Some trigonometric integrals involving the log gamma and the digamma function
Donal F. Connon
本文考虑各种积分，其中被积函数包括对数伽玛函数（或其导数，双Γ函数）乘以三角函数或双曲函数。一些显然是新的积分和级数的评价。
This paper considers various integrals where the integrand includes the log gamma function (or its derivative, the digamma function) multiplied by a trigonometric or hyperbolic function. Some apparently new integrals and series are evaluated.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Some exponential and trigonometric integrals involving the log gamma function
本文研究了被积函数为对数Γ函数或双Γ函数乘以指数函数或三角函数的积分。
An inequality involving the gamma and digamma functions
本文建立了一个涉及Gamma函数和双Γ函数的不等式，并利用它证明了一个涉及Gamma函数和双Γ函数的函数的负性和单调性.
Limit formulas for ratios of derivatives of the gamma and digamma functions at their singularities
本文给出了Gamma函数和双Γ函数在奇点处导数比的极限公式。
Logarithmically completely monotontic functions related the $q-$gamma and the $q-$digamma functions with applications
本文提出了几类新的代数完全单调函数。我们的函数有一个共同点，即它们都是根据$q-$ gamma和$q-$双Γ函数定义的。作为这些结果的应用，建立了$q-$伽玛函数和$q-$双Γ函数的不等式.所得结果推广了Alzer和Berg及C. P. Chen和F.气
Double Inequalities for Complete Monotonicity Degrees of Remainders of Asymptotic Expansions of the Gamma and Digamma Functions
受“对数函数与psi函数之差的完全单调度”一文中几个定理的启发，本文证明了伽玛函数与双Γ函数的对数的渐近展开的逼近器的完全单调度的几个定理，并给出了这类逼近器的两个有界性.
Summation of certain trigonometric series with logarithmic coefficients
推广了Lerch首先利用的一种方法，导出了三个对数系数三角级数的和.通过对其中两个级数应用Frullani定理，利用双Γ函数计算了两个涉及双曲函数的非平凡积分.
Inequalities involving the gamma and digamma functions
本文改进了[H. Alzer和N. Batir，Monotonicity properties of the Γ函数数，Appl. Math. Letters，20（2007），778-781]。\begin{equation*} exp\left(-\frac{1}{2}ψ\left(x+\frac{1}{3}\right)\right)<\frac{Γ(x)}{\sqrt{2π}x^xe^{-x}}<exp\left(-\frac{1}{2}ψ(x)\right), \end{equation*}和$$ \frac{1}{2}ψ'(x+1/3))<\log x-ψ(x)<\frac{1}{2}ψ'(x).$$这里$Γ$是经典伽马函数，$ψ$是双Γ函数。
Turán type inequalities for generalized inverse trigonometric functions
本文研究了一维$p$ -Laplace算子的本征函数$\sin_p$的逆及其对参数$p$的依赖性，给出了该函数的一个Turán型不等式.对其它广义逆三角函数和双曲函数也给出了类似的不等式。特别地，我们推导了Ramanujan所考虑的一个级数的Turán型不等式，其中涉及到双Γ函数.
The integrals in Gradshteyn and Ryzhik. Part 10: the digamma function
在Gradshteyn和Ryzhik的经典积分表中的许多积分可以用双Γ函数（= Γ函数的对数导数）来计算。其中一些在这里介绍。
A harmonic mean inequality for the $q-$gamma and $q-$digamma functions
我们证明了对于任意的$x > 0$和$q\in J$，$Γ_q(x)$和$Γ_q(1/x)$的调和平均大于或等于$1$，其中$J$是$[0,+\infty)$的子集.此外，我们证明了，对于有$p_0\in(1,9/2)$，使得对于$q\in(0,p_0)$，$ψ_q(1)$是$ψ_q(x)$和$ψ_q(1/x)$的调和平均的最小值，对于$x > 0$和$q\in(p_0,+\infty)$，$ψ_q(1)$是最大值。我们的结果推广了Alzer和Gautschi的一些已知不等式。
On some properties of special functions involving $k$-gamma and $k$-digamma functions
本研究基于$k$-伽马与$k$-双伽马函数，推导Furdui型积分的级数展开及两类特殊函数的新恒等式、展开式与不等式，并提出一个开放问题。
Partial solutions to several conjectures on completely monotonic degrees for remainders in asymptotic expansions of the digamma function
受“F. Qi和A.- Q. Liu，Completely monotonic degrees for a difference between the logarithmic and psi functions，J. Comput.应用数学，第361卷，第361页。366- 371（2019）;可在https://doi.org/10.1016/j.cam.2019.05.001在线获得“，作者在伽马函数的对数的渐近展开和双Γ函数的对数的渐近展开中计算了多个完全单调度。
Asymptotic expansions of integral means and applications to the ratio of gamma functions
积分平均是一类重要的二元平均。本文证明了积分平均值渐近展开中系数的一种非常一般的计算方法。它基于显式求解形式为$B(A(x))=C(x)$的方程，其中$B$和$C$具有已知的渐近展开。通过计算与伽玛函数和双Γ函数有关的几个重要积分平均值，说明了所得结果。
Necessary and sufficient conditions for a function involving divided differences of the di- and tri-gamma functions to be completely monotonic
本文给出了包含双伽玛函数和三Γ函数的均差的函数完全单调的充要条件。在此基础上，给出了包含两个Gamma函数之比的函数是代数完全单调的充要条件，并给出了多Γ函数的均差界的一些二重不等式.
