Distributive Products and Their Homology
Jozef H. Przytycki, Adam S. Sikora
我们开发了一个理论集分配产品（称为货架和多货架）和他们的同源性。我们把架上同调与架上同调和夸德尔同调联系起来。
We develop a theory of sets with distributive products (called shelves and multi-shelves) and of their homology. We relate the shelf homology to the rack and quandle homology.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Knots and distributive homology: from arc colorings to Yang-Baxter homology
本文是我的论文《代数结构的同调论中的分配性与结合性》的续篇。44（4），2011，821-867（arXiv：1109.4850 [math.GT]）。我们从弧着色的朴素不变量开始，并调查了与纽结理论有关的缔合和分布岩浆及其同源性。我们概述了潜在的关系Khovanov同调和分类，通过杨巴克斯特运营商。我们在这里使用的事实，杨-巴克斯特方程可以被认为是一个推广的自分配。我们展示了如何定义和可视化杨巴克斯特同源，特别是给出了一个简单的描述同源的biquandles。
Distributivity versus associativity in the homology theory of algebraic structures
虽然同调论的联想结构，如集团和环，已被广泛研究，在过去的工作开始的霍普夫，艾伦伯格和Hochschild，同源性的非联想分配结构，如quandles，被忽视，直到最近。分布结构的研究由来已久。1880年，C.S.皮尔士强调了（右）自分配在代数结构中的重要性。然而，这些泛代数的同调仅仅是在16年前由芬恩、鲁尔克和桑德森提出的。我们在历史背景下发展了这一理论，并提出了一个研究分配结构同调的一般框架。我们通过计算一些1-项、2-项和3-项同调的例子来说明这个理论，然后讨论布尔代数和分配格的4-项同调。我们概述了潜在的关系，Khovanov同调，通过杨巴克斯特运营商。
Homology of Distributive Lattices
我们概述了理论集与分配操作：多架和多主轴，提供的例子半格，格和斜格。对于每一个这样的结构，我们定义多项分配同调，并显示它的一些性质。主要结果是有限分配格的同调的一个完全公式。我们还指出了单位轴的答案，并推测了半格和一些斜格的一般公式。然后，我们提出了一个推广的格作为一个集的一些幂等运算满足吸收律。
Progress in distributive homology: from q-polynomial of rooted trees to Yang-Baxter homology
这是在Oberwolfach研讨会“低维拓扑中的代数结构”，2014年5月25日至5月31日的演讲的扩展摘要。我的目标是描述2012年6月3日至6月9日Oberwolfach研讨会上在分配同调方面的进展，特别是我在Yang-Baxter同调方面的工作;然而，我集中在我最近发现的有根树的q-多项式上;我的演讲的合适主题是在2014年5月30日，琼斯多项式的30周年纪念日，多项式的根源在于考夫曼括号方法。
Torsion in one-term distributive homology
一项分配同调是由J.H.Przytycki引入的，作为Rack和Quandle同调的原子替换，R.Fenn、C.Rourke和B.Sanderson以及J.S.Carter、S.Kamada和M.Saito首先引入并发展了Rack和Quandle同调。这种同源性最初被怀疑是无挠的，但在本文中，我们表明，一个有限的主轴的一项同源性可以有挠。我们仔细分析了（n，1）型块分解的主轴，并介绍了各种技术来精确计算它们的同调。此外，我们还证明了任何有限群都可以出现为某个有限纺锤体的第一同调的挠子群。最后，我们表明，如果一个货架满足一定的，而一般的条件，那么一项同源性是平凡的。
The degenerate distributive complex is degenerate
我们证明了多轴分布同调的退化部分是由归一化同调决定的。特别地，当多纺锤体是quandle $Q$时，$Q$的简并同源性完全由$Q$的quandle同源性决定。对于这种情况下（一般为两项同源的主轴），我们提供了一个明确的Künneth型公式的退化部分。这解决了神秘的代数纽结理论的意义退化quandle同源性，带来了超过15年前当同调论的定义，并退化的一部分被观察到是不平凡的。
Homology of Associative Shelves
结合代数结构的同调论已经建立并研究了很长时间。最近，由纽结理论激发的自分配代数结构的同调论，如quandles及其亲属，已经发展和研究。本文研究结合自分配代数结构及其单项和双项（架）同调群。
Cobordism category of plumbed 3-manifolds and intersection product structures
本文引入一类具有一定代数态射的分次交换环，研究了垂直3-流形的配边范畴。特别是，我们定义了一个非结合分配代数，给出了必要条件的抽象态射之间的同调的两个铅垂3-流形几何实现的协边。本文还考虑了同调配边幺半群，利用w-不变量给出了同调3-球面属于某个同调3-球面所对应的惯性群的必要条件.
