利用$M$的Gromov单纯体积和$[M]^{Ţ}$的$l_1$ -范数，给出了与${\rm deg}(f)$ -覆叠映射同伦的非零度映射$f\co M\to N$的一个完整刻画.作为应用，我们刻画了那些度为1的映射$f\co M\to N$，它们是同伦于同胚的有界上同调类。
2008-09-25 math.GT