An Infinite Product for e^gamma via Hypergeometric Formulas for Euler's Constant, gamma
我们推导出欧拉常数γ的超几何公式。一个“副产品”的迪埃的变换是一个无穷乘积的e^伽玛涉及的二项式系数。替代的，非超几何证明使用伽马的二重积分，贝塔积分和双Γ函数的积分。（感谢P. Sebah，S。Zlobin和W. Zudilin的宝贵建议用于论文中。
Uniform asymptotic expansions for generalised trigonometric integrals and their zeros
本文提出广义三角积分及其实零点的均匀渐近展开，适用于大参数和无界复值，基于不完全伽马函数的Liouville-Green展开。
Arbitrary-precision computation of the gamma function
我们讨论的最佳方法可用于计算的伽玛函数$Γ(z)$在任意精度算术严格的误差界。我们处理不同的情况：有理、代数、实或复变元;大或小变元;低或高精度;有或没有预计算。这些方法还包括对数伽马函数$\log Γ(z)$、双伽马函数$ψ(z)$以及导数$Γ^{(n)}(z)$和$ψ^{(n)}(z)$。除了试图总结现有的最先进的，我们提出了一些新的公式，估计，界限和算法的改进，并讨论实施结果。
Bounds for the gamma function
本文改进了由H.阿尔泽和作者。\begin{equation*} \exp\left(-\frac{1}{2}ψ(x+1/3)\right)<\frac{Γ(x)}{x^xe^{-x}\sqrt{2π}}<\exp\left(-\frac{1}{2}ψ(x)\right). \end{equation*}我们还证明了以下新的不等式：对于$x\geq1$ \[ \sqrt{2π}x^xe^{-x}\left(x^2+\frac{x}{3}+a_*\right)^{\frac{1}{4}}<Γ(x+1)<\sqrt{2π}x^xe^{-x}\left(x^2+\frac{x}{3}+a^*\right)^{\frac{1}{4}} \]与最好的可能常数$a_*=\frac{e^4}{4π^2}-\frac{4}{3}=0.049653963176...$，和$a^*=1/18=0.055555...$，和$x\geq0$ \begin{equation*} \exp\left[xψ\left(\frac{x}{\log (x+1)}\right)\right]\leqΓ(x+1)\leq\exp\left[xψ\left(\frac{x}{2}+1\right)\right], \end{equation*}其中$ψ$是digamma函数。
Trigonometric functions in the $p$-norm
三角学是研究圆函数的学科，圆函数是定义在单位圆$x^2+y^2 =1$上的函数，其中距离使用欧几里德范数测量。当距离使用$L_p$-范数度量时，我们得到广义三角函数。这些是单位$p$的参数化-圆$|x|^p+|y|^p =1$。调查这些新的功能导致有趣的连接，涉及双角公式，规范诱导的内积，斯特林数，贝尔多项式，拉格朗日反演，伽玛函数，和广义$π$值。
On the Stieltjes constants and gamma functions with respect to alternating Hurwitz zeta functions
Dating back to Euler, in classical analysis and number theory , the Hurwitz zeta function $$ ζ(z,q)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(n+q)^{z}}, $$ the Riemann zeta function $ζ(z)$ , the generalized Stieltjes constants $γ_k(q)$ , the Euler constant $γ$ , Euler's gamma function $Γ(q)$ and the digamma function $ψ(q)$ have many close connections on their definitions and properties. There are also many integrals, series or infinite product representations of them along the history. In this note, we try to provide a parallel story for the alternating Hurwitz zeta function (also known as the Hurwitz-type…
Limits of elliptic hypergeometric integrals