Cup and cap products in intersection (co)homology
我们构造了与场系数相交（上）同调的杯积和卡积。利用卡积的存在性，给出了交（上）同调中Poincare对偶的一个新的证明，它与通常流形的普通（上）同调的证明在精神上是相似的.
Products in Equivariant Homology
我们完善的交集产品在同源的等变设置，它统一了几个已知的建设。作为一个应用程序，我们给出了一个共同的推广的Chas-Sullivan字符串产品的流形上和Chataur-Menichi字符串产品的分类空间上通过定义一个字符串产品的Borel建设的流形。我们证明了一个消失的结果，使我们能够定义一个二级产品。二次产品，然后用于构建二级版本的Chataur-Menichi字符串产品，并在Borel等变同调的流形与一个紧凑的李群的行动的等变交集产品。后者归结为Kreck定义的分类空间的同调积，如果群是有限的，则它与负Tate上同调的上积一致。
On the homology of the space of singular knots
本文在$S^n$中引入了纽结空间和奇异纽结空间的同调上的各种结合积。我们证明，这些产品是相关的，通过去奇异化映射。我们还计算了其中的一些产品，并证明了非奇异态射的非平凡性。
Intersection homology duality and pairings: singular, PL, and sheaf-theoretic
我们比较了交叉同调的庞加莱对偶的层理论和奇异链版本，表明它们通过自然定义的映射是同构的。同样，我们证明了存在的典型同构之间的奇异交叉上同调上积，超上同调产品引起的Goresky-MacPherson层配对，并为PL伪流形，Goresky-MacPherson PL交叉产品。我们还表明，德拉姆同构的Atrielet，赫克托耳，和Saralegi保持产品结构。
Eilenberg swindles and higher large scale homology of products of trees
我们证明了$n$树的乘积的一致有限同调在除无限维的度$n$之外的所有度上都为零。我们的方法是几何的，并适用于几个大规模的同调论，包括几乎等变同调和控制粗同调。作为应用，我们用树的乘积格的$\ell_{\infty}$ -系数确定群同调.我们还表现出顺从性的1-同源性方面的一个特征，并使用更高的同源性构建非周期性平铺。
A Steenrod square on Khovanov homology and a cup-i product
本文研究了Khovanov同调上的Steenrod平方与cup-i乘积，证明了Lipshitz-Sarkar的Sq²与Morán的sq²一致。
Homology of spaces of regular loops in the sphere
本文计算了圆到$n$ -球面的浸入空间的奇异同调。在Chas-Sullivan环积的作用下，这些同调群是分次交换代数，并计算了这些代数.我们丰富了Morse谱序列，使之能用于自由闭路空间的纤维化和环路积，这为弦拓扑提供了一些新的计算工具。
A Borsuk-Ulam theorem for $(\mathbb Z_p)^k$-actions on products of (mod $p$) homology spheres
证明了对于$(\mathbb Z_p)^k$在（mod p）同调球面$N^{n_1}\times...\times N^{n_k}$的乘积上的乘积作用，其中如果$p$是奇数，则所有的$n_i$都是奇数，且对于任何连续映射$f\colon N^{n_1}\times...\times N^{n_k}\to \mathbb R^m$，只要对所有的$i (1\le i\le k)$都有$n_i\ge mp^{i-1}(p-1)$，则集合$A(f)=\{x\in N^{n_1}\times...\times N^{n_k}| f(x)=f(gx) \forall g\in(\mathbb Z_p)^k\}$的维数至少为$n_1+...+n_k-m(p^k-1)$.此外，如果对于所有$i(1\le i\le k)$都有$n_i\ge mp^{k-1}(p-1)$，则自由动作$μ$可以被假定为任意的。
The homotopy invariance of the string topology loop product and string bracket
设M是一个闭的、定向的n维流形，LM是它的自由闭路空间. Chas和Sullivan在LM的同调中定义了一个交换代数结构，在等变同调中定义了一个李代数结构。这些结构分别称为弦拓扑环积和弦括号。在本文中，我们证明了这些结构是同伦不变量在以下意义。设f：M_1 \to M_2是闭定向n -流形的同伦等价. Lf：LM_1 \to LM_2的导出等价导出了一个同调的环同构和一个等变同调的李代数的同构.类似的陈述也适用于任何支持M_i定向的广义同调论h_*。
A chain-level model for Chas-Sullivan products in Morse homology with differential graded coefficients
本文提出了一种基于 Morse 理论的链级模型，用于研究自由循环空间的 Chas-Sullivan 乘积，并构建了微分格版本的 Künneth 公式和 Pontryagin-Thom 构造。
L-homology on ball complexes and products
我们构建同调论的系数在L-谱的范畴内的球复合物，我们定义的产品在此设置。我们还得到了这些同调群中几何情形的签名，并证明了乘积公式，我们希望这些公式能澄清在全外科阻塞理论中使用的乘积。
Taut sutured handlebodies as twisted homology products