在数学QA/0309252中，作者证明了一些多元椭圆超几何积分。本说明的目的是更仔细地探讨存在的各种极限情况（双曲，三角，理性和经典）。特别是，我们表明（使用一些新的估计广义Γ函数），双曲积分（以前被视为纯粹的形式限制）确实是极限情况。我们还获得了一些新的三角（q-超几何）积分恒等式的限制，从椭圆水平。
Accelerating the Hypergeometric Function with the Beta Integral to Derive New Infinite Series for $π$ and Values of the Gamma Function
本文通过beta积分加速超几何函数$2 F 1$，推导出$π$和Gamma函数值的新无穷级数，并基于初等反三角函数得出每项增加2.5位数字的紧凑类Ramanujan公式。
The elliptic gamma function and SL(3,Z) x Z^3
椭圆Γ函数是欧拉Γ函数的推广，并且与椭圆曲线相关联。它的三角退化和有理退化分别是Jackson q-Γ函数和Euler Γ函数。椭圆Γ函数出现在Baxter的八顶点模型的自由能公式和椭圆qKZB方程的超几何解中。本文研究了该函数的性质。特别地，我们证明了椭圆Γ函数是G=SL（3，Z）x Z^3的自守形式的推广，它与H^3（G，Z）中的一个非平凡类有关.
On Some Properties of the Trigamma Function
本文将Gautschi及Alzer、Jameson关于伽马函数和双伽马函数的调和平均不等式推广到三伽马函数，证明其调和平均不超过$π^2/6$。
An asymptotic approximation for the Riemann zeta function revisited
本文重新讨论了作者和S. Cang in Methods Appl. Anal. { \bf 4}（1997）449- 470.使用不完全Γ函数的一致渐近性，在临界线$s=1/2+it$上产生$ζ(s)$的类似渐近展开式为$t\to+\infty$。主项包括由适当幅角的互补误差函数平滑的原始Dirichlet级数以及一系列校正项。这里的目的是通过以$ω$的逆幂表示来以更用户友好的格式呈现这些校正项，其中$ω^2=πs/(2i)$乘以涉及自变量为$ω$的三角函数的系数。
Differentiation of integral Mittag-Leffler and integral Wright functions with respect to parameters
本文研究积分 Mittag-Leffler 函数与积分 Wright 函数关于参数的导数，将其表示为 digamma 与 gamma 函数之商的无穷和，并推导约化公式验证和补充 MATHEMATICA 的计算结果。
Part 1. Infinite series and logarithmic integrals associated to differentiation with respect to parameters of the Whittaker $\mathrm{M}_{κ,μ}\left( x\right) $ function
研究 Whittaker 函数 $\mathrm{M}_{κ,μ}(x)$ 的参数一阶导数，给出其无穷级数与有限、无穷对数积分表示，并推导相关闭式约化公式。
Berndt-Type Integrals of Order Three and Series Associated with Jacobi Elliptic Functions
本文利用Jacobi椭圆函数的Fourier级数和Maclaurin级数展开及围道积分法，通过Gamma函数特殊值建立了六类双曲和与两族三阶Berndt型积分的显式求值，并给出了相关推论与示例。
Part 2. Infinite series and logarithmic integrals associated to differentiation with respect to parameters of the Whittaker $\mathrm{W}_{κ,μ}\left( x\right) $ function
研究 Whittaker 函数关于参数的一阶导数，给出其无穷级数与对数积分表示及特定参数下的闭合形式，并推导积分 Whittaker 函数的表示和约化公式。
Integral representation for Bessel's functions of the first kind and Neumann series
利用Bessel函数Poisson整表示的Gegenbuaer延拓和Gegenbauer多项式的三角整表示，得到了第一类复阶Bessel函数的Fourier型整表示.这种表示法使我们可以用贝塞尔函数系列来表示与不完全Γ函数有关的各种函数。本文还研究了Bessel函数的Neumann级数，并给出了这类级数的一个新的封闭形式的整表示。该表示的密度函数简单地是与诺依曼级数的系数序列相关联的单位圆上的解析函数。文中还给出了特殊函数的新的封闭形式整表示的例子。
扫码添加微信好友，提出您的宝贵建议 👇
💡 备注请填写：网站反馈
发表机构由 AI 从论文文本抽取，如发现错误，欢迎反馈修正建议。