Friedl和Kim证明了任何拉紧缝合流形都可以实现为扭曲的同调积，但他们的证明没有实际描述实现表示需要多么复杂。我们给出了一些结果，说明了一个绷紧的缝合的bodybody的拓扑结构和复杂性的表示实现它作为一个同源产品之间的关系。
Heegaard Floer Homology and Triple Cup Products
我们给出了所有三维流形和扭转Spin^c结构的模系数为2的Heegaard弗洛尔同调的无穷味的完整计算。计算结果与Ozsvath和Szabo的修正计算结果一致。因此，这建立了与马克杯模2同调的同构。
The Path-product in Morse Homology with differential graded coefficients
本文通过Morse理论描述流形路径空间的同调中的弦拓扑积，并在Chas-Sullivan环上定义其模结构。
Anosov diffeomorphisms of products I. Negative curvature and rational homology spheres
我们证明了流形的各类乘积不支持传递Anosov同构。利用Ruelle-Sullivan上同调类，证明了负曲流形与有理同调球面的乘积不支持传递Anosov同构.我们将这一结果推广到产品的1000多个负弯曲流形的尺寸至少为三个有理同调球，有消失的单纯体积。作为本研究的一个应用，我们得到了不支持传递Anosov同胚的流形的新例子，包括某些具有非平凡的高同伦群的流形和某些非球面流形的乘积。
Homology transfer products on free loop spaces: orientation reversal on spheres
我们考虑紧致光滑流形$M$的Sobolev类$H^1$的环空间$ΛM:=H^1(S^1,M)$，即$M$的自由环空间.我们把$ΛM/G$看作是$S^1$的线性重参数化作用的有限子群，其中$G$是$O(2)$的有限子群。我们利用转移映射$tr:H_*(ΛM/G)\rightarrow H_*(ΛM)$的存在性通过Chas-Sullivan环积定义了$ΛM/G$上的同调积。我们称这种产品为$P_G$转移产品。反转取向的对合$\vartheta:ΛM\rightarrow ΛM$，$ \vartheta\big(γ(t)\big):=γ(1-t)$，是我们特别感兴趣的。我们计算$H_*(ΛS^n/\vartheta;\mathbb{Q})$，$n>2$，和产品$P_\vartheta:H_i(ΛS^n/\vartheta;\mathbb{Q})\times H_j(ΛS^n/\vartheta;\mathbb{Q})\rightarrow H_{i+j-n}(ΛS^n/\vartheta;\mathbb{Q})$相关的方向反转。合理地$P_\vartheta$可以实现“几何”使用的等价类的循环的级联。当$G\subset S^1\subset O(2)$不“包含”取向反转时，$ΛS^n/\vartheta$的同源性与$ΛS^n/G$的同源性之间存在质的差异。这可能是有趣的，关于$S^n$…
Geometric construction of homology classes in Riemannian manifolds covered by products of hyperbolic planes
研究了由双曲平面的$r$ -重积$(\mathbb{H}^2)^r = \mathbb{H}^2 \times \ldots \times \mathbb{H}^2$覆盖的有限体积黎曼流形的同调性。使用一种变化的方法开发的Avramidi和Nguyen潘，我们表明，任何这样的流形$M$拥有，有限覆盖，任意大量的紧凑的定向平坦全测地$r$维子流形的基本类是线性无关的同调群$H_r(M;\mathbb{Z})$。
Fukaya categories of symmetric products and bordered Heegaard-Floer homology
本文的主要目的是讨论Lipshitz，Ozsvath和Thurston的加边Heegaard-弗洛尔同调在对称积的类范畴和拉格朗日对应下的辛解释.更具体地说，我们给出了一个描述的代数A（F）出现在工作中的Lipshitz，Ozsvath和Thurston在（部分包裹）弗洛尔同调的产品拉格朗日对称产品，并概述如何边界Heegaard-弗洛尔同调本身可以理解在这种语言。
Khovanov-Rozansky Graph Homology and Composition Product
类似于Jaeger给出的环的HOMFLY-PT多项式的递归公式，我们给出了Kauffman和Vogel引入的图多项式的递归公式。我们展示了这个公式如何扩展到Khovanov-Rozansky图的同源性。
On homology classes not representable by products
这篇论文已被撤回，因为它包含在新的预印本arXiv：0806.4540中。
Connected sums of almost complex manifolds, products of rational homology spheres, and the twisted spin^c Dirac operator
我们给出了“两个闭的殆复流形的连通和在什么维数上必然是殆复流形”的一个答案. ".在这样做的过程中，我们自然会问：“对于l的哪些值，l闭殆复流形的连通和必然是殆复流形？".我们回答这个问题，以及它的非紧模拟，使用障碍理论和杨的结果存在的殆复结构（n-1）-连接2n-流形。最后，利用扭曲自旋^c Dirac算子的指数，将Datta和Subramanian关于两个偶球面乘积上不存在殆复结构的结果部分推广到有理同调球面上.
A Fibration Theorem and Chas-Sullivan product for Morse-Novikov Homology with differential graded coefficients
本文将具有微分 graded 系数的 Morse 同调及 Chas-Sullivan 积扩展至 Morse-Novikov 同调，构建了相应的 Morse-Novikov 复形，并在纤维化条件下证明了 Novikov 完备化同调上存在 Chas-Sullivan 类型的积。
Diagonal complexes and the integral homology of the automorphism group of a free product
本文的主要目的是计算一个自由积的对称自同构群的积分（上）同调。我们继续通过给出对称自同构的几何解释通过某些图的模空间，我们命名为仙人掌产品。为了描述这种模空间的理论的对角复形。这提供了直角阿廷群理论的概括，因为每个对角复形定义了我们所说的对角直角阿廷群（DRAAG）。
Product Structures for Legendrian Contact Homology
Legendrian接触同调（LCH）及其相关的微分分次代数是Legendrian纽结的强非经典不变量.线性化使得LCH在计算上易于处理，但代价是丢弃非线性（和非交换）信息。为了在保持可计算性的同时恢复一些非线性信息，我们在线性化的LCH上引入了不变的杯和Massey乘积，更一般地说，是A_ \infty结构。我们将乘积和A_ \infty结构应用于三个方面：寻找与其Legendrian镜像不同构的Legendrian纽结的无限族，用上积重新解释第四作者的对偶定理，以及恢复LCH的高阶线性化.
Triple torsion, triple cup products, and embedding obstructions for rational homology 3-spheres
本文通过挠-链环对偶将Freedman-Krushkal的三重挠形式与模p三重杯积等同，利用Milnor不变量给出符号公式，并构造具有任意模p三重杯张量的有理同调3-球面，最终证明存在无局部平坦嵌入S^4的有理同调3-球面。
Legendrian contact homology in the product of a punctured Riemann surface and the real line
本文给出了PxR中与Legendrian纽结相关联的Legendrian微分分次代数的组合描述，其中P是穿孔黎曼曲面.作为一个应用，我们证明了对于任意整数k和任意同调类h，在H_1（PxR）中有k个勒让德结都表示h，它们通过一个形式勒让德合痕是成对光滑的，但它们位于相互不同的勒让德合痕类中.
Tensor product algebras, Grassmannians and Khovanov homology
本文利用张量积的推广，从一个新的角度讨论了Khovanov同调.虽然在许多方面比Khovanov的方法（以及Bar-Natan的扩展）在技术上要求更高，但它具有直接将Khovanov同调连接到\$（\mathbb{C}^2）^{ \otimes \ell }\$的分类的明显优势，并允许直接推广到其他李代数。虽然讨论的建设是一个特殊的情况下，在以前的工作，作者，本文包含新的结果的特殊情况下\$ \mathfrak{sl}_2 \$显示一个明确的连接到巴尔-纳坦的方法Khovanov同调，几何的格拉斯曼，并归类琼斯-温茨投影库珀和Krushkal。特别是，我们表明，我们的方法定义的有色琼斯同源性与库珀和Krushkal。
Fukaya categories and bordered Heegaard-Floer homology
我们概述了Heegaard-弗洛尔同调的3-流形（封闭或边界）的黎曼曲面的对称产品的辛拓扑方面的解释，建议由最近的工作蒂姆Perutz和Yanki Lekili。特别地，我们讨论了对称积的类范畴与由Robert Lipshitz，Peter Ozsvath和Dylan Thurston引入的加边代数之间的联系，并在这种语言中重铸了加边Heegaard-弗洛尔同调.
Minimal length product over homology bases of manifolds
本文将Minkowski第二定理从平坦Finsler环面推广至更广泛的Finsler流形，涵盖第一Betti数与维度不等的曲面，通过超行列式模2非零条件刻画该流形类。
HOMFLYPT homology of Coxeter links
Coxeter链接是两个辫子的乘积的闭包，一个是准Coxeter元素，另一个是部分全捻的乘积。此类链接包括圆环结\(T_{n,k}\)和圆环链接\(T_{n,nk}\)。我们确定的结同源的考克斯特链接的空间的一个特定的线丛的部分内的标志希尔伯特计划的点在\(\mathbb{C}^2\)的一个自然推广的点轨迹。
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